3.Глава III

Глава III. Бесконечные цепные дроби.
§ 1. Разложение действительных чисел в цепную дробь.
Определение 1. Бесконечной цепной дробью называется выражение
a0 
 a0 ; a1 , a2 ,..., as ... ,
11
a1 
1
a2 
1
1

as 
где
(1)
1

a0  Z , ai  N , i  1,  .
Определение 2. Подходящей дробью
(1) называется конечная цепная дробь
Pn
к бесконечной цепной дроби
Qn
Pn
 a0 ; a1 , a2 ,..., an  .
Qn
(2)
Все те свойства, что мы рассматривали для подходящих дробей
конечных цепных дробей, имеют место и для подходящих дробей
бесконечных цепных дробей.
Определение 3. Бесконечная дробь (1) называется сходящейся цепной
дробью, если существует предел ее подходящих дробей, то есть
Pn
lim Q
n
= .
n
Теорема 1. Любая бесконечная цепная дробь сходится.
Доказательство проводится с применением свойств подходящих дробей
и леммы о вложенных промежутках.
Определение 4. Пусть   a0 ; a1, a2 ,..., an ,... .
Полными частными в
разложении  будем называть величины  0 ,1, 2 ,..., определенные
равенствами   a0 ; a1, a2 ,.., an , n 1  при n  0 ,    0 при n  1 .
Теорема 2. Пусть   a0 ; a1, a2 ,.., an , n 1 ,  n 1 - полное частное в
разложении  , тогда

Pn   n 1  Pn 1
и
Qn   n 1  Qn 1
 n 1 
Pn 1  Qn 1
.
Qn  Pn
(3)
Рассмотрим теперь разложение действительного числа в цепную дробь.
Определение 5. Разложением действительного числа  в цепную
дробь называется представление  в виде   a0 ; a1, a2 ,..., an ,... , где a0 , a1, a2 ,... конечная или бесконечная последовательность целых чисел, такая, что при
k  1 все ak  1 , в случае конечного разложения последний элемент ak  1 .
Теорема 3. Для любого действительного числа существует разложение
в цепную дробь, причем такое разложение единственное.
Доказательство. Рассмотрим случай, когда  - иррациональное число,
так как для рационального числа у нас уже было доказано. Обозначим через
a0 целую часть  , а через 1 - величину, обратную дробной части  , то есть
возьмем 1 
1
1
, так что   a0  . Поскольку  иррационально, a0   и
  0
1
1 также иррациональное число, причем 1  1 . Находя таким же образом для
1 числа a1  1  и  2  1 , и так далее, получим:
1
  a0  , a0   ,

1

1

1  a1  , a1  1 ,

2

,
(4)
..................................,


1

 n  an 
, an   n ,
 n 1


.......................................

где при n  1 все иррациональные числа  n  1 и, таким образом, при всех
таких n числа an   n   1 .
Числа a0 , a1, a2 ,... образуют бесконечную последовательность целых
чисел и, поскольку при n  1  n  1 , мы можем взяв эти числа в качестве
элементов, составить бесконечную цепную дробь a0 ; a1, a2 ,... , которая
согласно теореме 1 сходится.
Докажем, что величина этой цепной дроби равна нашему исходному
числу  . Действительно, из равенств (4) получаем   a0 ; a1, a2 ,.., an , n 1 , так
что согласно (3) имеем

Pn   n 1  Pn 1
и
Qn   n 1  Qn 1
Pn
P  P
P
1
1
1
 n n 1 n 1  n 
 2
 2.
Qn
Qn n 1  Qn 1 Qn
(Qn n 1  Qn 1 )Qn Qn  n 1 Qn
Pn
 .
Поскольку Qn   , то nlim
 Q
n

Доказательство единственности разложения проводится методом от
противного.
Мы видим, таки образом, что для заданного иррационального числа 
имеется алгоритм, позволяющий строить цепную дробь, равную  .
Пример 1. Разложить в цепную дробь  
1  5 
 =1,
 2 
1 5
.
2
1
1 5

. Поскольку
2
1 5
1
2
1   , будем иметь a1= 1      a0=1, так что  2  1 и так далее, то есть
Решение. Находим: a0  
1 5
 1;1,1,1... .
2
1 
Пример 2. Найти значение цепной дроби   1,3 .
Решение.
  1,3,   1 
1
3
1
 1


4  1
,

3  1 3  1
уравнение 3 2  3  1  0 . Находим его корни 1, 2 
удовлетворяет условию  
отсюда,
получаем
3  21
, так как  >1, то
4
3  21
.
4
§ 2. Разложение числа e в цепную дробь.
е 1
 2,6,10,...,4n  2,....
е 1
Доказательство. Определим f n (x) (n  0,1,2,...) , как сумму ряда:
Теорема 4.
f n ( x) 
(5)

n!
(n  1)! 2
(n  2)! 4
(n  s)! 2 s

x 
x  ...  
x .
(2n)! 1!(2n  2)!
2!(2n  4)!
s  0 s!(2n  2s )!
Этот ряд сходится при любых значениях x ; однако мы будем рассматривать
только значения x , лежащие в интервале (0;1) .
Легко проверить, что имеет место тождество
f n ( x)  (4n  2) f n 1 ( x)  4 x 2 f n  2 ( x)
(6)
2k
Действительно, коэффициент при x в левой части равенства (6) равен
(n  k )!
(n  k  1)!
(n  k )! 
2n  1 
2(n  k )!
,а
 (4n  2)

1 

k!(2n  2k )!
k!(2n  2k  2)! k!(2n  2k )!  2n  2k  1  (k  1)!(2n  2k  1)!
в правой части равенства (6) он равен
4(n  k  1)!
2(n  k )!

,
(k  1)!(2n  2k  2)! (k  1)!(2n  2k  1)!
так что (6) верно.
1
fn  
 2    . В частности, поскольку
Обозначим
n
1
f n 1  
2
 1 x x
x2 x4
1
1 
x3 x5
 x    ... 
f 0 ( x)  1 

 ...  (e x  e  x ) , f1 ( x) 
e e ,
2! 4!
2
2x 
3! 5!
 4x


то
1
1
1

f0  
2
2
e

e
e 1
2
.
0     1

1

e

1
1
f1   e 2  e 2
2
1
Из равенства (6) при x  получаем
2
 n  (4n  2) 
1
 n 1
(6)
Поскольку  n 1 положительно, равенство (7) показывает, что при всех n
 n  4n  2  1,
1
 n 1
 1 , то есть 4n  2   n  и последовательность соотношений
(6) при n  0,1,2,...
0  2 
1
1
, 1  6 
1
2
, 2  10 
1
3
,...
дает разложение  0 в цепную дробь. Что и требовалось доказать.
Теорема 5.
(8)
e  2;1,2,1,1,4,1,1,6,... ,
то есть элементы an разложения e в цепную дробь имеют вид:
a0  2, a3n  a3n 1  1 и a3n 1  2n .
Доказательство. Обозначим подходящие дроби к правой части (8) через
Pn
R
, а подходящие дроби к (5) через n (n  0,1,2,3,...) . Докажем, что
Qn
Sn
Rn P3n 1  Q3n 1

.
S n P3n 1  Q3n 1
Принимая во внимание значение элементов цепной дроби (8), имеем:
P3n 1  P3n  P3n 1 , P3n  P3n 1  P3n  2 , P3n 1  2nP3n  2  P3n 3 , P3n  2  P3n 3  P3n  4 , P3n 3  P3n  4  P3n 5 ,
откуда находим:
P3n 1  2P3n 1  P3n  2  (4n  1) P3n  2  2P3n 3  (4n  2) P3n  2  P3n 3  P3n  4  (4n  2) P3n  2  P3n 5 .
Аналогичное соотношение имеем и для Q3n 1 , так что
 P3n 1  (4n  2) P3n  2  P3n 5 ,
.

Q

(
4
n

2
)
Q

Q
3
n

1
3
n

2
3
n

5

(9)
Докажем индукцией по n , что
Rn 
Из
(5)
1
( P3n 1  Q3n 1 ).
2
(10)
(8)
непосредственно
вычисляем
R0  2, R1  13, P1  3, P419, Q1  1, Q4  7, так что соотношение
(10) верно при
n  0, n  1. Предположим, что соотношение (10) верно для всех R с номерами,
меньшими чем n, где n  2 , то есть, в частности,
Rn 1 
и
1
( P3n  2  Q3n  2 ) ,
2
Rn  2 
1
( P3n  5  Q3n  5 ) ,
2
тогда, используя равенства (9), получаем:
Rn  (4n  2) Rn 1  Rn  2 
1
1
(( 4n  2)( P3n  2  Q3n  2 )  P3n  5  Q3n  5 )  ( P3n 1  Q3n 1` ) .
2
2
Согласно принципу математической индукции равенство (10) верно для
всех n.
Совершенно аналогично доказывается, что
Sn 
1
( P3n 1  Q3n 1 ).
2
Рассматривая теперь предел отношения величин Rn и Sn, находим:
P3n 1
1
P
P  Q# n 1
R
e 1
Q3n 1
, то есть lim 3n 1  e. Поскольку цепная
 lim 3n 1
 lim n 
P
Q3n 1
P3n 1  Q# n 1
Sn e  1
lim 3n 1  1
Q3n 1
lim
дробь в правой части (8) сходится, мы будем иметь также, что вообще
lim
Pn
 e , а это доказывает теорему.
Qn
§ 3. Квадратические иррациональности.
П.1. Разложение квадратических иррациональностей в цепные дроби.
Во множестве иррациональных чисел наиболее простыми являются те
иррациональности, которые являются корнями квадратных уравнений с
целыми коэффициентами.
Определение
6.
Число
называется
квадратической

иррациональностью, если  - иррациональный корень некоторого уравнения
ax 2  bx  c  0
(11)
С целыми коэффициентами, не равными одновременно нулю.
При таком  , очевидно, будет a  0, c  0 . Коэффициенты уравнения
(11), очевидно, можно взять взаимно простыми; в этом случае дискриминант
этого уравнения D  b 2  4ac будем называть также дискриминантом  .
Корни уравнения (11) равны
 b  b 2  4ac
,
2a
так что любую
квадратическую иррациональность  можно представить в виде  
P D
,
Q
где P и Q целые, а D ( D  1) - целое неквадратное число. Второй корень
уравнения (11)  ' 
P D
будем называть иррациональностью, сопряженной
Q
с .
Примеры. а) 7 - квадратическая иррациональность, так как
является иррациональным корнем уравнения x 2  7  0 .
7
1 5
- квадратическая иррациональность, так как  представляет
3
собой иррациональный корень уравнения 9 x 2  6 x  4  0 .
в) 3 2 не является квадратической иррациональностью.
Определение 7.Цепная дробь   a0 ; a1, a2 ,... называется периодической,
б)  
если периодической является последовательность элементов a0 , a1, a2 ,... . Если
последовательность элементов чисто периодическая, то и соответствующая
цепная дробь называется чисто периодической.
Длину периода последовательности элементов будем называть также
длиной периода цепной дроби.
Теорема 6. Цепная дробь   a0 ; a1, a2 ,... является периодической с
длиной периода k тогда и только тогда, когда при некотором s имеет место
равенство неполных частных  s  k   s .
Рассматривая величины периодических цепных дробей, мы получаем
некоторую часть действительных чисел. Оказывается, и это на первый взгляд
кажется неожиданным, что множество таких чисел совпадает с множеством
квадратических иррациональностей. Этот замечательны результат был
получен впервые в 1770 г. Лагранжем. Тот факт, что величина любой
периодической цепной дроби является квадратической иррациональностью,
доказывается совсем просто. Более сложно доказывается то, что любая
квадратическая иррациональность разлагается в периодическую цепную
дробь; этот факт и называют обычно теоремой Лагранжа.
Теорема 7. Величина любой периодической цепной дроби
представляет собой квадратическую иррациональность.
  a0 ; a1 , a2 ,...
Доказательство.
Пусть
представляет
собой
периодическую цепную дробь, то есть существуют s и k (k  1) такие, что
 s  k   s . Согласно теореме 2
s 
следовательно,
Ps  2  Qs  2
,
Qs 1  Ps 1
sk 
Ps  k  2  Qs  k  2
,
Qs  k 1  Ps  k 1
Ps  2  Qs  2
P
 Qs  k  2
= sk 2
,
Qs 1  Ps 1
Qs  k 1  Ps  k 1
(12)
Равенство (12) после приведения к общему знаменателю дает квадратное
уравнение с целыми коэффициентами:
(13)
A 2  B  C  0,
A  Qs 1Qs  k  2  Qs  2Qs  k 1 .
где
В
частности,
при
s0
A  Q1Qk  2  Q 2Qk 1  Qk 1  0 . Доказательство того, что A  0 при s  1
проводим методом от противного.
Прежде всего отметим, что в последовательности
Q1  0, Q0  1  Q1  Q2  ...
(14)
любые два соседних знаменателя взаимно просты. Если предположить, что
A=0 при некотором s  1 , то
Qs  2
Q
= sk 2 .
Qs 1
Qs  k 1
Из равенства этих двух несократимых дробей следует Qs  k  2  Qs  2 , Qs  k 1  Qs 1 ,
А это противоречит тому, что при s  1, k  1 в последовательности (14)
имеются самое большее два равных знаменателя. Иррациональность
 следует из того, что разложение  в цепную дробь бесконечно.
Примеры. Найти значение следующих цепных дробей:
а)   5; (1,3) , б)   1;4,1,4,1,4,... , в)   2;2,2,1,2,2,2,1,...
1
7  21
1

= 5
.
2
1,3
3  21
6
1
1
4  2
б)   1 
, получаем уравнение 4 2  4  1  0 , решаем
 1

1
4  1 4  1
4
Решение. а)   5 

1 2
1 2
, следовательно,  
.
2
2
P   P2
В)   2;2,2,1,  ,   3
,
находим
числители
и
знаменатели
Q3  Q2
17  12
подходящих дробей и получаем  
, отсюда уравнение
7  5
6  2 30
7 2  12  12  0 и корень его   0  
.
7
его и находим корни: 1, 2 
Прежде чем перейти к теореме Лагранжа , докажем следующую
вспомогательную теорему.
Теорема 8. Если квадратическая иррациональность представлена в
виде   a0 ; a1, a2 ,..., an 1, n  , где все ai - целые, то  n также квадратическая
иррациональность и с тем же дискриминантом, как у  .
Доказательство. Пусть  - корень квадратного уравнения
A 2  B  C  0, где A, B, C – целые числа. Подставляя   a 
A(a0 
1
1
) 2  B(a0 
1
1
1
1
, получаем:
)  C  0, или ( Aa0  ba0  C)1  (2 Aa0  B)1  A  0 ,
2
2
то есть 1 представляет собой корень уравнения A112  B11  C1  0, с целыми
коэффициентами, дискриминант которого равен
2
(2 Aa0  B)2  4( Aa0  ba0  C) A  B2  4 AC ,
причем C1  A  0 .
Заменяя в предыдущем квадратном уравнении
1 через
a1 
1
2
,
аналогично получаем, что  2 - корень квадратного уравнения с целыми
коэффициентами и с таким же дискриминантом.
Продолжая таким же образом дальше, получим утверждение теоремы.
Теорема 8. (Лагранж). Любая квадратическая иррациональность
разлагается в периодическую цепную дробь.
Доказательство. Пусть  - квадратическая иррациональность, то есть
 - иррациональное число, представляющее собой корень многочлена
f ( x)  Ax2  Bx  C с целыми коэффициентами. Подставляя в A 2  B  C  0

Pn 1   n  Pn  2
Qn 1   n  Qn  2
и приводя к общему знаменателю, получаем:
A( Pn 1 n  Pn  2 ) 2  B( Pn 1 n  Pn  2 ) (Qn 1 n  Qn  2 )  C (Qn 1 n  Qn  2 ) 2  0 ,
то есть выражение вида
An n  Bn n  Cn  0
2
(15)
где


2
2
2  P
2
2
2  P
An  APn 1  BPn 1Qn 1  CQn 1  Qn 1 f  n 1 , Cn  APn  2  BPn  2Qn  2  CQn  2  Qn  2 f  n  2 ,
 Qn 1 
 Qn  2 
Bn  2 APn 1Pn  2  B( Pn 1Qn  2  Pn  2Qn 1 )  2CQn 1Qn  2
- целые числа.
Согласно предыдущей теореме дискриминант уравнения (15)
2
(16)
Bn  4 AnCn  B2  4 AC ,
и, таким образом не меняется при увеличении n .
Докажем сначала, что An и Cn при достаточно большом n имеют
противоположные знаки, а затем, пользуясь тождеством (16), докажем, что
эти величины Bn - ограничены.
Pn 1
P
и n  2 , как известно, находятся по разные стороны от
Qn 1
Qn  2
 , причем
при достаточно большом n сколь угодно мало отличаются от  .
f ( )  0 , но поскольку  - иррациональное число, то f ' ( )  2 A  B  0 .
Таким образом,  - простой корень уравнения f ( x)  0 .
Известно, что в достаточно малой окрестности слева и справа от
простого корня значения непрерывной функции, в данном случае многочлена
f ( x)  Ax2  Bx  C , имеют разные знаки, то есть


2  P
2  P
An  Qn 1 f  n 1 , Cn  Qn  2 f  n  2 
 Qn 1 
 Qn  2 
P

при достаточно большом n противоположны по знаку, причем f  n 1  и
 Qn 1 
P 
f  n  2  и, следовательно, An и Cn не равны нулю.
 Qn  2 
Таким образом, при достаточно большом n произведение An  Cn  0 .
Поскольку  4 AnCn  0, Bn 2  0 , имеем:
2
2
2
0  Bn  Bn  4 AnCn  B2  4 AC, 0  4 AnCn  Bn  4 AnCn  B2  4 AC ,
то есть величины Bn 2 и (4 AnCn ) ограничены. Из ограниченности этих
величин следует ограниченность An , Bn , Cn . А поскольку они целые, то
среди уравнений (15) при неограниченном увеличении n существует только
конечное число различных уравнений. Каждое квадратное уравнение имеет
только два корня, поэтому среди корней уравнений (15) существует конечное
число различных, а значит и среди величин:    0 , 1,  2 ,... имеется только
конечное число различных. Отсюда найдется  k  k  n , это означает, что
разложение  в цепную дробь периодическое. Что и требовалось доказать.
Пример. Разложить в цепную дробь  
1  23
.
3
Решение.
  1
1
1
,
1 
Находим
последовательно:
3
1
3 23  13
1
3 23  13
1
( 23  2)  1 
, 2 
 13  ,  3 
 1
19
2
2
3
19
4
23  2
1
3
1
 2  ,  5  ( 23  4)  3  ,  6 
3
5
7
6
4 
3
7
 7  ( 23  3)  3 
Получаем
1
8
, 8 
23  3
1
 1 ,
6
7
23  4
1
3
 2  ,  9  ( 23  2),
3
9
19
то есть  9  1 .
1  23
 1; (1,13,1,2,3,1,3,2) .
3
П.2. Чисто периодические разложения.
Поскольку мы теперь знаем, что любая квадратическая
иррациональность разлагается в периодическую цепную дробь, естественно
выяснить, для каких квадратических иррациональностей такое разложение
будет чисто периодическим. Следующая теорема дает исчерпывающий ответ
на этот вопрос.
Теорема 9. Квадратическая иррациональность  
P D
, где P, Q и
Q
D ( D  1) целые, разлагается в чисто периодическую цепную дробь тогда и
только тогда, когда   1 и сопряженная иррациональность  ' 
P D
лежит
Q
в интервале (1;0) .
1  13
разлагается в чисто периодическую цепную
3
1  13
дробь, так как   1 è  ' 
лежит между -1 и 0. Действительно,
3
  (1;1,1,6,1) .
Примеры. 1)  
2)
2 3
разлагается в смешанную периодическую цепную дробь, так как
4
сопряженное ему число больше нуля.
Теорема 10. Пусть D - неквадратное число, Q - целое, D  Q 2  0 ; тогда
разложение
D
D
 a0 ; (a1 , a2 ,..., ak 1 ,2a0 ).
в цепную дробь имеет вид:
Q
Q
Доказательство. Если D  Q 2  0 , то число   a0 
будет
иметь
чисто
периодическое
Действительно,   1 и  '  a0 

D
a0 
  2a0 ,
Q


так
что
разложение
в
 D
D
, где a0    ,
Q
 Q 
цепную
дробь.
D
заключено в интервале между -1 и 0,
Q
  a0 
D
 (2a0 ; a1 ,..., ak 1 ),
Q
утверждение теоремы.
Примеры. 1) 7  2; (1114) (a0  2) .
отсюда
следует
2) 53  7; (3,1,1,3,14) (a0  7) .
3)
11
 1; (9,2) (a0  1) .
3
У П Р А Ж Н Е Н И Я.
№ 1. Разложите в цепную дробь и замените подходящей дробью с точностью
дл 0,001 следующие числа:
1) 3 , 2) 27 , 3) 111 , 4) 44 , 5) 123, 6) 150 , 7) 21, 8) 99 , 9) 29 ,
10) 32 , 11) 73 , 12) 75 , 13) 48 , 14) 59 , 15) 80 , 16) 11, 17)
18) 5  15 , 19)
1 3
,
2
2 5
, 20) 41 .
3
№ 2. Найдите действительные числа, которые обращаются в данные цепные
дроби:
1) 4; (3,2,1) , 2) (1,2,3), 3) 4; (2,8), 4) 1; (2,2,2,1,12,1), 5) 1;7, (1,6), 6) 3; (5,2,1,2),
7) 2;1, (3), 8) 1;1, (2,3), 9) (7,2,3), 10) 5; (6,1), 11)  2; (3,2), 12) 1; (1,2),
13) 3; (1,3), 14) 0; (4,2), 15) (1;3) /