L2-5

Движение заряда в однородном магнитном поле.
Пусть заряд q массой m влетает под углом α в однородное магнитное поле с индукцией B .
Определим закон движения частицы. Ось Z прямоугольной координатной системы направим по
B - B (0,0,В),
так чтобы вектор скорости
v0
лежал в плоскости XY (рис. 2.10). Начальными
условиями движения в этом случае будут:
v0 x  v0 sin  , v0 y  0, v0 z  v0 cos  .
(2.40)
Во-первых, рассмотрим движение в рамках ньютоновской механики. Уравнение движения
m
dv
 q  vB  .
dt
(2.41)
в избранной системе координат примет следующий вид:
dv
dvx qB
dv
qB
 vy , y 
vx , z  0 .
dt m
dt
m
dt
Исключив из первых двух уравнений
vx  B2 vx  0 ,
где
B  qB / m
(2.42)
v y , для vx получим уравнение гармонических колебаний
называется
циклотронной
частотой
заряда.
Учитывая
начальные условия для скорости (2.40), для решений уравнения (2.42) получим
vx  v0 x cos B t ;
v y   v0 x sin B t ; vz  v0 z .
(2.43)
Интегрируя скорости по времени, получим закон движения частицы
x  t   R sin B t; y t   R  cos Bt 1; z  v0 z t ,
(2.44)
где
R
v0 x
B

m
v0 x .
qB
(2.45)
Частица в плоскости XY, перпендикулярной магнитному полю, совершает вращательное
движение с частотой
 B . Радиус окружности дается формулой (2.45) (циклотронный радиус).
По направлению магнитного поля частица совершает равномерное движение. Результирующее
движение происходит по спирали (рис. 2.10).
рис.2.10
Заметим, что магнитное поле, искривляя в перпендикулярном к себе направлении движение
частицы, оставляет без изменений модуль скорости этой частицы. Это можно показать, скалярно
умножив уравнение (2.41) на v и учитывая, что
dv m dv 2
mv 
 qv  vB   0,
dt 2 dt
откуда следует результат v2 = const. Это справедливо также в релятивистской механике.
Действительно,
частицы
скалярно
умножив
уравнение
dp
 q  vB 
dt
на
релятивистский
импульс
p , снова получим
1 dp 2
mv[vB]
 qp  vB   q
 0.
2 dt
1 v 2 / c 2
Значит, в задаче движения заряда в магнитном поле в релятивистском уравнении движения
член
1 v 2 / c 2
можно вынести из-под знака дифференциала:
m
dv
 q[vB].
1 v 2 / c 2 dt
Если частица движется в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, то на основании
последнего уравнения легко показать, что частица опять-таки совершает вращательное
движение с частотой
c 
qB qB

1 v 2 / c 2
m(v) m
,
(2.46)
которая отличается от аналогичной классической величины тем, что в знаменателе
фигурирует релятивистская масса частицы. Зависимость циклотронной частоты заряда от
скорости (3.47) были подтверждены опытами на ускорителях по ускорению зарядов.
Циклотронный радиус релятивистской частицы в магнитном поле выразится формулой
R
v

mv
c qB 1 v 2 / c 2
Эта формула позволяет при помощи измерения
гарантированно определять его релятивистский импульс.

p
.
qB
циклотронного
(2.47)
радиуса
частицы
Падение шарика без начальной скорости в вязкой среде.
На частицу, двигающуюся в вязкой жидкости, действует сила трения, зависящая от
скорости. Она направлена против движения и в простейшем случае выражается формулой
Стокса
F   k1v,
где
R
– радиус шарика,

k1  6 R ,
– коэффициент вязкости жидкости.
(2.48)
Уравнение движения шарика, вертикально падающего в жидкости, будет
m
dv
 mg  k1v .
dt
(2.49)
Предполагая v(0)=0 и интегрируя это уравнение, получим
k
 
mg 
v t  
1 e m  .

k1 

1
Следовательно, скорость шарика
приближается к граничной величине
возрастает по
v 
(2.50)
экспоненциальному
закону
и быстро
mg
.
k1
Теоретически равномерное движение с граничной
бесконечно большое время. Но на практике через время
скоростью
устанавливается
m
m
2 R2
 
 
k1 6 R 9 
(2.51)
скорость шарика можно считать постоянной. В формуле характерного времени (2.51)
плотность материала шарика. В глицерине ( 
шарика радиусом
R  1см   0 , 1 3c .
 14 г / см  с )
через
для стального ( 

–
 8 г / см
3
)
То есть, стабилизация скорости происходит довольно
быстро.
рис.2.11
График на рис. 2.11 показывает зависимость скорости от времени, откуда ясно виден процесс
установления скорости.