Решение уравнений в целых числах

ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Конспект урока по математике для 6 класса
Учебник: Математика: учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений/
[Г.В.Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.]; под ред. Г.В.Дорофеева,
И.Ф.
Шарыгина;
Рос.
акад.
наук,
Рос.
акад.
образования,
изд-во
«Просвещение».- 10-е изд.- М.: Просвещение, 2008.
Тема: Решение уравнений в целых числах
Тип урока: «Открытие» нового знания
Основные цели:
1. Обучающие
1) Сформировать умение решать уравнения в целых числах.
2. Развивающие
1) Формировать
познавательные
УУД
(самостоятельное
выделение и формулирование познавательной цели, поиск и
выделение
необходимой
информации;
структурирование
знаний; выбор наиболее эффективных способов решения задач
в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и
условий действия, контроль и оценка процесса и результатов
деятельности).
2) Формировать
регулятивные
действия
(целеполагание;
планирование; прогнозирование).
3) Формировать личностные УУД (действие смыслообразования;
действие нравственно-этического оценивания усваиваемого
содержания).
4) Формировать коммуникативные УУД (планирование учебного
сотрудничества с учителем и сверстниками; постановка
вопросов, сотрудничество в поиске и сборе информации;
контроль, коррекция, оценка действий партнера; умение с
достаточно полнотой и точностью выражать свои мысли в
соответствии с задачами и условиями коммуникации).
3. Воспитательные
1) Воспитывать культуру общения.
2) Формировать аккуратность оформления письменных работ.
Оборудование: индивидуальный раздаточный материал, сигнальные
карточки, таблицы, эталоны решения заданий.
Ход урока
1. Мотивация к учебной деятельности
Методическая цель:
1) Уточнить смысл учебной деятельности и создать мотивацию к
деятельности на уроке.
2) Определить содержательные рамки урока: решение уравнений в
целых числах.
1. Побуждающий диалог
 Ребята! Давайте вспомним, какие действия с целыми числами мы
умеем выполнять! (Сложение, вычитание, умножение, деление, сравнение,
возведение в степень, изображение на координатной прямой).
 Давайте попробуем применить наши знания для нахождения
неизвестных компонентов основных действий с целыми числами (согласие).
 Перечислите примеры из жизни, в которых нам могут пригодиться
такие умения. (Решение задач практического содержания на доходырасходы, выигрыши-проигрыши, температурные изменения и нахождение
положения объекта относительно уровня моря)
 Давайте настроимся на предстоящую работу, мы сможем вместе
справиться со всеми заданиями, будем друг другу помогать и друг друга
поддерживать и пожелаем всем нам успеха на сегодняшнем уроке.
2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.
Методическая цель:
1) Проверить уровень усвоения учебного материала по теме «Действия с
целыми числами» и убедиться, что готов изучать новый материал
2) Повторить правила решения простых уравнений
Задание 1
 Давайте поучаствуем в игре «Определи знак». Смотрите на таблицы
1-3 на доске.
 Перед вами карточки со знаками + и – , вам нужно поднять одну из
них, отвечая на поставленный вопрос. Поставьте в таблицы 1-3 пропущенные
знаки. Сравните результат своей деятельности с эталоном.
(Пояснение: эталон оформляется в отдельных папках из расчета на
каждую парту в отдельности).
Раздаточный материал таблицы 1-3, карточки со знаками
+
и
-
Таблица 1
слагаемое
слагаемое
сумма
+
+
+
-
, если + перевешивает -
-
+
, если - перевешивает +
-
-
Таблица 2
множитель
множитель
+
+
+
-
-
+
-
-
произведение
.
Таблица 3
делимое
делитель
+
+
+
-
-
+
-
-
частное
Задание 2. Устный фронтальный опрос
 Давайте ответим на вопросы
1)
Какие числа называются целыми?
2)
Сформулируй правило сложения целых чисел
3)
Сформулируй правило вычитания целых чисел
4)
Сформулируй правило умножения целых чисел
5)
Сформулируй правило деления целых чисел
6)
Сформулируй правило сложения нескольких отрицательных чисел
7)
Как найти сумму, состоящую из нескольких положительных и
отрицательных слагаемых?
8)
Какие множители определяют знак произведения, состоящего из
положительных и отрицательных множителей?
9)
Когда произведение нескольких отрицательных множителей будет
положительным? Будет отрицательным?
10) Как можно записать произведение, состоящее из нескольких
одинаковых множителей?
11) Каким по знаку будет значение степени с положительным
основанием?
12) Каким по знаку будет значение степени с отрицательным
основанием и нечетным показателем?
13) Каким по знаку будет значение степени с отрицательным
основанием и четным показателем?
14) Что называется уравнением?
15) Что называется корнем уравнения?
16) Что значит решить уравнение?
17) Как выполнить проверку?
18) Сколько корней может иметь уравнение?
19) Приведи пример уравнений, имеющих один корень, два или
несколько корней, не имеющих корней?
Задание 3
 Давайте заполним пробелы в таблице 4. При этом обсудим свое
решение с учителем или с одноклассником, который уже справился с
этим заданием. Сравни результат своей деятельности с эталоном.
Раздаточный материал: таблица 4.
Таблица 4
Сложение
1 слагаемое + 2 слагаемое = сумма
1 слагаемое = сумма – 2 слагаемое
2 слагаемое = сумма – 1 слагаемое
Вычитание
уменьшаемое – вычитаемое = разность
уменьшаемое = разность + вычитаемое
вычитаемое = уменьшаемое - разность
Умножение
1 множитель * 2 множитель = произведение
1 множитель = произведение : 2 множитель
2 множитель = произведение : 1 множитель
Деление
делимое : делитель = частное
делимое = делитель * частное
делитель = делимое : частное
а+b=c
a =…
b =…
a–b=c
a=…
b=…
a * b =c
a=…
b=…
a:b=c
a =…
b=…
Задание 4
Перед нами тест. Сможем ли мы выбрать верное число? Обязательно
сможем! Выберите из предложенных чисел такое, чтобы равенство было
верным. Зафиксируйте результат в таблице 5. Сравните результат своей
деятельности с эталоном.
Раздаточный материал
Тест. Свойства целых чисел
№ задания
Задание
Варианты ответа
1.
-15 + ... = -15
а) 0
б) -15
в) 15
г) 1
2.
23 + ... = 0
а) 23
б) 0
в) -23
г) -1
3.
-43 - ... = -43
а) -43
б) 43
в) 1
г) 0
4.
-18 -... = 0
а) 18
б) 0
в) -18
г) 6
5.
0 -... = -17
а) -17
б) 17
в) 0
г) -18
6.
36 * ... = 0
а) 0
б) 1
в) -1
г) -36
7.
... * 1 = -56
а) -56
б) 0
в) 56
г) -57
8.
-35 * ... = 35
а) 1
б) -36
в) -1
г) -34
9.
... : (-3) = 0
а) 3
б) -3
в) -4
г) 0
10.
-17 : ... = -17
а) -1
б) 1
в) 17
г) -17
11.
... : (-1) = 26
а) 26
б) 0
в) -26
г) 27
12.
-18 : ... = 1
а) 1
б) -18
в) 18
г) -1
13.
-16 : ... = -1
а) 16
б) 32
в) -16
г) -32
Таблица 5
№ примера
пропущенное
число
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3. Выявление причин затруднения и постановка цели деятельности
Методическая цель: Выявить и зафиксировать причину затруднения:
возможно ли осуществить решение уравнений в целых числах с помощью
ранее изученных способов решения уравнений.
1. Решение задачи практической направленности

Давайте решим следующую задачу (текст задачи на доске).
Первоначально предприятие по изготовлению продуктов переработки
древесины имело на счете некоторую сумму. Затем на его счет поступило
200000 рублей от спонсоров, а далее предприятие выплатило долг в 700000
рублей, после чего его убыток составил 300000 рублей. Сколько денег на его
счету было первоначально?

Давайте попробуем составить схему к задаче (схема частично
восстановлена на доске)
?
+200000
Заполнение детьми схемы к задаче
?
+200000
?+200000
-700000
(?+200000)700000
-300000
 Какие способы решения данной задачи вы можете предложить? (по
действиям, выражение, уравнение)
 А какой из вышеперечисленных способов решения является наиболее
универсальным? (уравнение)
 В чем же затруднение? (в том, что мы не знаем способов решения
уравнений в целых числах)
4. Построение проекта выхода из затруднения
Методическая цель:
1) Построить способы решения уравнений в целых числах.
2) Сформулировать цель, тему, план, способ решения, необходимые
средства.
1. Побуждающий диалог
 Какова же наша цель? (Научиться решать уравнения в целых числах)
 Какова же тема? (Решение уравнений в целых числах) (Тема
записана на доске)
 Как решать уравнения в целых числах? (По известным алгоритмам
нахождения неизвестных компонентов действий)
 Как осуществить проверку? (Подставить найденное значение
неизвестного в уравнении).
5. Реализация построенного проекта
Методическая цель:
1) Реализовать построенный проект.
2) Зафиксировать новый способ действий в речи и знаково.
1. Работа в группах
Учащиеся разбиваются на группы, в которых осуществляются
составление и решение уравнений к тексту задачи. Далее каждая группа
выбирает представителя для оформления найденного способа решения
(защиты построенного проекта).
(х+20000)-700000=-300000
х+20000=-300000+700000
х+200000=400000
х=400000-200000
х=200000
Проверка:
(200000+200000)-700000=-300000
-300000=-300000
200000 рублей было на счету предприятия первоначально.
Ответ: 200000 рублей.
 Какой вывод можно сделать? (Уравнения в целых числах решаются с
помощью алгоритмов для решения уравнений в натуральных и дробных
числах) Вывод записывается на доске и в тетради учащихся.
6. Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи
Методическая цель:
1) Научиться решать уравнения в целых числах по нахождению
компонентов сложения, вычитания, умножения, деления.
2) Рассмотреть решение уравнений, содержащих одно действие.
Задание 5
 Необходимо составить уравнения по заданным условиям, решить их
и выполнить проверку
Раздаточный материал
а) Если к числу х прибавить 7, то получится 5. Найдите число х.
б) Если из числа у вычесть -3, то получится -15. Найдите число у.
в) Если число а умножить на -12, то получится -144. Найдите число а.
г) Если число b разделить на -3, то получится -8. Найдите число b.
д) Если число с увеличить на 20, то получится -8. Найдите число с.
е) Если число d уменьшить на 8, то получится -30. Найдите число d.
ж) Если число k увеличить в -2 раза, то получится 54. Найдите число k.
з) Если число m уменьшить в 4 раза, то получится -12. Найдите число m.
и) Сумма числа n и -5 равна 34. Найдите число n.
к) Разность числа р и 14 равна -18. Найдите число р.
л) Произведение числа w и -5 равно 80. Найдите число w.
м) Частное числа z и -6 равно 13. Найдите число z.
У доски работают сразу несколько учащихся, по очереди проговаривая
алгоритм решения каждого уравнения в отдельности, а далее реализуют
данный алгоритм с обязательным выполнением проверки с записью ответа.
7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону
Методическая цель: Проверить усвоение знаний по решению
уравнений в целых числах (часть А)
Раздаточный материал
Самостоятельная работа
1 вариант
2 вариант
а) х + (-12) = -10
а) -15 + у = -27
б) -5 - у = 8
б) m - 17 = -5
в) m* (-7) = 56
в) -8 * b = 48
г) -72 : n = -12
г) с : (-6) = -11
Учащиеся выполняют самостоятельную работу, затем проверяют
самостоятельно свои решения по эталону, оценивая результаты своей
деятельности по пятибалльной шкале.
8. Включение в систему знаний и повторение
Методическая цель: Научиться решать уравнения, содержащие
несколько действий, а также скобки, знак дробной черты и степень.
Задание 6
Реши уравнения возможными способами, выполни проверку.
Раздаточный материал
а) -18 + (-13 + х) = -25
б) -25 – (х – (-16)) = -20
в) (-24 : х) * (-19) = -38
г)
х∶ (−3)
−18
= −2
Методический комментарий: На данном этапе возможны 2 способа
решения подобного класса уравнения:
1. пошагово (цепочка)
2. выражение
Оба способа должны быть разобраны и зафиксированы учащимися в
тетрадях.
Задание 7*
Угадай корни уравнения или объясни, почему их не может быть.
Раздаточный материал
а) х3 =8
б) х3 = -27
в) х3 = 0
г) х2 = 25
д) х2 = -49
е) х2 = 0
Пропедевтика: Выполнение данного задания является
подготовительным этапом к решению уравнений вида xn=a в более старших
классах. Здесь подробное решение записывать не обязательно, но
необходимо закрепить осознание зависимости количества корней при четной
и нечетной степенях. (Если n нечетно - единственный корень, если n четно –
два различных корня, один корень или корней нет).
9. Рефлексия
Методическая цель:
1) Зафиксировать в речи новый способ действий: решение уравнений в
целых числах.
2) Зафиксировать затруднения, которые были испытаны, и установить
возможные способы их преодоления.
3) Оценить собственную деятельность на уроке.
1. Подводящий диалог.
Ответь на вопросы:
 Что нового я узнал(а) на уроке?
 Чем мне понравился/ не понравился урок?
 Все, что я узнал(а) на уроке, смогу применить в жизни? Как?
Задание 8
Заполните круговую диаграмму 1 из раздаточных материалов по
следующим принципам:
зеленый – все понравилось
желтый – хотелось бы лучше
красный – не понравилось
Раздаточный материал
Диаграмма 1
1
-
Задание 1
2
-
Задание 2
3
-
Задание 3
4
-
Задание 4
5
-
Задание 5
6
-
Задание 6
7
-
Задание 7
Задание 9
Заполни таблицу 6, используя пятибалльную шкалу и анализируя
результаты собственной деятельности.
Раздаточный материал
Таблица 6
№
задания
Оценка
собственной
деятельности
Причины
Возможные способы
затруднений
устранения причин затруднения
1
2
3
4
5
6
7
Далее учитель фиксирует для себя степень успешности выполнения
каждого задания, уточняя общую картину. Также выделяются типичные
причины затруднений и намечаются способы устранения причин
затруднений.
Далее задается домашнее задание и произносятся слова благодарности в
адрес учащихся и их работы на уроке с пожеланиями дальнейших успехов в
учебной деятельности.
Домашнее задание
Обязательная часть №807, 826.
Придумать два уравнения, которые имеют
1) один корень, 2) два корня, 3) не имеют корней.
Дополнительная часть №793, 836.
Эталон
Этап 2. Задание 1.
Таблица 1. Знаки суммы двух целых чисел.
слагаемое
слагаемое
сумма
+
+
+
+
-
+
, если + перевешивает -
-
+
-
, если - перевешивает +
-
-
-
Таблица 2. Знаки произведения двух целых чисел.
множитель
множитель
произведение
+
+
+
+
-
-
-
+
-
-
-
+
Таблица 3. Знаки частного двух целых чисел.
делимое
делитель
частное
+
+
+
+
-
-
-
+
-
-
-
+
Задание 3.
Таблица 4. Нахождение неизвестных компонентов действий.
Сложение
1 слагаемое + 2 слагаемое = сумма
1 слагаемое = сумма – 2 слагаемое
2 слагаемое = сумма – 1 слагаемое
Вычитание
уменьшаемое – вычитаемое = разность
уменьшаемое = разность + вычитаемое
вычитаемое = уменьшаемое - разность
Умножение
1 множитель * 2 множитель = произведение
1 множитель = произведение : 2 множитель
2 множитель = произведение : 1 множитель
Деление
делимое : делитель = частное
делимое = делитель * частное
делитель = делимое : частное
а+b=c
a=c-b
b=c-a
a–b=c
a=b+c
b=a-c
a * b =c
a=c:b
b=c:a
a:b=c
a=b*c
b=a:c
Задание 4.
Таблица 5. Результаты выполнения теста 1.
№ примера
пропущенное
число
1
0
2
23
3
0
4
18
5
6
17
0
7
56
8
9
10
11
12
13
-1
0
1
-26 -18
16
Этап 7. Самостоятельная работа.
а) х+(-12)=-10
х =-10-(-12)
х=-10-12
х=2
Проверка:
2+(-12)=-10
-10=-10
Ответ: 2
б)
-5-у=8
у=-5-8
у=-13
Проверка:
-5-13=8
8=8
Ответ: -13
1 вариант
в) m*(-7)=56
m=56:(-7)
m=-8
Проверка:
-8*(-7)=56
56=56
Ответ: -8
г) -72:n=-12
n=-72:(-12)
n=6
Проверка:
-72:6=-12
-12=-12
Ответ: 6
а) -15+у=-27
у=-27-(-15)
у=-27+15
у=-12
Проверка:
-15+(-12)=-27
-27=-27
Ответ: -12
б) m-17=-5
m=-5+17
m=12
Проверка:
12-17=-5
-5=-5
Ответ: 12
2 вариант
в) -8*b =48
b=48:(-8)
b=-6
Проверка:
-8*(-6)=48
48=48
Ответ: -6
г) с:(-6)=-11
с=-11*(-6)
с=66
Проверка:
66:(-6)=-11
-11=-11
Ответ: 66