К основам теории упруго вязкопластического деформирования и

2008
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА
Том 44, № 2
УДК 539.3
© 2008
Л.П.Хорошун
К ОСНОВАМ ТЕОРИИ УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОГО
ДЕФОРМИРОВАНИЯ И УПРОЧНЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ
Введение. Достоверность теоретического исследования закономерностей упруговязкопластического поведения элементов конструкций при силовых и температурных
воздействиях требует прежде всего построения адекватных определяющих уравнений
или модели, устанавливающей зависимости между динамическими и кинематическими параметрами с учетом физических явлений, сопровождающих упруговязкопластическое деформирование. К таким явлениям относятся температурный нагрев вследствие диссипации механической работы, переход части механической работы в скрытую энергию деформации, упрочнение материала, эффект Баушингера, явления последействия, отдых материала, зависимость упрочнения от скоростей неупругих деформаций. Одним из наиболее существенных критериев адекватности и корректности
сложной модели является принцип ее согласованности с простыми моделями, обобщением которых она является. В рассматриваемом случае это значит, что из определяющих уравнений модели упруговязкопластического деформирования как частные
или предельные случаи должны следовать модели упругого деформирования, вязкого
течения и пластического деформирования.
В последнее время в теории и задачах упруговязкопластичности достаточно широкое применение получила модель Боднера – Партома [7, 8, 12 – 15, 20 – 23], где
наряду с напряжениями и деформациями вводятся внутренние переменные, описывающие изотропное и направленное упрочнение, для которых формулируются эволюционные уравнения. В определяющих уравнениях данной модели деформации равны
сумме упругой и неупругой частей, причем скорости неупругих деформаций задаются
в виде отрицательно-экспоненциальной функции от отношения суммы параметров
упрочнения к напряжениям. Серьезным недостатком этой модели является несоблюдение принципа согласованности, так как в частном случае при равных нулю параметрах упрочнения из определяющих уравнений не следует закон вязкого течения.
Описание упрочнения без общепринятой связи с поверхностью текучести и отсутствие физического обоснования эволюционных уравнений для параметров упрочнения также не дают оснований считать модель адекватной известным представлениям
о реальных процессах и их описании. Естественно, это не дает оснований считать достоверными решения задач, базирующихся на данной модели.
Более логичное и физически обоснованное построение определяющих уравнений
упруговязкопластического деформирования материалов с учетом сопровождающих
их явлений можно осуществить на основе законов и методов термодинамики. Общие
принципы такого построения были приведены в работах [9 – 11], посвященных термодинамическому обоснованию реологических зависимостей, общих вопросов пластичности и упрочнения материалов. Исходными здесь являются две формы уравнений закона сохранения энергии для элементарного объема. Первая форма – это равенство скорости изменения внутренней энергии сумме мощностей работы действительных напряжений, действующих со стороны окружающей среды, на действительных
деформациях и притока тепла извне. Вторая форма – это так называемое уравнение
Гиббса, характеризующее собой возможность совершения элементарным объемом
элементарной механической работы за счет накопленной энергии упругих деформаций и выделения элементарного тепла за счет уменьшения энтропии. На основе этих
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2008, 44, № 2
3
уравнений построено уравнение баланса энтропии и найдены выражения термодинамических сил и потоков. Исходя из зависимостей между термодинамическими силами
и потоками, которые следуют из неотрицательности возникновения энтропии, получен общий вид реологических соотношений при отсутствии внутренних переменных.
С позиций термодинамики пластичность, как и ползучесть, трактуется как нелинейность связи между скоростями неупругих деформаций и напряжениями, а поверхность текучести – как поверхность равного уровня скорости рассеяния энергии. При
этом, согласно обобщенному принципу Онзагера, в пространстве напряжений скорости неупругих деформаций нормальны к поверхности равного уровня скорости рассеяния энергии. Пластичность отличается от ползучести только высокими скоростями
неупругих деформаций. Для описания явлений упрочнения, отдыха материала, перехода части механической работы в скрытую энергию деформации, зависимости
упрочнения от скоростей неупругих деформаций вводятся внутренние сопряженные
термодинамические параметры, названные упрочнением и напряженностью упрочнения. Согласно теореме Кюри эти параметры являются тензорами второго ранга.
В настоящей работе дано развитие термодинамического и статистического методов построения определяющих уравнений упруговязкопластического деформирования и упрочнения материалов. На основе закона сохранения энергии в виде равенства
приращения энергии как сумме элементарных работы и количества тепла, передаваемых внешней средой системе (элементарному объему), так и сумме элементарных
работы и количества тепла, которые система может передать внешней среде, строятся
уравнения баланса энтропии и возникновения энтропии при однородном деформировании системы и при наличии самоуравновешенных внутренних микронапряжений,
характеризуемых сопряженными параметрами упрочнения. Зависимости между термодинамическими потоками и силами, вытекающие из неотрицательности возникновения энтропии и удовлетворяющие обобщенному принципу Онзагера, а также соотношения термоупругости и выражение для энтропии, следующие из закона сохранения энергии, образуют общие определяющие уравнения упруговязкопластического
деформирования и упрочнения. Конкретные определяющие уравнения получены на
основе представления скорости рассеяния энергии, определенный уровень которой
отождествляется с поверхностью текучести, в виде суммы двух слагаемых, описывающих трансляционное и изотропное упрочнения, а также аппроксимации их непрерывными зависимостями в форме степенного закона, закона гиперболического синуса
и кусочно-непрерывными зависимостями в форме степенного закона.
Исходя из стохастических микроструктурных представлений, проводится построение определяющих уравнений упруговязкопластического деформирования и упрочнения, в основу которого положены линейная модель термоупругости и нелинейная
модель Максвелла соответственно для шаровых и девиаторных составляющих микронапряжений и микродеформаций. Решение задачи об эффективных свойствах и
напряженно-деформированном состоянии трехкомпонентного стохастически неоднородного материала, построенное с применением комбинированной схемы Фойхта –
Рейсса, приводит к определяющим уравнениям, совпадающим по форме с аналогичными уравнениями, построенными термодинамическим методом.
§1. Термодинамика деформирования. Построение физически обоснованных
определяющих уравнений упруговязкопластического деформирования материалов с
учетом связанных с ним физических явлений целесообразно проводить на основе законов и методов термодинамики. Плодотворность такого подхода проявилась еще при
построении общих уравнений теории упругости [5], где зависимости между напряжениями, деформациями и температурой определяются на основе метода термодинамических потенциалов. Развитие теории термодинамики необратимых процессов [3]
позволило применить ее методы к обоснованию и описанию неупругого деформирования [11]. При этом существенную роль играет построение единой теории термодинамики деформирования для обратимых и необратимых процессов, сущность которой
при механических и тепловых процессах сводится к следующему.
4
Известно [5], что для бесконечно малого элемента сплошной среды представляющего собой закрытую термодинамически однородную локальную систему, закон сохранения энергии при наличии только механических и тепловых процессов (т.е. деформирования и теплопередачи) представляется в виде
u   ijij  qi,i ,
(1.1)
где u – плотность внутренней энергии;  ij , ij – соответственно тензоры действительных напряжений и деформаций; qi – вектор действительного теплового потока.
Уравнение (1.1) представляет собой только одну сторону закона сохранения энергии, утверждающую, что сумма мощности механической работы, совершаемой окружающей средой над системой, и теплового потока со стороны окружающей среды
идут на приращение внутренней энергии системы. Это уравнение необходимо дополнить второй стороной закона, дающей определение понятия внутренней энергии.
Внутренняя энергия рассматриваемой системы при условии отсутствия внутренних
микронапряжений и других физических процессов представляет собой возможность
системы совершить над окружающей средой некоторую механическую работу и отдать некоторое количество тепла. Эта возможность связана с тем, что со стороны системы на окружающую среду действуют некоторые напряжения  ijc , обусловленные
накопленными упругими деформациями, и температура T системы отлична от абсолютного нуля. Поэтому внутреннюю энергию системы u в некоторый момент времени можно определить как сумму работы, которую система произвела бы, и количества
тепла, которое из нее выделилось бы, при квазистатическом [1] снятии напряжений от
 ijc до нуля и понижении температуры T до абсолютного нуля (индекс " c " указывает на квазистатичность деформирования). При этом работа сопровождается упругим
деформированием элемента на величины  ije , а отданное количество тепла – изменением энтропии на величину  , т.е. для элементарного изменения внутренней энергии
справедливо уравнение
du   ijc d  ije  Td  .
(1.2)
Уравнение (1.2) представляет собой обобщение на случай деформируемого твердого тела известного уравнения Гиббса [3] для вязкой жидкости
(1.3)
du   pdv  Td ,
где p – давление; v – удельный объем.
Внутренняя энергия u является функцией одной из совокупностей параметров
c
 ij , T ;  ije ,  ;  ijc ,  ;  ije , T . Если взять за независимые параметры величины  ije ,
T , то, вводя свободную энергию f  u  T , из уравнения (1.2) получим зависимости
 ijc 
f
;
 ije

f
.
T
(1.4)
На основе (1.1), (1.2) путем исключения u можно составить уравнение баланса
энтропии, которое запишем в таком виде:




qiT,i
1
1 c
 qi 
c
e
   ij   ij ij   ij ij  ij  2 .
T
T
 T ,i T
  
(1.5)
qi
– это
T
вектор потока энтропии извне, то возникновение или производство энтропии в системе в единицу времени определяется выражением
Здесь возможен определенный произвол при комбинации слагаемых. Так как
5





qT
1
1
 ij   ijc ij   ijc ij  ije  i 2,i ,
T
T
T
(1.6)
т.е. при таком представлении термодинамическими силами и потоками являются соT
1
1 c
ответственно величины
 ij   ijc ,
 ij ,
 ,2i и  ij ,  ijp   ij   ije , qi . Из
T
T
T
неотрицательности возникновения энтропии  следует, что термодинамические силы и потоки не могут быть произвольными, поэтому между ними существуют функциональные зависимости, которые из физических соображений принимаются взаимнооднозначными.
В общем случае зависимости между термодинамическими потоками и силами
можно представить в виде






c
c
c
c
ij  1ij  mn   mn
;  mn
; T,k ;  ijp   2ij  mn   mn
;  mn
; T,k ;


c
c
qi  i  mn   mn
;  mn
; T,k ,
(1.7)
куда в качестве параметров могут выходить также величины ij ,
, T . Если зависимости (1.7) линейные, то матрица связи между термодинамическими потоками и
силами должна быть симметричной согласно принципу Онзагера. В случае нелинейных зависимостей (1.7) принимаем обобщенный принцип Онзагера [24] в виде утверждения, что в пространстве сил (потоков) потоки (силы) нормальны к поверхности
равного уровня скорости рассеяния энергии, т.е. для потоков имеем выражения
D
D
D
.
(1.8)
 ij  g
;
 ijp  g c ;
qi   g
c
T,i
 ij
  ij   ij
 ije


Здесь D  T  – скорость рассеяния энергии, являющаяся функцией термодинамических сил  ij   ijc ;  ijc ; T,i , причем коэффициент пропорциональности определяется
формулой
1

D
D c D T,i 
c
(1.9)
g




 ij 
D.
ij
ij
T,i T 
   ij   ijc
 ijc


Если из соотношений (1.4) и первых двух (1.7) исключить величины  ijc ,  ije ,  ije ,




то получим общие нелинейные реологические зависимости для рассматриваемого
тела, имеющие вид
f ij   mn ;  mn ;  mn ;  mn ; T,k ; T,k ; T ; T   0 .
(1.10)
В одномерном случае при постоянной температуре из (1.10) следует трехэлементная реологическая модель Джеффриса (рис.1).
Если деформирование происходит квазистатически,
т.е.  ij   ijc , то в (1.7) остаются только второе и третье
соотношения. Тогда исключение величин  ije ,  ije из (1.4) и
второго уравнения (1.7) приводит к соотношениям
 ij  mn ;  mn ;  mn ; T,k ; T   0 ,
(1.11)
из которых в одномерном случае при постоянной температуре следует двухэлементная модель Максвелла.
В случае  ijp  0 в (1.7) остаются только первое и третье соотношения. Тогда исключение величин  ijc из (1.4) и
Рис. 1
6
первого уравнения (1.7) приводит к соотношениям
 ij  mn ;  mn ;  mn ; T,k ; T   0 ,
(1.12)
из которых в одномерном случае при постоянной температуре следует двухэлементная модель Фойхта.
Основным эффектом пластического деформирования является возникновение
остаточных деформаций  ijp   ij   ije , поэтому можно принять, что деформирование
происходит квазистатически

ij
  ijc

и пренебречь теплопроводностью
 qi  0 .
Тогда из (1.8), (1.9) следуют зависимости
 ijp  g
D
;
 ij
1
 D

g 
 ij  D ,
  ij



(1.13)
которые одинаково относятся к явлениям пластичности и ползучести. Различие между
ними состоит только в отношении величин  ijp к  ij . При условии  ijp   ij будут
наблюдаться явления ползучести. В случае  ijp   ij или  ijp   ij процесс неупругого
деформирования будет кратковременным, т.е. будут наблюдаться мгновенные пластические деформации.
Зависимости (1.13) дают возможность определить поверхность текучести. Так как
в процессе нагружения заметные остаточные деформации наблюдаются, начиная
только с некоторых значений напряжений, то это свидетельствует о том, что в
окрестности указанных напряжений происходит резкое изменение скоростей  ijp от
значений значительно меньших  ij до значений сравнимых и превосходящих  ij . Поэтому поверхность текучести можно определить как условную поверхность в пространстве напряжений, отделяющую совокупность напряжений, при которых с принимаемой степенью точности величинами  ijp можно пренебречь, от напряжений, при
которых  ijp сравнимы с  ijp или их превосходят.
При термодинамическом подходе мерой отклонения пластического состояния материала от упругого является скорость рассеяния энергии D , поэтому наиболее естественно принять за поверхность текучести одну из поверхностей семейства D  const ,
т.е. пренебречь скоростью рассеяния энергии, меньшей некоторого значения. Из этого
условия как частные случаи следуют условия текучести Мизеса и Мизеса – Шлейхера. Так как в зависимости между термодинамическими потоками и силами в качестве
параметров могут входить неупругие деформации  ijp , то представлением поверхно-


сти текучести в виде D  ij ,  ijp  const можно описать законы изотропного и трансляционного упрочнения [6]. Возникновение анизотропии в материале при пластических деформациях можно в определенной степени описать зависимостью D от совместных инвариантов тензоров  ij и  ijp .
§2. Термодинамика деформирования и упрочнения. Хотя введение тензора  ijp
в зависимости между  ijp и  ij дает формальную возможность описать изотропное и
кинематическое упрочнение, однако оно не описывает такие реальные явления, сопровождающие пластическое деформирование, как отдых материала, зависимость
упрочнения от скоростей неупругих деформаций, переход части механической работы
в скрытую энергию деформации. Это свидетельствует о том, что в элементарном объ-
7
еме при неупругом деформировании кроме локально однородных деформаций  ij ,  ije
происходят еще некоторые процессы, дающие свой вклад в законы термодинамики.
В работе [11] было принято, что при неупругом деформировании явление упрочнения представляет собой дополнительный процесс, характеризуемый своими сопряженными параметрами, которые являются тензорами второго ранга и названы упрочнением hij и напряженностью упрочнения zij . В этом случае закон сохранения энергии (1.1) остается неизменным, так как воздействие внешней среды на элементарный
объем характеризуется теми же параметрами  ij ,  ij , qi , а уравнение Гиббса, в отличие от (1.2), приобретает вид
du   ijc d  ije  zij dhij  Td ,
(2.1)
т.е. часть приращения внутренней энергии связана с изменением параметров упрочнения dhij . Если за независимые параметры принять величины  ije , hij , T , то, вводя
свободную энергию f  u  T , из уравнения (2.1) получим зависимости
 ijc 
f
;
 ije
zij 
f
;
hij

f
.
T
(2.2)
На основе (1.1), (2.1) путем исключения u можно составить уравнение баланса
энтропии


qiT,i
1
 qi 
c
c p
   ij   ij  ij   ijij  zij hij  2 ,
T
 T ,i T
  
(2.3)
откуда находим выражение для возникновения энтропии



qT
1
1
1
 ij   ijc ij   ijcijp  zij hij  i 2,i ,
T
T
T
T
(2.4)
из неотрицательности которого следуют зависимости между термодинамическими
потоками и силами


c
ij  1ij  mn   mn
;
ijp   2ij
mn
c
  mn
;

c
hij   3ij  mn   mn
;

c
qi  i  mn   mn
;
c
 mn
;
c
 mn
;
c
 mn
;
c
 mn
;

;
zmn ;
T,k ;
zmn ;
T,k

T,k ;
zmn ;
zmn ;

T,k ,
(2.5)
куда в качестве параметров могут входить также величины  ij ,  ije , hij , T .
Нелинейные зависимости (2.5), согласно обобщенному принципу Онзагера [24],
можно представить в виде
 ij  g


D
 ij   ijc

;
 ijp  g
D
;
 ijc
hij  g
D
;
zij
qi   g
D
,
T,i
(2.6)
где скорость рассеяния энергии D  T  является функцией термодинамических
сил  ij   ijc ,  ijc , zij , T,i , а коэффициент пропорциональности определяется
выражением
8

D
g
   ij   ijc


1


 ij   ijc

D
D
D T,i 
 c  ijc 
zij 
D.
T,i T 
 ij
zij

(2.7)
В случае линейных зависимостей между термодинамическими потоками и силами
из (2.6), (2.7) следует симметрия матрицы связи между ними, т.е. принцип Онзагера.
Если из (2.2) и первых трех соотношений (2.5) или (2.6) исключить величины  ijc ,
 ije , zij , hij ,  ije , hij , то получим общие нелинейные реологические зависимости в виде
f ij   mn ;  mn ;  mn ;  mn ;  mn ;  mn ; T,k ; T,k ; T,k ; T ; T ; T   0 .
(2.8)
В одномерном случае при постоянной температуре из (2.8) следует пятиэлементная реологическая модель, приведенная на рис. 2.
Здесь элементы 1, 2, 3 описывают однородные деформации элементарного объема и характеризуются
соответственно сопряженными параметрами  ijc ,  ije ;
 ij   ijc ,  ij ;  ijc ,  ijp , а элементы 4, 5 описывают
упрочнение и характеризуются сопряженными параметрами zij , hij ; zij , – hij . При этом принято во внимание, что параметры zij , hij обусловлены неупругими деформациями  ijp .
Процесс упрочнения материала происходит только при  ijp  0 , поэтому для упрощения определяю-
Рис. 2
щих уравнений положим  ij   ijc , т.е. будем прене-
брегать вязкостью элемента 2 (рис. 2), а также принимаем, что градиенты температуры T,i не влияют на потоки  ijp,  hij . В этом случае скорость рассеяния энергии, согласно (2.4), распадается на две составляющие
D  D1  D2 ;
D1   ij ijp  zij hij ;
D2   qiT,i / T .
(2.9)
Из неотрицательности первой составляющей D1  ij , zij  и обобщенного принципа Онзагера следует
 ijp
D
 g1 1 ;
 ij
D
hij  g1 1 ;
zij
1
 D

D
g1   1  ij  1 zij  D1 .
  ij
zij 

(2.10)
Из неотрицательности второй составляющий D2 T,i  следует зависимость между
вектором теплового потока qi и градиентом температуры T,i , которая в случае линейности представляет собой закон теплопроводности Фурье
qi  kijT, j .
К соотношениям (2.10), (2.11) необходимо добавить зависимости
f
f
f
 ij  e ;
zij 
;

,
hij
T
 ij
(2.11)
(2.12)
которые следует из (2.2) при  ij   ijc .
9
Если предположить, что в начальном состоянии материал был изотропным и неупрочненным, т.е. zij  0, hij  0 , то упрочнение в этом случае возникает  hij  0  ,
как следует из (2.10), только за счет ненулевых напряжений  ij . Отсюда следует, что
параметры zij , hij действительно являются тензорами второго ранга, так как согласно
теореме Кюри [3], в изотропной среде силы одного тензорного порядка не могут вызывать потоки другого тензорного порядка.
§3. Определяющие уравнения упруговязкопластического деформирования и
упрочнения. Соотношения (2.10) – (2.12) по существу представляют собой общий
вид определяюших уравнений упруговязкопластического деформирования и упрочнения материала с учетом теплопроводности. При этом, как отмечалось выше, они в
одинаковой степени относятся к явлениям пластичности и ползучести, а различие
между этими явлениями состоит только в отношении величин  ijp к  ij . Пластическое
поведение материала объясняется тем, что в окрестности некоторых напряжений происходит резкое изменение скоростей неупругих деформаций  ijp от значений, пренебрежимо малых по сравнению с  ij , до значений, равных или превосходящих  ij . Это
свидетельствует о том, что скорости неупругих деформаций  ijp являются существенно нелинейными функциями напряжений  ij . Исходя из этих соображений, необходимо построить конкретный вид определяющих уравнений, которые бы описывали
основные закономерности пластического деформирования и упрочнения и являлись
основой для расчета упруговязкопластического деформирования и упрочнения элементов конструкций.
В теории пластичности, как известно [6], рассматриваются два вида упрочнения –
изотропное и трансляционное или кинематическое, которое также называют направленным. При изотропном упрочнении поверхность текучести или нагружения изменяется с сохранением подобия, т.е. она не перемещается в пространстве напряжений,
а только изменяет свой радиус. При этом эффект Баушингера не описывается. При
трансляционном упрочнении поверхность текучести в пространстве напряжений перемещается в определенном направлении, сохраняя свой радиус. В этом случае имеет
место идеальный эффект Баушингера, когда предел текучести при сжатии уменьшается ровно настолько, насколько он увеличился при растяжении.
В действительности изотропное упрочнение и идеальный эффект Баушингера
не наблюдаются. Поэтому для реальных материалов можно принять комбинацию
изотропного и трансляционного упрочнения, т.е. поверхность текучести, опред еляемую определенным уровнем скорости рассеяния энергии, можно представить в
виде уравнения




 
1
2
D1  ij , zij  D1   ij  ijmn zmn  D1  zij  const ,
(3.1)
где первое и второе слагаемые описывают соответственно трансляционное и изотропное упрочнения, причем ijmn – некоторый материальный тензор. Если ijmn  Iijmn ,
где Iijmn – единичный тензор, то придем к общепринятому описанию [6] трансляционного упрочнения.
Рассмотрим изотропный материал при условии, что вязкопластические деформации и упрочнение не нарушают его изотропию. В этом случае естественно принять,


1
что D1   ij  ijmn zmn ,
ствующих тензоров, т.е.
10
 
2
D1  zij
зависят от первых двух инвариантов соответ-
1
1
2
2
D1   D1   skk , I s  ; D1   D1   zkk , I z  ; I s  sij sij ; I z  zij zij ;
sij   ij  ijmn zmn ; ijmn  1ij mn  22 Iijmn ,
(3.2)
где 1 , 2 – постоянные материала.
Тогда на основе (2.10), (3.1), (3.2) приходим к соотношениям
 D 1
 ijp  g1 
1
 skk

 ij  2
1
D1  
sij  ;

I s

1
1
2
2

D  
D  
D  
D   
hij  g1  31  22  1  ij  2 1 1skk  ij  22 sij  1  ij  2 1 zij  ;
skk
I s
zkk
I z




1
2
2
 D 1
D  
D  
D   
g1   1 skk  2 1 I s  1 zkk  2 1 I z 
 skk

I s
zkk
I z


1
 D   D   .
1
1
2
1
(3.3)
Из (3.3) находим выражения шаровых составляющих тензоров скоростей неупругих деформаций и упрочнения
1
 D 1

D  
1
 2 1 skk  ;
 skk

I s


 kkp  g1  3

hkk  g1  31  22 


1
2
2

 D1

D 
D 
D 
 1  2 1 skk   3 1  2 1 zkk  ,
 skk

I s
zkk
I z




(3.4)
откуда следует, что они равны нулю при условии
1
1
D1   D1   I s  ;
где I s  sij sij ;
1
2
D1   D1   I z  ,
(3.5)
I z  zij zij – вторые инварианты девиаторов соответствующих тензоров.
В этом случае соотношения (3.3) принимают вид
 ijp   ijp '  2 g1
1
2
1

D  
D   
D1 
sij ; hij  hij  2 g1  22 1 sij  1 zij  ;


I s
I z
I s


2
1
D   
1  D
g1   1 I s  1 I z 

2  I s
I z

1
 D   D   .
1
1
2
1
(3.6)
Конкретный вид нелинейных зависимостей (3.5), (3.6) для реальных материалов,
проявляющих вязкопластическое деформирование и упрочнение, удобно задавать в
аналитической форме. По аналогии с теорией ползучести [6] можно принять непрерывные зависимости в виде степенного или экспоненциального законов, а также кусочно-непрерывные зависимости с нулевыми скоростями неупругих деформаций и
упрочнения до некоторых предельных значений инвариантов I s , I z .
Непрерывные зависимости в форме степенного закона для слагаемых скорости
1
2
рассеяния энергии D1  D1   D1  можно представить формулами
11
n
 I  1
1
D1   a1  s2  ;
 k1 
 I 
2
D1   a2  z2 
 k2 
n2
 n1,
n2  1 ,
(3.7)
где фигурируют шесть констант a1 , k1 , n1 , a2 , k2 , n2 , хотя независимыми являются
только четыре – a1k12n1 , n1 , a2k22n2 , n2 . Постоянные k1 , k2 играют роль, аналогичную пределам текучести, – при
I s  k12 , I z  k22 соответствующие слагаемые
D1  , D1  пренебрежимо малы, при I s  k12 , I z  k22 они становятся большими. Подставляя (3.7) в (3.6), получaeм зависимости
1
2
 ijp  2
a1n1 g1  I s 
 
k12  k12 
n1 1
n2 1
 a n   I  n1 1

a n  I 
sij ; hij  2 g1  2 1 12 2  s2 
sij  2 2 2  z2 
zij  ;


k1  k1 
k2  k2 


 I  1
 I 
1
g1   a1n1  s2   a2 n2  z2 
2
 k1 
 k2 

n
n2  1 
n
 I  1
 I 
  a1  s   a2  z 
2
2
   k1 
 k2 
 
n2 
.


(3.8)
Если слагаемые скорости рассеяния энергии D1 аппроксимировать экспоненциальными зависимостями, то целесообразно принять закон гиперболического синуса
I
1
D1   a1 sh s2 ;
k1
I
2
D1   a2 sh z2 ,
k2
(3.9)
1
1
что обеспечивает равенства D1   0  0; D1   0  0 . В этом случае зависимости (3.6)
принимают вид
 ijp  2
 a
I
I
a
I 
a1 g1
ch s2 sij ; hij  2 g1  2 1 22 ch s2 sij  22 ch z2 zij  ;
2
k1
k2
k2 
k1
k1
 k1
1
I a
I
1a
I  
I 
(3.10)
g1   12 I s ch s2  22 I z ch z2   a1sh s2  a2 sh z2  .
2  k1
k1 k2
k2  
k1
k2 
Кусочно-непрерывные зависимости можно представить на основе степенного закона, приняв
n
  I
1
a1  s  1  , I s  k12 ;
2

1

D1     k1

0,
I s  k12 ;

n
  I
2
a2  z  1  , I z  k22 ;
2

2

D1     k2


I z  k22 .
0,
(3.11)
В этом случае показатели n1 , n2 будут значительно меньше, чем в (3.7) для одного и того же материала. Подставляя (3.11) в (3.6) приходим к соотношениям
 ijp  2

a1n1 g1  I s
 1
2  2
k1  k1

n1 1
sij ;
n 1
n 1
 a n   I

1
 2
a n  I
hij  2 g1 2 1 12 2  s2  1
sij  2 2 2  z2  1
zij  ;
 k1  k1

k2  k2




12

1 a n  I
g1   1 21  s2  1 
2  k1  k1


n1 1

a n  I
I s  2 2 2  z2  1 
k2  k2

n2 1

I z 


1
n
n
  I
1
 I z
 2
s
 a1   1   a2   1  
2
  k12

 k2
 

(3.12)
для I s  k12 , I z  k22 . В противном случае соответствующие потоки будут равны нулю.
Примем квадратичную зависимость свободной энергии f от параметров  ije , hij ,
т.е.

e
f  f 0 T   3 K kk
 K  hkk
 T  T   12 K
0
e 2
kk
 ije ' ije '
1
2
e
 K hkk
  hij hij  p kk
hkk  2qije ' hij ,
2
(3.13)
где  ije ', hij – девиаторы соответствующих тензоров; K , K , ,  , p, q, ,  
– постоянные материала.
p
Тогда, согласно (2.12), с учетом равенств  ij   ije   ijp ,  kk
 0 , приходим к соотношениям


 ij  K kk ij  2  ij   ijp  3K T  T0   ij  phkk  ij  2qhij ;


zij  K hkk ij  2 hij  3K   T  T0  ij  p kk ij  2q  ij   ijp ;
  0 T   3 K kk  K hkk  ; 0 T   f0 T  / T .
(3.14)
Соотношения (2.11), (3.14) и одно из выражений (3.8), (3.10), (3.12) представляют
собой конкретный вид определяющих уравнений упруговязкопластического деформирования и упрочнения материала с учетом температурных воздействий. В случае
 kkp  0 , hkk  0 указанную систему уравнений необходимо дополнить соотношениями (3.4). При этом выражения (3.7) – (3.12) необходимо обобщить на случай зави1
2
симости D1  от skk и D1  от zkk .
 
1
Следует отметить, что, если слагаемое D1  zij в (3.1), описывающее изотропное
упрочнение, положительное, то изотропное упрочнение по существу является изотропным разупрочнением.
§4. Статистические основы упрочнения. Построенные выше определяющие
уравнения упруговязкопластического деформирования и упрочнения материала основаны на формализме термодинамики, оперирующей понятиями сопряженных параметров, описывающих механические и тепловые процессы, уравнениями сохранения
энергии в элементарном объеме, неотрицательностью возникновения энтропии и вытекающими отсюда функциональными зависимостями между термодинамическими
потоками и силами, удовлетворяющими обобщенному принципу Онзагера. При этом
упрочнение рассматривается как некоторый термодинамический процесс, характеризуемый сопряженными параметрами zij , hij , дающий свой вклад в законы сохранения энергии и возникновения энтропии. Однако термодинамика не дает ответа на вопросы о механизме такого процесса и модельных представлениях, лежащих в его основе. Понять сущность процесса упрочнения и представить его с помощью определенной модели можно
только на основе микроструктурных представлений подобно методам статистической
механики атомно-молекулярных систем [4, 16], механики стохастически неоднородных
сред и многоконтинуумной механики [17 – 19].
13
Если обратиться к модельным представлениям вязкоупругости [2], то, очевидно,
что простейшее описание одномерного упругопластического поведения без упрочнения некоторого элементарного микрообъема материала можно осуществить с помощью двухэлементной модели Максвелла, представляющей собой последовательное
соединение линейного упругого и существенно нелинейного вязкого элементов. В
этом случае существует некоторое условно предельное значение напряжения, начиная
с которого будет заметно вязкое течение, приводящее к росту неупругой деформации.
Трехмерное упругопластическое поведение элементарного микрообъема без
упрочнения можно описать, принимая линейно упругую связь между шаровыми частями напряжений и деформаций с учетом температурного расширения, а для соответствующих девиаторов взять зависимости в виде нелинейной модели Максвелла,
т.е.
e
 kk
  kk 
ije ' 
1
 ij ;
2
1
 kk  3 T  T0  ;
3K
ijp    I   ij ;
 ij 
 kkp  0;
 ij   ije '  ijp ;
1
 ij    I   ij ;
2
I   ij  ij . (4.1)
Постоянные K , ,  и функция   I  относятся к элементарному микрообъему в отличие от постоянных и функций, входящих в соотношения (3.3) – (3.14), которые относятся к элементарному макрообъему и характеризуют эффективные свойства материала. Элементарный макрообъем, состоящий из представительного числа
элементарных микрообъемов, по существу представляет собой систему параллельно и
последовательно соединенных между собой элементов, механическое поведение которых описывается соотношениями (4.1). Если постоянные K , ,  и функция
  I  одинаковы во всех микрообъемах, т.е. постоянны в пределах элементарного
макрообъема, то реологическая модель элементарного макрообъема будет полностью
вырожденной [2] и описывается теми же соотношениями (4.1). В этом случае не возникают внутренние самоуравновешенные микронапряжения и связанный с ним процесс упрочнения.
Однако при микронеоднородности реологических свойств, присущей в той или
иной мере реальным материалам и имеющей стохастический характер, реологическая
модель элементарного макрообъема существенно усложняется. Появляются более
высокие производные по времени от макронапряжений и макродеформаций и формируются внутренние самоуравновешенные микронапряжения при нагружении, проявляющие себя в виде скрытой энергии деформации и ведущие к упрочнению материала. Строгое решение задачи о реологической модели и внутренних напряжениях
должно базироваться на уравнениях статики микронеоднородного вязкоупругого тела
с определяющими уравнениями (4.1), где термоупругие K , ,  и вязкие   I 
характеристики являются случайными функциями координат пространства.
Однако осуществить такое решение, в отличие от аналогичной задачи для микронеоднородного упругого тела [17], не представляется возможным ввиду наличия фактора времени, нелинейности уравнений, стохастичности структуры и отсутствия экспериментальных данных о статистических характеристиках структуры. Поэтому
представляет интерес построить на основе соотношений (4.1) приближенное решение,
которое, по крайней мере, качественно отображало бы особенности реального поведения материала и дополняло определяющие уравнения, полученные на основе методов термодинамики.
Если рассматривать квазистатическое нагружение элементарного макрообъема

14
ij

  ijc , т.е. пренебрегать вязкостью элемента 2 (рис. 2), приводящей к росту при-
лагаемого напряжения  ij с ростом скорости деформирования ij , то механическое
поведение элементарного макрообъема с учетом упрочнения в одномерном случае
описывается четырехэлементной реологической моделью 1, 3, 4, 5 (рис. 2) согласно
представлениям термодинамики. Чтобы получить эту модель для элементарного макрообъема на основе соотношений (4.1) для элементарного микрообъема, достаточно
принять, например, трехкомпонентную микроструктуру материала, т.е. предположить, что существуют три компонента с объемными содержаниями и термомеханическими характеристиками соответственно ck , Kk , k , k , k  I  k  1,2,3 . При
этом макронапряжения  ij и макродеформации ij выражаются через средние по
компонентам напряжения  1ij ,  ij2 ,  ij3 и деформации  ij1 ,  ij2 ,  ij3 формулами
 ij  c1 ij1  c2 ij2  c3 ij3 ;  ij  c1 ij1  c2 ij2  c3 ij3 .
(4.2)
Для приближенного определения эффективных свойств и средних по компонентам напряжений и деформаций воспользуемся комбинированной схемой Фойхта –
Рейсса, приняв  ij2   ij3 , c2 ij2  c3 ij3   c2  c3   1ij , а также 1  I   0,
3   , что
соответствует четырехэлементной модели 1, 3, 4, 5 (рис. 2) для девиаторных составляющих. Тогда получим для элементарного макрообъема соотношения термоупругости с учетом неупругих деформаций и внутренних напряжений, характеризующих
упрочнение


 ij  K rrij  2 ij  ijp  3K T  T0  ;
zij  K hrrij  2 hij  3K   T  T0  ,
(4.3)
а также соотношения нелинейной вязкости
 ijp   ijp ' 
hij  hij  2
 c2  c3 2
 c2  c3 2
c3
c3
 c  c 2 
2
3
 I s  sij ;
 c3  
 3 
 c  c 2 
 1 
2
3
 I s  sij   2  2 I z  zij ,
c

3
 
 c2 
 3 
(4.4)
где приняты обозначения
 ijp   c2  c3   ij3 p ; sij   ij  22 zij ; zij  c2 ij2 ; hij  c2 ij2 e ;
22 
K1  c2 K 2  c3 K 3 
c2

; K
;   1 ; K   K2 ;
2
c2  c3
c1
 c2  c3  K1  c1  c2 K 2  c3 K3 
   2 ;  
c1  c2 K 2  c3 K3  1   c2  c3   c2 K 22  c3 K33 
;    c22 .
c2 K 2  c3 K3
(4.5)
Как видим, соотношения (4.3), (4.4), полученные на основе стохастических представлений о микроструктуре материала, по форме совпадают с соотношениями (3.14),
(3.6), полученными на основе методов термодинамики и представления поверхности
текучести, определяемую некоторым уровнем скорости рассеяния энергии, в виде
суммы двух слагаемых, описывающих изотропное и трансляционное упрочнение. При
этом определяются эффективные постоянные материала через параметры микро15
структуры согласно (4.5), причем p  q  0 . Если потребовать полную идентичность
выражений (3.6) и (4.4), включая тождественное совпадение соответствующих слага1
2
емых D1  , D1  и множителя пропорциональности g1 , то придем к зависимостям
2
 1 
 c  c 2   c  c  
2
1
D1   I s   2 3  3  2 3  I s  I s ; D1   I z    2  2 I z  I z ;
c3
c

3
 
 c2 

 
2 g1   2   2  I z 2 
I z 

1
1

 
  3   3  I s 3  ,
I s 

(4.6)
откуда следует необходимость соотношения
I z  2 I s 3
.

 
 2 I z 3 I s
(4.7)
Равенство (4.7) возможно только при степенном законе (3.7) для слагаемых скорости рассеяния энергии, причем должно выполняться условие n1  n2 , что приводит
к сокращению числа независимых констант. Однако следует иметь в виду, что соотношения (4.3) – (4.5) получены на основе приближенного моделирования микроструктуры вязкоупругого материала и приближенного решения задачи об эффективных свойствах. Поэтому нет строгих оснований считать правомерной только степенную аппроксимацию (3.7), (3.8). Аппроксимации (3.9) – (3.12) также имеют право на
существование, если они хорошо описывают экспериментальные данные и удобны
при решении конкретных задач.
§5. Полная система уравнений. Если определяющие уравнения (2.11), (3.14) и
одно из (3.8), (3.10), (3.12) дополнить уравнениями сохранения импульса
ui   ij, j  Fi ,
(5.1)
где Fi – объемные силы, и энтропии
 D  D   D   ,
T  qi ,i  D1;
1
1
1
2
(5.2)
1
которое следует из уравнений баланса энтропии (2.3) при  ij   ijc , а также соотношениями Коши
ij 
1
ui, j  u j,i  ,
2
(5.3)
то будем иметь замкнутую систему 37 уравнений относительно 37 параметров  ij ,
zij , ij ,  ijp , hij , ui , qi , , T . Здесь учтено равенство  kkp  0 и (2.9).
Подставляя напряжения из (3.14) и соотношения Коши (5.3) в (5.1) при p  q  0 ,
приходим к уравнениям сохранения импульса в перемещениях

2 


ui     ui , j  u j ,i    K    u j , j   3  K T  T0 ,i  2  ijp
, j 
3 

,i

,j
 Fi .
(5.4)
С учетом равенства kij  kij для изотропного материала и T 0  C T , где k –
коэффициент теплопроводности, C – теплоемкость единицы объема материала при
постоянных деформациях, на основе (2.11), (3.14), (5.2) приходим к уравнению теплопроводности
16
C T   kT,i   3KT  rr  D1 .
,i
(5.5)
В этом случае одно из соотношений (3.8), (3.10), (3.12) и уравнения (5.4), (5.5) образуют замкнутую систему 15 уравнений относительно 15 неизвестных ui , T ,  ijp ,
hij , где принято во внимание выражение параметров  ij , zij через ui ,  ijp , hij , согласно (3.14), (5.3).
Выводы. 1. Сопровождающие упруговязкопластическое деформирование материала явления упрочнения, перехода части механической работы в скрытую энергию
деформации, последействия, отдыха материала, эффекта Баушингера, зависимости
упрочнения от скоростей неупругих деформаций связаны с появлением при нагружении самоуравновешенных внутренних микронапряжений, обусловленных микронеоднородностью упруговязкопластических свойств материала.
2. Физически обоснованное адекватное описание упруговязкопластического деформирования и упрочнения материала может быть осуществлено на основе термодинамического метода, базирующегося на законе сохранения энергии, уравнении баланса энтропии, неотрицательности возникновения энтропии и вытекающих отсюда
зависимостях между термодинамическими потоками и силами, а также на основе моделей и методов механики стохастически неоднородных упруговязкопластических
сред.
3. Определяющие уравнения упруговязкопластического деформирования и
упрочнения материала, построенные на основе решения задачи об эффективных свойствах и напряженно-деформированном состоянии трехкомпонентной микронеоднородной нелинейно-вязкоупругой среды Максвелла с применением комбинированной
схемы Фойхта – Рейсса, совпадают по форме с аналогичными уравнениями, построенными на основе термодинамического метода с представлением скорости рассеяния
энергии в виде суммы двух слагаемых, описывающих трансляционное и изотропное
упрочнения.
Р Е З Ю М Е . Запропоновано термодинамічний та статистичний методи побудови визначальних
рівнянь пружнов’язкопластичного деформування і зміцнення матеріалів. В основу термодинамічного
методу покладено закон збереження енергії, рівняння балансу ентропії і виникнення ентропії при
наявності самозрівноважених внутрішніх мікронапружень, що характеризуються спряженими параметрами зміцнення. Залежності між термодинамічними потоками і силами, що слідують з невід’ємності виникнення ентропії і задовільняють узагальненому принципу Онзагера, а також співвідношення термопружності і вираз для ентропії, що слідують з закону збереження енергії, складають
загальні визначальні рівняння. Конкретні визначальні рівняння отримано на основі представлення
швидкості розсіяння енергії у вигляді суми двох складових, які описують трансляційне і ізотропне
зміцнення та апроксимуються степеневими і гіперболічносинусоїдальним законами. Виходячи з стохастичних мікроструктурних уявлень, визначальні рівняння пружнов’язкопластичного деформування
і зміцнення побудовано на основі лінійної моделі термопружності і нелінійної моделі Максвелла
відповідно для шарових і девіаторних складових мікронапружень і мікродеформацій. Розв’язок задачі про ефективні властивості і напруженно-деформівний стан трьохкомпонентного матеріалу, що
побудовано з застосуванням комбінованої схеми Фойхта – Рейсса, приводить до визначальних рівнянь, що співпадають по формі з аналогічними рівняннями, побудованими на основі термодинамічного методу.
S U M M A R Y . The thermodynamic and statistical methods of constructing the constitutive equations
of elasto-visco-plastic deformation and strengthening of materials is offered. As a basis of the thermodynamical method the energy balance law, the equations of entropy balance and entropy initiation are assumed in
presence of self-equilibrated internal microstresses, which are characterized by the coupled strengthening
parameters. The general constitutive equations consist of the relationships between thermodynamical flows
and forces, which follow from non-negativeness of entropy initiation and met the generalized Onsager principle, as well as the thermoelasticity relationships and the expression for entropy, which follow from the
17
energy balance. The concrete constitutive equations are obtained basing on representation of the energy
dissipation rate as sum of two constituents, which describe the translational and isotropic strengthening and
are approximated by power and hyperbolic sinus laws. Starting with the stochastic microstructural conception, the constitutive equations of elasto-visco-plastic deformation and strengthening are built basing on the
linear model of thermoelasticity and the nonlinear Maxwell model for spherical and deviator components of
microstresses and microstrains, respectively. A solving the problem on effective properties and the stressstrain state of three-component material is constructed using the combined Voigt-Reuss scheme and brings
to the constitutive equations coinciding by the form with analogous equations constructed by the thermodynamical method.
Key words: elasto-visco-plastic deformation, strengthening, thermodynamics, stochastic structure, microstress, constitutive equations.
1. Базаров И.П. Термодинамика. – М.: ГИФМЛ, 1961. – 292 с.
2. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости. – М.: Мир, 1965. – 200 с.
3. Де Гроот С.Р. Термодинамика необратимых процессов. – М.: Гостехиздат, 1956. – 280 с.
4. Гуров К.П. Основания кинетической теории. – М.: Наука, 1966. – 351 с.
5. Новацкий В. Теория упругости. – М.: Мир, 1975. – 872 с.
6. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. – М.: Наука, 1979. – 744 с.
7. Сенченков И.К., Табиева Г.А. Определение параметров модели Боднера – Партома термовязкопластического деформирования материалов // Прикл. механика. – 1996. – 32, № 2. – С. 64 – 72.
8. Сенченков И.К., Жук Я.А. Термодинамический анализ одной модели термовязкопластического
деформирования материалов // Прикл. механика. – 1997. – 33, № 2. – С. 41 – 48.
9. Хорошун Л.П. Про реологічні залежності в суцільних середовищах при механічних і теплових процесах // Прикл. механіка. – 1962. – 8, № 6. – С. 653 – 657.
10. Хорошун Л.П. Термодинаміка і деякі питання теорії пластичності // Доп. АН УРСР. – 1963. – № 3.
– С. 340 – 343.
11. Хорошун Л.П. Термодинамические основы реологии // Прикл. механика. – 1965. – 1, № 1. – С. 92 – 97.
12. Чжань, Боднер, Линдхольм. Феноменологическое моделирование упрочнения и теплового возврата в металлах // Теорет. основы инж. расчетов. – 1988. – № 4. – С. 1 – 14.
13. Andrushko N.F., Senchenkov I.K., Boichuk E.V. Transient Waves in an Inealastic Disk under Impulsive
Radial Loading // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41, N 11. – P. 1299 – 1305.
14. Bоdner S.R., Partom Y. Constitutive equations for elastoviscoplastic strain hardening materials // Trans.
ASME. J. Appl. Mech. – 1975. – 42. – P. 385 – 389.
15. Bodner S.R. Unified Plasticity. An Engineering Approach. – Haifa: Inst. of Techn., 2000. – 105 p.
16. Khoroshun L.P. Construction of Continuum – Mechanics Equations on the Lennard – Jones Potential //
Int. Appl. Mech. – 1995. – 31, N 7. – P. 521 – 532.
17. Khoroshun L.P. Mathematical Models and Methods of the Mechanics of Stochastic Composites // Int.
Appl. Mech. – 2000. – 36, N 10. – P. 1259 – 1283.
18. Khoroshun L.P. General Dynamic Equations of Electromagnetomechanics for Dielectrics and Piezoelectrics // Int. Appl. Mech. – 2006. – 42, N 4. – P. 407 – 420.
19. Khoroshun L.P. Principles of the Micromechanics of Material Damage. 2. Long-Term Damage //
Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, N 2. – P. 127 – 135.
20. Senchenkov I.K., Zhuk Ya.A., Karnaukhov V.G. Modelling the Thermomechanical Behavior of
Physically Nonlinear Materials under Monoharmonic Loading // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40,
N 9. – P. 943 – 969.
21. Senchenkov I.K., Andrushko N.F. Thermal Effects in a Physically Nonlinear Cylinder under Impulsive
Loading // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41, N 8. – P. 890 – 894.
22. Senchenkov I.K., Andrushko N.F. Thermomechanical Coupling Effects in a Materially Nonlinear Disk
under Impulsive Radial Loading // Int. Appl. Mech. – 2006. – 42, N 8. – P. 951 – 958.
23. Zhuk Ya.A., Senchenkov I.K. On Linearization of the Stiffness Characteristics of Flexible Beams Made of
Physically Nonlinear Materials // Int. Appl. Mech. – 2006. – 42, N 2. – P. 196 – 202.
24. Ziegler H. An attempt to generalize Osager’s principle and its significance for rheological problems // Z.
Angew. Math. and Phys. – 1958. – 9b, N 5/6. – P. 748 – 763.
Ин-т механики им. С.П.Тимошенко
НАН Украины, Киев (Украина)
18
Поступила 09.02.2007