Теория седиментации

1
Программа "Открытое образование"
ТЕОРИЯ СЕДИМЕНТАЦИОННОГО АНАЛИЗА. УРАВНЕНИЕ СТОКСА.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
Частица. Применительно к порошкам частица – это объем вещества твердой фазы, имеющий поверхность раздела с газообразной или жидкой средой и сообщающийся с аналогичными образованиями твердой фазы лишь
точечными контактами. При этом контакты имеют вторичное происхождение, то есть образуются ранее раздельными частицами, содержащимися в ограниченном объеме среды.
Агрегат. Группы частиц, скрепленные поверхностными или коагуляционными силами в точечных контактах,
которые в конкретных процессах ведут себя как единое целое. Иначе говоря, это вторичная частица, состоящая
из первичных.
Объем частицы. Для непористой сплошной частицы любой формы отношение ее веса к плотности материала.
Объем агрегата. Объем пространства, ограниченный внешней поверхностной границей, разделяющей свойства
среды вне и внутри агрегата в рассматриваемом процессе.
Площадь поверхности. Для непористых сплошных частиц площадь поверхности границы твердой фазы.
Удельная поверхность частицы. Отношение полной (внешней) площади к объему (весу). Чаще всего выражается как отношение площади поверхности к весу.
Линейный размер частицы. Для геометрически правильных частиц – диаметр. В прямых наблюдениях берут
среднее арифметическое из трех измерений: длины, ширины, толщины.
Седиментационный диаметр – диаметр частицы той же плотности, что и исследуемая, но сферической формы
и оседающей с той же скоростью.
Оседание шарообразной частицы в поле земного тяготения. Сила, вызывающая движение частицы в вязкой
среде – ее вес
F = mmg.
(1)
Для шарообразной частицы
mm g = 1/6  3mg ,
(2)
где m - плотность материала частиц;  - её диаметр.
По закону Архимеда, потеря в весе частицы, находящейся внутри жидкости,
mf g = 1/6  3f g ,
(3)
где f – плотность жидкости.
Таким образом, сила F, под действием которой будет происходить оседание частицы в жидкой среде,
F = (mm – mf) g = 1/6  3 (m - f ) g.
(4)
Однако, помимо этой силы, на частицу действует сила сопротивления вязкой среды, возникающая в начале
движения и возрастающая с увеличением скорости движения частицы. Величина сопротивления среды определяется характером движения частицы. При малых скоростях движения между частицей и непосредственно прилегающей к ее поверхности жидкостью не происходит скольжения. Поэтому некоторый тонкий слой жидкости, окружающий частицу, движется вместе с нею. На известном расстоянии от поверхности частицы среда
практически остается в состоянии покоя. Таким образом, на границе между поверхностью частицы и средой существует градиент скорости молекул жидкости, и трение жидкости в переходном слое будет определять величину сопротивления. Очевидно, что помимо трения жидкости (вязкость) величина сопротивления
будет зависеть от размеров частицы и скорости ее движения. Однако такое «вязкое» сопротивление будет определять скорость оседания частицы лишь при достаточно малых ее размерах. В случае больших частиц сила
«вязкого» сопротивления будет оказывать лишь ничтожное влияние на скорость оседания. Зато в этом случае
появится сила сопротивления, определяемая инерцией среды, так называемая сила динамического сопротивления.
Стокс исследовал движение шара в вязкой среде. Если движение будет медленное (тело движется достаточно
медленно и равномерно), то поток вязкой жидкости вокруг него будет стационарным и ламинарным. Сила вязкого сопротивления по Стоксу будет
FSt.
 2  m V 2

= Cf
4
2
= 6   r V,
(5)
где r – радиус частицы (см), V = dH/dt – скорость движения (см/с),  - вязкость среды (г/смс) пз.
Вообще говоря, скорость оседания частиц величина переменная. Вначале частица движется с некоторым ускорением, зависящим от ее плотности и плотности среды. Однако, благодаря возрастанию силы сопротивления
2
среды параллельно росту скорости движения, в соответствии с уравнением для FSt, величина ускорения быстро
уменьшается и в некоторый момент становится равной нулю. В этот момент величина силы сопротивления достигает значения силы, сообщающей движение частице. После достижения этого равенства сил скорость движущейся частицы становится постоянной.
 3
 2  f w 2
( m   f )g  C f
6
4
2
,
(6)
Таким образом, F - FSt = 0, или 4/3  r3 (m - f ) g = 6   r V,
откуда V = 2/9 g (m - f ) r2/.
Если скорость оседания V определяется опытным путем, радиус частицы можно вычислить по формуле
r=
9 V
.
2 m   f g
(7)
Для данной дисперсной фазы и дисперсионной среды величины m, f ,  - постоянны, то есть
9
2 m   f g
= const. = k , тогда
rk
H
, или
t
V = c r2, где c = 1/ k2.
Так как при стационарном движении V = const = H/t, то расчетной формулой для определения размеров частиц
по скорости их оседания будет
r = k (H/t)1/2.
(8)
Теоретически закон сопротивления для шарообразных частиц, движущихся в вязкой среде, чаще всего представляется в виде ряда
Cf 
Fk
1
w 02 R 2
2

24 
3
19

Re 2     
 1  Re 
Re  16
1280

.
Иногда данные экспериментов выражают степенной зависимостью
Cf 
A
Re n
.
В частном случае закона Стокса А = 24, n = 1.
Формула Стокса применима для значений 1 Re 10-3, однако, её точность внутри этого диапазона неравнозначна. При значении Re = 0.05 ошибка в определении коэффициента сопротивления составляет  5.3%, а при
Re = 1.0 – порядка 15%.
То есть, использование закона Стокса в седиментационных исследованиях для определения эквивалентных
размеров частиц ограничено значением Re = 0.01, что в пересчёте на размеры частиц означает   40 - 50 m. то
есть, метод ограничивается подситовой зоной изменения размеров частиц.
Как уже было сказано, закон Стокса позволяет находить аналитическое решение при определении скорости
оседания и, следовательно, размеров оседающих частиц, то есть максимально упростить математический аппарат. В настоящее время, усложнение задачи частичным учётом инерционных сил в уравнении Навье - Стокса
на порядок расширяет границы применимости метода седиментации, охватывая при этом значительную часть
ситового диапазона.
Это становится возможным благодаря применению нелинейных законов сопротивления, используемых
для расчета размеров частиц по седиментационным кривым. В частности, эмпирического закона Клячко
(9)- (10)
24
,
(9)
Re 
0 , 667
где  = 1 при выполнении закона Стокса ,  = 1  0.17 Re 
- для формулы Клячко
Общая формула сопротивления
Cf 
3

24 
4
1 
3 Re
Re  


.


(10)