Методическое обеспечение курса «Вычислительная математика» направления 010300.68 - «Фундаментальная информатика и
advertisement
Методическое обеспечение курса «Вычислительная математика» направления 010300.68 - «Фундаментальная информатика и информационные технологии» Заболотнов Ю.М., Коварцев А.Н. Представляется методическое обеспечение курса вычислительной математики для направления 010300.68 - «Фундаментальная информатика и информационные технологии». Методическое обеспечение состоит из учебного пособия, лабораторного практикума и тестовых материалов. Учебное пособие представляет собой курс лекций по основным разделам вычислительной математики. В пособие рассмотрены наиболее часто используемые на практике численные методы решения задач математического анализа, алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений, а также разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных, что соответствует требованиям государственного образовательного стандарта к обязательному минимуму содержания дисциплины «Вычислительная математика» программы подготовки бакалавра информационных технологий для направления 010300.68. По мнению авторов, бакалавры информационных технологий должны в первую очередь уметь применять полученные знания на практике. В условиях реальной работы в области приложений математики возникает большое количество осложнений, зачастую нематематического характера. Успех в прикладной науке требует высокого уровня математической подготовки. Только такая подготовка способна обеспечить бакалавру возможность легко ориентироваться в непрерывно меняющемся мире прикладных задач компьютерного моделирования. Именно изучение, на первый взгляд «бесполезных» для практики разделов математики (особенно в области информационных технологий, где на первом месте неопытные пользователи традиционно «ставят» программирование), помогает выделить наиболее существенные черты изучаемого явления и отбросить второстепенные. Вопросам практического применения методов численного анализа и посвящена данная книга. По существу была предпринята попытка наглядного представления содержания типовых представителей методов численного анализа. Там где это необходимо, приводимые в книге результаты подтверждаются аналитически или иллюстрируются примерами. Для полного понимания содержания пособия от читателя требуется известный минимум сведений из линейной алгебры, теории линейных векторных пространств и математического анализа. Лабораторный практикум представляется собой электронное пособие в виде HELP- файла. Цель лабораторного практикума – изучение студентами особенностей решения некоторых часто встречающихся вычислительных задач на компьютере. Особое внимание уделяется анализу методических и вычислительных погрешностей, неизбежно возникающих при реализации численных методов на ЭВМ. Лабораторные работы проводятся с применением современного математического пакета MATHCAD. При выполнении лабораторных работ студенты обучаются основным методам и приёмам решения вычислительных задач на компьютере, закрепляя знания, полученные на лекциях и практических занятиях. Вначале студент знакомится с приведенными общими теоретическими положениями, затем выполняет индивидуальное задание, проводя исследование по анализу возникающих погрешностей и приобретая необходимые навыки применения вычислительных методов, в заключение составляет отчет о проделанной работе и отвечает на контрольные вопросы. В лабораторный практикум входят следующие лабораторные работы. Численное дифференцирование функций. При выполнении данной лабораторной работы студент знакомится с методами численного дифференцирования функций. Целью работы является определение первой – четвертой производных известной функции с помощью формул численного дифференцирования и сравнение их значений с «точными» значениями производных, вычисленных программными средствами MATHCAD. Исследуется зависимость погрешности определения производных от шага дискретизации и оценивается влияние вычислительной погрешности, которая неизбежно возникает при малом шаге дискретизации. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе студенты определяют численное решение заданного обыкновенного дифференциального уравнения с помощью трех методов: метода Эйлера, классического метода Рунге-Кутты 4-ого порядка точности и метода, который входит в индивидуальное задание. Проводится сравнение точности методов и исследуется зависимость погрешности от шага интегрирования. Интерполирование функций. При выполнении данной работы студент знакомится с приемами интерполирования функций. С использованием формулы Лагранжа строится интерполяционный полином для заданной таблицы значений функции и производится контроль правильности построения полинома с помощью графических средств пакета MATHCAD. Во второй части работы исследуется зависимость погрешности интерполирования от количества узлов интерполяции для заданной аналитической функции, которая приближается интерполяционным многочленом Лагранжа. Рассматриваются два способа выбора узлов интерполяции: равномерное разбиение интервала интерполирования и оптимальный выбор узлов как корней полиномов Чебышева. Приближение функций методом наименьших квадратов. При выполнении данной работы студент изучает особенности применения метода наименьших квадратов для приближения функций. К заданной таблице значений известной функции с помощью датчика случайных чисел добавляется случайные числа, имитирующие ошибку, возникающую при проведении измерения некоторой выходной характеристики исследуемого объекта. В первой части работы необходимо построить линейный многочлен, коэффициенты которого определяются с помощью метода наименьших квадратов, и представить полученные результаты приближения в графическом виде. Во второй части работы заданные табличные значения приближаются с помощью нелинейной математической модели (по аргументу функции) и метода наименьших квадратов. Приближение функций рядами Фурье. В данной работе студент должен построить ряд Фурье для заданной непрерывной функции и для заданной кусочно-непрерывной функции. При выполнении работы исследуется зависимость погрешности ряда Фурье и неизбежно возникающих краевых эффектов (для непериодических и кусочно-непрерывных функций) от количества удерживаемых слагаемых ряда. Приближенное вычисление определенных интегралов. При выполнении данной лабораторной работы студент приобретает практические навыки приближенного вычисления определенных интегралов с заданной точностью. В данной работе студент должен различными приближенными методами и с заданной погрешностью вычислить определенный интеграл, соответствующий его индивидуальному заданию. Изучаются методы прямоугольников, трапеций, Симпсона. При выполнении работы исследуется зависимость погрешности вычисления определенного интеграла от параметра дискретизации. Кроме того, в работе рассматривается приближенное вычисление одного несобственного интеграла. Все лабораторные работы выполняются с элементами исследования, так как основная цель работ это изучение изменения погрешностей вычислений при изменении значений параметров численных методов.
