Решение сравнения (первой степени) с помощью цепных дробей

Все, что я не смог разобрать или сомневаюсь в написании, выделено в тексте волнистой
линией.
Отсутствующие части, которые не попали из рукописи в текст, в рукописи обведены
карандашом.
Решение сравнения (первой степени)
цепных дробей
ax  b(m) с
помощью
Хинчин, цепные дроби, Физматизд.,М.,1961.
Решение x  a  ( m)1b(m) сравнения ax  b(m) при (a,m)=1 с помощью теоремы Эйлера
трудоемко, т.к. трудно найти наименьший неотрицательный вычет по модулю m.
Поэтому рассмотрим другой способ. Для этого понадобятся новые понятия.
a
- рациональное число, b>0. Применяя алгоритм Евклида, получаем:
b
 a  bq1  r2
 br q r
2 2
3

 r2  r3 q3  r4
(1)



rn  2  rn 1 q n 1  rn

 rn 1  rn q n
Пусть
Этой системе (1) равносильна система (2):
rr
1
 a
 b  q1  b  q1  b

r2

 b
r3
1
 r  q2  r  q2  r
2
2
 2

r3
( 2)



 rn  2  q  rn  q  1
n 1
n 1
rn 1
 rn 1
rn 1

rn

r
 n 1  q
n
 rn
b r2
,
, … ее соответствующих
r2 r3
a
выражением из следующей строки получаем представление дроби
в виде:
b
a
1
 q1 
.
1
b
q2 
Из (2) последовательной заменой каждой из дробей
q3 
 q n 1 
1
q n 1 
1
qn
Такое выражение называется правильной (конечной) цепной или правильной
непрерывной дробью. При этом предполагается, что q1 - целое число, а q2 ,, qn натуральные числа. Помимо этой есть и другая форма записи непрерывных дробей.
a
1 1
1 a
,  (q1 ,  , q n ) - похоже на НОД, но путать не будем - и другие.
 q1 
b
q 2  q3    q n b
1
Согласно последнему обозначению имеем (q1 ,  , q n )  q1 
. Числа q1 , q2 ,, qn
(q 2 ,, q n )
называются элементами цепной непрерывной дроби.
(2) показывает, что процесс разложения в цепную дробь состоит в последовательном
выделении целой части и перевертывании дробной части.
Замечания
1. При разложении правильной положительной дроби первый элемент q1  0 .
42
1
 0
 (0,2,3,1,4,2)
95
95
42
2. При разложении отрицательной дроби (условимся отрицательный знак всегда
относить к числу) первый элемент будет отрицательным , остальные
положительными. Это следует из того, что целая часть отрицательной дроби
является целым отрицательным числом, а ее дробная часть, как всегда,
положительна.
95
31
1

 3 
 3 
 (3,1,2,1,4,2)
42
42
42
31
3. Всякое целое число можно рассматривать как непрерывную дробь, состоящую из
одного элемента. 5 = (5).
1
Дробь
можно рассматривать как цепную дробь (0, m) .
m
Вопрос: не имеются ли различные представления одного и того же рационального числа
цепной дробью.
Теорема-ответ: не имеются, если потребовать, чтобы было q n  1 .
Заметим, что требование q n  1 необходимо, т.к иначе (q1 ,, qn )  (q1 ,, qn  1,1) , т.к
1
q n  (q n  1)  и единственность не имеет места. Отметим далее, что при q n  1 целая
1
часть дроби (q1 ,, q n ) равна ее первому неполному частному q1 .
Докажем индукцией.
1) n  1 очевидно.
2) n  2 , то (q1 , q 2 )  q1 
1
, q n  1 (по условию) => (q1 , q2 )  q1 .
q2
3) Если n  2 , то (q1 ,  , q n )  q1 
q2 
1
, где
q2 

1
qn
 1 , т.к. q 2  1.

1
qn
Поэтому и здесь (q1 ,, qn )  q1
Перейдем к доказательству теоремы: Рациональное число
a
однозначно представимо
b
цепной дробью (q1 ,, qn ) , если q n  1
95
11
1
 2
 2
42
42
42
11
42
9
1
 3  3
11
11
11
9
11
2
1
 1  1
9
9
9
2
9
1
 4
2
2
95
1
 2
 (2,3,1,4,2)
1
42
3
1
1
1
4
2
Пример
◄Пусть
a
 (q1 ,  , q n )  (q '1 , , q ' n ) , q n  1 , q' n  1 .
b
a
Тогда, как показано выше    q1  q '1 , так что (q2 ,, qn )  (q' 2 ,, q' n ) . Повторяя
b 
сравнение целых частей получаем q2  q' 2 и => (q3 ,, qn )  (q'3 ,, q' n ) . Если n  n' , то
1
q n  q' n в конце. Если n  n' (пусть n'  n ), то получим 0 
, что
(q' n 1 ,  q' n ' )
невозможно.►
В обратном процессе свертывания цепной дроби в простую дробь
основную роль играют дроби вида:
1
 1  q1 ,  2  q1   (q1 , q 2 ),  3  q1 
q2
1
1
q2 
q3
a
(а также в др.в.)
b
 q1 , q 2 , q3 , , которые называются
подходящими дробями данной непрерывной дроби или соответствующего ей числа
a
.
b
 k переходит в  k 1 , если в первой заменить q k выражением q k 
Имеем,  1 
 2  q1 
1
q k 1
.
q1 P1

1 Q1
P
1 q 2 q1  1 q 2 q1  1 q 2 P1  P0



 2
q2
q2
q 2  1  0 q 2 Q1  Q0 Q2

1 
 q2   P1  P0
q3
q q P  P0   P1
q P P
P
3  
 3 2 1
 3 2 1  3
q3 q2 Q1  Q0   Q1 q3Q2  Q1 Q3

1
 q2  
q3 

При этом принимается Po  1, Q0  1 ; P1  q1 , Q1  1
На основе применения математической индукции имеем:
P
q P  Pk  2
(♦)
 k  k  k k 1
Qk q k Qk 1  Qk  2
причем Pk  qk Pk 1  Pk 2 , Qk  q k Qk 1  Qk  2 , k  2,3,  , n
Соотношение (♦) является реккурентными формулами для вычисления  k .
Некоторые свойства
1. Пусть Pk Qk 1  Pk 1Qk   k . Тогда из (♦) имеем  k   k 1 .
Т.к.
Pk Qk 1  Pk 1Qk  q k Pk 1  q k 2 Qk 1  Pk 1 q k Qk 1  Qk  2   Pk 1Qk  2  Pk  2 Qk 1  , но
1  P1Q0  P0 Q1  q1  0  1  1  1 .
Поэтому k  1, n имеем  k  Pk Qk 1  Pk 1Qk   1
k
(♥).
Pk
Qk
P
a
несократимы. Отсюда, кроме того, следует, что если
- несократимая, а k b
Qk
последняя ее подходящая дробь, то a  Pn , b  Qn .
Заметим, что в этом суждении учитывается, что b и Qn имеют одинаковый
(положительный) знак.
2. При помощи формулы (♥) для  k легко доказать, что разность двух подходящих
Эта формула показывает, что НОД ( Pk , Qk )  1 , т.е все подходящие дроби
дробей  k   k 1 
Pk Pk 1 Pk Qk 1  Pk 1Qk
 1k (♠)



Qk Qk 1
Qk Qk 1
Qk Qk 1
Вывод формулы решения сравнения ax  b(m) , где a, m  1 , a  b
P
m
в непрерывную дробь и обозначим ее подходящие дроби через k , k  1, n .
a
Qk
Согласно свойству несократимости подходящих дробей Pn  m , Qn  a . Поэтому вместо
Разложим
Pn Qn1  Pn1Qn   1 получим mQn1  Pn1a   1 => aPn1   1  mQn1 или (т.к. Qn1
n
n
- целое число) aPn1   1
n1
mod m.
n

Умножая обе части этого сравнения на  1 b , получим a  1
n 1
n1

Pn1b  bmod m (♣).
Сравнивая это сравнение с исходным, получаем решение вида x   1 Pn1bmod m , где
m
Pn 1 - числитель предпоследней подходящей дроби в разложении . Т.к. сравнение имеет
a
только одно решение, то (♣) совпадает с этим единственным решением.
Пример
285 x  177(mod 924)
Находим (285,924)  3 , 177  59  3 . После деления на 3 получаем 95 x  59(mod 308) .
n1
308
, qk
95
Pk
308
1
95 23 3
2
1
4
3
4 7
1
2 . Pn1  P4  107 => x   1 107  59mod 308 ,
3 13 94 107 308
x  153mod 308. Исходное уравнение имеет решения x  153,461,769mod 924
Применение сравнений 1-й степени к решению неопределенных
уравнений 1-й степени с 2-мя неизвестными.
ax  by  c, a, b  1
Перепишем в виде ax  c  by , но т.к. y - целое, ax  cmod b . Оно разрешимо, т.к.
a, b  1 , получаем решение x  x1 mod b или x  x1  bt, t  0,1,2,
Для определения соответствующих решений y имеем уравнение ax1  bt   by  c =>
c  ax1
 at , t  0,1,
by  c  ax1  a  bt , => y 
b
c  ax1
Следовательно, y1 
- должно быть целым числом, при этом это является частным
b
значением неизвестного y , соответствующего x1 (получается, как и x1 , при t  0 ).
Поэтому общее решение уравнения примет вид.
 x  x1  bt
, t - любое целое.

 y  y1  at
Пример
53x  17 y  25 .
53x  25mod 17 => x  4mod 17 или x  4  17t , t  0,1, , x1  4 .
53  4  17 y1  25 => y1  11. Общее решение x  4  17t , y  11  53t , t  0,1,2,
Решить сравнения.
1) 111x  81mod 447 . Ответ: x  41,190,339mod 447.
2) 186x  374mod 422 . Ответ: x  61,272mod 422 .
3) 129x  321mod 471 . Ответ: x  39,196,353mod 471 .
4) 285x  177mod 924 . Ответ: x  153,461,769mod 924 .
1) 67 x  64mod 183 . Ответ: x  31mod 183 .
2) 89 x  86mod 241 . Ответ: x  47mod 241 .
3) 213x  137mod 516 . Ответ: неразрешимо.
1)  50x  67mod 177 . Ответ: x  78mod 177 .
2)  73x  60mod 311 . Ответ: x  29mod 311 .
3)  53x  84mod 219 . Ответ: x  48mod 219 .