Учебный аэрокосмический центр «Буран» ОСОБЕННОСТИ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА «КАССИНИ» выполнил Каменских Владимир, 11 класс гимназии №1 им. В.И. Ленина, руководитель Разник Р.М., к. ф.-м. наук Ульяновск 2003 2 Цель работы Рассмотрение следующих особенностей орбиты космического аппарата (КА) «Кассини», предназначенного для исследования Сатурна (Рис. 1): - почему он был направлен в сторону, противоположную цели (к Венере); - почему его орбита – спираль, а не гомановский эллипс, движение по которому теоретически считается наиболее экономичным. Этапы выполнения работы 1. Вычисление скоростей выхода из сферы действия Земли для полета к Сатурну и Венере по гомановским эллипсам. 2. Рассмотрение механики пертурбационного маневра (ПМ). 3. Сопоставление скоростей выхода из сферы действия Земли для полета к Сатурну по гомановскому эллипсу и по спиральной орбите «Кассини». Результат работы Получено, что для достижения Сатурна по спиральной орбите «Кассини» скорость выхода из сферы действия Земли примерно в 4 раза меньше, чем при запуске непосредственно к Сатурну по гомановскому эллипсу. Соответственно, ниже затраты энергии и больше объем полученной информации о телах Солнечной системы. Дальнейшие исследования Расчет скоростей КА «Кассини» при пертурбационных маневрах в полях тяготения Венеры, Земли и Юпитера. 3 Рисунок 1 4 1. Вычисление скоростей выхода из сферы действия Земли для полета к Сатурну и Венере по гомановским эллипсам Эллипс Гомана – траектория перелета с минимальной характеристической скоростью между двумя планетами, имеющими компланарные круговые орбиты и движущимися в поле тяготения центрального тела массой M (Солнца). В перигелии и афелии гомановский эллипс касается круговых орбит. Угловая дальность полета равна 1800. Большая полуось a гомановского эллипса при запуске с Земли определяется формулой: a = ( rЗемли + rпланеты ) / 2, где , rЗемли - радиус орбиты Земли, rпланеты – радиус орбиты планеты назначения. Скорость Vвых , необходимая космическому аппарату на выходе из сферы действия Земли для перехода на гомановский эллипс, равна: Vвых = VКА - VЗемли , где VКА и VЗемли – скорости относительно Солнца в точке касания орбит КА и Земли. Из решения уравнений задачи гравитационного взаимодействия двух тел Ньютон нашел соотношение для вычисления скорости движения VКА тела массой m в поле тяготения тела массой M в любой точке эллиптической орбиты: V2КА = G(MСолнца + mКА)(2/r – 1/a), где MСолнца – масса тела, создающего поле тяготения, mКА - масса космического аппарата, r – радиус–вектор, a - большая полуось эллипса. Так как масса космического аппарата очень мала по сравнению с массой Солнца, ею можно пренебречь. Для полета по гомановскому эллипсу с Земли к Сатурну требуется скорость VКА относительно Солнца, вычисляемая по формуле: V2КА = GMСолнца (2/rКА – 1/aКА), где r = 1 а.е., т.к. запуск производится Земли, a = (rафелия + rперигелия)/2 = (rЗемли + rСатурна)/2 = (1а.е. + 9,55а.е.)/2 = 5,27 а.е. Для упрощения вычислений применим искусственный прием: найдем отношение квадратов скоростей космического аппарата и Земли. Из данного отношения, зная скорость Земли относительно Солнца (30 км/с) и то, что rЗемли = aЗемли = 1 а.е., можно найти скорость космического аппарата: 2 1 2 1 GMСолнца 2 VKA rKA a KA 1а.е. 5,27а.е. 1,81. 2 2 1 2 VЗемли 1 GMСолнца 1а.е. 1а.е. r Земли a Земли 5 VKA 1,81 1,35 VЗемли Вычислим скорость космического аппарата: VКА = 1,35 VЗемли = 1,35 30 км/с = 40,5 км/с. Значит, для полета к Сатурну космический аппарат на выходе из сферы действия Земли должен иметь скорость 40,5 км/с относительно Солнца. Скорость выхода из сферы действия Земли должна равняться: Vвых = VКА - VЗемли = 40,5 км/с – 30 км/с = 10,5 км/с. Эта скорость должна быть направлена в сторону движения Земли по орбите. В точке запуска КА будет находиться в афелии своей орбиты. Для полета к Венере по гомановскому эллипсу требуемую скорость VКА относительно Солнца можно рассчитать по формуле: V2КА = GMСолнца(2/rКА ─ 1/aКА), где rКА = 1 а.е., aКА = (rафелия + rперигелия)/2 = (rВенера + rЗемли)/2 = (0,72 а.е. + 1 а.е.)/2 = 0,86 а.е. Применив искусственный прием, получим: 2 1 2 1 GM Солнца 2 VKA rKA a KA 1а.е. 0,86а.е. 0,84. 2 2 1 2 VЗемли 1 GMСолнца 1а.е. 1а.е. r Земли a Земли VKA 0,84 0,92 VЗемли Откуда можно найти скорость космического аппарата: VКА = 0,92VЗемли = 0,92 30 км/с = 27,6 км/с. Для полета к Венере по гомановскому эллипсу космический аппарат должен иметь скорость 27,6 км/с относительно Солнца, т.е. меньшую, чем скорость Земли относительно Солнца. Поэтому запуск необходимо производить в сторону, противоположную направлению движения Земли по орбите. Vвых = VКА - VЗемли = 27,6 км/с – 30 км/с = -2,4 км/с. Итак, VВых к Сатурну VВых к Венере 10,5 км / с 4,38. 2,4 км/с 6 2. Рассмотрение механики пертурбационного маневра (ПМ) Еще одной важной особенностью КА «Кассини» является реализация четырех пертурбационных маневров, позволивших развить скорость, достаточную для достижения Сатурна. Идею ПМ предложил Ю.В. Кондратюк в 1916 году. ПМ неоднократно применялись при запусках КА к телам Солнечной системы. Суть ПМ состоит в том, что при попадании КА в поле тяготения планеты изменяются направление и величина скорости КА относительно Солнца. КА входит в сферу действия планеты с ΔVвхода, равной геометрической разности VКА относительно Солнца и Vпланеты относительно Солнца, при этом ΔVвхода должна быть гиперболической относительно планеты. ΔVвыхода из сферы действия будет равна ΔVвхода по модулю, но повернута на угол 2γ, определяемый формулой: sin 1 2 1 min V входа /( M планетыG) , где ρmin – минимальное расстояние КА от центра притяжения планеты, Мпланеты – масса планеты, G – гравитационная постоянная. Поворот вектора происходит на угол 2γ, т.е. угол поворота зависит от ΔVвхода и минимального расстояния орбиты КА от планеты. Для вычисления ' результирующей скорости VKA относительно Солнца нужно получить геометрическую сумму ΔVвыхода из сферы действия планеты и Vпланеты ' относительно Солнца. Полученная скорость VKA будет больше скорости VKA относительно Солнца до входа в сферу действия планеты (Рис. 2). Таким образом, КА без затраты энергии, используя поле тяготения планеты, получает дополнительную скорость относительно Солнца. Возможен и ПМ и с торможением КА. 7 8 Сопоставление скоростей выхода из сферы действия Земли для полета к Сатурну по гомановскому эллипсу и по спиральной орбите «Кассини» Наши расчеты показывают, что энергетически гораздо выгоднее послать КА не непосредственно к Сатурну, а направить его в противоположную сторону к планете Венере. При этом скорость выхода из сферы действия Земли уменьшается примерно в 4 раза. Запуск к Венере производится по эллиптической (более вытянутой, чем гомановская) орбите. Это обеспечивает вход в ее сферу действия с гиперболической скоростью относительно планеты. После этого КА выходит по орбите, пересекающей орбиту Земли. Пертурбационные маневры при втором приближении к Венере, и затем в поле тяготения Земли позволяют КА направиться к Юпитеру, отстоящему в 5 раз дальше от Солнца, чем Земля. ПМ в сфере действия Юпитера направляет КА «Кассини» к Сатурну и через 6,75 лет после старта, 1 июля 2004 года «Кассини» достигнет Сатурна. Литература 1 Космонавтика, энциклопедия, М., «Советская энциклопедия», 1985 2 Сайт http://www.nasa.gov/