Производная функции, ее геометрический смысл

Урок 1
Производная — центральное понятие математического анализа. Освоить
производную хотя бы на минимальном уровне способны даже самые слабые ученики.
Производная функции.
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности U(x0) точки x0. Тогда для
любой точки x  U(x0) разность x − x0 обозначается ∆x и называется приращением
аргумента, соответствующая разность значений функции f(x) – f(x0) обозначается ∆f(x0) и
называется приращением функции. Так как x = x0 + ∆x, то ∆f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0).
Производной функции y = f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения
функции Δf(x0, Δx) к соответствующему приращению аргумента Δx, если приращение
аргумента стремится к нулю:
f ( x0 )  lim
x 0
f ( x0 , x)
f ( x0  x)  f ( x0 )
 lim
.

x

0
x
x
Функция, имеющая производную в точке x0, называется дифференцируемой в этой
точке.
Найдем производную функции f(x)= cos x в точке хо с помощью определения.
1) значению x = хо придаём приращение Δx;
2) находим приращение функции f(x)= cos x в точке хо:
∆f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0) = cos (x0 + ∆x) – cos(x0);
3) находим число f ( x0 ) (если такое число существует), к которому стремится
f ( x0  x)  f ( x0 )
при x  0 :
x
f ( x0 )  lim
x 0
f ( x0  x)  f ( x0 )
cos( x0  x)  cos( x0 )
 lim

x 0
x
x
x
 x  x  x0   x0  x  x0 
 2 x  x 
2sin  0
2sin  0
 sin 

 sin
2
2
2
2

 
  lim


 lim

x 0
x 0
x
x
x
 2 x  x 
2   sin  0
т.к. x  0,

2
2

   lim sin  2 x0  x    sin x .

x x  lim
0


x

0
x  0
x
2
то sin
~


2
2
Итак, получили
(cos x0) = –sin x0.
Найдем производную функции f ( x)  x в точке хо (хо > 0) с помощью определения.
1) значению x = хо придаём приращение Δx (│Δx│< х0 );
2) находим приращение функции f ( x)  x в точке хо:
x0  x  x0 ;
∆f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0) =
3) находим число f ( x0 ) (если такое число существует), к которому стремится
f ( x0  x)  f ( x0 )
при x  0 :
x
f ( x0 )  lim
x 0
x  x  x0
f ( x0  x)  f ( x0 )
 lim 0

x 0
x
x
домножим числитель и

знаменатель на
 lim

x0  x  x0
x
x 0
x0  x  x0
 lim
x 0
x

x0  x  x0
x0  x  x0

 lim
x  0
x


x
x0  x  x0

x0  x  x0
x0  x  x0

 lim
x  0


1
1

.
x0  x  x0 2 x0
Итак, получили
 x   2 1x
0
.
0
Найдем производную функции f(x)= tg x в точке хо с помощью определения.
1) значению x = хо придаём приращение Δx;
2) находим приращение функции f(x)= tg x в точке хо:
∆f(x0) = f(x0 + ∆x) – f(x0) = tg (x0 + ∆x) – tg (x0);
3) находим число f ( x0 ) (если такое число существует), к которому стремится
f ( x0  x)  f ( x0 )
при x  0 :
x
f ( x0 )  lim
x 0
 tg  tg  

f ( x0  x)  f ( x0 )
tg( x0  x)  tg( x0 )
 lim

x 0
x
x
sin( x0  x  x0 )
sin(   )
sin x
 lim
 lim

cos  cos  x0 x cos( x0  x) cos x0 x0 x cos( x0  x) cos x0
т.к. x  0,
x
1
1
 lim
 lim


x

0

x

0
то sin x ~ x
x cos( x0  x) cos x0
cos( x0  x) cos x0 cos 2 x0
Итак, получили
 tg x0  
1
.
cos 2 x0
Если же попробовать вычислить производную по этой же схеме, например,
функции y  3 log 2 (2x  x)  arctg x , то это будет очень сложный и трудоемкий процесс.
Поэтому существуют более простые и эффективные способы.
Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить
так называемые
элементарные
функции.
Это относительно
простые
выражения,
производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно
просто запомнить — вместе с их производными.
Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих
функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они
и элементарные.
Таблица производных основных элементарных функций
1) (ха) = a xa–1;
2) (ax) = ax ln a, a > 0, a  1; (ex) = ex;
3) ( x ) 
1
2 x
;
4) (sin x) = cos x;
5) (cos x) = –sin x;
6)  tg x  
1
;
cos 2 x
7)  ctg x   
1
;
sin 2 x
8)  log a x  
1
1
; (ln x)  ;
x ln a
x
Основные правила нахождения производных
Если элементарную функцию умножить на произвольное число, то производная
новой функции тоже можно легко найти:
(c f)  = c f .
В общем, константы можно выносить за знак производной. Например:
5 x   2 5x
0
0
Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать и
делить. Так появятся новые функции, дифференцируемые по определенным правилам.
Эти правила рассмотрим ниже.
Пусть с = const, v = v(x) и u = u(x) – некоторые функции, дифференцируемые в точке
x 0 . Тогда:
1) (c) = 0;
2) (x) = 1;
3) (u + v) = u + v;
4) (u – v) = u – v;
5) (c u) = c u;

 u  u
6)    ;
c
c
7) (u v) = u v + u v;

 u  uv  uv
8)   
, v  0;
v2
v

cv
c
9)     2 , v  0.
v
v
Далее для усвоения всего сказанного ранее рассмотрим примеры с подробным
описанием каждого шага решения.
Пример 1. Найти производную функции y = 3x5 + 6x7 − 8х3 + x2 − 12 в точке x0 = –1.
Решение
y' = 3(x5)' + 6(x7)' − 8(х3)' + (x2)' − (12)' = 15x4 + 42x6 − 24х2 + 2x.
Тогда производная функции в точке x0 = –1:
y'(–1) = 15(–1)4 + 42(–1)6 − 24(–1)2 +2(−1) = 15 + 42 – 24 − 2 = 31.
Пример 2. Найти производную функции y 
1
5
x
3

2
3
x
5

3
в точке x0 = 1.
x
Решение
Преобразуем функцию:
y
1
5
x3

2
3
x5

3
5


3
 x 5  2 x 3  3x 1.
x
Тогда


  53    53 
 5  5 1 
3  3 1
y   x    2 x    3x 1    x 5  2   x 3   3   x 11  
5

 

 3

3  8 10  8
  x 5  x 3  3x 2 .
5
3
Производная функции в точке x0 = 1:
3  8 10  8
3 10
4
y(1)   1 5  1 3  3 12     3   .
5
3
5 3
15
Пример 3. Найти производную функции y 
33 x  56 x
в точке x0 = 1.
x3
Решение
Преобразуем функцию
y
33 x  56 x
x3
3
3
x
x3
5
6
x
x3
1 3

2
 3x 3
1 3

2
 5x 6
 3x

7
6

4
 5x 3 .
Тогда
4 
 
  76
7   76 1  4   34 1
7 136 20  73

3
y   3 x  5 x   3     x
 5   x
 x 
x .
2
3
 6
 3


Производная функции в точке x0 = 1:
7 20 19
y(1)   
 .
2 3
6
Пример 4. Найти производную функции у  4 х sin x в точке x0 = π/2.
3
Решение
Воспользуемся правилом нахождения производной произведения двух функций:
(uv) = uv + uv.
Тогда
y   4 х3 sin x   4  x3  sin x  4 х3  sin x   4  3x 2 sin x  4 х3 cos x 
 12 x 2 sin x  4 х3 cos x.
Производная функции в точке x0 = π/2:




 
 
 
y    12   sin  4   cos  12  1  4   0  3 2 .
2
2
4
8
2
2
2
2
3
2
3
Пример 5. Найти производную функции y   x  8 ctg x в точке x0 = π/4.
Решение
Воспользуемся правилом нахождения производной произведения двух функций:
(uv) = uv + uv.
Тогда
1 

y    x  8  ctg x    x  8  ctg x   x  8  ctg x   ctg x   x  8    2  .
 sin x 
Производная функции в точке x0 = π/4:



 
1


y    ctg    8   
4 4
4
  sin 2 

4
 1
  32
2



  32
1
  32 4

 1
 
  1
2
4
4
2
 2




 2 
2    32   30

.
2
2
Пример 6. Найти производную функции f  x  
1 4x
в точке x0 = 1.
2x 1
Решение
Воспользуемся правилом нахождения производной частного:

 u  uv  uv
.
  
v2
v
Тогда


 1  4 x  1  4 x   2 x  1  1  4 x  2 x  1 4  2 x  1  2 1  4 x 
y  




2
2
 2x 1 
 2 x  1
 2 x  1

8 x  4  2  8 x
 2 x  1
2

6
 2 x  1
2
.
Производная функции в точке x0 = 1:
y 1  
6
 2  1
2
2
 .
3
Пример 7. Найти производную функции f  x  
cos x
в точке x0 = 0.
ex  1
Решение
Воспользуемся правилом нахождения производной частного:

 u  uv  uv
.
  
v2
v
Тогда

x
x
x
 x
cos x   cos x   e  1  cos x  e  1  sin x  e  1  cos x  e

y   x  

.
2
2
 e 1 
 ex  1
 e x  1
Производная функции в точке x0 = 0:
y  0  
 sin 0  e0  1  cos 0  e0
e
0
 1
2
1
 .
4
Контрольные вопросы.
1). Что такое приращение аргумента и приращение функции?
2) Дайте определение производной функции в точке.
3). Сформулируйте алгоритм нахождения производной по определению.
4). Почему производная константы равна нулю?
5). Чему равна производная суммы?
6) Продолжить формулы:
(u  v) '  ... ;

u
   ...
c

u
   ...;
v
(cu ) '  ... ;

c
   ... .
u
 c  const, c  0  ;
7) Найти производные следующих функций:
а) y  x 3  x ;
8) Продолжить формулы:
( x a ) '  ...; (a x ) '  ...;
б) y = 2x + sin x;
в) y = log3 x + 4.
( x ) '  ...; (e x ) '  ...;
(sin x) '  ...; (cos x) '  ...;
(loga x)'= …; (ctg x)'= …;
9). Когда рациональнее вместо производной частного находить производную суммы?
10). Как дробь представить в виде произведения?
11). Чему равна производная произведения?
12). Чему равна производная степенной функции?