Задачи-2сем

Неопределенный интеграл.
2.8.
Таблица производных и дифференциалов.
Найти дифференциал функции
1. d (ax ) 
2. d (ax  b) 
3. d ( x 2 ) 
4. d ( x ) 
7. d ln x 
10. d (cos 2 x) 
1
13. d ( ) 
x
16. d (1  x)16 
6. d ln( ax  b) 
9. d sin x 
12. d ( x a ) 
14. d sin( 1 / x) 
15. d (7 x3  5) 3 
17. d (x 2  1)3 / 2 
18. d (1 / cos x) 
19. d (arctg x) 
20. d 1  tgx 
21. d (e ) 
Непосредственное интегрирование. Таблица интегралов.
Берман Г.Н.: № 1676, 1678, 1680, 1682, 1684, 1686, 1694, 1696, 1704,
1706, 1708, 1712, 1720, 1724, 1726, 1738, 1742.
Найти интегралы:
dx
dh
1.1.  x dx.
1.2  2 .
1.3.  a x e x dx. 1.4. 
.
x
2gh
x
1.5.  (1  2u )du.
1.8.
 tg x d tg x.
1.11.
3
dx
 (a  bx)
c
2
xx e x
1  cos x
dx. 1.7. 
dx.
3
x
1  cos 2 x
1.9.  tg 2 x dx.
1.10.  (1  x)15 dx.
1.6.

, (c  1). 1.12.
3
x
 2x
2
x 2  1 dx. 1.13.
sin x
dx.
2
x
 cos
dx
arctg 2 x
 1  x2 dx. 1.15.  cos2 x 1  tg x .
Основные методы интегрирования. Замена переменных.
Интегрирование по частям. Тест.
Берман Г.Н.: № 1750, 1760, 1768, 1870, 1884, 1885, 1834, 1838, 1847;
1849, 1852, 1863.
dx
e x dx
(ln x) m
.
. 2.3. 
dx.
Найти интегралы: 2.1. 
2.2.  x
2x  1
x
e 1
dx
x3
dx
e x dx
.
dx. 2.7. 
.
.
2.4. 
2.5.
2.6.
2

2x

1  9x
e 4
x 1
ex  1
1.14.
x
 xe
dx. 2.10.  arccos x dx. 2.11. 
x2
(1  x 2 ) 2
dx.
2.12.  x 2 ln( 1  x) dx. 2.13.  x 2a x dx. 2.14.  sin ln x dx.
5. df (x ) 
8. d (ln arcsin x) 
11. d (ln sin x) 
3

1  ln x
dx. 2.9.
x ln x
Интегрирование квадратичного трехчлена. Интегрирование
рациональных дробей. Тест.
Берман Г.Н.: № 1943, 1944, 1946, 1942; 2012, 2016, 2022, 2037.
(8x  11)dx
x2
3x  1
3.1. 
dx. 3.3. 
dx.
. 3.2. 
2
2
x  2x  2
4 x  4 x  17
5  2x  x2
3.4. 
3.7. 
dx
x
dx. 3.6.
. 3.5. 
2
( x  1)( 2 x  1)
12 x  9 x  2
( x 2  3x  2)dx
.
3.8.

x5  x 4  8
x3  4 x
dx.
dx
 1  x3 .
x( x 2  2 x  1)
Интегралы от тригонометрических функций.
Берман Г.Н.: № 2111, 2091, 1829, 2100, 1818, 2118, 2126.
4.1.
dx
 5  4 sin x .
4.2.
4.5.  sin 2 x  sin 5 x dx.
sin 3 x
 cos4 x dx.
4.6.
4.3.  sin 4 xdx. 4.4.  tg 5 xdx.
dx
 1  sin 2 x .
4.7.
4
dx
3
5
sin x  cos x
.
Интегрирование иррациональностей.
Берман Г.Н.: № 1879, 2074, 2079, 2087, 1891, 1898, 2176.
x
1  x dx
dx. 5.2.  3
5.1. 
. 5.3.  x5  3 (1  x3 )2 dx.
3
1 x x
x x
5.4. 
dx
x11  1  x 4
xdx
5.7. 
.
x  x2  1
.
5.5.

x 2dx
2
a x
2
.
5.6.

dx
x 1 x
2
.
6. Контрольная работа по теме «Неопределенный интеграл», сдача
ИДЗ-1(9) на проверку.
Определенный интеграл.
Определенный интеграл, свойства, оценки, вычисление.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.
М. Наука, 1972- 1985 гг.: № 2232, 2233, 2242, 2252, 2260, 2276,
2279, 2298, 1628, 1630.
Вычислить интегралы:
1
7.1.
dx

13
.

7.2.
3
 3 (11  5 x)

2
7.4.  cos 5 x  sin 2 xdx .
2
7.6.

0
x dx
.
1 x
5 (3  x ) 4

7.5.
0
1
2
dx
.
7.3.

1
1
e x dx
x2
.
2
x  cos xdx .
7.7.

0
e x dx
e x  e x


2 xdx
.
x 2 1
9.1
7.8. Вычислить среднее значение функций f ( x)  sin x и

1
x sin xdx .
9.2.
0

0

dx

dx
 x 2 ( x  1) .
1
2
dx
.
9.3.
1 x 2
3.5

1.5
x 2 dx
.
x 1
Приложения определенного интеграла. Несобственные ин-лы.
Берман Г.Н. : № 2485, 2455, 2490, 2510, 2521, 2546.
8.1 Вычислить площадь одного из криволинейных треугольников,
ограниченного осью OX и кривыми y  sin x, y  cos x .
8.2 Вычислить площадь, ограниченную линиями:
y 2  2 x  1; x  y  1  0 .
8.3 Вычислить площадь, ограниченную одной аркой циклоиды
и осью x.
8.4 Вычислить площадь, ограниченную линией
( x 2  y 2 ) 3  4a 2 xy( x 2  y 2 ) .
8.5 Найти длину дуги кривой y  ln x (от x1  3 до x 2  8 ) .
8.6 Найти длину кардиоиды   a(1  cos ) .
dx
 x ln x
.
1
9.4. Исследовать на сходимость:
Оценить
. 8.11.
2
  x  2x  2


1
ln( x 2  1)dx
, 9.5.
x
1
x dx
 e sin x  1 .
0
9.6. При каких значениях k сходятся интегралы:

1)
 x  a(t  sin t ),

 y  a(1  cos t ),

8.10.

.
f ( x)  sin 2 x на отрезке [0, ] .
10
xdx
5
7.9. Доказать, что 
 . 7.10.
3
6
0 x  16

8.9.
Несобственные интегралы.
Берман Г.Н. : № 2378, 2394, 2399, 2389, 2415, 2420, 2538. ИЗ.
Вычислить или установить расходимость:

0
1
Берман Г.Н. : № 2555, 2564, 2369, 2370, 2372.
8.7. Найти объём тела, образованного вращением параболы y 2  4 x ,
вокруг своей оси и плоскостью перпендикулярной к её оси, отстоящей
от вершины на 1 (x=1).
8.8. Найти объём тела, образованного вращением параболы y  2 x  x 2 ,
ограниченной осью OX , вокруг оси OY.
Вычислить или установить расходимость:

2
dx
,
x k ln x

2)
dx
 x(ln x) k
.
2
9. Контрольная работа по теме «Определенный интеграл», сдача
ИДЗ-2(10) на проверку.
Кратные интегралы.
Двойной интеграл, свойства.
Берман Г.Н.: № 3506(1), 3478, 3487, 3488, 3493, 3498, 3502, 3508,
3510. 3498, 3502, 3508, 3510, 3598, 3600.
Вычислить интегралы:
a
10.1.
x
 dx  dy.
0
x y
 e dxdy где D : {0  x  1, 0  y  1}.
10.2.
0
D
Найти пределы интегрирования
 f ( x, y )dxdy по заданной области
11.5. Найти объем тела: V : {z  x 2  y 2 , z  0, y  1, y  2 x, y  6  x}.
11.6. Найти объем тела, ограниченного цилиндром x 2  y 2  2ax,
параболоидом z 
Вычислить интегралы:
D:
10.3. D : {x  y  1, x  0, y  0}.
10.4. D : {x  y  1, x  y  1, x  0}.
10.5. D : { y  x, y  2 x, x  y  6}.
Изменить порядок интегрирования:
2
y
1
10.6.  dy
0

10.7.
f ( x, y )dx.
y
Вычислить: 10.8.
 ( x
2
2
2x
1
x
11.9.
 cos( x  y )dxdy,
 y)dxdy, где D : { y  x 2 , y 2  x}.
где D : {x  0, y  , y  x}.
a
x
xy
0
0
0
0
0
0
 xydxdydz,
где W : {z  xy, x  y  1, z  0}.
2
b
b
x, y  x}.
a
a
Полярная система координат, приложения. Тройной интеграл.
Берман Г.Н. :№ 3532, 3604, 2496, 3560, 3564, 3590, 3518, 3520, 3523.
11.1. Преобразовать к полярным координатам:  dx
0
 xydxdydz
перейти к цилиндрическим координатам, где W
– область, находящаяся в первом октанте и ограниченная цилиндром
10.10. Найти площадь области D : { y  x, y  5 x, x  1}.
R
12.2. В
W
D
x 2  y 2  R 2 и плоскостями
12.3. В
 xydxdydz
 f ( x, y)dy .
0
z  0, z  1, y  x и
y  x 3.
перейти к сферическим координатам, где W
W
область, находящаяся в первом октанте и ограниченная сферой
x2  y 2  z2  R2 .
R2  x2
11.2. Найти площадь области D : {( x 2  y 2 ) 2  2a 2 ( x 2  y 2 )}. D –
лемниската Бернулли.
11.3. Найти площадь, ограниченную линией   a sin 2 .
11.4. Найти объем тела, ограниченного плоскостями
x  a, y  b, x  y  z  0 и эллиптическим параболоидом
x2 y2
z
 .
2 p 2q
c
Тройной интеграл, приложения.
Берман Г.Н.: № 3610, 3547, 3549, 3554, 3613.
12.1. Найти объем тела, ограниченного параболоидами:
z  x 2  y 2 , z  x 2  2 y 2 ; и плоскостями y  x, y  2 x, x  1.
 dx  f ( x, y)dy.
10.11. Найти площадь области D : { y 2 
b
W
D
10.9.
a
11.7.  dx  dy  ( x  y  z )dz. 11.8.  dx  dy  x3 y 2 zdz.
D
2
x2  y2
и плоскостью z  0 .
a
R
12.4. Вычислить
 dx
R
R2  x2
 dy
 R2  x2
R2  x2  y2
2
 (x
 y 2 )dz.
0
12.5. Найти объем тела, ограниченного параболоидом
z  ( x  1) 2  y 2 и плоскостью 2x  z  2.
13. Контрольная работа по теме «Кратные интегралы», сдача
ИДЗ-3(№11) на проверку.
Криволинейные, поверхностные интегралы, элементы
теории поля.
Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода.
Берман Г.Н.: № 3771, 3773, 3778, 3780, 3807, 3708, 3711(2), 3719.
14.1. Вычислить  xyds, где L - контур прямоугольника с вершинами
L
A(0,0); B(4,0); C (4,2); D(0,2).
 x  a cos t ,
14.2. Вычислить  ( x  y ) ds, где L - окружность: 
 y  a sin t.
L
2
2 n
14.3. Вычислить  x x  y ds, где L - линия, заданная уравнением
2
2
Найти функции по полным дифференциалам:
15.4. du  4( x 2  y 2 )( xdx  ydy ) .
15.5. du  (2 x cos y  y 2 sin x)dx  (2 y cos x  x 2 sin y )dy .
15.6. В каждой точке плоскости на материальную точку действует сила


F  {xy, x  y} . Вычислить работу силы F при перемещении точки из начала
координат в точку (1,1): 1) по прямой y  x ; 3) по двухзвенной ломаной, стороны
которой параллельны осям координат (2 случая).
15.7. Вычислить
( x  y )  a 2 ( x 2  y 2 ), ( x  0) . (половина лемнискаты).
2 2
z2
ds, где L - первый виток винтовой линии:
14.4. Вычислить  2
2
Lx  y
x  a cos t , y  a sin t , z  at.
x y
14.5. Вычислить  xdy, где L - отрезок прямой   1 от
a b
L
пересечения с Ox до пересечения с Oy .
14.6. Вычислить  ( x 2  y 2 )dx, где L : y  x 2 от точки (0,0) до (2,4).
L
(1,1)
14.7.Вычислить
 xydx  ( y  x)dy
вдоль линий: 1) y  x, 2) y  x 2 .
( 0, 0 )
14.8.Вычислить
 yzdx  zxdy  xydz , где
L - дуга винтовой линии
L
x  R cos t , y  R sin t , z 
at
, от плоскости z  0 до плоскости z  a .
2
Формула Грина. Независимость криволинейного интеграла от
пути интегрирования. Поверхностные интегралы 1-го рода.
Берман Г.Н.: № 3823. 3840, 42, 46, 50, 70, 79, 82.
15.1.Преобразовать криволинейный интеграл в двойной
 (e
xy
 2 x cos y)dx  (e xy  x 2 sin y)dy.
L
Вычислить криволинейные интегралы от полных дифференциалов:
xdx  ydy
 x2  y 2 .
( 3, 4 )
( 5,12)
15.2.
( 2,1,3)
15.3.
 xdx  y
(1, 1, 2 )
2
dy  zdz .
z
R2  x2  y 2 .
S
15.8. Вычислить
L
2
 yds , где S - полусфера
ds
 r 2 , где S - цилиндр
x 2  y 2  R 2 , ограниченный плоскостями
S
z  0 и z  H ; r - расстояние от поверхности до (0,0).
Поверхностные интегралы, поток, элементы теории поля.
Берман Г.Н.: № 3888, 91, 96. 4461. 3894, 4463.
Вычислить поверхностные интегралы второго рода:
16.1.
 x
2 2
y zdxdy , где S - положительная сторона нижней половины сферы:
S
2
x2  y  z 2  R2 .
16.2.
 xzdxdy  xydydz  yzdxdz , где S - внешняя сторона пирамиды,
S
составленной плоскостями: x  0, y  0, z  0, x  y  z  1 .
16.3. Поверхностный интеграл
 x
2
dydz  y 2 dxdz  z 2 dxdy преобразовать в
тройной, по объему тела, ограниченного этой поверхностью. Интегрирование по
внешней стороне поверхности.




16.4.. Найти поток вектора A( p )  xyi  yzj  xzk через границу части шара
x 2  y 2  z 2  1 , заключенную в 1ом октанте.
16.5. Интеграл
(y
2
 z 2 )dx  ( x 2  z 2 )dy  ( x 2  y 2 )dz , взятый по некоторому
L
замкнутому контуру, преобразовать в поверхностный.
16.6. Вычислить циркуляцию радиус-вектора вдоль одного витка AB винтовой линии
x  a cos t , y  a sin t , z  bt ; где A и B – точки, соответствующие значению
t  0 и t  2 .
К/Р – криволинейные, поверхностные интегралы, элементы
теории поля – + ИЗ №12., 13.
17.