Тестовое задание

Тестовое задание
Привести к каноническому виду уравнение лини второго порядка, определить тип линии,
построить график
 9  66 x  7 x 2  60 y  20 xy  32 y 2  0
Решение.
 9  66 x  7 x 2  60 y  20 xy  32 y 2  0
7 x 2  20 xy  32 y 2  66 x  60 y  9  0
(A = 7, B = 10, C = -32, D = -33, E = 30, F = -9)
Выясним сначала, какая кривая – распадающаяся на пару прямых или нераспадающаяся. Признак
распадения:
A B D
 B C
D E
7
E 0
F
10
 33
  10  32 30  7(288  900)  10(90  990)  33(300  1056)  24948  0
 33 30
9
Следовательно, у нас нераспадающаяся линия второго порядка – эллипс, гипербола или парабола:
A B
 0 - парабола,
- при  
B C
A B
 0 - эллипс,
- при  
B C
A B
 0 - гипербола.
- при  
B C

7 10
 224  100  324  0 , следовательно, наша кривая – гипербола.
10  32
Найдем центр гиперболы
 Ax0  By 0  D  0; A B
0

Bx

Cy

E

0
,
B
C
0
0

D B
 33 10
E C
30  32 1056  300 756 189
19
x0  




2
A B
 324
324
324 81
81
B C
A D
7  33
B E
10 30
210  330 540 135
54
y0  




1
A B
 324
324
324 81
81
B C
19 54
Центр гиперболы О’ ( 2 ; 1 ).
81 81
1
Найдем канонический вид кривой. Чтобы упростить преобразования, совершим перенос начала
координат в центр гиперболы (исчезнут члены первой степени), а затем поворот осей (исчезнет
член, содержащий xy). Угол  поворота определяется по формуле:
2B
tg 2 
.
AC
189
135
Переносим начало в центр x 0 
.
; y0 
81
81
С помощью формул переноса
189

 x  81  x 
 x  x0  x 
 

 y  y0  y 
 y  135  y 

81
Получаем
2
2
 189

 189
 135

 135

 189

 135

7
 x    20
 x  
 y    32
 y    66
 x    60
 y  9 
 81

 81
 81

 81

 81

 81

189
 35721 378

 25515 135

 18225 270

 7

x   x  2   20

x 
y   x y    32

y  y2  
81
81
81
81
 6561

 6561

 6561

12474
8100
250047 2646
510300 2700
3780

 66 x  
 60 y   9 

x  7 x 2 

x 
y   20 x y  
81
81
6561
81
6561
81
81
583200 8640
4374
 2646 2700



y   32 y  2 
 66 x   60 y   9  7 x  2  20 x y   32 y  2  x 

 66  
6561
81
81
81
 81

 3780 8640
 250047 510300 583200 4374
 y 

 60  



9 
81
6561
6561
6561
8
 81

 7 x  2  20 x y   32 y  2  0  x   0  y   36
7 x 2  20 xy   32 y  2  36  0
Формулы поворота
 x   x cos   y sin 

 y   x sin   y cos 
2B
20
tg 2 

.
A  C 39
1
cos 2 

1  tg 2 2
1  cos 2
sin  

2
cos  
1  cos 2

2
1
1
1
1
400
1521
39

1921

2
(*)
1
1921
1521

1521
39

1921
1921
1921  39
2 1921

1
39

2 2 1921

1
39

2 2 1921
39
1921

2
1921  39
2 1921
Формулы преобразования принимают вид:
2

1
39

x
x 
2 2 1921


 y   1  39 x 

2 2 1921

1
39

y
2 2 1921
1
39

y
2 2 1921
Для удобства вычислений, пусть a 
1
39

; b
2 2 1921
1
39
.

2 2 1921
Подставим в (*)
7ax  by   20ax  by bx  ay   32bx  ay   36 
2

2


 
 64ab   y 7b

 7 a 2 x 2  2abx y  b 2 y 2  20 abx 2  a 2 x y  b 2 x y  aby 2  32 b 2 x 2  2abx y  a 2 y 2  36 



 x 2 7a 2  20ab  32b 2  x y  14ab  20a 2  20b 2
2
2

(**)
 20ab  32a 2  36
Для удобства вычислим отдельно коэффициенты при x 2 , y 2 .
Коэффициент при xy равен 0.
Коэффициент при x 2 :
2
2
 1
 1
39 
1
39
1
39
39 
  20


7 a  20ab  32b  7





32


 2 2 1921  
2
2
2
2
1921
2
1921
2
1921




2
2
1
39 
 7 
  20
 2 2 1921 

1
1
39  1
39 
39 
 
 
  32 
 
 2 2 1921  2 2 1921 
 2 2 1921 
7
7  39
1 39  39
32  39
39  39
400
25
1921
25

 20

 16 






2 2 1921
4 4  1921
2 1921 2 1921 2 1921 2
2 1921 2
1921  25
2

Коэффициент при y 2 :
2
2
 1
 1
39 
1
39
1
39
39 
  20
 
7b  20ab  32a  7




 32



2
2
2
2
2
1921
2
1921
2
1921
2
1921




2
2
1
39 
 7 
  20
 2 2 1921 

1
1
39  1
39 
39 
 
 
  32 
 
 2 2 1921  2 2 1921 
 2 2 1921 
7
7  39
1 39  39
32  39
39  39
400
25
1921
25

 20

 16 






2 2 1921
4 4  1921
2 1921
2 1921 2 1921 2
2 1921 2
1921  25
2
Подставим в (**) и получим

1921  25 2
1921  25 2
x 
y  36
2
2
1921  25 2
1921  25 2
x 
y 1
72
72
3
x2
72
1921  25
a2 
b2 
y2
72

 1 - канонический вид кривой второго порядка.
1921  25
72
1921  25
72
 3,82; a  1,96.
 1,05; b  1,02.
1921  25
c 2  a 2  b 2  3,82  1,05  4,87; c  2,21.
2c – фокусное расстояние.
Постоим график кривой
x2
72
1921  25

y2
72
1.
1921  25
4