Линейная и векторная алгебра

Реклама
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Кафедра «Высшая математика»
ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА,
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Методические указания к практическим занятиям
РПК «Политехник»
Волгоград
2005
УДК 512.8 +514 (07)
Л 59
Линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия: Методические
указания к практическим занятиям / Сост. В. Ф. Казак, Н. В. Гнедова; Волгоград. гос. техн. ун–т. – Волгоград, 2005. – 39 с.
Изучаются основные понятия линейной алгебры, векторной алгебры,
аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. Материал включает
в себя практические упражнения и задания для самостоятельной работы.
Предназначены для студентов направлений 552900, 551200.
Ил. 13.
Рецензент У. А. Бурцева
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
Составители: Вячеслав Федорович Казак,
Нина Васильевна Гнедова
ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Методические указания к практическим занятиям
Под редакцией авторов
Темплан 2005 г., поз. № 37.
Подписано в печать 28. 04. 2005 г. Формат 60×84 1/16.
Бумага потребительская. Гарнитура ”Times“.
Усл. печ. л. 2,44. Усл. авт. л. 2,25.
Тираж 100 экз. Заказ
Волгоградский государственный технический университет
400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28.
РПК «Политехник»
Волгоградского государственного технического университета
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.
©
2
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2005.
Введение.
Методические указания предназначены для проведения практических
занятий по математике для студентов, обучающихся по направлениям 552900
и 551200.
Цель данной работы – научить и закрепить навыки самостоятельного
применения теоретических положений к решению практических задач.
Практическое занятие № 1 на тему:
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО
ПОРЯДКА
1.1. ПРАВИЛО ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
a b
 ad bc
c d
Примеры:
1.
2 3
 2  5  3  4  10  12  2
4 5
2.
4 5
 4  7  3  (5)  28  15  43
3 7
3.
2 1
 (2)  (4)  (3)  1  8  3  11
3 4
4.
5 0
 5  2  3  0  10  0  10
3 2
Вычислить самостоятельно:
a)
3 0
0 3
б)
0 0
5 7
в)
3
2 4
4 8
г)
5 2
1 7
д)
Ответы а) – 9
г) – 2
1 3
2 6
е)
б) 0
д) 0
1  2
3 4
в) 0
е) –2
1.2. ПРАВИЛО ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА.
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23  a11  a 22  a33  a12  a 23  a31  a 21  a32  a13 
a31 a32 a33  a31  a 22  a13  a32  a 23  a11  a 21  a12  a33
Примеры:
1 1
1. 0 3
2
5
0
4  1  3  (2)  2  (1)  4  0  0  5  2  3  0 
 2  5  4  1  (1)  0  (2)  6  8  20  34
2 0
2.  1 0
1
3
4  2  0  (2)  0  4  1  3  (1)  5  1  0  3 
5  2  2  4  5  (1)  0  (2)  15  40  55
2
3. 3
4
1
6
2  2  6  (3)  3  (1)  1  4  4  2  4  6  1  3  4  (3) 
4 1  3
 2  2  (1)  36  3  32  24  36  4  55
1 2 3
4. 4 5 6  1  5  9  2  6  7  4  8  3  7  5  3  8  6 1 
7 8 9  4  2  9  45  84  96  105  48  72  0
4
Вычислить самостоятельно:
a)
г)
4 4
1
4 6
2
1 1  3
б)
4 2 4
10 2 12
1 2 2
1
3 3 4
0 1 1
1 2 1
2 1 2
0 0 1
д) 1 0 1
е)
0 1 1
Ответы а) – 18
г) 5
б) 8
д) 0
1 5
в) 2  2 7
2 5 10
0 0 0
1 3 8
в) 0
е) 0
Практическое занятие № 2 на тему:
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПО
ПРАВИЛУ КРАМЕРА.
2.1. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ
НЕИЗВЕСТНЫМИ
 a11x  a12 y  c1
составляем главный определитель
a21x  a22 y  c2
Для системы 

a11 a12
и вычисляем его.
a21 a22
Затем составляем дополнительные определители:
X 
c1
c2
a12
a22
,
Y 
a11 c1
и вычисляем их.
a21 c2
По правилу Крамера решение системы находят по формулам:
x

X
; y  Y , если   0 .


Примеры:
 3x  2 y  7
1) 
4 x  5 y  40
3 2

 3  (5)  4  2  23  0
4 5
5
X 
7
2
 7  (5)  40  2  115
40  5
Y 
3 7
 3  40  4  7  92
4 40
 X  115

5

 23
Ответ: (5;–4)
x
 X
2) 
2 X
3
X 
6
Y  3
 2Y  6
y

Y
92

 4

 23

1 1
 1 2  2 1  0
2 2
1
 3  2  1 6  0
2
1 3
 1 6  3  2  0
2 6
Так как все три определителя равны нулю, то система имеет бесконечное
Y 
 x  любое
 y 3 x
множество решений: 
 x y3
2 x  2 y  5
3) 

X 
3 1
 3  2  1 5  1
5 2

1 1
 1 2  2 1  0
2 2
1 3
 1  5  3  2  1 .
2 5
Так как главный определитель равен нулю, а хотя бы один из дополнительных определителей не равен нулю, то система решений не имеет.
3 x  y  0
3 1
4) 


 3  1  2  (1)  5  0
2
x

y

0
2 1

Y 
X 
0 1
 0  1  0  (1)  0
0 1
3 0
 30  20  0
2 0
По формулам Крамера находим:
Y 
6
X 0
 0

5
Ответ: (0; 0)
x
y
Y 0
 0
 5
Решить системы самостоятельно:
a)  X  Y  5
Ответы:
в)  X  Y  5
б)  X  Y  5
2 X  2Y  6
2 X  3Y  1
2 X  2Y  10
а) нет решения
б) бесконечное множество решений
в) (14; –19)
2.2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРЕХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ТРЕМЯ
НЕИЗВЕСТНЫМИ
a11x  a12 y  a13z  c1
Для системы  a x  a y  a  c составляем главный определитель
21
22
23
2
 a31x  a32 y  a33  c3
a11 a12 a13
  a21 a22 a23 и вычисляем его.
a31 a32 a33
Затем составляем дополнительные определители
X
c1
 c2
c3
a12 a13
a22 a23
a32 a33
a11
a13
a23  Z  a21
a31
a33
a11 c1
Y  a21 c2
a31 c3
a12 c1
a22 c2
a32 c3
и вычисляем их.
По правилу Крамера решение системы находят по формулам



x X ;
z  Z ,если   0
y Y ;



Примеры:
 X  2Y  Z  2
2 X  3Y  2Z  2
 3 X  Y  Z  8
1) 
Вычислим:
7
1 2 1
  2  3 2  1  (3)  1  2  2  3  2  1  (1) 
3 1
1  3  (3)  (1)  1  2  1  2  2  1  8
2 2 1
 X  2  3 2  2  (3)  1  2  2  8  2  1  (1) 
8 1
1  8  (3)  (1)  2  2  1  1  2  2  8
1 2 1
Y  2 2 2  1  2  1  2  2  3  2  8  (1) 
3 8 1  3  2  (1)  8  2  1  2  2  1  16
1 2 1
 Z  2  3 2  1  (3)  8  2  2  3  2  1  2 
3 1
1  3  (3)  2  1  2  1  2  2  8  24
По формулам Крамера находим:
X 8

1

8

 16
Y  Y 
2

8
X
Z
 Z  24

3

8
Ответ: (1; 2; 3)
 2 X  3Y  Z  2
 X  5Y  2Z  3
4 X  6Y  2Z  0
2) 
Вычислим:
2 3 1
  1  5 2  2  (5)  2  3  2  4  1  6  1 
4 6 2  4  (5)  1  6  2  2  1  3  2  0
X
2 3 1
 3 5 2 
2  (5)  2  3  2  0  3  6  1 

0
 (5)  1  6  2  2  3  3  2  44
0 6 2
Так как главный определитель   0 , а хотя бы один дополнительный не равен нулю (в нашем случае
 x ), то решения у системы нет.
8
 X  2Y  3Z  1
2 X  4Y  6Z  2
 3 X  6Y  9Z  3
3) 
Вычислим:
1 2 3
X  2 4 6  0
3 6 9
1 2 3
 2 4 6 0
3 6 9
1 1 3
Y  2 2 6  0
3 3 9
1 2 1
Z  2 4 2  0
3 6 3
Так как все определители равны нулю, то система имеет бесконечное множе X  1  2Y  3Z
ство решений, которое можно найти так  Y  любое

Z  любое
Решите самостоятельно системы:
 3 X  4Y  2Z  5
5 X  6Y  4Z  3

 4 X  5Y  3Z  1
 X  2Y  Z  1
 3 X  Y  2Z  0
 X  4Y  3Z  2
а) 
б) 
Ответ: а) ( 1; 2; 5 )
б)  1 ; 13 ; 1 
 6 30 30 
Практическое занятие № 3 на тему:
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ И ЕГО
ПРИЛОЖЕНИЕ


  
1. Если дан a , b и cos a ,b  , то скалярное произведение находим по



  
   
формуле: a  b  a  b ∙ cos a ,b 


9


 a y  j  az  k  ax , a y , az




b  bx i  by  j  bz  k  bx , by , bz , то скалярное произведение этих двух



2.Если a  ax  i

 
векторов находим по формуле a  b  ax  bx  a y  by  az  bz
Примеры:

  


2
1. Даны два вектора a  13; b  52 и cos a, b   cos 


4
2


Их скалярное произведение находим так:
 
a  b  13  52  2  13  2  13  2  13  2 .
2
2
2. Даны два вектора:
 


b  i  5  j  6  k ={1; –5; 6}




a  2  i  3  j  4  k ={2;3;–4}
скалярное произведение находят так:
 
a  b  2  1  3  (5)  (4)  6  2  15  24  37



 
 
 

3. m  4  i  3  j  k , n  i  2  j  6  k  m  n  4  1  3  (2)  (1)  6  8
3.1 НАХОЖДЕНИЕ РАБОТЫ ПОСТОЯННОЙ СИЛЫ НА
ПРЯМОЛИНЕЙНОМ УЧАСТКЕ ПУТИ
   
^ 
A  F  S  F  S  cos(F , S )
Примеры:
1) Под действием силы в 15Н тело переместилось по прямой на 2 метра. Угол
между силой и направлением перемещения =600. Вычислить работу силы по
перемещению тела.
Дано: F  15Н
10
S  2м
  60 
   
1
Решение: A  F  S  F  S  cos 60  15  2   15 ( Дж)
2


 
2) Дано: F  2  i  j  3  k

 

S  i  5 j  4k
Найти А.
Решение: A  FX  S X  FY  SY  FZ  S Z  2  1  1  (5)  3  4  9 ( Дж)
3) Из точки М(1; 2; 3) в точку N(5; 4; 6) переместилось тело под действием
силы 60Н. Угол между направлением силы и вектором перемещения =450.
Вычислить работу, совершаемую этой силой.
Решение: находим вектор перемещения MN
MN  5  1; 4  2; 6  3  4; 2; 3
Находим модуль вектора перемещения:
MN  4 2  2 2  3 2  29

По формуле A  F  MN  cos 45 находим работу:
A  60  29 
2
 30 58 ( Дж)
2
3.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ
.
 
Два вектора ортогональны, если a  b  0 , то есть

 


a x  bx  a y  b y  a z  bz  0 так как cos a,b   0  cos
Примеры:




1)
a  2 i  3 j  4 k

2
 
 
b  i  5 j  k 
 
 a  b  2  1  (3)  5  4  1  9  0 – не ортогональны
2)




a  2 i  3 j  2 k
 


b  i  2 j  2k 
 
 a  b  2  1  (3)  2  2  2  0 – ортогональны
11
Определить, при
каком

векторы
 


взаимно-ортогональны.
b  i  2 j   k
 
 
Так как a  b , то a  b  0 , значит
  1  3  2  2  ( )  0
  6  2   0
3)




a   i  3 j  2 k и
6   0
 6
Решите самостоятельно:

 

а) a  3  i  j  4  k



b  2  i  5  j . Найти их скалярное произведение.

б) Вычислить, какую работу производит сила F   4;  1; 2 , если точка ее
приложения, двигаясь прямолинейно, переместилась из точки M (5; -6; 1) в
точку N (1; -2; 3)

в) Определить, ортогональны ли вектора a  3; 2;  1 и

b  2;  3; 0
Ответы: а) 1
б) 16
в) да
3.3.НАХОЖДЕНИЕ УГЛА МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ
 
a b
cos   
ab
Примеры:




1) a  2  i  j  k
 
 
b  i  2  j  k . Найти
Решение:
Находим
.

a  2 2  (1) 2  12  6

b  12  2 2  (1) 2  6
 
a  b  2  1  (1)  2  1  (1)  1
подставляем в формулу:
1
1
1
 1
cos  

  arccos      arccos  100 0 .
6
6
 6
6 6
1). Даны вершины треугольника А(3; 2; –3), В(5; 1; –1), С(1; –2; 1). Найти угол при
вершине А.
12
Решение:
Находим AB  5  3; 1  2;  1  3  2;  1; 2
AC  1  3;  2  2; 1  (3)   2;  4; 4
AB  2 2  (1) 2  2 2  9  3
AC  (2) 2  (4) 2  4 2  36  6
AB  AC  2  (2)  (1)  (4)  2  4  4  4  8  8
 
a
Подставим в формулу: cos   b  8  4  0.4442

a  b 3 6 9
 4
9
Решите самостоятельно:
Даны вершины треугольника
ренний угол при вершине А.
Ответ: 90о
  arccos   6336'
А(3; 5; -2), В(5; 7; -1), С(4; 3; 0).
Определить внут-
Практическое занятие № 4 на тему:
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ И ЕГО
ПРИЛОЖЕНИЕ.
Формула для нахождения векторного произведения двух векторов:



i
j
k

 
a  a X aY aZ 
a  b  a X aY a Z

b  bX
bY
bZ 
имеет вид
bX
bY
bZ
Примеры:
1) Найти модуль векторного произведения:

  
a  i  j  2k


 
b  2  i  j  3 k
Решение:
Составим определитель и вычислим его (по правилу Саррюса или по теореме
о разложении определителя по элементам первой строки).
1-ый способ: по правилу Саррюса
13

 
i
j
k



 
a  b  1 1  2  i 1  3  j  (2)  2  1  (1)  k 



2 1 3
 2 1  k  (1)  (2)  i  1  3  j 



 

 

 3  i  4  j  k  2  k  2  i  3  j  i  7  j  3  k  1;  7;  3
2-й способ: разложим определитель по элементам первой строки.

 
i
j
k
 1 2  1 2  1 1
 
ab  1 1  2  i 
 j
k

1 3
2 3
1 1


2 1 3
 i  (1  3  (1)  (2))  j  (1  3  2  (2)) 




 k  (1  (1)  2  1)  i  7  j  3  k
 
a  b  12  (7) 2  (3) 2  59
2) Найти модуль векторного произведения:

 

a  2 i  j  3 k
 

b  i  4k

 
i
j
k





a  b  2  1  3  i  (1)  4  j  (3)  1  2  0  k 



1 0
4
 1  (1)  k  0  (3)  i  2  4  j 

 
 4  i  11  j  k , тогда
 
a  b  (4) 2  (11) 2  12  138
4.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, ПОСТРОЕННОГО
НА ДВУХ ВЕКТОРАХ.
 
S пар  a  b
Примеры:
1) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
  

a  2i  j  k
 

b  i  3 k
Решение.
14
  
i j k





a  b  2 1  1  i  1  3  j  (1)  1  2  0  k 



1 0 3  1  1  k  0  (1)  i  2  3  j 

 
 3i  7  j  k
 
S пар  a  b  3 2  (7) 2  (1) 2  59
2). Найти векторное произведение и его модуль



 
Ответ: a  b  7  i  4  j  1  k
 
a  b  66
4.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА
1
1  
 S пар   a  b
2
2
Пример: даны вершины треугольника А(1; 0; -1), В(1; 2; 0), С(3; -1; 1). Вычислить площадь треугольника.
Решение:
Сначала найдем координаты двух векторов, выходящих из одной вершины.
AB  1  1; 2  0; 0  (1)  0; 2; 1
S 
AC  3  1;  1  0; 1  (1)  2;  1; 2
Найдем их векторное произведение
  
i
j k
 2 1  0 1  0 2
AB  AC  0 2 1  i 
 j
k 

1 2
2 2
2 1
2 1 2






i  (4  1)  j  (0  2)  k  (0  4)  5  i  2  j  4  k
найдем
S пар  AB  AC  5 2  2 2  (4) 2  45
S 
1
1
1
3 5
 S пар   45   3 5 
2
2
2
2
4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛЛИНЕАРНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ






Если вектора a a x , a y , a z и b bx , by , bz коллинеарны, то
15
a x a y a z , т. е. координаты векторов должны быть пропорциональны.


bx b y bz
Примеры:
 






а) Даны вектора:: a  2  i  3  j  5  k , b  4  i  6  j  10  k .
Они коллинеарны потому, что 2   3  5 и
4  6 10
после сокращения каждой дроби получается соотношение 1  1  1
2 2 2
 






б) Даны вектора: a  2  i  3  j  5  k b  4  i  6  j  15  k .
Они не коллинеарны, потому, что 2   3  5 или 1  1  1
6
4
2
15
2
3
Решите самостоятельно:

 

а) При каких значениях m и n вектора a  6  i  m  j  k коллинеарны?


 
b  3 i  j  n  k
Ответ: m  2 ; n  
1
2
б) Найти векторное

b  1; 1; 3.
произведение
и
его
модуль

a  1; 2;  1 ,
  


 
Ответ: a  b  7  i  4 j  1 k , a b  66 .
Практическое занятие № 5 на тему:
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Примеры:
Задача № 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(-2; 3) параллельно прямой Y  3  X  4
Решение:
1. Найдем угловой коэффициент прямой Y  3  X  4 .
Y  3  X  4 - это уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной
ординатой ( Y  k  X  b ). Поэтому k MN  3 .
16
2. Так как прямые MN и АС параллельны, то их угловые коэффициенты равны,
т.е. k MN  k AC  3 .
3. Для нахождения уравнения прямой АС воспользуемся уравнением прямой,
проходящей через точку с данным угловым коэффициентом:
Y  Y1  k  ( X  X1 ) . В эту формулу вместо X1 и Y1 подставим координаты точки А(-2; 3), вместо k подставим – 3. В результате подстановки получим:
Y  3  (3)  ( X  2)  Y  3  3  X  6  Y  3  X  3
Ответ: Y  3  X  3
Задача №2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(1; –2) параллельно прямой 2  X  3  Y  6  0 .
Решение:
1. Найдем угловой коэффициент прямой 2  X  3  Y  6  0 .
2  X  3  Y  6  0 - это общее уравнение прямой, которое в общем виде задается формулой А  X  В  Y  С  0 . Сравнивая уравнения 2  X  3  Y  6  0 и
А  X  В  Y  С  0 находим, что А = 2, В = –3. Угловой коэффициент прямой, заданной уравнением А  X  В  Y  С  0 , находится по формуле k  
A
. ПодB
ставив в эту формулу А = 2 и В = –3, получим угловой коэффициент прямой
MN. Итак, k MN   2  2 .
3
3
2. Так как прямые MN и КС параллельны, то их угловые коэффициенты рав2
ны: k MN  k KC  .
3
3. Для нахождения уравнения прямой КС воспользуемся формулой уравнения
прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом
Y  Y1  k  ( X  X 1 ) . В эту формулу вместо X 1 и Y1 подставим координаты точки
К(–2; 3), вместо
k подставим 2 .
3
В результате подстановки получим:
2
 ( X  1)  3  Y  6  2  X  2  3  Y  2  X  8  0 
3
 2  X  3Y  8  0
Ответ: 2  X  3  Y  8  0
Y 2
Задача № 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(–1; –3) перпендикулярно прямой 3  X  4  Y  12  0 .
Решение:
1. 3  X  4  Y  12  0 – это общее уравнение прямой, которое в общем виде
задается формулой А  X  В  Y  С  0 .
17
3  X  4  Y  12  0 и А  X  В  Y  С  0 находим, что А = 3, В = 4.
Угловой коэффициент прямой, заданной уравнением А  X  В  Y  С  0 , находится по формуле: k   A . Подставив в эту формулу А = 3 и В = 4, получим угB
ловой коэффициент прямой MN: k MN   3 .
4
2. Так как прямые MN и КD перпендикулярны, то их угловые коэффициенты
обратно пропорциональны и противоположны по знаку:
1
1
4.
k KD  
k MN


3
4

3
3. Для нахождения уравнения прямой КD воспользуемся формулой уравнения
прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом
Y  Y1  k  ( X  X 1 ) . В эту формулу вместо X 1 и Y1 подставим координаты точки К(–1; –3), вместо
k подставим
4
. В результате подстановки получим:
3
4
 ( X  1)  3  Y  9  4  X  4  3  Y  4  X  5  0 
3
 4  X  3Y  5  0
Y 3
Ответ: 4  X  3  Y  5  0
Решите самостоятельно:
1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(–4; 1) параллельно
прямой Y  2  X  7 .
Ответ: Y  2  X  9 .
2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(5; –2) параллельно
прямой 5  X  2  Y  10 .
Ответ: 5  X  2  Y  29  0 .
3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(–2; –6) перпендикулярно прямой X  Y  1 .
3
2
Ответ: 3  X  2  Y  6  0 .
4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(7; –2) перпендикулярно прямой 4  Y  8  X  1 .
Ответ: X  2  Y  3  0 .
18
5. Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из точки К(–6; 7) на прямую
5 X Y  4  0.
Ответ: X  5  Y  29  0 .
Практическое занятие № 6 на тему:
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
6.1.ОКРУЖНОСТЬ
Примеры:
Задача № 1.
Написать уравнение окружности с
центром С(4;-3), радиусом R=5 и
построить её.
Решение.
Каноническое уравнение окружности с центром в точке С(a;b) и радиусом R имеет вид
( x  a ) 2  ( y  b) 2  R 2
Следовательно,a = 4; b= -3; R= 5
Тогда уравнение заданной окружности, будет ( x  4) 2  ( y  3) 2  25
Ответ: ( x  4) 2  ( y  3) 2  25
19
Задача № 2.
Определить координаты центра С и
радиус R окружности
x 2  ( y  3) 2  16 и построить ее.
Решение: из канонического уравнения окружности с центром в точке
С(a;b) и радиусом следует, что a = 0;
b= -3;
R 2  16. откуда С(0;-3), R=4
Ответ: С(0;-3), R=4
Задача № 3.
Определить координаты центра С и
радиус R окружности, заданной общим уравнением
X 2  Y 2  2 X  10Y  1  0 и постро-
ить ее.
Решение: выделяя полные квадраты
в левой части уравнения, получим:
( X 2  2 X  1)  1  (Y 2  10Y  25)  25  1  0
( X  1) 2  (Y  5) 2  25
Сравнение полученного уравнения
с каноническим уравнением
окружности ( x  a) 2  ( y  b) 2  R 2 с центром в точке С(a;b) и радиусом R,
показывает, что оно определяет окружность с центром в точке С(-1;5)и радиусом R=5.
Ответ: С(-1;5), R=5
20
Задача № 4.
Написать уравнение окружности, диаметром которой служит
отрезок MN, где точка M(2;-3) и
точка N(-6;3) и построить ее.
Решение.
Координаты центра С(a;b) окружности найдем как координаты точки, делящий отрезок MN
пополам:
Xc  a 
XM  XN 2  6

 2
2
2
Yc  b 
YM  YN  3  3

0
2
2
Следовательно С(-2;0). Радиус окружности
R  ( X c  X m ) 2  (Yc  Ym ) 2  (2  2) 2  (3) 2  5
Тогда ( X  2) 2  Y 2  25 - искомое решение
Ответ: ( X  2) 2  Y 2  25
Решить самостоятельно:
Задача № 1. Составить уравнение окружности с центром в заданной точке С и
данным радиусом R:
1) С (4;-7), R =5; 2) С (-6;3), R = 2
3) С (-1;0), R =3; 4) С (0;-2), R = 1
2
5) С (-1;0), R = 3 ;
Ответ: 1) ( X  4) 2  (Y  7) 2  25
2)
( X  6) 2  (Y  3) 2  2
3)
( X  3) 2  (Y  2) 2  9
4)
X 2  (Y  2) 2 
1
4
5) ( X  1) 2  Y 2  3
Задача № 2. Для указанных окружностей определить координаты центра С и
радиуса R:
21
1) X 2  Y 2  8 X  12Y  29  0
2) X 2  Y 2  16 X  20Y  5  0
3)
X 2  Y 2  7Y  18  0
Ответ: 1) С(4;-6), R =9;
2) С(-8;10), R =13;
3) С(0;  7 ) , R = - 11
2
2
Задача № 3. Как
расположены
по отношению
к
( X  2) 2  (Y  3) 2  25 следующие точки А(-1;-1); В(2;-3); С(-3;5); Д(4;-1);
Е (2;-2); F(5:7); G(1;0);
Ответ: точки А, Е и F лежат на
ки Д и G-внутри окружности.
окружности
окружности, точки В и С - вне окружности, точ-
Задача № 4. Проходит ли окружность с центром в точке С(-5;7) и радиусом,
равным 10, через точку М(-11;15) ?
Ответ: да.
Задача № 5. Окружность с центром в точке С(12;-5) походит через начало координат. Составить уравнение этой окружности.
Ответ: ( X  12) 2  (Y  5) 2  169
Задача № 6. Известно, что концы одного из диаметров окружности находятся
в точках М 1 (2;-7) и М 2 (-4;3)
Составить уравнение окружности.
Ответ: ( X  1) 2  (Y  2) 2  34
6.2.ЭЛЛИПС
Примеры:
Задача № 1. Найти оси, вершины, фокусы и эксцентриситет эллипса
9x 2 25 y 2  225  0 и построить его.
Решение:
2
2
Приведем данное уравнение эллипса к коническому виду x  y  1 , для чего
a2
b2
свободный член перенесем вправо и разделим на него обе части уравнения. В
2
2
результате получим x  y  1 отсюда a 2  25, b 2  9 .
25
9
Значит , длины полуосей равны соответственно a=5, b=3
А осей эллипса имеют координаты: А1 А2  2а, В1 В2  2b  6 .
Вершины эллипса имеют координаты: А1 (5;0), А2 (5;0), В1 (0;3), В2 (0;3)
Поскольку b 2  a 2  c 2 , то С C  a 2  b 2  25  9  4
22
По формуле l  c находим эксцентриситет эллипса: l  4
b
5
По
полученным
данным построим
эллипс:
Ответ: А1 А2  10, В1 В2  6 ; А1 (5;0), В1 (0;3), В2 (0;3) A2 (5;0) F1 (4;0), F2 (4;0); l  4 ;
5
2
2
2
2
y
x
Задача № 2. Дан эллипс

 1 , получаем a  25, b  9 . Значит, длины
25
9
полуосей равны соответственно a=5, b=3, а осей - А1 А2  2а  6, В1 В2  2b  10 .
Вершины же имеют координаты:
А1 (a;0)  A1 (3;0), А2 (a;0)  A2 (3;0), В1 (0;b)  B1 (0;4), В2 (0; b)  B2 (0;4)
Так как b>a, то F1  OY и F2  OY
следовательно b 2  a 2  c 2 , l 
c
b
Тогда C  a 2  b 2  25  9  4
Откуда
координаты
фокусов
F1 (о;с)  F1 (0;4);
F2 (0; с)  F2 (4;0); а эксцентриситет l 
4
, по полученным
5
данным строим эллипс.
23
Ответ: А1 А2  6, В1 В2  10 , A1 (3;0), A2 (3;0), B1 (0;4), B2 (0;4)
F1 (0;4); F2 (0;4); l  4
5
Задача № 3. Написать каноническое уравнение эллипса, проходящего через
точку М(5;0), если фокальное расстояние равно 6.
Решение: Запишем каноническое уравнение эллипса x 2  y 2  1
a2
b2
Так как фокальное расстояние F1 F2  2С  6, то С=3.
По условию точка М(5;0) принадлежит эллипса. Поэтому при подстановке координат точки М в уравнение эллипса, получим 25  1 , откуда a 2  25, . Из
а2
2
2
2
равенства b  a  c , находим b 2  25  9  16 ,
2
2
Итак, искомым уравнением эллипса будет уравнение x  y  1
25
16
Решить самостоятельно:
Задача № 1. Напишите каноническое уравнение эллипса, если фокальное расстояние равно 8, а эллипс проходит через точку М(0;-3).
2
2
Ответ: x  y  1
25
9
Задача № 2. Составить простейшее уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ОX, если его полуоси равны 4 и 5.
2
2
Ответ: x  y  1
16
5
Задача № 3. Найти координаты вершин, оси, фокусы и эксцентриситет эллипсов:
2
2
2
2
1) x  y  1 2) x  y  1
25
16
225
81
Ответ: 1) А1 А2  30, В1 В2  18 ; A1 (15;0), A2 (15;0), B1 (0;9), B2 (0;9) ;
4
F1 (12;0); F2 (12;0); l 
5
2) А1 А2  10, В1 В2  8 ; A1 (5;0), A2 (5;0), B1 (0;4), B2 (0;4) ;
F1 (3;0); F2 (3;0);
l
3
5
Задача № 4. Найти координаты вершин, оси, фокусы и эксцентриситет эллипсов:
1) 9x 2 9 y 2  36 2) 16x 2 9 y 2  144
3) 25x 2 9 y 2  900
24
А1 А2  6, В1 В2  4 ; A1 (3;0), A2 (3;0), B1 (0;2), B2 (0;2) ;
5
F1 ( 5 ;0); F2 (5;0); l 
3
2) А1 А2  6, В1 В2  8 ; A1 (3;0), A2 (3;0), B1 (0;4), B2 (0;4) ;
Ответ : 1)
F1 (0; 7 ); F2 (0; 7 ); l  7
4
A1 (6;0), A2 (6;0), B1 (0;10), B2 (0;10) ;
4
F1 (0;8); F2 (0;8); l 
5
Задача № 5. Составить простейшее уравнение эллипса, у которого длина малой оси равна 24, а один из фокусов имеет координаты (-5;0)
2
2
Ответ: x  y  1
169
144
Задача № 6. Расстояние между фокусами эллипса равно 30, а большая ось,
лежащая на оси ОX, равна 34. Написать простейшее уравнение эллипса и
найти его эксцентриситет.
2
2
Ответ: x  y  1; l  15
17
289
64
Задача № 7. Составить простейшее уравнение эллипса, если известно,
Что один из фокусов находится в точке (6;0), а эксцентриситет l  2
3
Ответ: x 2  y 2  1
3) А1 А2  12, В1 В2  20 ;
81
45
Задача № 8. Составить простейшее уравнение эллипса, если:
1. между фокусами эллипса равно 6, а большая полуось равна 5;
2
2
2.
малая полуось равна 3, эксцентриситет равен
3.
большая полуось равна 10, эксцентриситет равен 4
5
2
2
Ответ: 1) x  y  1 ;
25
16
2) x
2
18

y2
1
9
3)
y2
x2

1
100
36
6.3. ГИПЕРБОЛА
Примеры:
Задача № 1. Найти координаты вершин, оси, фокусы, эксцентриситет и урав2
2
нения асимптот гиперболы x  y  1 , и построить её.
9
16
25
Решение: Сравнивая данное уравнение с каноническим уравнением гипербо2
2
лы x  y  1 . Имеем a 2  9, b 2  16 .Следовательно, соответственно a=3, b=4 .
2
2
a
b
Тогда, действительно ось гиперболы А1 А2  2а  6 , а мнимая В1 В2  2b  8 ;
координаты вершин А 1 (-3;0), А 2 (3;0).
Далее, C  a 2  b 2  9  16  5 ; следовательно, фокусами гиперболы служат точки F1 (5;0), F2 (5;0); Эксцентриситет гиперболы вычисляется по формуле, следовательно, l  5 . Наконец, подставляя значения
3
а=3, b=4 в формулу y   b x , получаем уравнение асимптот гиперболы:
a
4
y x
3
и y   4 x.
3
Ответ: А1 А2  6 ; В1 В2  8 ; А 1 (-3;0), А 2 (3;0), F1 (5;0), F2 (5;0); l  5 ; y   4 x
3
26
3
Задача № 2. Найти оси, вершины, фокусы, эксцентриситет и уравнения
асимптот гиперболы 16x 2 9 y 2  144  0 и построить её.
Решение:
Перенесем свободный член вправо и разделим на него все члены данного
уравнения, В результате получим простейшее уравнение гиперболы.
y2
x2
y2
x2

 1 или 

1
9
16
9
16
2
Так как знак «-» стоит перед x , то фокусы гиперболы расположены на оси
16
Oy, а действительной осью
В1 В2 ,
принадлежащая оси Oy. Сравнивая полу-
2
2
ченное уравнение с уравнением  x  y  1 , имеем a=4, b=3, В1 В2  2b  6 , ко2
2
a
b
ординаты вершин В1 (0;-3), В2 (0;3). Далее, из формулы a 2  c 2  b 2 , получаем
c 2  a 2  b 2 , т.е. с = 16  9 =5.
Следовательно, фокусами гиперболы служат точки F1 (0;5); F2 (0;5); Эксцентриситет гиперболы вычисляется по формуле l  c  5 . Наконец, подставляя
b
3
значения a = 4, b = 3 в формулу y   b x , получаем уравнение асимптот гиa
перболы: y   3 x
4
.
Ответ: А1 А2  8 ;
В1 В2  6 ; В1 (0;-3),
В2 (0;3).
F1 (0;5); F2 (0;5);
3
y x
4
27
Задача № 3. Напишите каноническое уравнение гиперболы, если фокальное
расстояние равно 30 и гипербола проходит через точку М(-9;0).
Решение:
Так как гипербола проходит через точку М(-9;0), то следовательно
М(-9;0)=А 1 (-9;0) - вершина гиперболы, принадлежащая оси Оx, поэтому кано2
2
ническое уравнение гиперболы имеет вид x  y  1 подставляя координаты
2
2
a
точки М в указанное уравнение, получаем
b
2
(9) 2 0 2
 2  1  а  81
a2
b
Так как фокальное расстояние F1 F2  2c  30 , то с=15, используя формулу
2
2
b 2  c 2  a 2 , получаем b 2  225  81  144 . Тогда x  y  1
81
144
Решить самостоятельно:
Задача № 1. Найти оси, вершины, фокусы, эксцентриситет и уравнения
асимптот следующих гипербол.
2
2
2)  x  y  1 и построить их.
2
2
1) x  y  1
25
Ответ:
y
64
36
1) А1 А2  10 ;
36
В1 В2  12 ; A1 (5;0), A2 (5;0), F1 (  61;0); F2 ( 61;0); l 
61 ,
5
6
x
5
В2 (0;6) F1 (0;10); F2 (0;10);
3
x
4
Задача № 2. Найти координаты вершин, оси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот следующих гипербол.
1) 4 x 2  5 y 2  100  0
2) 9 x 2  4 y 2  144  0
2) 9 x 2  7 y 2  252  0
и построить их.
2) А1 А2  16 ; В1 В2  12 ; В1 (0;-6),
l
5,
3
y
Ответ: 1) А1 А2  10 ; В1 В2  4 5 ; A1 (5;0), A2 (5;0), F1 (3 5;0);
F2 (3 5 ;0); l  3 5 , y   2 5 x
5
2) А1 А2  8 ;
5
В1 В2  12 ; A1 (4;0), A2 (4;0),
3) А1 А2  4 7 ; В1 В2  12 ; В1 (0;-6),
В2 (0;6) F1 (0;8); F2 (0;8); l  4 ,
3
Задача № 3. Напишите уравнение гиперболы, если:
а) ее действительная полуось равна 4, а мнимая -14;
б) фокальное расстояние равно 16, а мнимая полуось -6;
в) фокальное расстояние равно 6, а l =1,5
28
y
3 7
x
7
г) действительная полуось равна 8, а l  5 ;
4
д) уравнение асимптоты y  3 x , а действительная полуось равна 3, а l  5
4
2
2
2
Ответ: а) x  y  1
16
9
2
2
г) x  y  1
36
64
2
2
б) x  y  1
28
36
2
y2
в) x

1
4
5
2
y2
д) x

1
4
9
2
2
е) x  y  1
9
16
Задача № 4. Составить простейшее уравнение гиперболы, действительная ось
которой равна 6, а расстояние между фокусами равно 8. Написать уравнение
сопряженной гиперболы.
x2 y2
Ответ: x 2  y 2  1 ;


1
9
9
7
7
Задача № 5. Напишите каноническое уравнение гиперболы, зная, что асимптоты её имеют уравнение y  2 x , а фокусное расстояние равно 10.
2
2
Ответ: x  y  1
5
20
Задача № 6. Сумма полуосей гиперболы равна 17, а эксцентриситет l  13 .
12
Написать простейшее уравнение гиперболы и найти координаты её фокусов.
Ответ: x 2  y 2  1 , F1 (13;0); F2 (13;0);
144
25
Задача № 7. Эксцентриситет гиперболы равен
3 , а фокусами служат точки
F1 (6;0); F2 (6;0);
Составить Уравнение гиперболы и написать уравнение её асимптот.
2
2
Ответ: x  y  1 , y   2 x .
12
24
6.4. ПАРАБОЛА.
Задача № 1. Определить координаты фокусов и составить уравнение директрисы параболы y 2  4 x
Решение:
Сравнивая это уравнение с уравнением y 2  2 px , находим, что 2p=4, откуда
p
 1 . Таким образом, точка F ( p ;0)  F (1;0) - фокусы параболы, а прямая
2
2
x
p , т. е. x=-1 или x+1=0 – её директриса.
2
Ответ: (1;0)
29
Задача
Фокусы
болы с
шиной в
коордилежит в точке F(0;-4). Написать уравнение этой параболы.
Решение: Так как F(0;-4) с
Оy, то данная парабола симметрична относительно оси
Оy, а ветви её направлены
вниз. Кроме того О (0;0) вершина параболы. Следовательно искомое уравнение
параболы запишется в форме
Поскольку,
x 2  2 py .
p
F (0; )  F (0;4) . Тогда, урав-
№ 2.
параверначале
нат
2
нение
параболы
2
x  16 y
будет
Задача № 3. Директрисой параболы с вершиной в начале координат служит
прямая 2x+5=0
Написать уравнение и найти координаты фокуса параболы.
30
Решение: Так как директрисой параболы с вершиной в начале координат
служит прямая 2x+5=0 или x   5 ( x   p ) , то ее фокус имеет координаты
2
2
5
p
F ( ;0)  F ( ;0) , поэто2
2
му искомая кривая симметрична относительно
оси Оx F( 5 ;0 )  Ox и
2
ветви ее направлены
вправо (абсцисса фокуса
5 положительна). Сле2
довательно, уравнение
параболы имеет вид
y 2  2 px
Так
как
5 p
 , то
2 2
p  5 и уравнение параболы будет:
y 2  10 x , а координаты ее фокуса
F(2,5;0)
Ответ: y 2  10 x ; F(2,5;0)
Задача №4. Написать уравнение параболы, симметричной относительно оси
Оy, с центром в начале системы координат, если она проходит через точку
В(1;-2).
Решение:
Так как парабола симметрична относительно оси Оy и имеет вершину в начале системы координат, то ее уравнение имеет вид x 2  2 py . Поскольку точка В(1;-2) лежит на параболе, то ее координаты удовлетворяют параболы, т.е.
12  2 p(2) ,
Откуда 2 p   1 , и, следовательно, x 2   1 y - уравнение параболы.
2
2
1
Ответ: x 2   y
2
31
Задача № 5. Найти высоту арки моста длиной 24м, если арка имеет вид параболы, уравнение которой x 2  48 y
Решение:
Построим эскиз параболы x 2  48 y в декартовой прямоугольной системе координат. Обозначим через h высоту моста, а через l =24 - длину арки мосту.
Тогда, А(12;-h)  П: x 2  48 y .
Так как точка А принадлежит параболе x 2  48 y , то ее координаты удовлетворяют уравнению параболы. Это дает возможность вместо текущих координат (x;y) подставить координаты данной точки в уравнение параболы. Тогда
имеем
12 2  48(h)
48h  144
h3
Итак, высота арки
моста 3 м.
Ответ: h=3
Задача № 6. Струя
воды, направленная под углом к плоскости горизонта поднимается на высоту
2 м и падает в 12 м от наконечника шланга. Найти параболическую траекторию струи.
Решение: Свяжем параболическую траекторию струи с декартовой прямоугольной системой координат так, чтобы параболическая траектория была
симметрична оси Оy, ветви были бы направлены вниз, а ее вершина лежала
бы в начале координат.
32
Тогда уравнение такой параболической траектории имеет вид x 2  2 py ,
точка А(6;-2)  П: x 2  2 py , следовательно, ее координаты удовлетво-ряют
уравнению параболы. Подстановка координат точки А вместо текущих коор36
2
9.
динат x и y параболы x 2  2 py , дает равенство 6  2(2) p  p 
4
Следовательно, x 2  18 y - уравнение параболической траектории струи.
Ответ: x 2  18 y
Решить самостоятельно:
Задача № 7. Сечение рефлектора плоскостью проходящей через ось рефлектора, есть парабола. Написать ее уравнение, если ширина рефлектора 30 см, а
глубина 20 см, (ось рефлектора совпадает с осью Ox )
Ответ: y 2  15x
Задача № 8. Из отверстия, находящегося на поверхности земли вытекает вода
струей, представляющей ветвь параболы x 2  6 y . На каком расстоянии от
края бака падает струя на землю, если высота отверстия
1,5 м ?
Ответ: 3 м.
Задача № 9. Осевое сечение параболического зеркала является параболой
y 2  12 x
Определить диаметр зеркала, если его «глубина» равна 18,75 см.
Ответ: 30 см.
Задача № 10. Камень брошенный под острым углом к плоскости горизонта,
достиг наибольшей высоты 16 м., Описав параболическую траекторию, камень упал в 48 м., от точки бросания. Найти траекторию камня.
Ответ: 3x 2  32 y .
Задача № 11 Найти параболу с вершиной в начале координат, если ее фокус
лежит в точке а) F(3;0); б) F(-2;0); в) F(0;4); г) F(0;-
1
)
4
Ответ: а) y 2  12 x ; б) y 2  8 x ; в) x 2  16 y ; г) x 2   y
Задача № 12 Найти параболы с вершиной в начале координат, если даны директрисы: а) x  2 ; б) x=-5 ; в) y=3 ; г) y=-2 ;
Ответ: а) y  8 x ; б) y  20 x ; в) x  12 y ; г) x 2  8 y .
2
2
2
33
Задача № 13. Найти координаты фокуса и написать уравнение директрисы
для каждой из парабол.
2
2
2
а) y  8 x ; б) y 2  12 x ; в) x  10 y ; г) x  16 y . Построить эти параболы.
Ответ: а) F(2;0); x+2=0 ; б) F(-3;0); x-3=0 ;
в) F(0; 5 ); 2y+5=0
2
г) F(0;-4); x-4=0
Задача № 14. Проверить, лежат ли точки А(2;-2) и В(1;2) на параболе y 2  2 x
Ответ: А лежат, В не лежат.
Задача № 15. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат,
симметричной относительно оси Оx и проходящей через точку
А(4;-2)
Ответ: y 2  x
Задача № 16. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат,
если:
А) парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 4;
Б) парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 6;
В) парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 3;
г) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 5.
Ответ а) x 2  8 y ; б)
x 2  12 y ; в) y 2  6 x ; г) y 2  10 x .
Практическое занятие № 7 на тему:
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.
Примеры:
Задача № 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(-3;4;-5) параллельно прямой x  4  y  1  z  8
3
2
4
Решение:
34
1. Найдем
координаты
направляющего
вектора
прямой
S
x  4 y  1 z  8 - это каноническое уравнение прямой в пространстве.


3
2
4
Каноническое уравнение прямой в пространстве задается формулой
x  x0 y  y 0 z  z 0 , где x, y , z -текущие координаты; x , y , z - коор0
0
0


m
n
p
динаты заданной точки, через которую проходит прямая; m, n, p - координаты направляющего вектора прямой S.
x  x0 y  y 0 z  z 0 нахоСравнивая уравнения x  4  y  1  z  8 и


3
2
4
m
n
p
дим, что m  3, n  2, p  4 - координаты направляющего вектора данной
прямой, т. е. S  3, 2,  4 
2. Так как прямая параллельна данной прямой, то направляющие векторы
коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то соответствующие координаты
векторов пропорциональны. Поэтому, обозначив координаты направляющего
вектора
искомой
прямой
через
получим,
что
m1 , n1 , p1 ,
m1  mk  3k; n1  nk  2k; p1  pk  4k , где k  0 коэффициент пропорци-
ональности.
3. Каноническое уравнение искомой прямой будем искать по формуле:
x  x0 y  y 0 z  z 0


m1
n1
p1
Подставив в эту формулу x y координаты точки К(-3;4;-5), а вместо m1 , n1 , p1
координаты
направляющего
вектора
этой
прямой
x

3
y

4
z

5
( m1  3k; n1  2k ; p1  4k , ) получим:
. Сократив на k  0 ,


3к
2к
 4к
получим:
x  3 y  4 z  5 - каноническое уравнение искомой прямой.


3
2
4
y
4 z 5.
x

3
Ответ:


3
2
4
Решить самостоятельно:
Задача № 2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(2;-1;7) параллельно прямой x  7  y  2  z  4
1
5
2
y

1
x

2
z

7
Ответ:


1
5
2
35
Задача № 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(0;2;-5) параллельно прямой x  3  y  9  z  11
2
1
8
y

2
x
z

5
Ответ: 

2
1
8
Практическое занятие № 8 на тему:
ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
Примеры:
Задача № 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(0;-3;4) параллельной плоскости x  3 y  2 z  9  0 .
Решение:
1.
Найдем
координаты
нормального
вектора
N плоскости
x  3 y  2 z  9  0 . x  3 y  2 z  9  0 - это общее уравнение плоскости.
Общее уравнение плоскости задается формулой: Аx  Вy  Сz  Д  0 , где x,
y, z- текущие координаты. Сравнивая уравнения x  3 y  2 z  9  0 и
Аx  Вy  Сz  Д  0 , найдем, что А=1;
В=3; С=2 - координаты нормального вектора данной плоскости, т. е.
N 1, 3, 2
2. Так как искомая плоскость параллельна данной плоскости, то нормальные
векторы этих плоскостей коллинеарны, У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. Обозначив координаты нормального
вектора
искомой
плоскости:
получим,
что
А1 , В1 , С1 ,
А1  Аk  1k; В1  Вk  3k; С1  Сk  2k , где k  0 коэффициент пропорциональности.
3. Уравнение искомой плоскости будем искать по формуле
А1 ( x  x0 )  В1 ( y  y 0 )  С1 ( z  z 0 )  0 , где x, y , z -текущие координаты;
x 0 , y 0 , z 0 - координаты известной точки, через которую проходит плоскость; А1 , В1 , С1 - координаты нормального вектора плоскости. Подставив в
эту формулу вместо
x 0 , y 0 , z 0 координаты точки К(0;-3;4), вместо А1 , В1 , С1
координаты нормального вектора этой плоскости А1  1k; В1  3k; С1  2k ,
получим: k ( x  0)  3k ( y  3)  2k ( z  4)  0 сократив на
скобки, получим:
36
k  0 и раскрыв
x  3 y  9  2 z  8  0  x  3 y  2 z  17  0 - общее уравнение искомой плоскости.
Ответ: x  3 y  2 z  17  0
Решить самостоятельно:
Задача № 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(3;4;-2) параллельной прямой 3x  4 y  5 z  1  0 .
Ответ: 3x  4 y  5 z  35  0
Задача № 2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(-1;0;-5) параллельной прямой 5 x  2 y  7 z  4  0
Ответ: 5 x  2 y  7 z  30  0
Практическое занятие № 9 на тему:
ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ.
Примеры:
Задача № 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (3;0;-2) перпендикулярно плоскости 3x  y  2 z  8  0
Решение:
1. 3x  y  2 z  8  0 - это общее уравнение плоскости, которое задается
формулой Аx  Вy  Сz  Д  0 . Сравнивая эти уравнения, найдем координа-

ты нормального вектора плоскости: А=3; В=4; С=-2; n  3;4;2.
2. Так как прямая перпендикулярна плоскости, то направляющий вектор и
нормальный вектор плоскости коллинеарны. Если векторы коллинеарны про


порциональны, т.е. m  n  p , где n  А; B; C; S  m; n; p , n - нормальный
A B C

вектор плоскости, S - направляющий вектор прямой. Подставив А=3, В=4, С=-2,
получим m  n  p . Обозначим m  n  p  k , Тогда m  k , n  k ,
3 4 2
4
3
3 4 2
p
 k ,  m  3k , n  4k , p  2k.
2
3. Для нахождения уравнения прямой воспользуемся формулой
x  x0 y  y 0 z  z 0 , где в нашем случае


m
n
p
37
m  3k , n  4k , p  2k ; x0  3, y 0  0, z 0  2 . Тогда уравнение примет
вид:
x  3 y  0 z  2 Сократив на k  0 получим x  3 y  0 z  2




3
4
2
3k
4k
 2k
y

0
x

3
z

2
Ответ:


3
4
2
Задача № 2. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку К(1;2;-1)
перпендикуляр прямой x  3  y  2  z  1
1
3
4
Решение:
1. x  3  y  2  z  1 - это канонические уравнения прямой в пространстве,
1
3
4
которые задаются формулой
x  x0 y  y 0 z  z 0


m
n
p
Сравнив эти два уравнения, найдем m  1, n  3, p  4; - координаты

направляющего вектора прямой, т.е. S  1;3;4
2. Так как прямая и плоскость перпендикулярны, то координаты направляющего вектора пропорциональны соответствующим координатам нормального
вектора плоскости:
A B C
 
n n
p
m  1, n  3, p  4

A B C


1 3 4
Обозначив коэффициент пропорциональности через k  0 ,
A B C
A
B
C

 = k   k;
 k ;  k  A  k ; B  3k ; C  4k .
1 3 4
1
3
4
3. Для нахождения уравнения плоскости воспользуемся формулой
A( x  x0 )  B( y  y 0 )  C ( z  z 0 )  0 , где в нашем случае:
получим
A  k ; B  3k ; C  4k .
x0  1; y 0  2; z 0  1 .
В результате подстановки получим: k ( x  1)  k ( y  2)  k ( z  1)  0 . Сократим на k  0 .
( x  1)  ( y  2)  ( z  1)  0
 x  1  3y  5  4z  4  0  x  3y  4z  9  0
Ответ: x  13 y  4 z  9  0
38
Решить самостоятельно:
Задача № 1. Найти уравнение перпендикуляра, проходящего через точку К(1;1;2), перпендикулярно плоскости 3x  y  5 z  8  0
Ответ: x  1  y  1  z  2
3
1
5
Задача № 2 Найти уравнение прямой, плоскостью проходящей через точку
К(3;-4;7), перпендикулярно плоскости 8 x  2 y  6 z  1  0
Ответ: x  3  y  4  z  7
8
2
6
Задача № 3 Найти уравнение плоскости, проходящей через точку К(-3;4;2)
перпендикулярно прямой x  5  y  2  z  7
4
Ответ: 4 x  3 y  2 z  20  0
3
2
39
Оглавление
1. Введение
2. Практическое занятие № 1. Вычисление определителей
второго и третьего порядка.
3. Практическое занятие № 2. Решение систем линейных
уравнений по правилу Крамера
4. Практическое занятие № 3. Скалярное произведение двух
векторов и его приложение.
5. Практическое занятие № 4. Векторное произведение двух
векторов и его приложение.
6. Практическое занятие № 5. Прямая линия на плоскости.
7. Практическое занятие № 6. Кривые второго порядка
8. Практическое занятие № 7. Прямая линия в пространстве
9. Практическое занятие № 8. Плоскость в пространстве
10. Практическое занятие № 9. Прямая и плоскость в пространстве.
11. Оглавление.
40
3
3
5
9
13
16
18
34
36
37
40
Скачать