Геометрия на вольном воздухе

МКОУ – средняя общеобразовательная школа
с.Кипцы Екатериновского района Саратовской области
Дистанционная конференция творческих и исследовательских работ обучающихся
«Математика - царица всех наук»
___Определение ширины реки Альшанка
______________________________________________
Автор: __ Гусева Анастасия, Рожкова Екатерина_
__________________________________________________
учащиеся _9__ класса
Руководитель: ___Панкина Н. Д._________
учитель математики
2015 год
Оглавление.
1.Введение-Актуальность исследования-3
2.Основная часть- Четыре способа измерения ширины реки.-4-8с.
3.Заключение-8-9с.
4. Список литературы-9с.
5. Приложения-9-10с.
Введение. Природа говорит языком математики: буквы этого языка- круги,
треугольники и иные математические фигуры.
Галилео Галилей
В курсе изучения геометрии основной школы рассматриваются задачи, связанные с
практическим применением изученных знаний: измерительные работы на местности,
измерительные инструменты. Практические работы на местности являются одной из
наиболее активных форм связи обучения с жизнью, теории с практикой. Здесь учимся
пользоваться справочниками, применять необходимые формулы, овладевают
практическими приёмами геометрических измерений и построений.
Практические работы с использованием измерительных инструментов повышают
интерес к математике, а решение задач на измерение ширины реки, высоты предмета и
определение расстояния до недоступной точки позволяют применить их в практической
деятельности, увидеть масштаб применения математики в жизни человека.Так, в своей
книге « Геометрия на вольном воздухе", Я. И. Перельман излагает эпизод Великой
Отечественной войны, когда отделению сержанта было приказано измерить ширину реки,
через которую предстояло организовать переправу. И как успешно была выполнена
задача!
У одного из жителей нашего села вырос высокий тополь, который было решено убрать.
Но как?- слева- дом, справа- газовая труба, соседи…и только впереди небольшой
расстояние и гараж…пришлось производить расчёты- вычислить с помощью тени высотупочти 11 метров- расстояние до гаража было чуть побольше. Никто не пострадал!
По мере изучения материала способы решения этих задач изменяются, одну и ту же
задачу можно решить многими способами. При этом используются следующие вопросы
геометрии: равенство и подобие треугольников, соотношения в прямоугольном
треугольнике, теорема синусов и теорема косинусов, теорема Пифагора, свойства
прямоугольных треугольников и т.д.
Всемирно известный писатель Артур Конан Дойль был врачом. Но он очень хорошо,
видимо, знал геометрию. В рассказе “Обряд дома Месгрейвов” он описал, как Шерлоку
Холмсу нужно было определить, где будут конец тени от вяза, который срубили. Он знал
высоту этого дерева ранее. Шерлок Холмс так объяснил свои действия: “… я связал
вместе два удилища, что дало мне шесть футов, и мы с моим клиентом отправились к
тому месту, где когда-то рос вяз. Я воткнул свой шест в землю, отметил направление тени
и измерил ее. В ней было девять футов. Дальнейшие мои вычисления были уж совсем
несложны. Если палка высотой в шесть футов отбрасывает тень в девять футов, то дерево
высотой в шестьдесят четыре фута отбросит тень в девяносто шесть футов, и направление
той и другой, разумеется, будет совпадать”.
Актуальность выбранной темы.
Треугольник… Знакомый нам с детства, и начиная с 7 класса, с уроков геометрии,
геометрическая фигура, таит в себе немало интересного и загадочного, как Бермудский
треугольник, в котором бесследно исчезают корабли и самолеты. Знакомые нам фигуры
квадрат, параллелограмм, прямоугольник, ромб, трапеция состоят из двух треугольников,
если провести одну диагональ и из четырех треугольников, если провести две диагонали
.С помощью треугольника решаются многие задачи..Так однажды у одного из жителей
нашего села вырос высокий тополь, который было решено убрать. Но как?- слева- дом,
справа- газовая труба, соседи…и только впереди небольшой расстояние и
гараж…пришлось производить расчёты- вычислить с помощью тени высоту-почти 11
метров- расстояние до гаража было меньше. Пришлось частями спиливать тополь.Никто
не пострадал! Такой способ измерения, когда человек определяет высоту дерева, и не
взбираясь на верхушку. Существует множество различных способов производить
подобные измерения. Заинтересовавшись этой темой, я начала исследовать способы
практических применений, где используются свойства, теоремы о треугольниках.
Решение задач на измерение ширины реки, высоты предмета и определение расстояния до
недоступной точки, позволил увидеть масштаб применения геометрии в жизни человека.
Чем неактуальна эта тема, если без каких-либо инструментов, можно измерить высоту
столба, пирамиды, колокольни, дерева, ширину реки, озера, оврага, длину острова,
глубину пруда и т.д. Ле Корбюзье принадлежит высказывание «Окружающий нас мир –
это мир геометрии, чистой, истинной, безупречной в наших глазах. Все вокруг –
геометрия».
Основная часть
Существуют четыре способа измерения ширины реки
1) Для первого способа понадобится уже знакомый нам «прибор» с тремя булавками на
вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника (рис. 25). Пусть требуется
определить ширину АВ реки (рис. 26), стоя на том берегу, где точка В, и не перебираясь на
противоположный. Став где-нибудь у точки С, держите булавочный прибор близ глаз так,
чтобы, смотря одним глазом вдоль двух булавок, вы видели, как обе они покрывают
точки В и А. Понятно, что, когда это вам удастся, вы будете находиться как раз на продолжении прямой АВ. Теперь, не двигая дощечки прибора, смотрите вдоль других двух
булавок (перпендикулярно к прежнему направлению) и заметьте какую-нибудь точку D,
покрываемую этими булавками, т. е. лежащую на прямой,
Рис. 25. Измерение ширины реки булавочным прибором.
перпендикулярной к АС. После этого воткните в точку С веху, покиньте это место и
идите с вашим инструментом вдоль прямой CD, пока не найдете
Рис. 26. Первое положение
булавочного прибора.
Рис. 27. Второе положение булавочного
прибора.
на ней такую точку Е (рис. 27), откуда можно одновременно покрыть для глаза
булавкой b шест точки С, а булавкой а - точку А. Это будет значить, что вы отыскали на
берегу третью вершину треугольника АСЕ, в котором угол С - прямой, а угол Е равен
острому углу булавочого прибора, т. е. 1/2 прямого. Очевидно, и угол А равен 1/2
прямого, т. е. АС=СЕ. Если вы измерите расстояние СЕ хотя бы шагами, вы узнаете
расстояние АС, а отняв ВС, которое легко измерить, определите искомую ширину реки.
Рис. 28. Пользуемся признаками равенства треугольников.
Довольно неудобно и трудно держать в руке булавочный прибор неподвижно; лучше,
поэтому прикрепить эту дощечку к палке с заостренным концом, которую и втыкать
отвесно в землю.
2) Второй способ сходен с первым. Здесь также находят точку С на продолжении АВ и
намечают при помощи булавочного прибора прямую CD под прямым углом к СА. Но
дальше поступают иначе (рис. 28). На прямой CD отмеряют равные
расстояния СЕ и EF произвольной длины и втыкают в точки Е и F вехи. Став затем в
точке F с булавочным прибором, намечают направление FG, перпендикулярное
к FC. Теперь, идя вдоль FG, отыскивают на этой линии такую точку Н,из которой
веха Е кажется покрывающей точку А. Это будет означать, что точки Н, Е и А лежат на
одной прямой.
Задача решена: расстояние FH разно расстоянию АС, от которого достаточно лишь
отнять ВС, чтобы узнать, искомую ширину реки (читатель, конечно, сам догадается,
почему FH равно АС).
Рис. 29. Пользуемся признаками подобия треугольников.
Этот способ требует больше места, чем первый; если местность позволяет осуществить
оба приема, полезло проверить один результат другим.
3) Описанный сейчас способ можно видоизменить: отмерить на прямой CF не разные
расстояния, а одно в несколько раз меньше другого. Например (рис. 29), отмеряют FE в
четыре раза меньше ЕС, а далее поступают по-прежнему: по
направлению FG, перпендикулярному к FC, отыскивают точку Н, из которой
веха Е кажется покрывающей точку А. Но теперь уже FH не равно АС, а меньше этого
расстояния в четыре раза: треугольники АСЕ и EFH здесь не разны, а подобны (имеют
равные углы при неравных сторонах). Из подобия треугольников следует пропорция
AC:FH=CE:EF=4:1.
Рис. 30. Когда катет равен половине гипотенузы.
Значит, измерив FH и умножив результат на 4, получим расстояние АС, а,
отняв ВС, узнаем искомую ширину реки.
Этот способ требует, как мы видим, меньше места и потому удобнее для выполнения,
чем предыдущий.
4) Четвертый способ основан на том свойстве прямоугольного треугольника, что если
один из его острых углов равен 30°, то противолежащий катет составляет половину гипотенузы. Убедиться в правильности этого положения очень легко. Пусть
угол В прямоугольного треугольника ABC (рис. 30, слева) разен 30°; докажем, что в
таком случае АС=1/2 АВ. Повернем треугольник ABC вокруг ВС так, чтобы он
расположился симметрично своему первоначальному положению (рис. 30, справа),
образовав фигуру ABD; линия ACD - прямая, потому что оба угла у точки С прямые. В
треугольнике ABD угол А = 60°,угол ABD, как составленный из двух углов по 300 тоже
равен 60°. Значит, AD=BD как стороны, лежащие против равных углов. Но АС
==1/2AD; следовательно, АС=1/2АВ (рис.31
Желая
воспользоваться этим свойством треугольника, мы
должны расположить булавки на дощечке так, чтобы
основания их обозначали прямоугольный
треугольник, в котором катет вдвое меньше
гипотенузы. С этим прибором мы помещаемся в точке С (так, чтобы
направление АС совпадало с гипотенузой булавочного треугольника. Смотря вдоль
короткого катета этого треугольника, намечают направление CD и отыскивают на нем
такую точку Е, чтобы направление ЕА было перпендикулярно к CD (это выполняется
при помощи того же булавочного прибора). Легко сообразить, что расстояние СЕ-катет,
лежащие против угла 30э,- равно половине АС. Значит, измерив СЕ, удвоив это
расстояние и отняв ВС, получим искомую ширину АВ реки.
Вот четыре легко выполнимых приема, при помощи которых всегда возможно, не
переправляясь на другой берег, измерить ширину реки со вполне удовлетворительной
точностью. Способов, требующих употребления более сложных приборов (хотя бы и
самодельных), мы не рассматривали.
Мы измерили ширину реки «способом козырька»
1. встали лицом к реке и надвинули фуражку (можно заменить ладонью, записной
книжкой) на глаза так, чтобы нижний обрез козырька точно совпал с линией
противоположного берега. Затем, не изменяя положение головы, повернулась налево, где
поровнее площадка и заметила самую дальнюю точку, видимую из-под козырька точка
С(ладони, записной книжки.)Расстояние и будет равно ширине реки.
2. Решение. Луч зрения, касающийся обреза козырька, первоначально направлен на линию
противоположного берега. Когда повернулись -луч зрения, подобно ножке циркуля
описывает окружность и тогда АС=АВ как радиусы одной окружности Мы измерили
ширину реки «способом козырька»
Это расстояние измерили шагами-75 шагов.75 .0,8м=60 метров-ширина реки Альшанка
Заключение
Практические работы на местности обогатили нас новыми знаниями о природе родного
края, развили интерес к его изучению, расширили знания по географии, геометрии.
Были исследованы различные способы измерения ширины реки. Полученные знания
достаточно легко применяются на практике. По проблеме исследования был проведен
эксперимент.
1 этап – теоретический. Находила исторические данные и общие данные практического
направления по теме «Использование измерений на местности при изучении некоторых
тем школьного курса геометрии».
2 этап – практический. Здесь была проведена экспериментальная проверка знаний,
полученных в ходе теоретического этапа. Проводилась проверка гипотез.
В ходе проведения исследовательской работы пришли к выводам:
1.Длина шага человека равна половине его роста.
2. Ширину реки можно измерить не только переплывая через неё.
3. Если человек знает подобие треугольников, возникнет необходимость их
применения в жизни.
Таким образом, эксперимент подтвердил выдвинутые гипотезы: длина шага человека
равна половине его роста и если человек знает подобие треугольников, возникнет
необходимость их применения в жизни, гипотеза о том, что реку можно измерить только
переплывая через неё, не подтвердилась. Будем решать и другие интересные задачи
Список литературы.
1.http://festival.1september.ru/articles/418615/
2.Л.С.Атанасян. Геметрия. Просвещение 2009
3.Научно- практический и методический журнал. Математика в школе.№ 2 Издательство
«Школьная пресса»
4.Газета. Математика. Издательский дом «Первое сентября»
5.Я.И.Перельман. Геометрия на вольном воздухе,9 издание
6.А.В.Волошинов. Пифагор. Просвещение 1993
7.А.П.Савин и др. Я познаю мир. Москва АСТ.2000
8.Б.В.Гнеденко и др. Энциклопедический словарь юного математика. Москва
«Педагогика»1985
9.Г.И.Глейзер. История математики в школе.Просвещение.1985.
10.https://www.google.ru/search?q=измерение+ширины+реки&newwindow=1&rlz=1C2SFX
N_enRU499RU555&biw=1034
11.http://matematiku.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=2368&Itemid=45
Приложение
из-под козырька нужно заметить точку на противоположном берегу
Катя Р.из-под козырька заметила точку на противоположном берегу
Повернулась лицом к более ровному участку земли, не меняя положение головы.