Урок 6 Уравнение окружности. Решение задач.

Урок 6
УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Ц е л и : закрепить знания учащихся в ходе решения задач; развивать логическое
мышление учащихся.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
1. Р е з у л ь т а т ы математического диктанта. Указать ошибки, сделанные учащимися.
2. На доске один ученик выводит уравнение окружности.
3. С остальными учащимися проверяется решение домашних задач.
II. Выполнение упражнений.
1. Р е ш и т ь задачу:
Напишите уравнение окружности с центром в точке А (0; 4), проходящей через точку
D (–6; –4).
Решение
Центр окружности имеет координаты А (0; 4). Найдем радиус окружности r = AD по
формуле: d =
( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2 .
2
2
(

6

0)

(

4

4)
 36  64  100 = 10; r = 10.
r = AD =
Значит, искомое уравнение окружности имеет вид:
(x – 0)2 + (y – 4)2 = 102; x2 + (y – 4)2 = 100.
О т в е т : x2 + (y – 4)2 = 100.
2. Р е ш и т ь задачу № 969 (а) на доске и в тетрадях.
Решение
2
2
(7

3)

(

3

5)
 100  64  164 =
Диаметр
окружности
MN
=
= 2 41 ; найдем радиус окружности r = 41 . Координаты центра окружности найдем,
используя
формулы
для
нахождения
координат
середины
отрезка
MN:
x
=
y1  y2 3  5
x1  x2 3  7


2 = 1. Центр В (2; 1). Напишем уравнение
2
2 = 2; y = 2
окружности: (x – 2)2 + (y – 1)2 = 41.
3. Р е ш и т ь задачу № 970.
Решение
Центр окружности лежит на оси абсцисс, то координаты центра D (x; 0); радиус равен
r = 5. Окружность проходит через точку А (1; 3), тогда AD = r, поэтому (x – 1)2 + (3 – 0)2 =
r2 = 52, (x – 1)2 + 9 = 25;
x2 – 2x – 15 = 0; x1 = –3; x2 = 5.
Следовательно, координаты центров окружностей D1 (–3; 0) и D2 (5; 0). Существует две
таких окружности: (x + 3)2 + y2 = 25 и (x – 5)2 + y2 = 25.
4. Р е ш и т ь задачу № 971 на доске и в тетрадях.
Решение
Центр окружности лежит на оси ординат, значит, координаты центра С (0; y). По
условию, окружность проходит через точки А (–3; 0) и В (0; 9), значит, расстояния АС =
ВС = r радиусу:
(0 + 3)2 + (y – 0)2 = (0 – 0)2 + (y – 9)2;
9 + y2 = y2 – 18y + 81; 18y = 72; y = 4.
Следовательно, центр окружности имеет координаты С (0; 4).
Найдем радиус окружности: r2 = AC2 = (0 + 3)2 + (4 – 0)2 = 9 + 16 = 25; r = 5. Напишем
уравнение окружности:
(x – 0)2 + (y – 4)2 = 52; то есть x2 + (y – 4)2 = 25.
5. Р е ш и т ь задачу № 1002(а) на доске и в тетрадях (решение задачи объясняет
учитель).
Решение
Координаты точек А, В и С должны удовлетворять уравнению окружности (x – a)2 + (y
– b)2 = r2.
Подставив в это уравнение координаты данных точек, получим систему трех
уравнений относительно неизвестных a, b и r :
(1  а) 2  (4  b) 2  r 2 , (1)

2
2
2
(4  а )  (5  b)  r , (2)
(3  а ) 2  (2  b) 2  r 2 . (3)

Вычтем из уравнения (1) сначала уравнение (2), а затем уравнение (3). Получим
систему двух линейных уравнений с неизвестными a и b, которую учащиеся могут решить
7
5

а   ; b  
2
2  . Подставив эти значения в любое из уравнений,
самостоятельно 
например, в уравнение (1), находим значение r2 и записываем искомое уравнение:
2
2
7 
5  125

.
x   y  
2 
2
2

III. Итоги урока.
Домашнее задание: повторить материал пунктов 86–91; решить задачи №№ 969 (б),
981 (есть решение в учебнике), 1002 (б).