Урок-обобщ.Многочлены 10 кл

Урок по алгебре и началам анализа по теме
«Многочлены от одной переменной»
Учитель: Подушкина О. Ю.
Класс: 10б
Цели урока:
– обобщить и систематизировать теорию о многочленах от одной переменной, показать
использование теории многочленов в решении алгебраических задач;
– развивать умения самостоятельного решения типовых задач, связанных с преобразованием
многочленов;
– воспитывать интерес к изучению математики, формировать навыки самооценки.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
Оборудование: компьютер, проектор, экран (или интерактивная доска), карточки заданиями.
Форма организации учебной деятельности: индивидуальная, фронтальная, групповая,
самопроверка.
Ход урока:
1. Организационный момент.
2. Актуализация опорных знаний: повторение теории о многочленах от одной переменной
(демонстрация слайдов), схема основных теоретических моментов.
Многочлены
от одной
переменной
Термины
Теоремы
Действия с
многочленами
Задание №1.
1 вариант: выписать все термины по данной теме и действия с многочленами, которые вы
помните.
2 вариант: выписать все теоремы о многочленах, которые вы помните.
1 вариант
Термины:
1. Одночлен.
2. Многочлен.
3. Степень одночлена.
4. Степень многочлена.
5. Стандартный вид многочлена.
6. Старший член многочлена.
7. Коэффициент при старшем члене многочлена.
8. Приведенный многочлен.
9. Тождественно равные многочлены.
10. Корень многочлена.
11. Кратность корня многочлена.
Действия с многочленами:
12. Разложение многочлена на множители.
13. Схема Горнера.
14. Определение степени многочлена при сложении, умножении, возведении в степень.
15. Метод неопределенных коэффициентов.
2 вариант
1. Теорема Безу.
2. Теорема о делимости многочлена с n различными корнями.
3. Следствие из теоремы Безу.
4. Теорема о делении с остатком.
5. Теорема о значении многочлена (когда значение многочлена равно свободному члену).
6. Теорема о значении многочлена (когда значение многочлена равно сумме коэффициентов).
7. Теоремы о сумме коэффициентов при четных и нечетных степенях многочлена.
8. Теорема о количестве различных корней многочлена n-ой степени.
9. Теорема Виета для многочленов.
10. Теорема о рациональных корнях приведенного многочлена с целыми коэффициентами.
11. Теорема о дробных корнях многочлена с целыми коэффициентами.
12. Доп. теорема о делимости значений многочлена с целыми коэффициентами.
Сверить свои ответы, выставить себе баллы.
Задание №2. Верно – неверно?
1. Многочленом нулевой степени называется многочлен, все коэффициенты которого равны
нулю.
2. Число α называется корнем многочлена Р(х), если Р(α)≠0.
3. Многочлен f(х) делится нацело на многочлен φ(х) не являющийся нулевым многочленом, если:
f(х) = φ(х)•q(х) + r(х).
4. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х + α равен Р(α), т.е. значению Р(х) при х = α.
5. Если многочлен Р(х) делится без остатка на ( õ   ) ê , но не делится без остатка на ( õ   ) ê 1 , то
число α является корнем кратности k для Р(х).
6. Схема Горнера позволяет находить неполное частное и остаток от деления многочлена f(х) на
двучлен х – α.
7. Рациональные корни неприведённого уравнения с целыми коэффициентами являются целыми.
8. Если многочлен Р(х) имеет попарно различные корни  1 ,  2 ,.... n , то он делится без остатка на
произведение ( x  1 )( x   2 )...( x   n )
m
9. Если рациональная дробь
- корень многочлена, то m является делителем старшего
n
коэффициента, а число n – делителем свободного члена.
10. Многочлен степени n имеет меньше, чем n различных корней.
11. Если α является целым корнем многочлена Р(х) с целыми коэффициентами, Р(1) делится
нацело на α-1, а Р(-1) делится нацело на α+1.
Сверить свои ответы, выставить себе баллы.
3. Решение задач на применение простейших теорем.
Задание (устное, по рядам) Приготовить рассказ о каждом из выражений.
1
1 ряд. ( õ  1) 3 ( õ  )( õ  2 ) 4
2
2 ряд. (х-2)(х+1)+17
3 ряд. 6  17 õ  14 õ 2  4 õ 4  õ5
Отвечающие ставят себе 2 балла.
Задание №3. (на четные, нечетные парты) Практические задания на применение теорем о
многочленах.
Четные парты.
1. Найти сумму коэффициентов многочлена Р(х)= (х-2)(х+1)(х-98)+17
2. Найти остаток от деления многочлена Р(х) = (х-2)(х+1)(х-98)+17 на х+3
3. Найти свободный член многочлена Р(х)= ( õ2  õ  2) 6  ( õ2  õ  1) 5
Нечетные парты.
1. Найти сумму и произведение корней многочлена Р(х)= 6  17 õ  14 õ 2  4 õ 4  õ5
1
2. Найти сумму коэффициентов при четных степенях многочлена Р(х)= ( õ  1) 3 ( õ  )( õ  2 ) 4
2
3. Зная, что х=1 корень 2-ой кратности, х=2 корень 3-ей кратности и х=10 корень 1-ой кратности
многочлена Р(х), запишите разложение данного многочлена на множители и определите его
степень.
Сверить свои ответы, выставить себе по2 балла за каждое верно выполненное задание.
Подведение итогов повторения теории о многочленах от одной переменной. Подсчитать
количество баллов и оценить себя по следующим критериям: «5» от до ; «4» от до ; «3» от до
4. Решение типовых задач по теме.
Задание №4. При каких значениях а и в многочлен Р(х)= 2 õ 4  3õ3  àõ 2  âõ  3 делится без
остатка на х+3, а при делении на х-2 дает остаток 5?
Задание №5. При каких значениях m и n многочлен Р(х)= õ3  mõ  n делится без остатка на
трехчлен õ3  3õ  10 ?
Задание №6. Разложите на множители многочлен Р(х)= 6 õ3  11õ 2  3õ  2
Задание №7. Доказать, что многочлен Р(х)= õ 3  5 не делится на приведенный квадратный
трехчлен с целыми коэффициентами.
Задание №8. Разложите на множители многочлен Р(х)= õ 4  12 õ3  43õ 2  42 õ  6 методом
неопределенных коэффициентов.
Задание №9. Разложите на множители многочлены: а) Р(х)= õ8  4 õ 4  16 ;
б) Р(х)= ( õ2  õ  1)( õ2  õ  2)  12 .
5. Итог урока
Приложения
Приложение №1
Теоретические вопросы по теме «Многочлены»
1 вариант
1. Приведенный многочлен. Приведите пример. Определите у написанного многочлена: степень,
сумму и произведение корней.
2. Тождественно равные многочлены
3. Следствие из теоремы Безу.
4. Теорема о дробных корнях многочлена с целыми коэффициентами.
5. Найти свободный член многочлена Р(х)= ( õ2  õ  2) 4  ( õ2  õ  1) 5
6. Теорема о количестве различных корней многочлена n-ой степени.
7. Перечислите известные вам способы разложения на множители.
2 вариант
1. а) Определение многочлена; б) Напишите пример любого многочлена в стандартном виде; в)
Определите у написанного многочлена: степень, коэффициент при старшем члене, сумму и
произведение корней.
2. Корень многочлена.
3. Зная, что х=1,8 корень 2-ой кратности, х=-2 корень 4-ой кратности и х=6 корень 1-ой кратности
многочлена Р(х), запишите разложение данного многочлена на множители и определите его
степень.
4. . Теорема Безу.
5. Теорема о значении многочлена (когда значение многочлена равно свободному члену).
6. Теорема о делении с остатком.
7. Теорема о делимости многочлена с n различными корнями.
Приложение №2
Практические задания
№1. Разложите на множители: а) 2 õ3  5 õ 2  õ  2 ; б) õ12  3õ6  1 ; в) 2 õ3  5 õ 2  õ  2
№2. Разложите на множители методом неопределенных коэффициентов многочлен
Р(х)= õ 4  6 õ3  21õ 2  78 õ  16 .
№3. При каких значениях а и в многочлен Р(х)= õ 4  à 2 õ3  74 õ 2  âõ  25 является квадратом
многочлена 2-ой степени относительно х с целыми коэффициентами?
№4. Выполните деление многочлена õ5  2 на двучлен х-1 с остатком.
№5. Найти а , при которых
õ4  àõ3  15 õ2  18 õ  9 является многочленом 2-ой степени
относительно х.
Приложение №3
Д.З.
4  2õ3 13õ2 38õ24
№1. Разложите на линейные множители многочлен Р(х)= õ
№2. Разложите на множители методом неопределенных коэффициентов многочлен
Р(х)= õ4 10 õ3  27 õ2 14 õ  2
№3. Многочлен Р(х) делится на х-1 с остатком 4, на х-2 с остатком 8, а при делении на х+1 дает
остаток 2. Найти остаток от деления Р(х) на
õ3  2 õ2  õ  2
№4. При каких значениях в и с многочлен Р(х)= õ4  8õ3  âõ2  ñõ 1 имеет 2 корня,
каждый из которых 2-ой кратности?