Изучение зависимости коэффициента вязкости жидкости от

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
факультет радиофизики и электроники
кафедра физики
Методические указания
к лабораторной работе
Изучение зависимости
коэффициента вязкости жидкости
от температуры
автор – составитель доцент Данейко И.К.
Утверждено на
заседании кафедры физики
«18 » сентября 2008 г
Протокол № 2
МИНСК 2008
Лабораторная работа № 2
Изучение зависимости коэффициента вязкости жидкости
от температуры.
Цель работы: определить зависимость вязкости воды (или трансформаторного масла) от температуры; определение энергии активации молекул воды (трансформаторного масла) по температурной зависимости ее вязкости.
I. О вязкости.
Явление внутреннего трения (вязкости) в жидкостях (как и в газах) с макроскопической точки зрения связано с возникновением сил трения между слоями жидкости,
перемещающимися параллельно друг другу с различными по величине скоростями.
При перемещении двух соседних слоев жидкости относительно друг друга более
быстрый из них увлекает за собой медленный и в свою очередь тормозится им. Силы
трения, которые при этом возникают, направлены по касательной к поверхности соприкосновения слоев. Ньютон на опыте установил, что модуль силы внутреннего трения между слоями прямо пропорционален площади S их соприкосновения и модулю
градиента скорости |du/dx|:
du
F 
S,
(1)
dx
где  - коэффициент вязкости, физический смысл которого заключается в том, что он
численно равен силе трения, действующей на единицу площади поверхности, паралdu
 1. Из выражения
лельной скорости течения жидкости (или газа) при градиенте
dx
(1) видно, что размерностью величины  является Пас или, что то же самое, кг/(мс).
С микроскопической точки зрения механизмы вязкости газов и жидкостей имеют
существенно разный характер. Это находит отражение в ярко выраженном несходстве
зависимостей их вязкостей от температуры T: для газов вязкость  достаточно медленно увеличивается с ростом температуры (как T ), а для жидкостей – быстро убывает
(как exp Const / T  ).
Приведем общепринятые физические объяснения механизмов вязкости газов и жидкостей, приводящие к указанным зависимостям их от температуры.
Начнем с вязкости газов. С молекулярно-кинетического рассмотрения каждая молекула газа участвует в двух движениях: хаотическом тепловом, средняя скорость которого равна v , и упорядоченного движения со скоростью u, которая много меньше,
чем v .
Пусть в какой-то момент времени два соприкасающихся слоя обладают импульсами
K1 и K2 (для определенности пусть K1 > K2). Эти импульсы не могут оставаться неизменными по причине теплового движения молекул. В результате этого движения молекулы массы m0 из более быстрого слоя K1 переносят с собой больший упорядоченный импульс m0u1 и , сталкиваясь, передают его молекулам более медленно движущегося слоя K2, вследствие чего он увеличивает свой импульс. Наоборот, при переходе
молекул из медленно движущегося слоя K2 в более быстрый слой K1, они приносят в
него меньший упорядоченный импульс m0u2, что приводит к уменьшению упорядоченной скорости этого слоя. Увеличение или уменьшение гидродинамической скоро2
сти слоя газа, согласно второму закону динамики, свидетельствует о наличии силы,
действующей между слоями, которую называют силой внутреннего трения. Следовательно, за счет теплового хаотического движения скорости слоев будут выравниваться, если, конечно, внешними силами не поддерживать разности скоростей слоев.
Из теории явлений переноса следует, что вязкость  для газов определяется следующим соотношением [1, стр. 211]:
1
(2)
  v  ,
3
где  - плотность газа, v - средняя скорость молекул газа, определяемая выражением
[1, стр. 62]:
8RT
(3)
v 
,

а < > - средняя длина свободного пробега молекул, вычисляемая по формуле
[1, стр. 193]:
 
1
.
(4)
2  d 2n
В выражениях (3) и (4) R - газовая постоянная,  - молярная масса газа, d - эффективный диаметр молекулы, n - число молекул в единице объема газа.
Если пренебречь слабой зависимостью эффективного диаметра d от температуры,
то, как видно из (4), при постоянной концентрации n = Const, средняя длина
< > = Const. При этом условии и плотность газа  = nm0 тоже постоянна. Тогда из
трех величин, входящих в правую часть (2), только средняя скорость v зависит от
температуры, а она, в свою очередь, как следует из (3), пропорциональна T . Поэтому
вязкость газов 
T.
Рост вязкости  с ростом температуры ясен из самой сути механизма вязкости, как
переноса молекулами упорядоченной скорости u1 (точнее импульса) слоя в другой
слой, имеющий скорость u2. В самом деле, при большей температуре T возрастает
средняя скорость хаотического движения молекул. Поэтому в единицу времени большее число молекул перейдет из одного слоя в другой, перенеся больший упорядоченный импульс, что, согласно второму закону динамики, соответствует большей силе
трения, подействовавшей на слой.
Перейдем к выяснению отличительных особенностей вязкости жидкостей. Строгой
теории вязкости жидкостей еще нет. Однако существует теоретическая модель, хорошо качественно описывающая свойства вязкости.
Сразу отметим, что механизм вязкости в жидкостях, в отличие от газов, существенным образом определяется силами взаимодействия молекул, так как жидкости характеризуются почти такой же плотной упаковкой молекул как и твердые тела. На последнее обстоятельство указывает ряд опытных фактов, одним из которых является то,
что при плавлении (кристаллизации) плотность большинства веществ изменяется незначительно, приблизительно на 7  12% (табл. 1), что соответствует изменению среднего расстояния между молекулами примерно на 3%.
3
Плотность (в кг/м3) металлов в твердом (при 20С) и жидком (при температуре
плавления) состояниях.
Таблица 1.
Вещество
твердое жидкое
изменение
плотности в %
Алюминий
2 700
2 400
11
Висмут
9 800
10 030
-2,3
Железо
7 880
7 230
8,3
Золото
19 310
17 240
10,8
Олово
7 300
6 800
7
Свинец
11 350
10 500
7,5
Серебро
10 500
9 300
11,5
Жидкости занимают промежуточное положение между газами и кристаллами не только по своей молекулярной структуре, но и по характеру своего теплового движения.
По общепринятой в настоящее время теории, тепловое движение в жидкостях, как и в
кристаллах, в основном сводится к беспорядочным колебаниям молекул около некоторых положений равновесия. Но в отличие от твердых тел равновесные положения,
около которых эти колебания совершаются, не остаются неизменными, а время от
времени меняются. Иначе говоря, каждая молекула в жидкости через некоторое время
меняет свое положение равновесия, перемещаясь на расстояние порядка межмолекулярных расстояний  1010 м  .
Такое поведение молекулы в жидкости физически обусловлено тем, что в жидкостях, как и в кристаллах, каждая молекула находится в потенциальной яме электрического поля, создаваемого окружающими молекулами. Как известно из опыта, молекулы колеблются со средней частотой 1012 гц, близкой к частоте колебаний атомов в
кристаллических телах, и с амплитудой, определяемой размерами объема, предоставленного ей соседними молекулами. Глубина потенциальной ямы в жидкостях больше
средней кинетической энергии колеблющейся молекулы, поэтому молекулы колеблются вокруг более или менее стабильных положений равновесия. Однако у жидкостей различие между этими двумя энергиями невелико, так что молекулы нередко выскакивают из своей потенциальной ямы и занимают место в другой.
Следовательно, чтобы перейти в новое положение, молекула должна преодолеть
участки с большой потенциальной энергией, превышающей среднюю тепловую энергию молекул. Для этого тепловая энергия молекул, которая порядка kT, должна (вследствие флуктуаций) увеличиться на некоторую величину  a , называемую энергией активации.
Переходы молекул из одного положения равновесия в другое, очевидно, происходят
тем реже, чем больше энергия активации и ниже температура жидкости.
Время, в течение которого молекула жидкости колеблется около данного положения
равновесия, называется временем  оседлой жизни молекулы. Это время различно
для разных молекул, но среднее его значение < > оказывается у каждой жидкости при
данных температуре и давлении вполне определенной величиной.
4
Время оседлой жизни  молекулы в жидкости, очевидно, тем меньше, чем меньше
энергия активации  a и чем выше температура T жидкости. В свою очередь, энергия
активации  a тем меньше, чем меньше упорядоченность в размещении молекул и чем
слабее молекулярные силы.
Нетрудно установить зависимость среднего времени оседлой жизни молекулы от
энергии активации и температуры жидкости:
 
(1)
   0 exp  a  ,
 kT 
где  0 - средний период колебательного движения частиц данной жидкости, а k - постоянная Больцмана.
В самом деле, пусть  есть среднее число скачков молекулы в единицу времени из
, а
ний молекулы около своего положения равновесия  
одного положения равновесия в другое

 1/ 
 0 - средняя частота колеба-
 1/  0 . Каждое колебание
можно рассматривать как «попытку» молекулы совершить скачок; поэтому величину
 0 с вероятностной точки зрения можно трактовать как общее число всех равновозможных случаев для совершения молекулой скачка в единицу времени, а  - как
число случаев, благоприятствующих наступлению этого события. Поэтому, по определению, вероятность того, что при одном колебании молекула совершит скачок,


(2)
P
 0 ,
0

т. е. она равна отношению времени  0 одного колебания к среднему времени 
пребывания молекулы в данном месте жидкости.
С другой стороны, вероятность молекуле приобрести энергию  a , достаточную для
скачка, определяется законом распределения Больцмана:
P  exp  a /  kT  . Подставляя последнее выражение в (2), получим формулу (1).
Очевидно, что чем реже происходят скачки молекул, т. е. чем больше время их
оседлой жизни  , тем менее жидкость текуча), а значит, является более вязкой. Поэтому ясно, что вязкость жидкости должна быть пропорциональна этому времени, т. е.
(3)
    0 exp  a /  kT  .
Или окончательно
 
  A exp  a  ,
(4)
 kT 
где A – коэффициент, слабо изменяющийся с температурой по сравнению с
exp  a /  kT  . Поэтому без большой ошибки величину A можно считать константой.
Из формулы (4) следует, что вязкость жидкости с повышением температуры должна
резко уменьшаться. Если отложить на графике логарифм вязкости ln в функции 1/T,
то, согласно (4), должна получиться прямая линия, уравнение которой можно записать
в виде ln = C*(1/T)+D, где угловой коэффициент, или коэффициент пропорциональности C= εa/k, D – коэффициент, который при необходимости может быть определен
0
)
Текучесть жидкости определяется величиной, обратной вязкости, т. е. текучесть равна 1/.
5
методом наименьших квадратов. Зная коэффициент пропорциональности C, можно
определить энергию активации молекулы  a исследуемой жидкости по формуле
εa = C*k.
(5)
Измерение вязкости жидкости вискозиметром Оствальда-Пинкевича.
Для исследования температурной зависимости вязкости жидкости в данной работе
используется относительный метод, в котором вязкость исследуемой жидкости сравнивается с вязкостью другой жидкости, вязкость которой 0 известна. Для измерений
используется простой прибор – вискозиметр Оствальда-Пинкевича, изображенный на
рис. 1. Измерения состоят в том, что сравниваются времена протекания одинаковых
объемов исследуемой жидкости и жидкости с известным 0 через один и тот же капилляр.
Рис. 1
Вискозиметр Оствальда-Пинкевича (рис. 1) представляет собой U – образную стеклянную трубку, одно колено которой содержит два уширения 1 и 2 и имеет капилляр 3.
Другое колено представляет собой широкую трубку с резервуаром 4. Сверху и снизу
расширения 2 нанесены метки a и b. Объем жидкости между этими метками имеет
определенную величину V.
В вискозиметр заливают строго определенное количество жидкости, так как от ее
объема зависит разница уровней жидкости в обоих коленах и, следовательно, скорость
течения u, которая должна быть такой, чтобы движение жидкости в капилляре было
строго ламинарным. (При ламинарном течении число Рейнольдса Re  uR  /  , где u –
средняя скорость течения жидкости в капилляре, должно быть меньше 1000.) В этом
приборе необходимое количество жидкости отмеривают с помощью самого вискози6
метра, для этого его переворачивают, опускают колено 5 в исследуемую жидкость и
подтягивают её с помощью шприца, вставленного в резиновую трубку 8, до метки b.
Если левое колено вискозиметра наполнено исследуемой жидкостью, то измеряя
время t истечения её из объёма V через капилляр 3, можно, используя формулу Пуазейля, найти коэффициент вязкости :
 r 4Pt
(6)

,
8lV
где P – разность давлений на концах капилляра 3, r, l – его радиус и длина соответственно.
Формула (6) справедлива лишь для ламинарного течения жидкости через капилляр.
В вискозиметре Оствальда-Пинкевича диаметр капилляра и перепад давления на нём
подобраны так, что течение жидкости в капилляре всегда является ламинарным.
Для расчёта процесса течения жидкости через капилляр воспользуемся формулой
Пуазейля, записанной в виде:
 r 4 P
V
t.
(7)
8 l
Разность давлений P = Pb – Pa в вискозиметре зависит, очевидно, от уровня жидкости в уширении 2 и во время опыта непрерывно меняется. Тогда как при выводе формулы (7) предполагалось, что сами давления Pa и Pb, а также их разность P строго
постоянные величины. Поэтому формулу (7) нужно применять к небольшим отрезкам
времени dt, в течение которых указанные давления можно с высокой точностью считать постоянными. Если обозначить через V(t) объём жидкости в уширении 2 в момент
времени t, то бесконечно малое изменение объёма dV за время dt, очевидно, будет отрицательной величиной. Поэтому формулу (7) можем для бесконечно малых промежутков времени записать в виде:
 r 4 P
 dV 
dt.
(8)
8 l
Разность давлений P равна  gh(V ) , где  – плотность жидкости, а h – высота её
столба. Эта высота, очевидно, однозначно связана с объёмом V(t) жидкости в уширении 2. Конкретный вид зависимости h(V) определяется геометрией сосуда. Она нам не
понадобится. Важно, однако, понимать, что функция h(V) для заданного сосуда имеет
вполне определённый вид и не зависит от рода заполняющей уширение 2 жидкости.
С учётом сказанного формулу (8) можем представить в виде:
8l dV
g
(9)

dt.
4
 r h(V )

Проинтегрируем это уравнение от начальных условий V = V0 при t = 0 до конечных
V = V1 при t = t1:
V
t
8l 1 dV
g 1

dt.
(10)
 r 4 V0 h(V )  0
Теперь ясно, что стоящее слева выражение и представляющее собой определённый
интеграл является просто некоторым числом (константой), которое полностью определено, если задана геометрия установки, а также начальный V0 и конечный V1 объёмы
жидкости в уширении 2. Поэтому
7
g
t  Const

(11)
и справедливо для любой жидкости.
Таким образом, при измерениях с разными жидкостями (или одной и той же жидкостью, но при разных температурах) из выражения (11) следует, что
1


t1  2 t2  3 t3  ...
1
2
3
(12)
Производя опыты сначала с жидкостью с известной вязкостью (индекс 0), а потом с
исследуемой жидкостью (индекс x), найдём из (12):
 t
(13)
 x  0 x x .
 0 t0
Эта формула является окончательной.
III. Задание к работе
С помощью вискозиметра определить температурную зависимость вязкости воды
или трансформаторного масла в интервале от комнатной температуры до 70°С. С помощью этой зависимости найти энергию активации молекул воды (трансформаторного
масла).
Вискозиметр помещается в термостат 6 с водой, температура которой изменяется с
помощью электронагревателя 9. Контроль температуры осуществляется двумя спиртовыми термометрами 10 и 11, показания которых при каждом измерении времени вытекания жидкости, заключённой между метками а и b (рис. 1), должны быть одинаковыми (для этого воду в термостате надо тщательно перемешивать).
IV. Порядок выполнения работы
1. На резиновую трубку 8 надеть шприц 7 и поднять жидкость, налитую в вискозиметр так, чтобы она частично заполнила резервуар 1.
2. С помощью секундомера измерить время t0 протекания жидкости между метками
а и b при комнатной температуре T0.
3. Аналогичные измерения времени tx провести на других температурах Tx через 5 К.
4. По формуле (13) рассчитать вязкость x , взяв из таблиц 0 и 0 при температуре
T0, а x при температуре Tx.
5. Построить график зависимости ln от 1/T.
6. По угловому коэффициенту C прямой ln (1 / T ) с помощью формулы (4) определить энергию активации молекул исследуемой жидкости.
7. Оценить погрешность полученных результатов.
8
V. Контрольные вопросы
1. Объяснить физически, почему вязкость жидкости с ростом температуры падает, а
вязкость газов растёт?
2. Из рассмотренной модели жидкости следует, что для перескока молекулы в соседнее место «оседлой жизни» должны быть разорваны её связи с соседними молекулами. Разрыв связей происходит и при испарении жидкости. Поэтому можно ожидать, что энергия активации молекулы близка к энергии кипения жидкости, приходящейся на одну молекулу. При этом диапазон значений, в котором должна лежать
величина энергии активации, очевидно, должен быть расположен от теплоты плавления до теплоты испарения, рассчитанные на одну молекулу жидкости. Подтверждают ли этот вывод результаты проведённого опыта? Значения энергий плавления
и испарения взять из справочника.
VI. Литература
1. Данейко И. К. Молекулярная физика. Мн., 2006.
9