ЛР №1. Основы работы в MathCAD. Реализация вычислений
реклама
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО КАЛУЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО КАФЕДРА ТЕОРИИ И МЕТОДИКИ ДОШКОЛЬНОГО, НАЧАЛЬНОГО И СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Павлова О.А. Практикум по решению задач на ЭВМ MATHCAD Учебное пособие для студентов Калуга, 2014 ББК 22.1 П 12 Печатается по решению кафедры теории и методики дошкольного, начального и специального образования ФГБОУ ВПО им. К. Э. Циолковского П 12 Павлова О.А. Практикум по решению задач на ЭВМ. Учебное пособие для студентов [Текст] / О.А. Павлова.- Калуга: КГУ им. К.Э. Циолковского, 2013. – 56 с. (Для бакалавров) Учебное пособие предназначено для оказания помощи студентам в организации аудиторной и внеаудиторной самостоятельной работы, направленной на изучение дисциплины «Практикум по решению задач на ЭВМ». Пособие разработано с учетом требований ФГОС ВПО нового поколения. Важное значение придается вопросам формирования у студентов общекультурных и специальных компетенций в области использования систем компьютерной математики для решения математических задач. Для студентов бакалавриата, обучающихся по направлению подготовки «Педагогическое образование» (профиль «Педагогика и методика начального образования» с дополнительным профилем «Информатика»). © Павлова О.А., 2014 ©КГУ им. К.Э. Циолковского 2 ВВЕДЕНИЕ Решение математических и научно-технических задач является одной из основных областей применения компьютера. Возможность осуществления экономико-статистических расчетов предоставляет такой продукт как Microsoft Excel.К интегрированным системам автоматизации инженернотехнических расчетов относят такие программные продукты как Mathcad, Maple, Mathematica, MatLAB, Derive и пр. Курс “Практикум решения задач на ЭВМ” входит в цикл профессиональных дисциплин в рамках подготовки студентов бакалавриата, обучающихся по направлению подготовки «Педагогическое образование» (профиль «Педагогика и методика начального образования» с дополнительным профилем «Информатика»). В целом курс направлен на знакомство с принципами работы систем компьютерной математики (СКМ) и предназначен для овладения студентами практическими навыками решения задач с помощью электронной вычислительной техники. С одной стороны, он опирается на знания, полученные при изучении классических математических дисциплин (алгебра, геометрия, математический анализ, дискретная математика и пр.), а с другой стороны, на знания основ информатики и вычислительной техники. Курс “Практикум по решению задач на ЭВМ” должен способствовать активизации самостоятельной деятельности студентов, развитию их творческого потенциала, способности ставить перед собой задачу и решать ее, сформировать у них умения и навыки самостоятельного анализа процесса постановки и решения проблемы, заложить основы для самостоятельной разработки заданий учебного назначения. В результате изучения курса “Практикум по решению задач на ЭВМ” у будущего учителя информатики должно сложиться: 3 понимание значения вычислительной техники в решении разнообразных задач, как выполнимых, так и невыполнимых обычными средствами; четкое представление об ЭВМ как инструменте решения задач определенного типа, на основе использования специализированного программного обеспечения; умение реализовать все этапы решения задачи: строить математическую модель, разрабатывать алгоритм решения и реализовывать его на ЭВМ. В наибольшей степени изучение дисциплины способствует овладению способами решения педагогической такой деятельности профессиональной как задачи использование в области возможностей образовательной среды для обеспечения качества образования, в том числе с применением информационных технологий. Изучение курса направлено на формирование у студентов следующих компетенций. Код Компетенция ОК-1 владеет культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения ОК-4 способен использовать знания естественнонаучной картине мира профессиональной деятельности, о в современной образовательной применять и методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования ОК-8 готов использовать основные методы, способы и средства получения, хранения, переработки информации, готовностью работать с компьютером информацией 4 как средством управления ОК-9 способен работать с информацией в глобальных компьютерных сетях СК-2 способен использовать математический аппарат, методологию программирования и современные компьютерные технологии для решения практических задач получения, хранения, обработки и передачи информации СК-3 владеет современными формализованными математическими, информационно-логическими и логико-семантическими моделями и методами представления, сбора и обработки информации Основная цель практикума – сформировать у студентов практические умения и навыки в решении задач на персональных компьютерах. Задачи изучения дисциплины научиться решать на ПЭВМ классические задачи основных разделов математики (геометрии, алгебры, матричной алгебры, математического анализа, комбинаторики и теории чисел и др.); получить навыки решения на ПЭВМ задач, специальным разделам математики и информатики относящихся к (случайные числа, графика и движение и т.п.); углубить и систематизировать представление о применении новых информационных технологий в приложениях математики; получить опыт построения простейших математических моделей и их реализации на ЭВМ (вычислительный эксперимент). В результате изучения дисциплины студент должен знать и уметь использовать: 5 основные понятия и методы математического анализа, аналитической геометрии, общей и линейной алгебры, теории функций, теории вероятностей и математической статистики, дискретной математики; этапы решения задач на персональном компьютере и особенности математических вычислений, реализуемых на ЭВМ; уметь: проводить простейшие математические расчеты с использованием функций в табличном процессоре и более сложные математические расчеты с использованием СКМ; находить и исправлять наиболее часто встречаемые ошибки; владеть: приемами проведения простейших математических расчетов с использованием различных функций в табличном процессоре и решения более сложных математических задач с использованием СКМ; методами анализа и оценивания полученных решений; приемами нахождения и исправления наиболее часто встречаемых ошибок; приемами практической оценки точности результатов, полученных в ходе решения вычислительных задач. В целом курс носит практико-ориентированную направленность, однако необходимо, чтобы кроме получения практических навыков решения конкретных задач компьютерными средствами у студентов сложилось целостное представление о возможностях и особенностях применениях различных программных продуктов для решения задач на ЭВМ. 6 СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ Цель: раскрыть содержание понятия «системы компьютерной математики», познакомиться с возможностями и основными принципами работы СКМ. Компьютерная математика совокупность - теоретических, алгоритмических, аппаратных и программных средств, предназначенных для эффективного решения на компьютерной технике всех видов математических задач, включая символьные преобразования и вычисления с высокой степенью визуализации всех видов вычислений. Применение компьютерной математики существенно расширяет возможности автоматизации всех этапов математического моделирования. Возможны два подхода к компьютерной реализации моделей и решению задач компьютерными методами. Первый подход. Для проведения вычислений пользователь должен освоить азы алгоритмизации, изучить один или несколько языков программирования, таких, как Бейсик, Паскаль, Фортран, СИ, а также численные методы расчётов. Второй подход специализированных заключается программных в использовании комплексов для готовых автоматизации математических и инженерно-технических расчётов: MathCAD, MatLab, Mathematica, Maple, MuPAD, Derive и других. Системы компьютерной математики (СКМ) позволяют провести исследование проблемы, анализ данных, моделирование, тестирование, проверку существования решения, оптимизацию, документирование и оформление результатов, они позволяют сосредоточить основное внимание на сущности проблемы, оставляя в стороне технику классической математики, детали вычислительных методов и алгоритмических процедур, нюансы языков программирования и команд операционной системы. 7 MATHCAD MathCAD — система компьютерной алгебры, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением. Эта программа имеет интуитивный и простой для использования интерфейс пользователя. Для ввода формул и данных можно использовать как клавиатуру, так и специальные панели инструментов. Работа осуществляется в пределах рабочего листа, на котором уравнения и выражения отображаются графически, в противовес текстовой записи в языках программирования. MathCAD содержит сотни операторов и встроенных функций для решения различных технических задач. Среди возможностей MathCAD можно выделить: Решение дифференциальных уравнений; Построение двумерных и трёхмерных графиков функций (в разных системах координат, контурные, векторные и т. д.); Использование греческого алфавита как в уравнениях, так и в тексте; Выполнение вычислений в символьном режиме; Выполнение операций с векторами и матрицами; Символьное решение систем уравнений; Аппроксимация кривых; Выполнение подпрограмм; Поиск корней многочленов и функций; Проведение статистических расчётов и работа с распределением вероятностей; Поиск собственных чисел и векторов; Вычисления с единицами измерения; Интеграция с САПР-системами, использование результатов вычислений в качестве управляющих параметров. 8 Задания для самостоятельной работы. 1. Подготовьте сообщение об истории разработки и основных возможностях одной из систем компьютерной математики. a) MathCAD b) Maple c) Mathematica d) Derive e) MatLAB 2. Подготовьте сообщение по одной из ниже указанных тем. a) Состав и назначение MathCAD. b) Интерфейс программы MathCAD. c) Организация вычислений в MathCAD d) Встроенные функции и их использование в MathCAD. e) Символьные преобразования в MathCAD. f) Решение уравнений и систем уравнений в MathCAD. g) Нахождение пределов, производных и первообразных в MathCAD. h) Построение графиков в MathCAD. i) Создание анимации в MathCAD. Для ответа на каждый из вопросов студенты следует небольшую (до 5 слайдов) презентацию, содержащую составить примеры, иллюстрирующие основные положения рассказа. В целом на выступление должно уходить 10 - 15 минут. 9 ЛР №1. Основы работы в MathCAD. Реализация вычислений Цель работы. 1. Познакомиться с основными понятиями, относящимися к программе MathCAD. 2. Научиться вводить математические выражения и осуществлять простейшие численные и символьные расчёты в MathCAD. 3. Реализовать те же вычисления в программе MS Excel, провести сравнение полученных результатов, оценить временные затраты, сформулировать выводы. Материал для подготовки к занятию Mathcad работает с документами. С точки зрения пользователя, документ - это чистый лист бумаги, на котором можно размещать области трех основных типов: математические выражения, текстовые фрагменты и графические области. В процессе выполнения расчетов формулы обрабатываются постепенно, слева направо и сверху вниз. Ввод информации выполняется в место положения курсора, который может быть представлен в одном из трех видов: 1) курсор в виде крестика используется, если этот курсор определяет местоположение следующего объекта; 2) угловой курсор используется при введении формул. Этот курсор указывает на текущий элемент выражения; 3) текстовый курсор (I-образная вертикальная черточка) используется при введении текста. К основным элементам математических выражений Mathcad относятся типы данных, операторы, функции и управляющие структуры. К типам данных относятся числовые константы, обычные и системные переменные, массивы (векторы и матрицы) и данные файлового типа. Константами называют поименованные объекты, хранящие некоторые значения, которые не могут быть изменены. Переменные 10 являются поименованными объектами, имеющими некоторое значение, которое может изменяться по ходу выполнения программы. Имена констант, переменных и иных объектов называют идентификаторами. Идентификаторы в Mathcad представляют собой набор латинских или греческих букв и цифр. В Mathcad содержится небольшая группа особых объектов, которые нельзя отнести ни к классу констант, ни к классу переменных, значения которых определены сразу после запуска программы. Их правильнее считать системными переменными, имеющими предопределенные системой начальные значения. Обычные переменные отличаются от системных тем, что они должны быть предварительно определены пользователем, т. е. им необходимо хотя бы однажды присвоить значение. В качестве оператора присваивания используется знак :=, тогда как знак = отведен для вывода значения константы или переменной. Если переменной присваивается начальное значение с помощью оператора :=, такое присваивание называется локальным. До этого присваивания переменная не определена и ее нельзя использовать. Однако с помощью знака можно обеспечить глобальное присваивание (Пр. 1 Рис. 1). Существует также жирный знак равенства, который используется, например, как оператор приближенного равенства при решении систем уравнений. Операторы - элементы Mathcad, с помощью которых можно создавать математические выражения. арифметических операций, К ним, знаки например, вычисления относятся сумм, символы произведений, производной и интеграла и т.д. После указания операндов (параметров операторов) операторы становятся исполняемыми по документу блоками, например, 2 + 5 - оператор сложения с двумя операндами. В пакете Mathcad имеется множество встроенных функций, т.е. функций, заблаговременно введенных разработчиками. Главным признаком 11 функции является возврат значения, т.е. функция в ответ на обращение к ней по имени с указанием ее аргументов должна возвратить свое значение. Важной особенностью пакета является возможность задания внешних функций, или функций пользователя. Следует особо отметить разницу между аргументами и параметрами функции. Переменные, указанные в скобках после имени функции, являются ее аргументами и заменяются при вычислении функции значениями из скобок. Переменные в правой части определения функции, не указанные скобках в левой части, являются параметрами и должны задаваться до определения функции (Пр.2 Рис. 1). Дискретные аргументы - особый класс переменных - ряд фиксированных значений, либо целочисленных, либо в виде чисел с определенным шагом, меняющихся от начального значения до конечного. Дискретные аргументы значительно расширяют возможности Mathcad, позволяя выполнять многократные вычисления или циклы, формировать векторы и матрицы (Пр. 3 Рис. 1). Рисунок 1 Математические выражения 12 Массив - имеющая уникальное имя совокупность конечного числа числовых или символьных элементов, упорядоченных некоторым образом и имеющих определенные адреса. В пакете Mathcad используются массивы двух наиболее распространенных типов: одномерные (векторы) и двумерные (матрицы). При выполнении вычислений возможны ошибки. Сообщение об ошибке в Mathcad выводится в красном прямоугольнике, от которого отходит линия, указывающая на место ошибки. Графические области делятся на три основных типа - двумерные графики, трехмерные графики и импортированные графические образы. Двумерные и трехмерные графики строятся самим Mathcad на основании обработанных данных. Задания для самостоятельной работы Операторы численного и символьного вывода Для того чтобы выполнить простые расчеты по формулам, проделайте следующее: 1) Определите место в документе, где должно появиться выражение, щелкнув мышью в соответствующей точке документа. 2) Введите левую часть выражения. 3) Введите знак численного равенства = (клавишей <=>) или символьного равенства → (сочетанием клавиш <Ctrl>+<=>). В первом случае будет рассчитано численное значение выражения, а во втором (если это возможно) — аналитическое. Численный расчет простого выражения 1.1. Вычислите значение Аналитический расчет простого выражения выражения, формулировкой задания: 13 снабдив текст документа 100= |-10| = 10! = Результаты выпишите в тетрадь. В чём отличие операторов символьного и численного ввода? Придумайте свой пример и реализуйте соответствующие расчёты. 1.2. Определите переменные: a := 3.4, b := 6.22, переменную с - глобально) и выражения: ru1:=a∙b+a∙c c 0.149 (причем ru2:=(a +b)∙c Вычислите значения данных выражений. Выполните перемещение по рабочему листу фрагментов с операторами присвоения. В чём состоит отличие локального и глобального задания переменных? Выполните индивидуальное задание в Mathcad и MS Excel. 1.3. Вычислите значение выражения при заданных значениях переменных ab a sin при a=4 и b=5 2a - b b 2 a. x 3 a y при a=1.4, x=0.4 и y=0.67 2 x 4.14 x 4 при x=0.75 0.98 x 2 4 36.04 x 1.514 9.8 x 2 4 b. c. d. e. f. 1.4. xy x y y z z при x=2.1, y=3.2 и z=1.5 z x sin x при x=π/3 2 x 1 ln x 2 cos x при x= -1.4 sin x 0.5 Вычислите значение выражения, не содержащего переменных ЛР1 Вычисления [2, с.4-7] 14 ЛР №2. Решение задач элементарной математики: преобразование алгебраических выражений Цель работы. 1. Раскрыть содержание символьных преобразований Mathcad. 2. Научиться использовать символьные преобразования преобразования алгебраических выражений и решения уравнений. для Задание для подготовки к занятию Символьный алгебраические процессор преобразования, Mathcad такие, умеет как выполнять упрощение основные выражений, разложение их на множители, символьное суммирование и перемножение. Для этого используется в главном меню пункт Symbolics, панель Symbolic. При использовании пункта Symbolics главного меню необходимо выделить выражение, подлежащее преобразованию и дать нужную команду из указанного пункта меню. Значение команд следующее simplify – упростить; extend- раскрыть скобки; factor – разложить на множители; collect – привести подобные. С помощью команды Varіable происходит решение уравнения; подстановка переменных; дифференцирование; интегрирование; разложение в ряды; разложение на элементарные дроби; Matrіx - действия с матрицами; Transform - Интегральные преобразования (преобразование Фурье, Лапласа). 1. Найдите в панели инструментов Symbolic описанные выше команды. 2. Изучите по самоучителю [1] раздел 5.1. Способы символьных вычислений и 5.2. Символьная алгебра 3. Сделайте записи в тетрадях об организации символьных вычислений. 4. Какая команда выведет в качестве результата вектор-столбец коэффициентов многочлена в порядке возрастания степеней? 5. Какие команды этой панели Вы уже использовали? 15 Задания для самостоятельной работы 2.1. Составьте выражения для демонстрации некоторых описанных выше возможностей программы. Проверьте себя. 2.2. Выполните следующие преобразования a. Разложите на множители выражение а2-с2; b. Приведите подобные 2а+3а; c. Упростите cos(4х); d. Раскройте скобки 2(5х-3). 2.3. Решите уравнение в символьном виде. ( x 2) ( x 3) 0 Для этого нужно уравнение набрать, выделить переменную, относительно которой решается уравнение, и дать команду Varіable/Solve. 2.4. Выполните индивидуальные задания по преобразованию алгебраических выражений из ЛР3 Операции над формулами [2, с.9-11] ЛР №3. Способы задания функций и построения графиков Цель работы. 1. Познакомиться со способами задания функций и особенностями построения их графиков. 2. Научиться использовать сформированные навыки для решения задач. Материал для подготовки к занятию Для построения обратиться к пункту меню Вставка команда График. При построении графика необходимо выполнить следующие шаги: · щелкнуть мышью в том месте, где нужно создать график; · обратиться к пункту Вставка, командам График → Х-У Зависимость. В рабочем документе создается пустой график с шестью полями ввода; 16 В 1 и 2 поле (местозаполнители) следует ввести имена переменных или функций, которые должны быть изображены на графике. Другие четыре поля используются для выбора границ на осях координат. Для изменения формата осей, способа их оцифровки, цвета графиков необходимо: · щелкнуть мышью на графике, чтобы он заключился в синюю рамку; · обратиться к появившемуся пункту X-Y-Plot, команде Format; используя · закладки X-Y-оси, Графики, надписи выполнить форматирование. Пример. В рабочем документе постройте график функции f(x)=x2+ x для x меняющегося от -10 до 10 с шагом 0.05 Задания для самостоятельной работы 3.1. Подберите функции для демонстрации некоторых описанных выше возможностей программы. Проверьте себя. 3.2. Задайте функцию y = 3х2+5 Докажите, что y (-5)= y (5) ; 3.3. Задайте функцию y= cos(4х) и постройте её график на отрезке [-8, 8]; 3.4. Постройте графики следующих функций в разных декартовых системах координат: a) с) y x 2 1 x y 1 e2 x 1 b) 2 y x ln x x 1 2 x 1 y d) 17 3.5. Выполните индивидуальные задания, связанные с расчетом значений функций и построением их графиков. ЛР 4 Способы задания функций и построение графиков [2, с.12-14] Примечание. Вы уже научились решать уравнения в символьном виде. Однако можно также находить решение уравнения графически. Подумайте, каков будет алгоритм решения. ЛР №4. Решение алгебраических уравнений Цель работы. 1. Познакомиться со способами нахождения корней алгебраического уравнения на основе использования встроенных функций. 2. Познакомиться с особенностями оформления символьного (аналитического) и численного решения уравнений в MathCAD. 3. Научиться строить графики функций в декартовой системе координат, так, чтобы изменяя масштаб по графику можно было определить нули функции для первоначального приближения. 4. Познакомиться с режимом отключения отдельных вычислений. Материал для подготовки к занятию Для числового поиска корней уравнения в MathCad используется встроенная функция root. Она позволяет решать уравнение вида f(x)=0, где f(x)-уравнение, корни которого необходимо найти, х - неизвестная. Использование функции root требует задания начального приближения. Функция polyroot возвращает вектор, который имеет все корни уравнения, коэффициенты которого задаются вектором v. Коэффициенты у вектора v располагаются в порядке возрастания степеней в уравнении. Существует возможность символьного решения уравнения. Для этого необходимо обратиться к меню Symbolіc/Varіable/Solve. Корни уравнения выводят в виде вектора. 18 Можно также находить решение уравнения графически. Графическое решение заключается в определении по графику функции, которая отвечает левой части уравнения, при какой величине аргумента данная функция принимает значение, равное правой части уравнения. Приближенные решения системы уравнений можно получить с использованием встроенной функции mіnerr( x1,...). Эта функция подобная по своей работе к функции fіnd (будем изучать позже), однако она имеет другие условия для завершения итеративного процесса поиска решений. Функция mіnerr позволяет находить решение в том случае, когда их не находит функция fіnd. І Нахождение корней уравнения в программе MathCad с использованием встроенной функции root 1. Запустить программу MathCad . 2. Записать на рабочем листе MathCad вид функции f(х), для которой необходимо найти на заданном интервале корни. 3. Создать цикл из точек интервала, на котором определяются корни, и вычислить в этих точках функцию f(х). Построить график функции f(х) и график функции х0=0 (т.е. ось х). 4. Определить точки пересечения двух кривых f(х) и х0, которые будут приближением к корням уравнения. 4.1. Использовать для определения на графике значений корней в контекстном меню (рис.17, a) опцию Trace (рис. 17,б), установить флажок в окне Track Data Poіnt. 4.2. Подвести курсор мыши к точкам пересечения кривых, координаты точек пересечения кривых, т.е. корни, будут представлены в окнах Х-Value и У- Value, а на графике отобразится вертикальная прямая. 5. Задать для независимой переменной х начальное приближение, которое выбирается как значение точки пересечения кривых f(х) и х0. Обратиться ко встроенной в MathCad функции root(f(x), x) (функция root возвращает 19 значение независимой переменной х, для которой f(х) равняется 0) и найти корень х1. 6. Найти второй (х2) и третий (х3) корни уравнения f(х)=0 (уравнение третьей степени имеет не больше трех действительных корней), задав для них соответственно их начальные значения как координаты точек пересечения кривых f(х) и х0 и использовав функцию root. ІІ Нахождение корней уравнения в программе MathCad с использованием встроенной функции polyroots, которая возвращает вектор, имеющий все корни уравнения, коэффициенты уравнения при этом задаются вектором. 1. Записать на рабочем листе MathCad вид функции f(х), для которой необходимо найти на заданном интервале корни. 2. Записать как вектор v все коэффициенты уравнения, расположить их в порядке увеличения степеней. 3. Найти корни, обратившись ко встроенной функции r:=polyroots(v), результат будет получен относительно трансформированного вектора rT. 4. Для интервала нахождения корня и количества элементов вектора rT создать соответствующие циклы и вычислить значение функции в точках цикла. 5. Построить график функции в точках цикла, а также в найденных точках корней, в которых функция будет иметь значения, равные нулю. ІІІ Нахождение корней уравнения в программе MathCad с использованием символьных решений уравнений. 1. Ввести левую часть уравнения. 2. Ввести знак равенства с использованием панели управления Evaluatіon (Выражения) или с помощью нажатия клавиш Ctrl + =. 3. За знаком равенства ввести правую часть уравнения. 4. Выделить переменную, относительно которой решается уравнение. 5. Выбрать команду Symbolіc/Varіable/Solve. 20 По окончанию решения корни уравнения выводятся в виде вектора. ІV Найти приближенное решение с использованием функции mіnerr(x1,...). 1. Задать приближение последовательно для первого корня х:=1. 2. Ввести ключевое слово gіven (дано), из которого начинается блок решений. 3. Записать уравнение, используя знак логического равенства между правой и левой частями уравнения. 4. Обратиться к функции mіnerr( x). Корень будет найден. Задания для самостоятельной работы 4.1. Подберите уравнения (функции) для демонстрации некоторых описанных выше возможностей программы. Проверьте себя. 4.2. Решите уравнение х3+2х2-5х-6=0 с использованием встроенной функции root, которая находит корни по их приближенным значениям; polyroots, mіnerr и символьно. 4.3. Решите следующие уравнения всеми указанными выше способами. Интервал нахождения Уравнение корней 4.4. [-1; 3] x3-2,92x2+1,4355x+0,791=0 [-2; 3] x3-2,56x2-1,325x+4,395=0 [-3,5; 2,5] x3+2,84x2-5,606x-14,766=0 [-2,5; 2,5] x3+1,41x2-5,472x-7,38=0 Выполните индивидуальные задания, связанные с решением уравнений, неравенств и их систем. ЛР 5 Решение уравнений, неравенств и их систем [2, с.14-17] 21 ЛР №5. Вычисление пределов, дифференцирование и интегрирование Цель работы. 1. Познакомиться со способами численного и символьного вычисления пределов, символьного дифференцирования и интегрирования. 2. Научиться использовать сформированные навыки при решении задач. Материал для подготовки к занятию Аналогично большинству других наиболее важных математических операций, в MathCad существует численное и символьное дифференцирование. Символьный метод имеет преимущества в том плане, что результат можно получить в виде функции, которую можно будет использовать в дальнейших расчетах. Численный же подход имеет преимущества в некоторых специфических задачах. MathCad позволяет вычислять как обычную производную, так и производные более высоких порядков, а также частные производные. Оператор простого дифференцирования на панели Calculus для вычисления первой производной имеет два маркера, принцип заполнения которых следующий: в верхний вводится функция, в нижний - переменная, по которой вычисляется производная. Результат может быть представлен в символьному виде, если использовать оператор символьного вывода , а потом обратиться к символьному процессору Symbolic/Evaluate (Символика/Вычислить в символах). При символьном дифференцировании можно оперировать с функциями нескольких переменных. Оператор дифференцирования может соединяться с любым вычислительным или символьным оператором. Особенно полезен оператор Sіmplіfy, так как выражение производной выдается в неупрощенном виде. Для упрощения ответа следует использовать операторы Collect (Приводить подобные), Factor (Раскладывает выражение на множители) и Expand (Раскрывать скобки). 22 Чтобы получить численное значение производной в нужной точке исходя из результатов символьного расчета, нужно сделать следующее: 1. Найти функцию производной, используя оператор символьного вывода (). 2. Присвоить переменной соответствующее числовое значение. 3. Скопировать полученное выражение для производной и вычислить его символьно. Панель Calculus (Вычисление) содержит два оператора интегрирования. Первый, Іndefіnіte Іntegral (Неопределенный интеграл), позволяет определить вид функции, которая интегрируется. Оператор неопределенного интеграла содержит два маркера, которые заполняются соответственно принятому в математике представлению: в левый вводится функция (или имя функции), под знак дифференциала - переменная интегрирования. Чаще всего результат интегрирования представляет собой громоздкое выражение. В этом случае его следует упрощать. Наиболее универсальный инструмент, который для этого используется - оператор Sіmplіfy (Упростить). Однако иногда выражение можно упростить (оператор Collect), разложив по степеням (оператор Expand) или приведя дробь к общему знаменателю (оператор Factor). Чтобы задействовать нужный символьный оператор, следует выделить выражение интеграла и нажать соответствующую кнопку на панели Symbolіc (Символьные). Применить к результату интегрирования можно и сразу несколько символьных подобно вычислению операторов. Нахождение определенного интегралу неопределенного интеграла. Для интегрирования необходимо обратиться на панели Символьные к функции sіmplіfy. Ввести оператор интегрирования. В соответствующих местах заполнить имя первой переменной и границы интегрирования. Если необходимо вычислить кратные интегралы, то на месте введения функции под интегралом ввести еще один оператор 23 интегрирования, границы интегрирования и подынтегральную функцию. Аналогично выполняется интегрирование по нескольким переменным. Можно определить интеграл в символьном виде, например, b xdx a 1 2 1 2 b a . 2 2 Для числового интегрирования MathCad предлагает воспользоваться встроенными программами вычисления интегралов. Для того, чтобы обратиться к приближенному расчету, необходимо в контекстном меню выбрать один из методов интегрирования. Задания для самостоятельной работы 5.1. Вычислите значение следующих пределов 2 lim x1 2 x x 3 2 x x 2 lim ( x 3) ( ln( 2 4 x) ln( 1 4 x) ) x ; Примечание. Для вычисления предела необходимо определить функцию, затем из соответствующей панели инструментов нужно выбрать нужный предел и заполнить все необходимые позиции, затем указать символ . 5.2.Найдите производные следующих функций. 3 1 x x 3 ; 1 sin( 3 x) 1 sin( 3 x) 5.3. Найдите неопределенные интегралы. 2 x cos ( 3 x) dx sin ( ln ( x) ) dx ; 5.4. Выполните индивидуальные задания, связанные с вычислением пределов, дифференцированием и интегрированием из ЛР 6 Вычисление пределов, дифференцирование, интегрирование [2, с.12-21] 24 ЛР №6. Решение задач дискретной математики Цель работы. 1. Познакомиться со встроенными функциями MathCad. 2. Научиться использовать встроенные функции при решении задач теории чисел, комбинаторики и др. Материал для подготовки к занятию 1. Изучите полный список встроенных функций MathCad. Выделите те из них, что относятся к основным разделам дискретной математики. Какие ещё группы функций, на ваш взгляд, используются чаще всего. 2. Подберите задания, которые проиллюстрируют использование каждой из выделенных вами функций. Задания для самостоятельной работы 6.1. Вычислите, используя целочисленные функции. a). 3,75 * 4,1 + 2 * 1,5 - 16,3 2 * 6,1 + 32 / 10 12 ; 15 11 38 4 + 2 * 4 ; b). (15 mod 4)+(-11 mod 2). 3,75 + 4,1 * 2 - 1,5 * 16,3 2 * 6,1 + 32 / 10 12 ; 15 11 38 4 * 2 - 4 ; ( -11 mod 2) - ( 38 mod 4). 6.2. Рассчитайте, используя встроенные функции. a) Сколькими способами можно избрать из 15 человек делегацию в составе 3 человек. b) Сколькими способами 5 человек могут выстроиться в очередь. c) Сколькими способами могут быть заняты первые три места в рейтинге 25 студентов (у всех студентов разный рейтинг). 6.3. Выполните индивидуальные задания, связанные с решением задач дискретной математики из ЛР 9 Решение задач теории чисел и алгебры многочленов, ЛР 11 Решение комбинаторных задач [2, с.27-29, с.33-35] 25 ЛР №7. Решение задач линейной алгебры Цель работы. 1. Познакомиться с основными понятиями, относящимися к матричным вычислениям. 2. Научиться вводить математические выражения, содержащие вектора (матрицы) и осуществлять простейшие операции с векторами (матрицами). Материал для подготовки к занятию Матричные вычисления можно условно разделить на два типа: 1. Простейшие действия, которые реализованы операторами и несколькими функциями, предназначенными для создания, объединения, сортировки, получения основных свойств матриц и т. п. 2. Сложные функции, которые реализуют алгоритмы вычислительной линейной алгебры, такие как решение систем линейных уравнений, вычисление собственных векторов и собственных значений, различные матричные разложения. Векторы являются частным случаем матриц, поэтому для них справедливы все те операции, что и для матриц, если ограничения особо не оговорены (например, некоторые операции применимы только к квадратным матрицам). Есть действия, которые допустимы только для векторов (например, скалярное произведение), а есть те, что по-разному действуют на векторы и матрицы. Запомните: вектор – это столбец, поэтому чтобы превратить строку в вектор, ее нужно предварительно транспонировать. Основными операциями являются транспонирование, сложение и вычитание матриц одинаковой размерности, умножение матриц определённой размерности, умножение на скаляр, вычисление определителя квадратной матрицы и модуля вектора, скалярное и векторное произведение векторов, поиск обратной матрицы, возведение матрицы в степень, вычисление определителя (используйте панель инструментов «Матрицы»). Символьные вычисления позволяют получить соответствующие формулы, например, для векторного произведения векторов (матриц) и т.п. 26 Задания для самостоятельной работы Без использования вычислительной техники найдите 7.1. 34 а). матрицу 81 С=-5А+2В, если А= ; В= 51 23 3 2 34 и В= 5 4 25 б). произведение матриц А= Проверьте свои вычисления в программе Mathcad. Выполните 7.2. транспонирование матриц из задания 2 без использования ПК и с помощью Mathcad. 7.3.Найдите обратные матрицы для матриц из задания 2 с помощью Mathcad. Проверьте себя без использования ПК и с помощью Mathcad (подумайте как это можно сделать косвенно). 7.4. Выполните действия с матрицами, создав их из заданных коэффициентов a=1, b=2, c= 3, m=4, k=5, n=6. Матрицы имеют следующий вид: a b A c c a b b a c c a B c b c D a b Вычислите b С a c c b m c n a n K n b m a k a c M (c b a) 1) А+n·K; 2)A·B; 3) 2A; 4) A·D; 5)D·M 7.5.Выполните транспонирование матрицы В в символьном виде. 7.6. Найдите матрицу обратную для А (К) в символьном виде. Сделайте проверку, вычислив А*А-1. 7.7. Выполните указанные в п. 7.4-7.6 задания для следующих значений коэффициентов в другом документе а=1, b=0.5, c=-1, m=2, k=-2.1, n=-0.8. 7.8. Выполните задания, связанные с решением задач линейной алгебры из ЛР 10 Решение задач линейной алгебры [2, с.30-33] задания с первого по шестое. 27 ЛР №8. Решение уравнений и их систем Цель работы. 1. Научиться решать уравнения, а также их системы в MathCAD, используя вычислительный блок (Given - ключевое слово…Find (x, …)). 2. Научиться решать системы линейных уравнений различными способами. Материал для подготовки к занятию Все методы решения систем линейных алгебраических уравнений можно разделить на две основных группы: прямые (метод Крамера, метод Гаусса, и т.п.) и итеративные методы. При использовании прямых методов расчеты можно вести как численно, так и символьно. Итеративные методы применяются в численных решениях. Для решения систем линейных и нелинейных уравнений используется "блок решений", который начинается с ключевого слова gіven и заканчивается вызовом функции fіnd. Между ними находятся уравнение. Всем неизвестным в уравнении должны быть присвоены начальные значения. В уравнении, для которого необходимо найти решение, нужно использовать знак логического равенства = на панели инструментов Evaluatіon. Как аргументы в функции должны быть неизвестные, которые необходимо найти. Можно в блоке решений использовать функцию minner, которая дает приближенные решения при указании начальных значений для неизвестных. Они вводятся до блока решений. При решении системы линейных уравнений с помощью встроенной функции lsolve(А,b) программа возвращает вектор решений. Матрица А квадратная невырожденная, вектор b - вектор правых частей в системе уравнений. Можно получать также аналитические решения системы уравнений, используя оператор solve. В этом случае система должна быть занесена в виде вектора в левый маркер оператора, а переменные через запятую в правый маркер. Ответ будет возвращен в виде матрицы, в строках которой будут записаны найденные значения неизвестных системы уравнений. 28 Задания для самостоятельной работы 8.1.Без использования вычислительной техники решите систему: Выпишите матрицы, с которыми Вы работали, какова их размерность? Запишите матрицу, являющуюся решением системы, какова её размерность? 2 x 3 y z 5 x y 2z 0 3x y z 2 8.2. Решите систему из п.8.1 как минимум тремя способами (используя вычислительный блок, по формулам Крамера, с помощью встроенной функции lsolve(А,b)) 8.3. Запишите систему уравнений из п.8.1. в матричной форме. Вспомните, как решают матричные уравнения. Решите систему, используя матричный способ решения. 8.4. Решите следующие системы уравнений 9 x 6 y 3z 8n 3 4 x 6 y 7 z 4 n 1 ; 2 x 3 y 5 z 3n 4 4 x 8 y 3z 7n 2 2 x 3 y 2 z 5n 3 5 x 2 y 5 z 7n 2 ; 4 x 2 y 7 z n 3 7 x 5 y 1z n 2 13.4 x 6.33 y 5.1z 2.11n 3.33 4.66 x 6.1y 3.33 5.44n 0.11 . 2.22 x 6 y 2.55 z 6.33n 4.44 2.98 x 8 y 3.78 z 6.11n 3.33 8.5.Системы нелинейных уравнений решаются с помощью блока решения и функций find и minner. Решите следующие системы уравнений: 5 x 2 9 y 2 3 . 2 x 8 y 4 2 x 2 5 y 2 3 ; 5 x 9 y 3 8.6. Выполните индивидуальные задания, связанные с решением уравнений и их систем из ЛР 10 Решение задач линейной алгебры [2, с.3033]. Задания седьмое и восьмое. 29 ЛР №9. Графика на плоскости Цель работы. 1. Познакомиться с графическими возможностями программы. 2. Научиться реализовывать построение графиков функций, заданных различными способами (в полярной системе координат, параметрически). Материал для подготовки к занятию Создание графика функции, заданного в полярной системе координат Создание графика функции, заданной параметрически. 30 Задания для самостоятельной работы Вариант 1. Построить график функции y = 2 sin 3x точками, выбрав расположение координатных осей на экране и масштаб. Построить изображение четырех лепестковой розы, заданной уравнением в полярных координатах: =аsin2 (a 0); Построить график функции, заданной параметрически x = 2t2+t, y = ln t Вариант 2. Построить график функции y= sin(3x2 +2х -1) точками, выбрав расположение координатных осей на экране и масштаб. Построить изображение кардиоиды, заданной уравнением в полярных координатах: = а(1+cos) (a> 0); Построить график функции, заданной параметрически x = (1-t)/(1+t2), y = (2+t2)/t2 Вариант 3. Построить график функции y= |2 sin 3x2| точками, выбрав расположение координатных осей на экране и масштаб. Построить изображение улитки Паскаля, заданной уравнением в полярных координатах: =аcos + l (a 0); Построить график функции, заданной параметрически x = sin23t, y = cos23t Вариант 4. Построить график функции y= x2 (x-1)3 (x+3)4точками, выбрав расположение координатных осей на экране и масштаб. Построить изображение кривой, заданной координатах: =аsin3 (a 0); 31 уравнением в полярных Построить график функции, заданной параметрически x = t4+2t, y = t2+5t Вариант 5. Построить график функции y= x tg x точками, выбрав расположение координатных осей на экране и масштаб. Построить изображение логарифмической спирали, заданной уравнением в полярных координатах: =а (a 0); Построить график функции, заданной параметрически x = t - ln sint, y = t + ln cos t Вариант 6. Построить график функции y= (tg x)/x точками, выбрав расположение координатных осей на экране и масштаб. Построить изображение спирали Галилея, заданной уравнением в полярных координатах: =а2 (a 0); Построить график функции, заданной параметрически x = tg t, y = 1/sin2t Вариант 7. Построить график функции y= | (sin 3x)/2| точками, выбрав расположение координатных осей на экране и масштаб. Построить изображение спирали Ферма, заданной уравнением в полярных координатах: 2 =а2 (a 0); Построить график функции, заданной параметрически x = t2-t3, y = 2 t3 Вариант 8. Построить график функции y= | ln(3x-1)| точками, выбрав расположение координатных осей на экране и масштаб. Построить изображение кривой, заданной координатах: 2 =а2 (a 0); 32 уравнением в полярных Построить график функции, заданной параметрически x = cos3t, y = sin3 t Вариант 9. Построить график функции y= x sin 3x точками, выбрав расположение координатных осей на экране и масштаб. Построить изображение конхоиды Никомеда, заданной уравнением в полярных координатах: =а/sin + l (a 0, l>0); Построить график функции, заданной параметрически x = 3 sin t, y = 3 cos2 t Вариант 10. Построить график функции y= (x2-2)/(x+2) точками, выбрав расположение координатных осей на экране и масштаб. Построить изображение кривой, заданной уравнением в полярных координатах: =а ctg (a 0); Построить график функции, заданной параметрически x = 2t-t2, y = 2 t3 ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Вариант 1. 1. Вычислить значения следующих выражений для заданных значений переменных. 3 1 2 2 2 x e1 x при x=1.25 x 2. Построить графики следующих функций на одном шаблоне, найти по крайней мере одну точку пересечения графиков. y x2 2 x x 1 y x ln x 2 3. Решить следующую систему линейных уравнений Аx=B двумя способами. 33 1 2 3 A : 3 2 1 3 1 1 5 B : 1 2 4.Найти решение уравнения F(x)=0 F ( x) : x 1 x 3 5. Постройте изображение эллипсоида по его параметрическому заданию. Вариант 2. 1. Вычислить значения следующих выражений для заданных значений переменных. x cos x y ex y y при x=2.4 и y=1.4 2. Построить графики следующих функций на одном шаблоне, найти хоть одну точку пересечения графиков. y x 2 1 x y ex x 3. Решить следующую систему линейных уравнений Аx=B двумя способами. 3 3 1 A : 2 1 2 1 2 3 1 B : 2 3 4.Найти решение уравнения F(x)=0 F ( x) : e x 2 x 2 5. Постройте изображение гиперболоида по его параметрическому заданию. Вариант 3. 1. Вычислить значения следующих выражений для заданных значений переменных. 3 2 1 1 x 2 sin 2 ln при x=2.8 x x 5 34 2. Построить графики следующих функций на одном шаблоне, найти хоть одну точку пересечения графиков. y ( x 2 1) 2 x 1 2 y ln( 2 x 3) 3. Решить следующую систему линейных уравнений Аx=B двумя способами. 3 4 5 A : 1 2 3 3 2 1 1 B : 2 0 4.Найти решение уравнения F(x)=0 F ( x) : x3 2 x 2 5. Постройте изображение гиперболоида по его параметрическому заданию. Вариант 4. 1. Вычислить значения следующих выражений для заданных значений переменных. x y x y ln x e y при x= -1.5 и y= 2.4 2. Построить графики следующих функций на одном шаблоне, найти хоть одну точку пересечения графиков. y x2 x 1 y x ln( x 1) ; 3. Решить следующую систему линейных уравнений Аx=B двумя способами. 3 5 1 A : 3 2 4 1 2 3 1 B : 2 0 4.Найти решение уравнения F(x)=0 F ( x) : x 1 4 x2 5. Постройте изображение конуса по его параметрическому заданию. 35 ЗАДАНИЯ ДЛЯ ТЕСТИРОВАНИЯ Автор Спирина И.А. Источник: http://www.exponenta.ru/educat/referat/XXIkonkurs/6/index.asp Вариант №1 1) Введите правильный ответ: Двоичное число заканчивается строчной латинской буквой … 2) При записи комплексного числа i набирается с калькулятора либо вначале задается следующее а) в) : б) г) := 3) Установите соответствие а) Панель операций математического анализа 1) б) Панель равенств и отношений 2) в) Панель вычислений 3) г) Калькулятор 4) 4) Установите соответствие: а) Функция, выполняющая операцию подстановки 1) simplify б) Функция, выполняющая операцию упростить 2) substitute выражение в) Функция, выполняющая операцию развернуть 3) factor (открывает скобки, приводит подобные) г) Функция, выполняющая операцию разложить на 4) expand множители 5) Для того чтобы MathCAD произвел операцию разложения на множители и сокращение дроби выражения , запись действия должна иметь следующий вид: 36 а) в) factor factor б) factor ( ) г) factor [ ] 6) Функция mod(a,b) находит а) НОК(a,b) в) НОД(a,b) б) остаток от деления a на b г) 7) В окне для построения декартова графика, пустое поле в середине горизонтальной оси предназначено а) для дискретной переменной в) для значения, устанавливающего размер границы б) для функции г) для названия оси 8) Для того чтобы построить график функции r(q), заданный в полярных координатах, где полярный радиус r зависит от полярного угла q нужно в панели графиков выбрать кнопку а) б) в) г) 9) Для того чтобы построить в одной системе координат графики функций f(x)=sin (x) и g(x)=cos(x) поля нужно заполнить следующим образом а) в) 37 б) г) 10) Функция identity(4) формирует матрицу следующего вида а) в) г) б) 11) Введите правильный ответ: Дана матрица А , тогда max(A)=… 12) Введите правильный ответ: Заданы следующие параметры ORIGIN:=2 и A матрицы , тогда элемент … 13) Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы осуществляется с помощью формулы а) x в) б) г) 14) Решая уравнения или системы уравнений с помощью блока given-minerr, решение будет а) точное в) приближенное б) минимальное г) максимальное 38 15) Решая уравнение вектор с помощью функции polyroots( ), имеет вид а) в) б) г) 16) Для того чтобы найти третью производную функции , то выражение вычисляющее производную будет выглядеть следующим образом: а) в) б) г) 17) Введите правильный ответ: Операция разложения в ряд Тейлора функции , имеет вид series, x= -1 - - , тогда k=… - 18) Чтобы вычислить конечную сумму и сумму сходящегося ряда нужно в панели операций математического анализа выбрать кнопку а) в) б) г) Вариант №2 1) Введите правильный ответ: Восьмеричное число заканчивается строчной латинской буквой … 2) Переменная x является ранжированной в случае а) x в) x б) x г) x 3) Установите соответствие: а) булево равно 1) б) присваивание 2) 39 в) численное равно 3) г) символьное равно 4) 4) Функция, выполняющая операцию разложить на множители а) factor в) expand б) simplify г) substitute 5) Введите правильный ответ: expand,… 6) Функция gcd(a,b) находит а) НОК(a,b) в) НОД(a,b) б) остаток от деления a на b г) 7) В окне для построения декартова графика пустое поле в середине вертикальной оси, предназначено а) для значения, устанавливающего в) для дискретной переменной размер границы б) для функции г) для названия оси 8) Введите правильный ответ При построении полярного графика MathCAD показывает круг с n полями ввода, n=… 9) Как строить поверхность g(x,y):= а) в) 40 г) б) 10) Установите соответствие: а) Функция, создающая диагональную матрицу, 1) diag(n) элементы главной диагонали которой хранятся в векторе n б) Функция, создающая и заполняющая матрицу, 2) matrix(m,n,f) элементы которой хранятся в j-ом столбце и i-ой строке равен значению функции f в) Функция, создающая единичную матрицу порядка n 3) identity(n) г) Функция, приводящая матрицу к ступенчатому виду с 4) rref(n) единичным базисным минором 11) Введите правильный ответ: Если задать матрицу , то значением элемента 12) Даны матрицы и будет… тогда stack(A,B) будет равен в) а) 41 б) г) 13) Перед применением функции root(f(x),x) необходимо а) упростить выражение в) указать коэффициенты уравнения б) задать начальное значение x г) указать свободные коэффициенты уравнения 14) Решая уравнения или системы уравнений с помощью блока given-find , решение будет а) точное в) приближенное б) минимальное г) максимальное 15) Решая уравнение с помощью функции solve, то оператор будет выглядеть следующим образом а) solve, x в) б) solve г) 16) Для того чтобы найти четвертую производную функции cos(x), то выражение вычисляющее производную будет выглядеть следующим образом: а) в) б) г) 17) Операция разложения в ряд Тейлора функции sin (x), причем точка, в окрестности которой строится разложение, равна , а степень старшего члена в разложении 9, будет иметь вид а) series[sin (x) , 9] в) sin (x)series[ , 9 б) sin (x)series, x= , 9 г) series(sin (x)); , 9 18) Какую кнопку не содержит панель математического анализа 42 а) в) б) г) Вариант №3 1) Введите правильный ответ: Шестнадцатеричное число заканчивается строчной латинской буквой … 2) Математическая панель MathCAD не содержит кнопку: а) ключевые слова символьных в) калькулятор вычислений б) панель тригонометрических г) панель программирования функций 3) Символьное равно обозначается следующим образом в) а) б) г) 4) Функция, выполняющая операцию раскрытия скобок и приведения подобных а) factor в) expand б) simplify г) substitute 5) Введите правильный ответ: а и b 5, тогда функция mod(а,b)=… 6) Установите соответствие между понятием и его описанием а) 1) permut (n,m) б) 2) lcm(n,m) в) НОД(n,m) 3) gcd(n,m) г) НОК(n,m) 4) combin(n,m) 7) Установите соответствие: 43 а) Поле для дискретной переменной 1) б) Поле для функции 2) в) Поле для названия осей 3) г) Поле для значений, устанавливающие размер границ 4) 8) При построении графика функции, заданной , поля нужно заполнить следующим образом а) в) 44 параметрически, г) б) 9) Для того чтобы построить график функции f(x) в прямоугольно декартовой системе координат нужно в панели графиков выбрать кнопку в) а) б) г) 10) Функция, которая создает единичную матрицу порядка n а) diag(n) в) identity(n) б) rref(n) г) stack(n) 11) Введите правильный ответ: Дана матрица M:= 12) Даны матрицы , тогда cols(M) =… и , тогда augment(A,B),будет равен а) в) б) г) 45 13) Введите правильный ответ: solve,… 14) Верной записью действия является а) в) б) г) , 15) Решая систему методом обратной матрицы, матрица А будет иметь вид а) в) б) г) 16) Для того чтобы найти пятую производную функции , то выражение вычисляющее производную будет выглядеть следующим образом: а) в) б) г) 17) Операция разложения в ряд Тейлора функции , причем точка, в окрестности которой строится разложение, равна -2, а степень старшего члена в разложении 4, будет иметь вид а) series, x= б) series( ); ,4 ,4 в) series[ г) series[ ,4 , 4] 18) Для того чтобы вычислить левосторонний предел функции нужно в панели математического анализа нажать кнопку а) в) 46 б) г) Вариант №4 1) Установите соответствие а) Панель векторных и матричных вычислений б) Панель программирования в) Панель ключевых 1) 2) слов 3) символьных вычислений г) Панель вычислений 4) 2) Для создания тождества нужно использовать знак а) в) б) г) 3) Укажите восьмеричное число а)345o в) 345b б) 345h г)345i 4) Функция, выполняющая операцию подстановки а)factor в) expand б) simplify г) substitute 5) Введите правильный ответ: a иb тогда lсm(a,b)=… 6) Функция convert to partial fraction выполняет следующую операцию а) извлекает из под корня n-й степени в) раскрывает скобки и приводит подобные б) раскладывает рациональную дробь г) на простые приводит дроби к общему знаменателю 7) Для построения двух графиков в одной системе координат в окне для выражения вписываются обе функции, между которыми ставиться знак 47 а) ; в) б) , г) : 8) Установите соответствие а) Кнопка для построения графика функции r(q), заданной в 1) полярных координатах б) Кнопка для построения диаграммы линий уровня функции вида z=f(x,y) 2) в) Кнопка для построения графика функции y=f(x) в виде связанных друг с другом пар координат (xi,yi) при заданном 3) промежутке изменения для i г) Кнопка для для точечного представления матрицы значений Ai,j или отображения значений функции z=f(x,y) в 4) заданных точках 9) Дана функция для того чтобы MathCAD вывел график функции поля нужно заполнить следующим образом а) б) в) г) 10) Введите правильный ответ: 48 Если А и submatrix(M,1,k,0,1) = , то k=… 11) Функция, находящая собственные значения квадратной матрицы А а) eigenvecs(A) в) eigenvec(A, ) б) eigenvals (A) г) cols(A) 12) Введите правильный ответ: Дана матрица тогда rows(A) =… 13) Введите правильный ответ: Решая систему = методом обратной матрицы, матрица B , где элемент k=… 14) Верной записью действия является а) в) б) , г) 15) Встроенная функция для решения СЛАУ состоит из двух шагов: 1) задать А,В 2) . . . а) find(А,В) в) lsolve(А,В) б) augment(А,В) г) lfind(А,В) 16) Для того чтобы найти вторую производную функции то выражение вычисляющее производную будет выглядеть следующим образом: а) в) б) г) 49 ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ЗАЧЕТА 1. Системы компьютерной математики. 2. Основные возможности Mathcad. Экран Mathcad. Назначение команд меню. Полоса кнопок. 3. Типы переменных Mathcad. Создание переменных и функций. Вычисление результатов. Встроенные переменные. 4. Дискретные переменные. Применение дискретных переменных. Использование дискретной переменной для построения графиков. 5. Векторы и матрицы. Действия с ними в Mathcad. 6. Операторы в Mathcad. Операторы суммирования и произведения. 7. Операторы в Mathcad. Операторы дифференцирования и интегрирования. 8. Встроенные функции Mathcad: теория чисел/комбинаторика. 9. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений в среде пакета Mathcad. 10. Символьные вычисления в среде пакета Mathcad: алгебра, производные и интегралы. 11. Решение систем линейных алгебраических уравнений и систем нелинейных уравнений в среде пакета Mathcad. 12. Решение дифференциальных уравнений в среде пакета Mathcad. 13. Создание и форматирование графика в декартовых координатах. 14. Создание и форматирование графика в полярных координатах. 15. Создание и форматирование графика функции двух переменных. 16. Программирование в среде пакета Mathcad. Дополнительные вопросы 17. Какие встроенные функции позволяют находить корни уравнения? 18. Как выполняется символьное нахождение корней уравнений? 50 19. Как можно создать матрицу и вектор? Какие действия выполняются с матрицами? 20. Какие встроенные функции позволяют найти решение системы линейных уравнений? 21. В каком виде представляются результаты решения системы линейных уравнений? 22. Какие встроенные функции позволяют найти решение системы нелинейных уравнений? 23. В каком виде представляются результаты решения системы нелинейных уравнений? 24. Нужно ли задавать начальные приближения при решении системы нелинейных уравнений? 51 ЛИТЕРАТУРА Основная: 1. Самоучитель по MathCAD [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.sistemair.ru/dok/mathcad/text/menu.html 2. Хромова, Н.Н. Лапшинова, Е.Н. Информационные технологии в математике: Лабораторные работы. Учеб. пособие. – Калуга: КГПУ, 2005 Дополнительная: 3. Васильев А. Н. Maple 8. Самоучитель. - М.: Диалектика, 2003. —352 с. 4. Дьяконов В. П. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании. — М.: СОЛОН-Пресс, 2006. —720 с. 5. Дьяконов В. П. Maple 10/11/12/13/14 в математических расчетах. — М.: ДМК-Пресс, 2011. 6. Дьяконов В. П. Системы компьютерной алгебры Derive. Самоучитель. М.: Солон-Р.- 2002.- 320 с. 7. Дьяконов В. П. Mathcad 11/12/13 в математике. Справочник. М. Горячая линия. Телеком. – 2007. Лауреат конкурса "Лучшая науная книгга 2007" в номинации "Информационные технологии". 8. Дьяконов В. П. Энциклопедия компьютерной алгебры. М: ДМК-Пресс, 2011.- 1267 с. 9. Капустина Т.В. Компьютерная система Mathematica 3.0 для пользователей: Справ. пособие – М.: СОЛОН-Р, 1999. – 240 с. 10. Лабораторный практикум. студентов специальностей Программный комплекс MathCad для 6.060101 – «Промышленное и гражданское строительство», «Гидротехническое строительство», «Теплогазоснабжение и вентиляция» дневной формы обучения /Составители: Н.Д.Сизова, Е.А.Петрова, Н.В.Гречко – Харьков: ХГТУСА, 2009. – 69 с. 11. Таранчук В.Б. Основные функции систем компьютерной алгебры. — Минск: БГУ, 2013. — 59 с. 52 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………………… 3 СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ …………………………… 7 ЛР №1.Основы работы в MathCAD. Реализация вычислений ……………....10 ЛР №2. Решение задач элементарной математики: преобразование алгебраических выражений ………………………………………………….... 15 ЛР №3. Способы задания функций и построения графиков ………………..16 ЛР №4. Решение алгебраических уравнений ………………………………..18 ЛР №5. Вычисление пределов, дифференцирование и интегрирование…..22 ЛР №6. Решение задач дискретной математики …………………………… 25 ЛР №7. Решение задач линейной алгебры …………………………………. 26 ЛР №8. Решение уравнений и их систем ……………………………………. 28 ЛР №9. Графика на плоскости……………………………………………….. 30 ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ……………………………… 33 ЗАДАНИЯ ДЛЯ ТЕСТИРОВАНИЯ ………………………………………….. 36 ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ЗАЧЕТА …………………………………… 50 ЛИТЕРАТУРА ………………………………………………………………. 52 53 Павлова О.А. Практикум по решению задач на ЭВМ Учебное пособие КГУ им. К.Э. Циолковского г. Калуга, ул. Ст. Разина, 26 54
