Циклы в математике и не только

Международный конкурс научно-технических работ школьников
«Старт в науку»
Циклы в математике и не только
Автор: Донской Даниил, 5 В класс,
НОУ «Лицей №36 ОАО «РЖД» г.Иркутска
Научный руководитель: Е.В.Яшкина,
учитель математики НОУ «Лицей №36 ОАО «РЖД»
Иркутск
2013
Оглавление
Введение ............................................................................................................................. 2
Глава 1 . Циклы в окружающем мире .............................................................................. 3
1.1. Циклы в природе ......................................................................................................... 3
1.2. Циклы в экономике..................................................................................................... 5
1.3. Циклы в сказках .......................................................................................................... 7
1.4. Циклы в математике ................................................................................................... 8
Глава 2. Циклы в математических задачах ................................................................... 10
2.1. Деление с остатком ................................................................................................... 11
2.2. Календарь .................................................................................................................. 13
2.3. Игры и стратегии ...................................................................................................... 16
Заключение ....................................................................................................................... 19
Список литературы .......................................................................................................... 20
1
Введение
В окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с процессами, которые
повторяются через одинаковые промежутки времени. Это – циклы. Цикл представляет
собой устойчивый периодический процесс.Циклы широко распространены как в природе,
так и в социальных явлениях. К природным циклам можно отнести дыхание, сокращение
сердечной мышцы, чередование бодрствования и сна, смена времен года. К циклическим
процессам в социальных явлениях можно отнести строительные циклы, связанные с
периодическим обновлением жилищ и производственных зданий, колебания в мировых
запасах золота и т.д.
Цель
данной работы – построение математических моделей циклических
процессов окружающего нас мира.
Задачи исследования:
1. Рассмотреть циклические процессы окружающего нас мира;
2. Выделить основные характеристики цикла;
3. Использовать характеристики цикла при построении моделей к математическим
задачам.
Для решения поставленных задач мы познакомились с литературой, где
рассматриваются эти вопросы, описали циклические зависимости, встречающиеся в
окружающем нас мире, а также подобрали математические задачи, для решения которых
используются циклы.
2
Глава 1. ЦИКЛЫ
1.1.
Циклы в природе
Мы живем в мире больших и маленьких циклов, бесконечных повторений того, или
почти того, что уже было. День сменяется ночью, затем опять наступает день, меняют по
очереди друг друга весна, лето, осень, зима, а затем все повторяется снова. Смена дня и
ночи соответствует вращению Земли вокруг своей оси. Смена времен года обусловлена
вращением Земли вокруг Солнца.
Естественно, что циклические изменения в природе оказывают свое влияние на
человека и животных. В любом живом организме периодически изменяется состояние и
активность различных органов и систем. Любой орган нашего тела, подобно сердцу или
системе дыхания, работает ритмически. Внутреннее давление, температура тела, состав
крови периодически изменяются в течение дня, соответствуя все тому же вращению
Земли вокруг своей оси.
Ярким примером процесса, имеющего более или менее цикличный характер,
является круговорот воды в природе.
Круговорот воды в природе – это постоянный обмен влагой между гидросферой,
атмосферой и земной поверхностью, состоящий из процессов испарения, передвижения
водяного пара в атмосфере, его конденсации в атмосфере, выпадения осадков и стока.
Атмосферные осадки частично испаряются, частично образуют временные и постоянные
водостоки и водоемы, частично — просачиваются в землю и образуют подземные воды.
Рис. 1
3
Для построения математической модели данного явления удобно использовать
ориентированный граф. В первой модели в качестве вершин графа взяты географические
объекты, во второй – процессы, происходящие во время круговорота.
океан
атмосфера
испарение
конденсация
выпадение
осадков
суша
Рис. 2 Модель 1
Рис.3 Модель 2
Циклическую структуру можно наблюдать и при развитии растений.
семя
росток
семенное
растение
цветущее
растение
Рис.4
Как оказалось, состояние поголовья хищников и их жертв, например, численность
акул и сардин, волков и оленей, количество овец и травы, а также других биологических
видов, связанных пищевой зависимостью, также подчиняется некоей циклической
закономерности.
4
Например, размножились до невероятных размеров в некотором отдельно взятом
месте сардины и сельдь, т.е. увеличилось количество корма для хищников. С этого
благоприятного для них момента поголовье акул, тунцов и скатов начинает резко
возрастать, что ведет, в свою очередь, к постепенному уменьшению самого корма –
сардин и сельди. Далее, от недостатка еды начинает снижаться и общее количество
хищников. А потом все повторяется заново.
Даже извержения вулканов на нашей планете происходят "по графику". В одном из
журналов "Знание–сила" были опубликованы некоторые исследования ученых-геологов,
которые проанализировали все известные извержения за последние 500 лет. Оказалось,
что наибольшую активность вулканы проявляют в июне, скорее всего, это связано с
абсолютной минимальной скоростью движения Земли в нашей Галактике в это время
года.
1.2.
Циклы в экономике
Цикл является динамической характеристикой рыночной экономики,
Цикличность экономического развития – это непрерывные колебания
рыночной экономики, когда рост производства сменяется спадом, повышение
деловой активности (количество заключаемых сделок, проводимых операций на
рынках) – понижением. Цикличность характеризуется периодическими взлетами и
падениями рыночной конъюнктуры.
рост
производства
спад
оживление
депрессия
Рис. 5
В стремлении к беспредельному расширению своего производства, к максимизации
прибыли и к завоеванию новых рынков сбыта владельцы предприятий и фирм
периодически сталкиваются с перепроизводством товаров. Сущность перепроизводства
5
проявляется в том, что предложения товаров превышают спрос. Тогда цена товаров
понижается до уровня, при котором большинство производителей не возмещают своих
затрат на производство продукции и не получают нормальной прибыли.
Известно несколько типов экономических циклов, которые часто называют
волнами.
Большие экономические циклыс длительностью функционирования основных
производственных
фондов.
Это
здания,
сооружения,
дороги,
мосты
и
другая
инфраструктура. Они имеют самые большие сроки службы, но также требуют для
создания значительного времени и наибольших капиталов.
Начало подъема совпадает с моментом такого накопления капитала, когда
становится рентабельным его инвестирование для создания новых, более эффективных
основных
производственных
фондов.
Высокая
волна
соответствует
освоению
производственных мощностей, увеличению объемов производства и занятости населения.
По мере исчерпания ресурсов происходит накопление отрицательных факторов:
увеличивается физический и моральный износ основных фондов, снижается их
производительность. Начинается понижение волны, уменьшаются объемы производства,
растет безработица. Это, в свою очередь, обусловливает усиление поисков в области
создания новой техники и концентрацию капиталов в руках промышленно-финансовых
групп. Все это создает предпосылки для нового подъема, и он повторяется вновь уже на
новой ступени развития производительных сил.
Строительные циклы имеют продолжительность 18-25 лет и связаны с
периодическим обновлением жилищ и производственных зданий. Когда в строительной
отрасли наблюдается рост инвестиций, это отражается на деловой активности и развитии
производства. Изнашивание жилищ и производственных зданий вызывает затухание
экономического роста.
Нормальные экономические циклы имеют продолжительность около 10 лет.
Причины этих циклов - в периодическом расстройстве сферы денежного обращения,
кредита. Кризис можно рассматривать как оздоровляющий фактор экономики, ведущий к
снижению цен и ликвидации предприятий, созданных для удовлетворения искусственно
возросшего спроса.
Краткосрочные циклы Английский (продолжительность приблизительно 3 года и 4
месяца)обусловлены колебаниями в мировых запасах золота.
Таким образом, циклическое развитие – это объективная закономерность, общая
черта развития всех стран с рыночной экономикой.
6
1.3.
Циклы в сказках
Циклы можно встретить и в различных русских сказках.
Например, в сказке «Колобок» после того, как колобок убежал от бабушки с
дедушкой, дальнейшие его действия можно представить в виде следующей схемы:
Рис.6
Цикл заканчивается, когда колобок нарушает свое правило и вместо того, чтобы
покатиться себе дальше, вскакивает лисе на мордочку. И тут же лиса его скушала. Вот и
сказке конец.
Подобные циклические структуры можно изобразить и для сказок «Теремок»
(рис.7), «Репка».
Рис.7
7
Ехал мужик с горшками и потерял один горшок.
Прилетела муха-горюха и спрашивает:
— Чей домок-теремок? Кто в тереме живет?
Видит — никого нет. Она залетела в горшок и стала там жить-поживать.
Цикл заканчивается, когда пришел медведь. На этом заканчивается и сказка. Сел
медведь на горшок, горшок раздавил и всех зверей распугал.
1.4.Циклы в математике
Задача. В строчку выписывают цифры по следующему правилу: первая цифра – 9, а
каждые две подряд стоящие цифры должны образовывать число, делящееся на 17 или 23.
Какая цифра может оказаться на 2013-м месте?на 999-ом месте?
Решение:
Рассмотрим все двузначные числа, делящиеся
На 17: 17, 34, 51, 68, 85
На 23: 23, 46, 69, 92
Выпишем все цифры, встречающиеся в двузначных числах, делящихся на 23 или
17: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Соединим цифры стрелками, если образованное ими двузначное
число делится на 23 или 17.
Рис. 8
«Распутаем» рисунок.
8
9
8
2
6
3
4
5
1
7
Рис. 9
В то время, когда мы выписываем цифры в строчку, на нашем рисунке мы
движемся по циклу или сворачиваем в сторону от цикла.
Если мы хотим попасть на 2013 место, то разделив 2013 на 5 с остатком, неполное
частное 402 нам покажет, сколько раз мы должны совершить полный оборот по циклу.
2013 = 5  402 + 3
А остаток 3 показывает наше движение дальше по циклу или в сторону от цикла.
Если мы продолжаем двигаться по циклу, попадаем в 3 , если в сторону от цикла – в 1.
Если остаток 1, то следующая цифра будет 9 или 8;
Если остаток 2, то 2 или 5;
Если остаток 4, то 4 или 7.
Если делится без остатка, задача имеет единственное решение - 6.
Разделив 999 на 5, получим 999 = 5  199 + 4. Значит, на 999-м месте будет стоять
цифра 4 или 7.
Ответ: 3 или1, 4 или 7.
Заметим, что модель этой задачи аналогична модели сказки «Колобок».
Таким образом, наблюдая за циклическими процессами, я заметил некоторые
характеристики циклов:
1. В цикле повторяются действия или объекты;
2. Начать движение можно в любой точке цикла, в результате мы пройдем все
точки.
Циклы можно изображать с помощью точек и дуг со стрелками, соединяющими эти
точки. В результате мы получаем ориентированный граф.
9
Глава 2. ЦИКЛИЧНОСТЬ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
Задача 1. Отличник Поликарп заполнил клетки таблицы цифрами так, что сумма
цифр, стоящих в любых трех соседних клетках, равнялась 15, а двоечник Колька стёр
почти все цифры. Сможете ли вы восстановить таблицу?
Рис. 10
Решение:
Сумма чисел, стоящих в первых трех клетках, по условию, равна 15. Сумма чисел,
стоящих в следующих трех клетках также равна 15.
15
15
Рис. 11
Т.к. вторая и третья клетка будут общими для обеих троек, в 4-ой будет стоять 6.
Теперь мы можем повторить наши рассуждения со второй 6-ой. Возникает цикл, который
схематично можно изобразить следующим образом. У нас есть колесо, на котором
отмечено три числа. Одно из них 6.
6
Рис. 12
И это колесо движется по ленте, расставляя шестерку на каждой третьей позиции.
Точно такие же рассуждения мы можем повторить и для числа 4. Если окажется, что две
из трех подряд идущих клетки заняты, можно найти цифру в 3-ей клетке.
10
5
4
6
Рис. 13
Восстановленная таблица имеет вид: 6, 5, 4, 6, 5, 4, 6, 5, 4, 6, 5, 4, 6, 5, 4.
Ответ: сможем.
Примечание. Задачу можно обобщить и для n клеток.
2.1. Деление с остатком
Задача 2. Начнем считать пальцы на правой руке: первый — мизинец, второй —
безымянный, третий — средний, четвертый — указательный, пятый — большой, шестой
— снова указательный, седьмой — снова средний, восьмой — безымянный, девятый —
мизинец, десятый — безымянный и т. д. Какой палец будет по счету 2004-м? 1992-м?
2013?
Решение. Когда мы станем перечислять пальцы, все время будет повторяется
группа из восьми пальцев: мизинец, безымянный, средний, указательный, большой,
указательный, средний, безымянный.
1
2
3
4
5
6
7
8
Мизинец
Безымянный
Средний
Указательный
Большой
Указательный
Средний
безымянный
1
2
8
3
7
4
6
5
Рис. 14
11
Образуется цикл.
2004 = 250 ∙ 8 + 4
Эта группа повторится 250 раз, и еще четыре останется. Четвертый палец в нашем
списке – указательный.
1992 = 8 ∙ 249
Последний, восьмой палец в нашем списке – безымянный.
2013 = 251 ∙ 8 +5
Пятый палец в нашем списке – большой.
Задача 3. На доске в классе написано число 23. Каждую минуту Вася стирает с
доски написанное на ней число и записывает на его место произведение его цифр,
увеличенное на 12. Что окажется на доске через час?
Решение:
Понаблюдаем, какие числа будут появляться на доске после каждой минуты.
Начальное число
23
1 минута
2 ∙ 3 + 12
18
2 минута
1∙ 8 +12
20
3 минута
2∙0 + 12
12
4 минута
1 ∙2 + 12
14
5 минута
1 ∙4 + 12
16
6 минута
1 ∙6 + 12
18
Заметим, что через шесть минут появляется вновь число 18, образуется цикл из 5-и
чисел.
18
20
16
12
14
Рис. 15
60 : 5 = 12
60 делится на 5 без остатка.
Ответ: 16
12
2.2. Календарь
В некоторых математических задачах рассматриваются дни недели, месяцы и года.
Дни недели образуют свой цикл, месяцы – свой, дни в году – свой цикл.
Рис. 16
Задача 4.
Какое наибольшее количество понедельников может быть: а)в одном месяце? б)в
одном году?
Решение.
a) Шести понедельников в одном месяце быть не может. Действительно, тогда в
таком месяце было бы как минимум пять полных недель и ещё один понедельник, то есть
не менее7·5+1=36 дней, а такого не бывает.
Пять понедельников всегда будет в месяце, начинающемся с понедельника (если
только это не февраль невисокосного года).
б) 365 = 52·7 + 1, 366 = 52·7 + 2. Поэтому в каждом году не более 52 полных недель
(от понедельника до воскресенья). Если год начинается с понедельника,то каждая из 52
полных недель будет начинаться с понедельника, а 31 декабря тоже будет понедельником.
Поэтому в этом случае в году будет 53 понедельника.А если бы в каком-то году было хотя
бы 54 понедельника, то в нём было бы не меньше 53 полных недель, чего быть не может.
Ответ. а) 5; б) 53
Задача 5. В одном феврале было 5 суббот. Каким днём недели было двадцать
восьмое число в этом феврале?
13
Решение. Если в феврале 28 дней, то каждый день недели встречается ровно 4 раза.
Т.к. по условию есть пять одинаковых дней недели, то в этом феврале29 дней, т.е. год –
високосный.
29 = 4· 7+1
Следовательно, 5 раз встречается только тот день недели, с которого этот февраль
начинается. Значит, 1 февраля было субботой, и субботой же было 29 февраля. А тогда 28
февраля было пятницей.
Ответ. Пятницей.
Задача 6. В 1989 году было 53 понедельника. Каким днём недели было 1 февраля
1989 года?
Решение.Во-первых, заметим, что 1989 год не был високосным, то есть в нём было
365 дней.
365 = 52 ·7 +1
Если в нём было 53 понедельника, значит, 1 января 1989 года было понедельником.
Тогда 8, 15, 22 и 29 января тоже пришлись на понедельник, а 1 февраля пришлось на
четверг.
Ответ. Четвергом.
Задача 7. Правда ли, что каждый год 13-е число какого-нибудь месяца приходится
на пятницу? И нас всегда будет преследовать «пятница 13-е»?
Решение.Рассмотрим две окружности. Первая окружность, на которой отмечены
дни года, вторая – дни недели.
13 декабря
347-й день
13 ноября
317-й день
13 октября
286-й день
13 января
13-й день
1-й день
пн
вс
вт
ср
13 февраля
44-й день
сб
чт
пт
13 марта
72-й день
13 апреля
103-й день
13 сентября
256-й день
13 мая
133-й день
13 августа
225-й день
13 июня
164-й день
13 июля
194-й день
Рис.17
14
На первой окружности мы выделили дни, приходящиеся на 13 число: 13 января, 13
февраля,…., 13 декабря. 13 января, очевидно, будет тринадцатым днём года. 13 февраля
будет 31+13=44-м днём года, 13 марта будет31+28+13=72-м днём года (будем пока
считать, что наш год невисокосный). Далее аналогично находим: 13 апреля — 103-й день,
13 мая — 133-й день,13 июня — 164-й день, 13 — июля 194-й день, 13 августа — 225-й
день, 13 сентября — 256-й день, 13 октября — 286-й день, 13 ноября — 317-й день, 13
декабря — 347-й день.
Вторая окружность движется внутри первой. 1 января может быть любым днем
недели. Если 1 января – понедельник, то пятницами будут все дни в году, номера которых
при делении на 7 дают остаток 5.
Если 1 января – вторник, то пятницами будут все дни в году, номера которых при
делении на 7 дают остаток 4.
И так далее…
Номера всех дней года, приходящихся на пятницу, имеют один и тот же остаток от
деления на 7 (так как пятница бывает один раз в 7 дней). Кроме того, все дни года, номера
которых дают одинаковый остаток при делении на 7, приходятся на один и тот же день
недели (потому что в неделе 7 дней).
Выпишем в таблицу номера дней года, на которые попадают 13-е числа разных
месяцев. Посмотрим на остатки от деления этих номеров на 7. Получим: 6, 2, 2, 5, 0, 3, 5,
1, 4, 6, 2, 4.
Аналогично рассуждая, заполним таблицу для високосного года.
Заметим, что в обеих таблицах встречаются все возможные остатки от деления на 7
(от 0 до 6).
Рис.18 Невисокосный год
Рис.
15
19 Високосный год
Независимо от того, каким днем недели был 1 января, у нас обязательно встретится
пятница, 13 число.Поэтому, какой бы остаток от деления на 7 ни давали номера пятниц,
всегда найдётся 13-е число какого-нибудь месяца, номер которого делится на 7 с тем же
остатком. Это и будет «пятница 13-е».
Ответ. Да.
Можем ли мы изменить что-нибудь для того, чтобы пятница 13-го не появлялась?
Для этого изменим количество дней, например, вапреле. Пусть в апреле будет 31 день.
Тогда 13 мая станет 134 –м днем в году и остаток от деления этого номера на 7 станет 1.
Но чтобы число дней в году не изменилось и другие остатки остались прежними, в мае
количество дней уменьшим на 1. Тогда
в високосном году, который начинается с
субботы, остаток при делении на 7 будет равен 0. А нуля в таблице нет.
Рис. 20 Невисокосный год (без «пятницы 13-е»)
2.3. Игры. Стратегии
Задача 8. Имеется кучка камней. Двое играющих (начинающий и противник) по
очереди берут по своему усмотрению один, два или три камня. Проигрывает тот, кто
возьмет последний камень. Как должен играть начинающий, чтобы выиграть?
Решение:
а) Пусть в кучке шесть камней. Рассмотрим различные варианты игры в поисках
стратегии игры начинающего, при
которой он выигрывает. Эта стратегия должна
обеспечить такой порядок ходов начинающего, при котором к последнему ходу
16
противника остается не взятым только один камень. Так как начинающий своим первым
ходом может взять один, два или три камня, то возможно три варианта:
1. Первым ходом начинающий берет три камня. Тогда противник, взяв два камня,
выигрывает, так как начинающему остается один камень.
2. Первым ходом начинающий берет два камня. Тогда противник, взяв три камня,
выигрывает, так как начинающему остается опять один камень.
3. Начинающий берет один камень. Тогда при любом числе камней, взятых
противником
из четверки камней, начинающему останется из этой четверки один, два или три
камня, которые он может забрать своим вторым ходом, оставляя противнику один
последний камень. Значит, выигрывает начинающий.
Это и есть выигрышная стратегия игры начинающего.
б) Пусть теперь в кучке семь или восемь камней. Тогда их можно расположить
следующим образом:
Рис.21
При этом ясно, что начинающему для
получения выигрышной стратегии
необходимо изменить только свой первый ход (в случае семи камней брать при первом
ходе два, а в случае восьми — брать при первом ходе три камня).
в) Допустим, в кучке одиннадцать камней. Расположим их в ряд, выделив два
первых и последний камень, а между ними две группы по четыре камня.
Рис.22
Для получения выигрышной стратегии
начинающему, очевидно, нужно своим
первым ходом взять два камня, а после каждого хода противника брать столько, чтобы
сумма камней, взятых этим ходом начинающего и предыдущим ходом противника,
равнялась четырем.
Таким образом, можно сформулировать выигрышную стратегию
игроков для
любого количества камней. Пусть в кучке n камней. Расположим их в ряд, выделив
последний камень, а перед ним группы по четыре камня. Если этих групп получилось
целое количество, то начинающий при правильной игре противника, не сможет выиграть.
Если же в первой группе остался 3, 2 или 1 камень, то начинающий первым ходом
17
должен брать 3, 2, или 1 камень, а следующим ходом брать столько, чтобы сумма камней,
взятых этим ходом начинающего и предыдущим ходом противника, равнялась четырем.
В данной задаче мы можем наблюдать цикл.
Для этого решим задачу с конца. Если в ходе игры в конце остался 1 камень, то эта
позиция проигрышная для начинающего игрока. Если 2, 3 или 4 камня, то выигрышная.
Дальше все повторяется, возникает цикл, который подтверждает выше описанную
стратегию.
п
в
в
в
Рис. 23
Рассмотрим ситуацию с двумя кучками камней.
Задача 6. Игра состоит в том, что каждый из двух играющих по очереди берет
произвольное количество камней из любой, но одной кучки. Выигрывает тот, кто возьмет
последний камень.
1. Кто выиграет (начинающий или противник), если в первой кучке 30 камней, а во
второй — 16?
2. Кто выиграет, если в каждой кучке по 15 камней?
Решение:
Если в первой кучке 30 камней, а во второй — 16 (неравное количество), то, взяв
своим первым ходом из первой кучки 14 камней (уравнивая кучки),
начинающий
обеспечивает себе выигрыш.
Действительно, в дальнейшем ходе игры начинающему достаточно брать из кучки
столько же камней, сколько из второй кучки взял противник своим последним ходом.
Ясно, что при такой стратегии последний камень возьмет начинающий и,
значит,
выиграет.
При условии, что в каждой кучке по 15 камней, выиграет противник, если он будет
придерживаться в игре стратегии, описанной в предыдущем случае после уравнивания
кучек.
18
Заключение
Во многих процессах окружающего мира наблюдается цикличность. Изучение
периодических закономерностей природы и общества позволяет прогнозировать
результаты каких-либо процессов и оказывать влияние на них.
Знание циклов помогает, например в спорте. В году мы выделяем те дни, в которые
запланированы ответственные соревнования. Тренировочный процесс идет по циклу:
низшая точка, подъем, верхняя точка, ухудшение функционального состояния.
Тренировочный процесс можно спланировать так, чтобы верхняя точка попадала в дни, в
которые запланированы ответственные соревнования, или около них. Трудно ожидать от
спортсмена высокого результата в те дни, когда его физическое состояние находится в
низшей точке.В различных задачах построение математических моделей в виде циклов
позволяет сделать процесс более наглядным, интересным, рациональным.
Циклические процессы встречаются в разных видах человеческой деятельности.
Использование циклов позволяет решать разные задачи.
19
Литература
1. Бирюков В. Циклы природы – Режим доступа: http://subscribe.ru/archive/psyc
hology.zakonmagnita/200710/19003546.html/ - Загл. с экрана
2. Коктева Н.А. Интегрированный урок по биологии и информатике на тему:
"Понятие
цикла.
Циклические
алгоритмы
в
живой
природе".
-
http://festival.1september.ru/articles/313848/ - Загл. с экрана
3. Лихтарников Л.М. Занимательные логические задачи. – Элементы математической
логики. — Л.: СПб.: Лань, МИК, 1996. – 125 с.
4. Спивак А.В. Математический праздник. – М.: Бюро Квантум, 2004. – 288 с.
20