муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением
advertisement
муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов №29 «Гармония» г. Пятигорск Исследовательская работа. «Решение практических задач с помощью математики или о математизации задач, возникающих на практике» Выполнил: Ученик 8 «А» класса Митрофанов Александр Научные руководители: учителя математики Опарина Е.А. Митрофанова С. А. г. Пятигорск 2013 год. Краткая аннотация В окружающем нас мире мы часто вынуждены находить решение для самых разнообразных практических задач. Ведь немного было бы пользы от открытий, если бы они лежали на книжных полках. Компьютеры, сотовые телефоны не появились ниоткуда, а стали продуктом прогрессивных идей - в том числе и математических. Представленная работа рассматривает поиск ответов к задачам, возникающим в практической жизни людей, путем их математизации- то есть путем перехода к подобранным математическим моделям. Таким образом, реальная прикладная задача обычно отличается некоторой неопределенностью: числовые данные для ее решения не даются, их надо исполнителю добывать самому, так же как и находить оптимальный алгоритм решения для данной задачи. Именно в этом заключается основная особенность и прелесть практических задач. Поэтому я решил рассмотреть вопрос, в котором приведены специфические особенности решения прикладных задач на вычисление, существенно отличающихся от «чисто математических». Введение. В данной работе мое внимание фиксируется на специфических особенностях решения практических задач. В «чисто математической» задаче для нахождения искомой величины в условии приведены все необходимые числовые данные, то есть все числовые характеристики интересующего нас объекта, и при этом ровно столько, сколько нужно для получения ответа. В отличие от этого в прикладной задаче обычно «дан» сам объект; а человеку, решающему задачу, необходимо самому выбрать те параметры, те характеристики объекта, которые он сам может найти путем измерений / вычислений и которые обеспечат возможность найти искомую величину. Выбор же различных параметров для непосредственного измерения зависит от физических особенностей объекта, от измерительных инструментов и вычислительных средств, от запаса знаний и от различных конкретных условий. Таким образом, реальная прикладная задача обычно отличается некоторой неопределенностью: числовые данные для ее решения не даются, их надо «добывать» самому. С этим связано важное различие в форме постановки двух видов задач – «чисто математической» и «реально прикладной». Целью работы считаю формирование представлений о прикладных возможностях математики: взаимное отношение друг к другу двух видов задач, совершенно различной природы: математических и практических, о возможности анализа каждой из них методами другой, а также о практической значимости математических и геометрических знаний. Задачами работы считаю Приобретение новой системы знаний посредством моделирования и исследования реальных ситуаций; Развитие творческой стороны мышления; Формирование навыков умственного труда - поиск рациональных путей решения. В качестве гипотезы работы мной было выдвинуто предположение: математика проникает во все сферы человеческой жизни. Предметом работы стал поиск рационального практических задач, а так же умение применить решения различных полученный опыт «математизации» при изготовлении технических устройств. При этом использовались такие методы работы, как поиск (изучение энциклопедической, справочной и технической литературы, статей сети Интернет,) анализ (изучение полученных сведений, поиск рационального решения) сравнение (сопоставление данных с полученными результатами) Результатом своей работы считаю полученный опыт при решении практических задач и опыт, полученный при изготовлении технических устройств. Работая над данной темой, принимал участие в городском слете юных техников, рационализаторов и конструкторов и в городских детских научно-практических конференциях «Наука, техника и производство». / приложение 1: грамоты победителя в мероприятиях/ Ценность работы в том, что полученными результатами могут воспользоваться учащиеся при изучении отдельных разделов математики, а также учителя математики и технологии при обучении учеников. Вывод: умение успешно находить решение для математических и практических задач – верный признак того, что ученик имеет все задатки, чтобы в будущем реализовать личностные и профессиональные потребности. Описание работы. Математическая Энциклопедия определяет математику, как «- наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. В неразрывной связи с запросами техники и естествознания запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется, так что это общее определение математики наполняется все более богатым содержанием». То есть математика это наука «о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира». И с этим нельзя не согласиться. Но это определение отражает неполную, хотя для человечества и важную часть, понятия «математика». При этом здесь не рассматриваются логические отношения, которые являются фундаментом любого раздела математики. Не отражаются идеальности всех построений и выводов математической теории. Не уточняются так свойственные математике универсальность - ведь построения, полученные в одной области математики, верны и в других её областях, неисчерпаемость -как в бесконечно малом, так и в бесконечно большом, корректность всех построений – и многое другое. Но, хотя определение этого понятия отсутствует, мы можем смотреть на математику, как на некий универсальный, всё время пополняемый набор понятий, символов и процедур с помощью которого, по определенным правилам, можно построить мысленную, идеальную, модель некоторой части реального мира или протекающих в нем отдельных процессов. В своей исследовательской работе я рассмотрю взаимное отношение друг к другу двух видов задач, казалось бы, совершенно различной природы: математических и практических, о возможности анализа каждой из них методами другой. Выделим основные черты, которые характеризуют различие двух видов рассматриваемых задач. 1. Неопределенность прикладной задачи - в отличие от «чисто математической» задачи, в условии которой предусмотрено все, что требуется для нахождения ответа, данная задача предполагает необходимость и возможность для ее решения через уточнение условия посредством обращения к источнику информации. Поиск решения начинается с вопросов, позволяющих снять неопределенность реальной задачи, свести ее к «чисто математической». 2. Узловой момент- выбор модели. Хорошо известно, что для решения любой практической задачи мы пользуемся ее математической моделью, в которой вместо реальных объектов имеем дело с их математической идеализацией. В подавляющем большинстве случаев выбор модели очевиден: пол класса - прямоугольник, ведро- усеченный конус, стакан- цилиндр. Особенно интересны задачи, в которых необходимо обращаться к поиску модели. В подобной ситуации самым ценным для учащегося является его собственный поиск, его предложения по выбору модели. Выбор диктуется рядом факторов: простотой измерений, требуемой точностью, здравым смыслом, интуицией, опытом и др. Многим школьным задачам можно вернуть практический характер, тем самым повысить интерес к их решению, связав с практическим применением. Мы живем на Ставрополье- житнице России. Поэтому я выбрал задачу, теоретического характера, связанную с уборкой и транспортировкой зерна. Например, рассмотрим теоретическую задачу: Имеется куча зерна пшеницы, которую нужно отправить на склад. Сколько примерно стандартных мешков потребуется для этой перевозки? Чтобы решить предложенную задачу, необходимо оценить объем зерна в куче. Как это сделать? Решение: По своей форме куча зерна заметно отличается от известных пространственных фигур, лишь отдаленно напоминая круговой конус. Для объема конуса имеем формулу V=⅓ πR²H. Даже приняв, что куча зерна имеет форму конуса, сложно непосредственно измерить R и H. Если считать, что основанием конуса-модели служит круг, окружность которого имеет такую же длину, как периметр основания кучи. Эту длину можно измерить непосредственно шнуром: если она равна C, то R= C/2π. Высоту тоже неудобно замерять непосредственно, но легко с помощью шнура найти «перекидку» через кучу. Тогда H=√(р/2)2 - R². 3. Качественные детали задают количественные характеристики. Так при решении следует учесть, что отсутствующие численные значения рассматриваемого объекта иногда полностью определяются его качественными (физическими или конструктивными) особенностями. Так, в задаче речь идет о вполне определенном сыпучем материале. При свободном высыпании сыпучего материала в виде кучи, близкой к конусу, крутизна откоса не может быть произвольной. Для каждого сыпучего материала «угол естественного откоса» (угол наклона образующей к плоскости основания конуса) свой; для свежеубранного зерна пшеницы он составляет около 400(энциклопедические данные). Это соображение позволяет упростить решение задачи и найти объем с помощью лишь одного измерения- «перекидки». Очевидно, что V=⅓πR²H =⅓ π (р/2 cos 400 )²(р/2 sin 400 ). После упрощений получаем удобную и достаточно точную приближенную формулу: V=р3/20. Решение практических задач заметно облегчается, если имеется возможность увидеть заданный объект. Но получение алгоритма решения -это только первый шаг. 4. По окончанию численного расчета необходимо соблюдение получения результата в виде целого числа или десятичной дроби с учетом округления. И здесь необходимо руководствоваться здравым смыслом при выборе ответа. Мой интерес к решению практических задач возник деревянный фронтон на здании 3 года назад. Ремонтируя кухни, дедушка попросил меня посчитать, сколько погонных метров планок потребуется, чтобы зашить щели между досками. Мы таких неконкретных задач в школе не решали. Я смутился. Тогда я не смог дать никакого ответа. А сейчас предлагаю один из возможных вариантов решения. / приложение 2 фото 1. / На фото 1 представлен данный фронтон. Ширина досок, которые использовались для обшивки фронтона, одинаковая. Обращаю внимание, что щели между досками на фронтоне можно изобразить вертикальными отрезками. Можно посчитать количество отрезков-щелей. ширина щелей Сумма их длин и является искомой величиной, если считать, что перекрывается планками одинаковой ширины. Можно измерить с помощью рулетки ширину фронтона, считая ее равной ширине дома. Определяем наличие измерительных инструментов: отвеса, рулетки, метровой линейки. Предварительно убедившись, что расположение дома позволяет проводить измерения таким способом. В нашем случае длина фронтона 5 метров=500см, за единицу измерения принимаю 1 сантиметр. Составим математическую модель: крыша- равнобедренный треугольник, с углами при основании 45 градусов, причем наибольшая щель является высотой равнобедренного треугольника. Ширина доски считается примерно равной 30 см. В1 А1 ОА1 =tg45; В1А1=ОА1* tg 45 ; В1А1=ОА1 ; следовательно, 2* tg 45*(ОА1+ОА2+ОА3+ОА4+ОА5+ОА6 )+ОА7=2*(30+60+90+120+150+180+210)+240= 1920 см=19м 20см или необходимо приобрести 20 метров рейки. При ином способе возможно нахождение суммы длин щелей, поочередно измеренных рулеткой. Возможны, очевидно, еще несколько способов решения этой задачи, но я не стану их приводить в данной работе. При изготовлении технических моделей мне встретилась следующая задача: необходимо измерить диаметр цилиндрического вала с помощью штангенциркуля, а оказывается, что измерительные губки штангенциркуля короче радиуса этого вала. Кроме штангенциркуля есть еще линейка с миллиметровыми делениями. Но линейкой измерить диаметр торца вала невозможно, потому что торцы вала недоступны. Расположу штангенциркуль так, как указано на рисунке 1. Найду длину некоторой хорды сечения вала АВ. С помощью линейки определю высоту h измерительных губок штангенциркуля. Прихожу к чисто математической задаче: «Вычислить диаметр круга, если длина его хорды АВ равна l, а длина стрелки СЕ математическая схема / Так как АЕ2 =СЕ*DЕ, то d=h +l2 / 4h равна h». / приложение 2 На уроках технологии мы систематически сталкиваемся с решением задач такого типа. Поэтому нет необходимости искусственно создавать ситуации, при решении которых мы сталкиваемся с задачами без исходных данных. Задачи с практическим содержанием все чаще встречаются на олимпиадах, в заданиях итоговой аттестации Из представленных ранее задач видно, что для решения любой практической задачи, часто не отдавая себе отчета, используется ее «математическая модель». При этом вместо реальных объектов рассматривается их математическая идеализация. Так пол класса - прямоугольник, стакан- цилиндр, ведро- усеченный конус, спичечный коробокпараллелепипед, текстовая задача- система алгебраических уравнений. Всегда особенно интересны задачи, для решения которых приходится обращаться к выбору модели. И в этом заключается ценность собственного поиска решения, умения найти различные способы по выбору модели, с последующим выбором тех параметров, которые необходимо получить при непосредственном измерении. Выбор той или иной модели диктуется рядом факторов: простотой требуемых измерений, требуемой точностью (нужен ответ с максимальной точностью или приемлема прикидка), здравым смыслом, интуицией, опытом математизации задач. Практические способствовали приобретению и накоплению математических потребности людей сведений, которые изначально передавались в устной форме из поколения в поколение. Заключение. Трудно переоценить роль математики в жизни человека, особенно в компьютерных и космических технологий. Эти наш век знания очень объемные, ведь чтобы получить новый результат нужно учесть много факторов. И все эти факторы должны быть получены , и рассчитаны по математическим формулам. Знание математики просто обязательно в реальной жизни. И успешное решение математических, логических и практических задач– верный признак будущей успешности. Цель, поставленную для себя в начале работы, я выполнил. Я рассмотрел прикладные возможности математики, взаимосвязь практических и математических задач, а также доказал практическую значимость математических и геометрических знаний. Моя гипотеза подтвердилась: математика проникает во все сферы человеческой жизни. Математические и практические задачи дают друг другу новые идеи и стимулы, совместно ставят вопросы и помогают найти ответы. По сути, каждую из этих задач можно рассматривать существенным и необходимым дополнением другой. Список литературы М. Б. Балк, В.А. Петров « О математизации задач», Москва, Знание, 1986г Интернет ресурсы: Фестиваль исследовательских и творческих работ учащихся «Портфолио», работа Каташ Дарьи, «Математика и архитектура» город Ижевск,2011 год http://enc-dic.com/enc_math/Matematika-2130/- математическая энциклопедия Приложение 1. С сентября 2008 по май 2013 года я обучался в МБОУ СОШ №1 им. М. Ю. Лермонтова. Научными руководителями были учитель математики Митрофанова Светлана Александровна, учитель технологии Милюхин Алексей Алексеевич. С 1 сентября я обучаюсь в МБОУ СОШ №29 «Гармония» у Опариной Елены Анатольевны, учителя математики, с которой рассматриваем ряд новых практических заданий. Применение умения решать практические задачи для изготовления технических моделей. После участия в конференции. Применение умения решать практические задачи при изготовлении модели «Таблицы умножения»- экзаменатора Под руководством учителя технологии Милюхина Алексея Алексеевича мы с друзьями – одноклассниками изготовили и подарили первой учительнице Бекетовой Л. М. экзаменатор. Мы отобрали более простой из трех вариантов, так как он соответствует т/б, простоте в изготовлении, доступности материалов и затрат. И чтобы он служил прибором для определения разрыва цепи. Возникла необходимость в подготовке к проекту в качестве: планирования изготовления изделия, определения наличия инструментов, проведения экономических расчетов, инструктажа по технике безопасности, актуальности выбора в пользу данной модели и ее практического применения. Результатом работы над творческим проектом «Экзаменатор» считаю Участие с изготовленной моделью в городском слете юных техников, рационализаторов и конструкторов Действующее пособие для учителя Бекетовой Л. М. Применение умения решать практические задачи при изготовлении модели «Токарный станок» Под руководством учителя технологии Милюхина Алексея Алексеевича наша группа из трех человек изготовила токарный станок. По тогам работы учителем технологии был проведен «мастер- класс» по теме: «Электротехнические работы» с нашим участием. Результатом работы над «Токарный станок» считаю: творческим проектом Участие в проведении «мастер-класса» урока технологии по теме: «Электротехнические работы» Участие в детской городской научно- практической конференции «Наука, техника и производство». Приложение 2 Фото 1 Ремонтируя деревянный фронтон на здании кухни, дедушка попросил меня посчитать, сколько погонных метров планок потребуется, чтобы зашить щели между досками. Мы таких неконкретных задач в школе не решали. Я смутился. Тогда я не смог дать никакого ответа. А сейчас предлагаю один из возможных вариантов решения.
