§ 7. Конечные цепные дроби. В теории чисел, математическом анализе, теории вероятностей и в вычислительной математике широко используются так называемые цепные дроби. Рациональные числа можно задавать в разной форме, например, одно и то же число можно записать в виде отношения двух целых чисел a или в виде b систематической дроби по некоторому основанию g , причем эта систематическая дробь может быть конечной или бесконечной, в зависимости от выбора основания системы счисления. Запись в виде систематической дроби имеет ряд существенных преимуществ, особенно при приближенных вычислениях, однако существенные неудобства возникают из-за того, что форма записи зависит не только от рассматриваемых величин, но и от основания системы счисления. В этом параграфе мы рассмотрим другую форму записи рациональных чисел, а именно представление их в виде так называемых непрерывных или цепных дробей. Большим преимуществом аппарата цепных дробей является то, что выражение любого рационального числа в виде цепной дроби не зависит от каких-либо других величин, кроме самого этого числа. Другие достоинства, а также и недостатки этого аппарата десятичных и других систематических дробей будут рассмотрены позже. 1. Цепные дроби. Определение 1. Конечной непрерывной дробью называется число, записанное в виде a0 b1 a1 , где ai , bi - целые числа, i 0, s . b2 a2 b3 bs as Определение 2. Конечной цепной дробью называется число, записанное в виде где a0 a0 ; a1 , a2 ,..., as , 11 a1 1 a2 (1) 1 1 as a0 Z , ai N , as 1, rn 1 rn qn i 1, s . Числа a0 , a1 , a2 ,..., as будем называть элементами цепной дроби, а дробь s -членной цепной дробью. Теорема 1. Каждое рациональное число можно представить в виде конечной цепной дроби, причем единственным образом, и ,наоборот, значение каждой конечной цепной дроби является рациональным числом. 46 Доказательство. Существование. Пусть рациональное число записано в a , причем b 1. Применив к числам a и b алгоритм Евклида, получим b виде равенства: a bq0 r1 ; b r1q1 r2 ; r1 r2q2 r3 ;…; rn 2 rn 1qn 1 rn ; rn 1 rn qn , (2) где b r1 r2 ... rn 1 rn 0 . Из равенства (2) вытекают соответственно равенства a 1 q0 b b r1 r b 1 r 1 r 1 ; 1 q2 ; …; n 2 qn 1 ; n 1 qn . q1 rn r1 r2 rn 1 r1 r2 rn 1 r2 r3 rn a Отсюда, получаем = q0 ; q1, q2 ,..., qn . b ; Единственность такого представления доказывается методом от противного и, исходя из того, что целые части и дробные части равных чисел равны. Значение каждой конечной цепной дроби находим в результате выполнения конечного количества рациональных операций над элементами этой дроби. Следовательно, в силу наших предположений относительно элементов цепной дроби каждая конечная цепная дробь, очевидно, представляет собой некоторое рациональное число. 2. Подходящие дроби. Определение 3. n -й подходящей дробью ( 0 n s ) конечной s -членной цепной дроби будем называть величину An a0 ; a1 , a2 ,..., an Pn (3). Qn 1 a a 1 a0 P0 1 P1 A1 a0 ; a1 a0 0 1 a1 a1 Q1 Q1 a0 P 0 , 1 Q0 Тогда A0 A2 a0 ; a1 , a2 a2 P1 P0 P 2 a2Q1 Q0 Q2 , и т.д. Теорема 2. ( правило образования подходящих дробей) Для всякого n 2 Pn an Pn 1 Pn 2 Qn anQn 1 Qn 2 (4) Доказывается методом математической индукции по n . Свойства подходящих дробей. 1° При n 1, s справедливо соотношение PnQn 1 Pn 1Qn 1n 1 . (5) Доказывается методом математической индукции по n . 2° Каждая подходящая дробь – несократимая. 3° При n 2, s справедливо соотношение PnQn 2 Pn 2Qn 1n1 an . (6) Доказательство равенства (6) вытекает из равенств (4) и (5). 4° Подходящие дроби четного порядка данной цепной дроби образуют возрастающую, а подходящие дроби нечетного порядка – убывающую 47 последовательность. Каждая подходящая дробь четного порядка данной цепной дроби меньше любой подходящей дроби нечетного порядка этой цепной дроби. Разделив обе части соотношения (6) на QnQn 2 и взяв n - четным, либо нечетным, неравенства получим Pn P n2 Qn Qn 2 из и равенства Pn Pn 2 (1) n an Qn Qn 2 QnQn 2 соответственно Pn P n 2 . А из них вытекает первое утверждение Qn Qn 2 свойства. Аналогично, поделив обе части равенства (5) на QnQn 1 , и взяв n четным либо нечетным, получаем второе утверждение свойства. Таким образом, подходящие дроби четного порядка являются приближенными a с недостатком, а нечетного порядка – с избытком. Оценка b a P 1 1 погрешности при этом определяется неравенством n 2 (7) b Qn QnQn 1 Qn значениями 5° Расстояния (модули разностей) между соседними подходящими дробями уменьшаются с увеличением их номера. Цепную дробь можно представить в виде a0 ; a1 , a2 ,..., an = исходя из того, что a0 , a1, a2 ,..., an , a1 , a2 ,..., an a0 a0 , a0 , a1 a0a1 1 , a0 , a1, a2 a0a1a2 a0 a2 , a0 , a1, a2 , a3 a0a1a2a3 a0a1 a0a3 a2a3 1,… и т.д. Тогда имеет место следующее свойство: 6° a0 , a1 , a2 ,..., an = a0 a1, a2 ,..., an + a2 , a3 ,..., an (8). Это рекуррентное соотношение шаг за шагом определяет функцию «квадратные скобки». Мы видели, что a0 , a1, a2 ,..., an является суммой некоторых произведений, образованных из элементов ai . Каковы же эти произведения? Эйлер впервые ответил на этот вопрос, указав общее правило для вычисления цепной дроби: сначала берется произведение всех элементов, затем всевозможные произведения, которые можно получить, опустив какую-нибудь пару последовательных элементов, затем берутся произведения, получающихся отбрасыванием любых двух пар последовательных элементов, и так далее. Из правила Эйлера сразу же следует, что величина a0 , a1 , a2 ,..., an не изменится, если записать все элементы в обратном порядке: a0 , a1 , a2 ,..., an = aò , aò 11, aò 2 ,..., a0 , то есть имеет место соотношение a0 , a1 , a2 ,..., an = an a0 , a2 ,..., an 1 + a0 , a1 ,..., an 2 (9), которое в большинстве случаев более удобно. Геометрическая интерпретация цепных дробей (Клейн Ф.). Замечательную геометрическую интерпретацию цепной дроби иррационального числа предложил в 1895 году Клейн (F. Klein). Пусть иррациональное число, предполагаемое для простоты положительным. Рассмотрим всевозможные точки плоскости с целыми положительными 48 координатами и предположим, что в этих точках расставлены колышки. Прямая y x ни через один из этих колышков не пройдет. Представим себе, что вдоль этой прямой натянута веревка, один конец которой закреплен в бесконечно удаленной точке этой прямой. Если другой конец веревки, расположенный в начале координат, отвести в сторону, веревка зацепится за некоторые колышки; если его отвести в другую сторону, то веревка зацепится за какие-то другие колышки. Колышки (лежащие под прямой) расположены в точках с координатами ( B0 , A0 ), ( B2 A2 ),..., соответствующих подходящим дробям, меньшим . Другой ряд колышков (над прямой) состоит из точек с координатами ( B1, A1 ), ( B3 , A3 ),..., соответствующих подходящим дробям, большим . Каждое из положений веревки образует ломаную линию, приближающуюся к прямой y x . Диаграмма иллюстрирует случай 3 1;1,2,1,2,... . Подходящие дроби здесь равны 1 2 5 7 19 26 , , , , , ,... . 1 1 3 4 11 15 Колышки под прямой расположены в точках (1,1), (3,5), (11,19),..., а колышки над прямой – в точках (1,2), (4,7), (15,26),... . Большинство элементарных теорем о цепных дробях имеют простую геометрическую интерпретацию. Обозначим через Pn точку ( An , Bn ) . Рекуррентные соотношения (4) показывают, что вектор от Pn 2 до Pn ( Pn 2 и Pn две последовательные вершины одной из ломаных) равен целому кратному вектора от начала O до Pn 1 . Соотношение (5) можно интерпретировать, как утверждение о том, что площадь треугольника OPn 1Pn при любом n равна 0,5. Это утверждение можно вывести непосредственно из описанной конструкции с веревкой : в самом деле, очевидно, что в треугольнике OPn 1Pn нет ни одной целой точки, помимо вершин; кроме того, можно легко доказать, что площадь любого треугольника, обладающего этим свойством, равна 0,5. Пример 1. Разложить в цепную дробь: 1). Решение. _13 0 _141 13 _13 11 _11 10 _2 2 141 0= q0 13 10= q1 11 1= q2 2 5= q3 1 2= q4 0 13 0;10,1,5,2 141 49 43 13 ; 2). . 15 141 2). _15 14 _2 2 2 7= q1 1 2= q2 0 43 13 2 2 3 3;7,2 . 15 15 15 Пример 2. Разложить 1045 в цепную дробь и вычислить подходящие 3427 дроби. Решение. Найдем элементы цепной дроби как частные в алгоритме Евклида: _3427 3129 _1043 894 _298 298 1043 3= q1 298 3= q2 149 2= q3 0 5= q3 1043 0;3,3,2 . 3427 Будем вычислять подходящие дроби k k Pk по рекуррентной формуле Qk qk Pk 1 Pk 2 , k 1 , где P0 q0 , P1 q0 q1 1 , qk Qk 1 Qk 2 Q0 1 , Q1 q1 используя схему (9): k 0 1 2 qk 0 3 3 Pk 1 0 1 3 Q 0 1 3 1 0 k 3 2 7 2 3 1 3 3 7 ; 3 . Последняя подходящая дробь 10 23 7 равна исходному числу. В данном случае 3 и является, согласно 23 Как видно из (9), 0 0 ; 1 ; 2 свойству подходящих дробей, исходная дробь сократима, причем несократимой дробью. 1043 7 149 7 . 3427 23 149 23 50 Следовательно, Пример 3. Заменить число 245 83 такой подходящей дробью, чтобы полученная при этом погрешность не превышала 0, 001. Решение. Разложим данное число в цепную дробь: _245 166 _ 83 79 83 2= q0 79 1= q1 _79 4 19= q2 _39 36 3 _4 3 _3 3 4 1= q3 1 3= q4 0 Получим: 245 2;1,19,1,3 . 83 Вычислим подходящие дроби: k qk 0 2 1 1 Pk 1 2 3 Q 0 1 1 k Так как число 2 1 9 5 9 2 0 3 1 4 3 6 2 2 1 24 5 83 a , разложенное в цепную дробь, по величине находится между b любыми соседними подходящими дробями, то a Pk P P 1 1 k 1 k 2. b Qk Qk 1 Qk Qk Qk 1 Qk Поэтому найдем две соседние подходящие дроби, у которых произведение знаменателей не меньше 1000. 20 21 1000 ; 21 83 1000 ; следовательно, 245 P3 245 62 1 1 . 83 Q3 83 21 21 83 1000 Итак, 245 62 0,001 . 83 21 51 подходит P3 62 , Q3 21 т.к. Упражнения. №1. Как связан алгоритм Евклида с цепными дробями? №2. Какими числами являются q0 , q1, q2 ,..., qn ? Как они называются? №3. В каком случае разложение рационального числа в конечную цепную дробь является единственным? №4. Каким числом является конечная цепная дробь [ q0 ; q1 , q2 ,..., qn ]? №5. Какие цепные дроби называются подходящими к цепной дроби? №6. По какому закону составляются подходящие дроби? Для чего в таблице нахождения подходящих дробей в столбце перед P0 и Q0 ставятся числа 1 и 0? №7. Какой характерной особенностью обладают знаменатели подходящих дробей? №8. Какова связь между числителями и знаменателями двух соседних подходящих дробей? №9. Какой характерной особенностью обладают дроби с четными номерами? Нечетными номерами? №10. Почему любая подходящая дробь с четным номером меньше любой подходящей дроби с нечетным номером? №11. Может ли быть сократима какая-либо подходящая дробь цепной дроби? Почему? №12. Какие приближения к числу a дают подходящие дроби с четными b номерами? С нечетными? №13. Чему равна погрешность, допускаемая при замене рационального числа a подходящей дробью k ? b №14. Разложить в непрерывные дроби: 1). 322 ; 159 2). 23 ; 29 3). 1 ; 4). 9; 5). 17 –10; 6). 127 24 37 1811 ; 7). ; 8). 1, 23; 9). ; 10). . 52 35 81 691 №15. Разложить дробь в непрерывную, заменить ее подходящей дробью, найти погрешность замены, записать замену приближенным равенством с указанием погрешности: 1). 29 163 648 571 , k 3 ; 2). , k 4 ; 3). , k 3 ; 4). , 37 159 385 389 k 5; 5). 2341 1882 , k 4 ; 6). , k 5. 1721 1651 №16. По данным конечным непрерывным дробям найти соответствующие им обыкновенные дроби: 1). 2;3,1,4; 2). 0;1.2.3.4.5 ; 3). 2;3,1,5,4,2 ; 4). 1;1,2,3,4; 5). a, a, a, a, a ; 6). a.b.a.b.a. №17. Сократить дробь (с помощью разложения в непрерывную): 52 1). 3587 1043 1857 11111 3653 ; 2). ; 3). ; 4). ; 5). . 2743 3427 9153 7093 3107 №18. Решить уравнение: 1). x;2,3,4 73 19 ; 2). 2;1,2, x . 90 7 №19. С помощью подходящих дробей найти приближение к дроби с точностью до : 1) 2517 13891 1261 , 0,01 ; 2) , 0,001 ; 3) , 0,0001 . 773 5065 881 №20. Требуется построить зубчатую передачу с помощью двух шестерен с количеством зубцов, равным отношению 587 : 113. Можно ли техническое осуществление передачи выполнить заменой заданного отношения количества зубцов шестерен отношением с меньшим числителем и знаменателем, но с погрешностью не превосходящей 0, 001? №21. Зубчатая передача должна иметь передаточное число 377 . Рассчитать 233 число зубьев на шестернях с погрешностью, не превышающей 0,001 (погрешность в передаточном числе). 53