КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
«КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к решению задач по атомной физике
для студентов физического факультета
Ростов-на-Дону
2006
Методические указания разработаны кандидатом физико-математических
наук, ассистентом кафедры нанотехнологии И.Н. Леонтьевым и кандидатом физико-математических наук, зав. кафедрой нанотехнологии Ю.И. Юзюком.
Ответственный редактор
канд. физ.-мат. наук И.Н. Леонтьев
Компьютерный набор и верстка
инженер Г.А. Колесников
Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики физического
факультета РГУ, протокол № 21 от 25 апреля 2006 г.
2
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
 Закон Стефана - Больцмана
Re  T 4 ,
где Rе – энергетическая светимость черного тела; Т – термодинамическая температура;  - постоянная Стефана – Больцмана.
 Энергетическая светимость серого тела в классическом приближении
Re  T 4 ,
где  – коэффициент теплового излучения (степень черноты) серого тела.
 Закон смещения Вина
m  b T ,
где m – длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения;
b -постоянная закона смещения Вина.
 Энергия фотона
  h 
hc

или    ,
где h – постоянная Планка;   h /(2 ) ;  – частота излучения;  – циклическая
частота;  – длина волны.
 Формула Планка для спектральной плотности энергии
 3
1
f ( , T )  2 3
,
 c exp( / кT )  1
где f (,T ) – спектральная плотность энергетической светимости черного тела;  – круговая частота; с – скорость света в вакууме; к – постоянная Больцмана;  – постоянная Планка.
 Формула Эйнштейна для фотоэффекта
  A  Emax ,
3
где  – энергия фотона, падающего на поверхность металла; А – работа выхода
электрона из металла; Еmax – максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.
 Коротковолновая граница min сплошного рентгеновского спектра
min 
где  – постоянная Планка;
2c
,
eU
с – скорость света в вакууме; е – заряд электрона;
U – разность потенциалов, приложенная к рентгеновской трубке.
 Давление производимое светом при нормальном падении,
p
Ee
(1   ) или p  w(1   ) ,
c
где Ee – облученность поверхности; с – скорость электромагнитного излучения
в вакууме; w – объемная плотность энергии излучения;  – коэффициент отражения.
 Изменение длины волны  фотона при рассеянии его на свободном электроне
на угол 
      
2
(1  cos ) ,
mc
где m – масса покоя электрона отдачи; с – скорость света в вакууме;
2 / mc  C – комптоновская длина волны.
4
Задача №1
Исследование спектра излучения Солнца показывает, что максимум
спектральной плотности энергетической светимости соответствует
длине волны  = 500 нм. Принимая Солнце за черное тело, определить:
1) энергетическую светимость Солнца; 2) поток энергии Фе, излучаемый Солнцем; 3) массу m электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за 1 с.
Энергетическая светимость R черного тела выражается формулой Стефана –
Больцмана
Re  T 4 .
Температура излучающей поверхности может быть определена из закона смещения Вина
m  b T .
Выразив отсюда температуру Т и подставив ее в закон Стефана – Больцмана, получим
4
 b 
Re     .
 m 
Произведя вычисления по этой формуле, получим Re = 64 МВт/м2.
Поток энергии Фе, излучаемый Солнцем, равен произведению энергетической
светимости R на площадь поверхности солнца S
Фе  Re S  4RC2T 4 ,
где RC = радиус Солнца. Подставляя в последнюю формулу численные значения,
получим Фе = 3,91026 Вт.
Массу электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за время t,
5
определим, применив закон пропорциональности массы и энергии
E  mc2 .
С другой стороны, энергия электромагнитных волн, излучаемых за время t, равна произведению потока энергии Фе (мощности излучения) на время
E  Фе t .
Отсюда
m
Фе t
.
c2
Произведя вычисления, получим m = 4,3109 кг.
Задача №2
Вин предложил следующую формулу для распределения энергии в спектре теплового излучения:
f ( , T )  A 3e  a / T ,
где а = 7,6410-12 Кс. Найти с помощью этой формулы при Т = 2000 К: а)
наиболее вероятную частоту вер длину вер излучения; б) средние значения частоты <>.
Наиболее вероятную частоту излучения ω найдем из условия
f ( , T )
0.

Отсюда
f ( , T )
a 
 a

 3 A 2 e a / T  A 3e a / T     A 2 e a / T  3 
  0.

T 
 T

Удовлетворяющие этому уравнению значения ω = 0 , ω = ∞ соответствуют минимумам функции f (,T ) . Значение , обращающее в нуль выражение, стоящее в
6
скобках, представляет собой наиболее вероятную частоту излучения вер
a вер 

 3 
  0.
T 

Откуда  вер 
3T
=7,81014 с-1.
a
2. Поскольку связь функций f (,T ) и  ( , T ) имеет следующий вид:
 ( , T ) 
2 c  2c 
f
,T  ,
2  

то в нашем случае
2c  2c 
 ( , T )  A 2 

   
3
1
е 2са / T  (2c) 4 A 5 е 2са / T .

Наиболее вероятную длину волны излучения найдем из условия
  , T 
0.

Тогда
 1  2са  2са / T 5
  54 е 2са / T
  2  
е
  , T 
  T 
 (2c) 4 A 


10
(2c) 4 Aе 2са / T  2ca


 5   0 .

10

 T

Удовлетворяющие этому уравнению значения λ = 0 , λ = ∞ соответствуют минимумам функции   , T . Значение λ, обращающее в нуль выражение, стоящее в
скобках, представляет собой наиболее вероятную частоту излучения λ вер.
2са
 5  0
Т
=>
вер 
2са
=2,40 мкм.
5Т
Среднее значение частоты излучения определяется следующим выражением
7

 

0 f ( ,T )d 0 A e

0

3  a / T

d

0 A e
f ( , T )d

3  a / T
0 

4  a / T
e
.
0  e
d
d
3  a / T
d
Интегралы, стоящие как в числителе последней дроби, так и в знаменателе сводятся к следующему табличному интегралу:

n  ax
 x e dx 
0
n!
.
a n1
Тогда

4!
 

3!
4T
=1,051014 с-1.
 /

  
5  
4 
 (a / T )   (a / T )  a
Задача №3
Преобразовать формулу Планка к виду, соответствующему распределению: а) по линейным частотам; б) по длинам волн.
Энергетическая светимость абсолютно черного тела определяется следующим
выражением:

R   f ( , T )d ,
(1)
0
где f (,T ) – функция спектрального распределения энергии излучения, определяемая формулой Планка
 3
f ( , T )  2 3
 c
1
е / kT  1
.
(2)
Чтобы получить распределение по линейным частотам произведем в (1) замену
переменных с учетом того, что
8
  2 .
Тогда
d  2 d ,
(2 ) 3
 2c3
0

R
1
е
 2 / kT
1
2 d ,
отсюда
f ( , T ) 
16 2  3
c3
1
е 2  / kT  1
.
Аналогичным образом поступим, чтобы найти распределение по длинам волн.
Поскольку

2с

,
то
d  
2с
2
d ,
(2с /  ) 3
1
2с
d ,
2 3
2
 2c / kT

c

е
1

0
R
отсюда
 ( , T ) 
16 2 с
5 (е 2 c/ kT  1)
.
Задача №4
Получить приближенные выражения формулы Планка при  << kT и
 >> kT .
Рассмотрим первый случай, когда  << kT . Отсюда
9

<< 1.
kT
Тогда мы можем воспользоваться следующим тождеством
ex  1  x ,
откуда
е / kT  1 

.
kT
Подставляя полученное выражение в формулу Планка, получим
 3
1
 3 kT
2
f ( , T )  2 3


kT .
 c 1    1  2 c 3   2 c 3
kT
Полученное выражение представляет собой закон Рэлея – Джинса.
Рассмотрим теперь случай, когда  >> kT . В этом случае единицей в знаменателе формулы Планка можно пренебречь т.к.
е / kT >> 1.
Отсюда
f (,T ) 
 3  / kT
.
е
 2c3
Полученное выражение совпадает с законом Вина (см. задачу №2). Здесь
А

,
 2c3
а

.
k
Задача №5
Определить максимальную скорость фотоэлектронов vmax, вырываемых
с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовым излучением с длиной
волны 1 = 0,155 мкм; 2)  – излучением с длиной волны 2 = 2,47 пм.
Максимальную скорость фотоэлектро-
нов определим из уравнения Эйнштей10
на для фотоэффекта
  A  Emax .
(3)
Энергия фотона вычисляется по формуле

hc

.
Работа выхода электрона для серебра равна А = 4,7 эВ.
Кинетическая энергия фотоэлектрона в зависимости от того, какая скорость ему
сообщается, может быть выражена по классической формуле
Emax
m0 v 2

2
(4)
или по релятивистской
Emax  (m  m0 )c 2 .
(5)
Если энергия фотона  много меньше энергии покоя электрона Е0, то может быть
применена формула (4); если же  сравнима по размеру с Е0, то вычисление по
формуле (4) приводит к грубой ошибке, в этом случае кинетическую энергию фотоэлектрона необходимо вычислять по формуле (5).
Для ультрафиолетового излучения с длиной волны 1 = 0,155 мкм энергия фотона
равна 1 = 8 эВ, что много меньше энергии покоя электрона (0,511 МэВ). Следовательно, в данном случае формула (4) справедлива, откуда
vmax 
2( 1  A)
= 1,08106 м/c.
m0
В случае  – излучения с длиной волны 2 = 2,47 пм энергия фотона равна
1 = 0,502 МэВ, тогда работой выхода электрона (А = 4,7 эВ) можно пренебречь и
можно принять, что максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона равна
энергии фотона Emax   2 . Т.к. в данном случае энергия покоя электрона сопоставима с энергией фотона, то для вычисления скорости фотоэлектрона необходимо
воспользоваться релятивистской формулой для кинетической энергии
11
 1

,
Emax  Е0 

1
 1  2



где Е0  m0 c 2 . Произведя математические преобразования, получим
Emax (2 E0  Emax )
.
Emax  E0

Тогда максимальная скорость фотоэлектронов, вырываемых  – излучением равна
vmax  c 
Emax (2 E0  Emax )
с = 226106 м/c.
Emax  E0
Задача №6
До какого потенциала можно зарядить удаленный от других тел цинковый шарик, облучая его ультрафиолетовым излучением с длиной волны
 = 200 нм.
При облучении шарика ультрафиолетовым излучением с длиной волны , из него
будут выбиваться электроны с максимальной кинетической энергией Еmax, причём
электроны будут покидать шарик до тех пор, пока энергия электростатического
взаимодействия (притяжения) W не станет равной максимальной кинетической
энергии фотоэлектронов Еmax,т. е.
W = Еmax.
Максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов найдем из уравнения
Эйнштейна для фотоэффекта
h
c

 AZn  Emax ,
где AZn – работа выхода электрона для цинка. Отсюда
Emax  h
c

12
 AZn .
Поскольку
W  e ,
где е – заряд электрона,  – потенциал шарика, то
e  h
c

 AZn .
Отсюда
1 c

 AZn  =2,74 В.
e 

  h
Задача №7
Определить красную границу кр фотоэффекта для цезия, если при
облучении его поверхности фиолетовым светом с длиной волны 
= 400 нм максимальная скорость vmax фотоэлектронов равна 0,65 Мм/с..
При облучении светом, длина волны которого кр соответствует красной границе
фотоэффекта, скорость, а следовательно, и кинетическая энергия фотоэлектронов
равны нулю. Поэтому уравнение Эйнштейна в этом случае будет иметь вид
  АCs или
hc
кр
 АCs ,
где АCs – работа выхода электрона из цезия. Отсюда
кр 
hc
.
АCs
(6)
Чтобы получить работу выхода электрона из цезия воспользуемся уравнением
Эйнштейна в виде
me v 2
.
A    Emax 


2
hc
Подставляя (7) в (6), получим
13
(7)
кр 
hc
1

.= 651 нм.
2
hc me v
1 me v 2



2
 2hc
Задача №8
После увеличения напряжения на рентгеновской трубке в  = 2,0 раза
первоначальная длина волны 0 коротковолновой границы сплошного
рентгеновского спектра изменилась на  = 50пм. Найти 0.
Коротковолновая граница тормозного излучения сплошного рентгеновского спектра определяется выражением:
 м ин 
а
,
V
где V – напряжение на рентгеновской трубке; а – некоторая постоянная, то при
увеличении напряжения на рентгеновской трубке длина волны рентгеновского
излучения будет уменьшаться. Тогда
0 
а
V1
0  0   
и
а
.
V2
Разделив второе равенство на первое, получим
0   V1 1
  .
0
V2 
Отсюда находим
0 

 1
  0,1нм .
Задача №9
Определить напряжение на рентгеновской трубке, если известно, что
14
зеркальное отражение узкого пучка ее излучения от естественной грани монокристалла NaCl наблюдается при уменьшении угла скольжения вплоть до  = 4,1. Соответствующее межплоскостное расстояние d = 281 пм.
Согласно закону Вульфа – Брэгга
2d sin   n ,
(8)
где d – межплоскостное расстояние,  – угол дифракции (брэгговский угол или
угол, под которым наблюдается максимум отраженного от кристалла рентгеновского пучка),  – длина волны падающего рентгеновского излучения, n – порядок
дифракции (в данном случае n = 1).
Коротковолновая граница тормозного излучения сплошного рентгеновского спектра определяется следующим выражением:
 м ин 
2c
,
eV
где V – напряжение на рентгеновской трубке. Подставляя последнее выражение в
(8), получим
2d sin  
2c
.
eV
Отсюда
V
c
ed sin 
.
Подставляя в последнее выражение численные значения, получим V = 31 кВ.
Задача №10
Узкий пучок рентгеновского излучения с длиной волны λ падает на рас15
сеивающее вещество. Найти λ, если длины волн смещенных составляющих излучения, рассеянного под углами 1 = 60° и 2 = 120°, отличаются друг от друга в  = 2,0 раза.
Изменение длины волны фотона при его рассеивании на свободном электроне
равно
      
где
2
(1  cos ) ,
mc
(9)
2 / mc  C – комптоновская длина волны электрона. Тогда формула (9)
для случаев рассеяния на углы 1 и 2 примет соответственно следующий вид:
1    С (1  cos 1 ) ,
2    С (1  cos  2 ) .
По условию задачи

2
 2,
1
отсюда

2   С (1  cos 2 )
.

1   С (1  cos1 )
Используя тригонометрическое тождество cos2  1  2 sin 2  , получим
  С sin 2  2 2
.

2 1
   sin
С
2
Отсюда
  С sin 2 1 2    С sin 2  2 2

2С  2  2
 sin 2 1  .
 sin
2
2
  1
Подставляя в последнее выражение численные значения получим  = 1,2 пм.
16
Задача №11
Фотон с энергией Е = 0,75 Мэв рассеялся на свободном электроне под
углом  = 60. Принимая, что кинетическая энергия и импульс электрона
до соударения с фотоном были пренебрежимо малы, определить : а)
энергию Е рассеянного фотона; б) кинетическую энергию электрона
отдачи; в) направление его движения.
Энергию рассеянного фотона найдем, воспользовавшись формулой Комптона:
   
2
(1  cos ) .
mc
Выразив длины волн  и  через энергии Е и Е соответствующих фотонов, получим
2с 2с 2


(1  cos ) .
Е
E
mc
Разделив обе части полученного равенства на 2с , получим
1 1
1
 
(1  cos ) .
Е  E mc 2
(10)
Отсюда
Е 
E
.
( E / mc 2 )(1  cos )  1
Подставив численные значения величин, получим Е = 0,43 МэВ.
Кинетическая энергия электрона отдачи Ек, как это следует из закона сохранения
энергии, равна разности между энергией падающего фотона Е и энергией рассеянного фотона Е:
Ек  E  E   0,32 МэВ.
Направление движения электрона отдачи можно определить воспользовавшись
17

законом сохранения импульса, согласно которому импульс падающего фотона p


равен векторной сумме импульсов рассеянного фотона p и электрона отдачи mv :
 

p  p  mv .
Векторная диаграмма импульсов показана
на рис.1. Все векторы проведены из точки О, где находился электрон в момент соударения с фотоном. Угол  определяет
направление движения электрона отдачи.
Из треугольника OCD находим
tg 
Рис.1
CD
CA sin 

OD OA  CA cos
Или
tg 
p sin 
sin 

p  p cos p  cos
p
Так как p  E / c и p  E  / c , то
tg 
sin 
E
E
  cos
.
(11)
Из (10) следует, что
E
E

(1  cos )  1 .
Е  mc 2
Заменяя в (11) отношение Е/E по формуле (12), получим
tg 
sin 
.
(1  Е / mc2 )(1  cos )
Учитывая, что
sin   2 sin( / 2) cos( / 2) и 1  cos  2 sin 2 ( / 2) ,
получим
18
(12)
tg 
ctg ( / 2)
.
1  Е / mc 2
Подставив численные значения, получаем tg  0,701 , откуда  = 35
Задача №12
Пучок монохроматического света с длиной волны  = 663 нм падает
нормально
на
плоскую зеркальную поверхность.
Поток
энергии
Фе = 0,6 Вт. Определите силу F давления, испытываемую этой поверхностью, а также число фотонов N, падающих на нее за время t =5с.
Сила светового давления на поверхность равна произведению светового давления
p на площадь S поверхности:
F  pS .
Световое давление может быть найдено по формуле
p
Ee
(1   ) .
c
Тогда
F
Ee S
(1   ) .
c
(13)
Поскольку произведение облученности поверхности Ее на площадь поверхности S
равно потоку Фе энергии излучения, падающего на поверхность, то (13) можно
переписать в виде
F
Фe
(1   ) .
c
После подстановки численных значений и с учетом того, что  = 1 (поверхность
зеркальная), получим F = 4 нН.
Число фотонов, падающих за время t на поверхность, определяется по формуле
19
N
W


Фе t

,
где W – энергия получаемая поверхностью за время t,   hc /  – энергия одного фотона. Отсюда
N
Фе t
=1019 фотонов.
hc
Задача №13
Параллельный пучок света с длиной волны  = 500 нм падает нормально
на зачерненную плоскую поверхность, производя давление p = 10 мкПа.
Определить: 1) концентрацию n фотонов в пучке; 2) число n1 фотонов,
падающих на поверхность площадью 1 м2 за время 1с.
Концентрация фотонов в пучке n может быть найдена, как частное от деления
объемной плотности энергии w на энергию одного фотона 
n
w

.
(14)
Из формулы, определяющей давления света
p  w(1   ) ,
выразим w и, подставив в (14), получим
n
p
 (1   )
Поскольку энергия одного фотона определяется выражением

hc

то
20
,
n
p
hc(1   )
Коэффициент отражения  для зачерненной поверхности равен нулю. Тогда подставляя численные значения, получаем n = 2,521013 м-3.
Число фотонов n1, падающих на поверхность площадью 1 м2 за время 1с найдем
из соотношения
n1 
N
,
St
где N – число фотонов, падающих за время t на поверхность площадью S. Но так
как
N  ncSt ,
следовательно
n1 
ncSt
 nc .
St
После подстановки численных значений, получаем n1 = 7,561021 м-2с-1.
Задача №14
Лазер излучает в импульсе длительностью  = 0,13 мс узкий пучок света с энергией Е = 10 Дж. Найти среднее за время  давление такого пучка света, если его сфокусировать в пятнышко диаметром d = 10мкм
на поверхности, перпендикулярной пучку, с коэффициентом отражения  = 0,5.
Так как давление света определяется выражением
p
Ee
(1   ) ,
c
а произведение облученности поверхности Ее на площадь поверхности S равно
21
потоку Фе энергии излучения, падающего на поверхность, то
p
Фe
(1   ) .
Sc
Поток Фе энергии излучения, падающего на поверхность равен
Е
Фе 

,
тогда с учетом того, что
S
d 2
4
,
получим
p
4E
(1   ) .
d 2 c
Подставляя численные значения, получим р = 5 МПа  50 атм.
ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
Постоянная Планка
34

1,0546  10 Дж  с

15

0,6582  10 эВ  с
22
Скорость света в вакууме
с = 2,998108 м/c
Масса электрона
0,911  10 30 Кг

m e  5,486  10 4 а.е.м.
0,511МэВ

Заряд электрона
19

1,602  10 Кл
e
10

4,807  10 СГСЭ
o = 8,8510-12 Ф/м
Электрическая постоянная
1/4o=9109 м / Ф
Постоянная Стефана - Больцмана
 = 5,6710-8 Вт/(м2 К4)
Постоянная закона смещения Вина
b = 2,9010-3 мК
Постоянная Больцмана
1,3807  10 23 Дж / K
k 
4
0,8617  10 эВ / K
ЛИТЕРАТУРА
1. Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике: Учебное пособие для физ. спец. вузов. – М.: Высшая шк., 1991. – 175с.
2. Иродов И.Е. Квантовая физика. Основные законы: Учебное пособие для вузов.
23
– М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 271с.
3. Трофимова Т.И., Павлова З.Г.: Сборник задач по курсу физики с решениями:
Учебное пособие для вузов. Изд. седьмое, стереотипное– М.: Высшая шк.,
2006. – 591с.
4. Чертов А.Г, Воробьев А.А. Задачник по физике. Изд. пятое, переработанное и
дополненное – М.: Высшая шк., 1988. – 527с.
5. Борн М. Атомная физика. – М.: «Мир», 1970. – 483с.
6. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.3 - М.: Наука., 1982. – 304с.
7. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физики. - М.: Наука, 1982. –
271с.
24