математическая логика - Самарский филиал ГОУ ВПО МГПУ

Департамент образования города Москвы
Самарский филиал
Государственного образовательного учреждения
высшего профессионального образования города Москвы
«Московский городской педагогический университет»
СБОРНИК
УЧЕБНЫХ ПРОГРАММ
Специальность 050202.65 Информатика
Математика
Математическая логика
Элементы абстрактной и компьютерной алгебры
Дискретная математика
Теория вероятностей и математическая статистика
Теория алгоритмов
Численные методы
Уравнения математической физики
Исследование операций
Физика
Самара 2007
1
Печатается по решению редакционно-издательского совета Самарского
филиала Московского городского педагогического университета
Составители:
Богданов С.Н. – Математика
Полянцева М.В. – Математическая логика
Клековкин Г.А. – Элементы абстрактной и компьютерной алгебры
Клековкин Г.А. – Дискретная математика
Горелова В.В. – Теория вероятностей и математическая статистика
Иванюк М.Е. – Теория алгоритмов
Кирюков С.Р. – Численные методы
Глущенков В.С. – Уравнения математической физики
Иванюк М.Е. – Исследование операций
Чупахина И.А. – Физика
Рецензенты:
Вечтомов Е.М. – профессор, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой алгебры и геометрии Вятского государственного гуманитарного университета,
Макаров С.И. – профессор, доктор педагогических наук, заведующий
кафедрой высшей математики и экономико-математических методов Самарского государственного экономического университета
Публикуемые учебные программы составлены на основе Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования
для специальности «050202.65 Информатика» (квалификация – учитель информатики, НГР № 661 пед/сп), утвержденного в 2005 году.
Все учебные программы обсуждены и утверждены на заседании кафедры
высшей математики и информатики ГОУ ВПО Самарский филиал Московского городского педагогического университета (протокол № 1 от 06 сентября
2007 г.).
© СФ МГПУ, 2007
2
МАТЕМАТИКА
1. Пояснительная записка
Курс «Математика» является базовым для изучения других математических дисциплин таких как «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры»,
«Теория вероятностей и математическая статистика», «Численные методы» и
др. Кроме того, знания, полученные при изучении этой дисциплины, используются в курсе «Программирование» и в других специальных дисциплинах.
Дисциплина «Математика» обеспечивает приобретение знаний и умений
в соответствии с Государственным образовательным стандартом, содействует
фундаментализации образования, формированию научного мировоззрения и
развитию мышления.
Задачи изучения дисциплины:
 обучить студентов методам дифференциального и интегрального исчисления функций, линейной алгебры и аналитической геометрии;
 ознакомить студентов с элементами функционального анализа, функций комплексного переменного, теориями дифференциальных уравнений, последовательностей и рядов;
 развить математическое мышление будущего учителя, что дает возможность на базе полученных основных знаний продолжать образование, самостоятельно работать с научной или учебной литературой.
Изучение курса «Математика» ориентирует студентов на такие виды
профессиональной деятельности как учебно-воспитательная и научнометодическая.
Основными формами аудиторных занятий являются лекции и практические занятия. Значительное время отводится на самостоятельную работу студентов, которая заключается в работе с учебником и дополнительной литературой, в решении задач.
2. Требования к уровню освоения дисциплины
Студенты, изучившие данную дисциплину, должны иметь представление:
 о значении математики, её месте в системе фундаментальных наук и
роли в решении практических задач;
 о современных направлениях в математике;
 о состоянии и применении основных методов математического анализа, аналитической геометрии и линейной алгебры;
 о методологических вопросах математики.
Знать:
1. основные положения теории множеств, теории пределов и непрерывных
функций, теории числовых и функциональных рядов, теории интегралов,
3
2.
теории меры, теории дифференциальных уравнений и теории функций
комплексного переменного;
основные теоремы дифференциального и интегрального исчисления
функций, аналитической геометрии и линейной алгебры.
Уметь:
 определять возможности применения теоретических положений и методов математики для решения конкретных прикладных задач;
 анализировать и обобщать простейшие математические модели;
 решать основные задачи на вычисление пределов функций, дифференцирование и интегрирование функций, на разложение функций в
ряды;
 решать дифференциальные уравнения, системы линейных уравнений;
 использовать координатно-векторный метод для решения геометрических задач;
 производить оценку качества полученных решений прикладных задач;
 находить и обрабатывать необходимую математическую информацию.
Иметь навыки:
 владения стандартными методами математики при решении математических и прикладных задач;
 использования различных источников для усвоения содержания дисциплины.
3. Содержание дисциплины
3.1. Числовые множества. Множества и операции над ними. Бинарные
отношения. Отображения и их классификация. Числовые множества. Аксиоматическое определение поля действительных чисел. Точные грани множества. Комплексные числа. Модуль и аргумент. Алгебраическая и тригонометрическая формы.
3.2. Теория пределов. Непрерывность. Окрестности точек на расширенной прямой. Непрерывность. Предел функции и последовательности. Арифметические операции над пределами. Предельный переход в неравенстве. Предел
зажатой функции и предел сложной функции. Существование предела монотонной функции. Первый замечательный предел. Непрерывность тригонометрических функций. Второй замечательный предел. Экспонента, ее свойства и
непрерывность. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции.
Обратная функция и ее свойства. Обратные тригонометрические функции,
логарифмическая и показательная функции.
3.3. Дифференциальное исчисление функций одного переменного.
Определение производной, понятие дифференцируемости. Непрерывность
дифференцируемой функции. Правила дифференцирования. Производные
сложной и обратной функций. Таблица производных. Теоремы Коши, Ролля и
4
Лагранжа. Правило Лопиталя. Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции. Критерий монотонности. Экстремумы функции Необходимые и достаточные признаки экстремума. Выпуклость функции, точки
перегиба. Асимптоты функции. Производные высших порядков. Многочлен
Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме
Коши.
3.4. Интегральное исчисление функций одного переменного. Первообразная функции на отрезке и ее свойства. Неопределенный интеграл, его линейность и аддитивность. Правила интегрирования по частям и замены переменной интегрирования. Таблица неопределенных интегралов. Определенный
интеграл, формула Ньютона-Лейбница. Линейность, монотонность и аддитивность определенного интеграла Определенный интеграл с переменным пределом. Интегрирование основных рациональных, иррациональных и тригонометрических выражений. Аддитивные функции отрезка и их свойства. Интегрирование непрерывных функций. Интеграл Римана. Приложения определенного интеграла. Несобственный интеграл.
3.5. Элементы теории дифференциальных уравнении и теории функций комплексного переменного. Понятие дифференциального уравнения и его
решения. Задача Коши. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные уравнения первого и второго порядка и их решение. Комплексная функция комплексного переменного. Производная и дифференцируемость, условия
Коши - Римана.
3.6. Теория рядов. Числовой ряд и его сумма. Сходимость ряда. Геометрическая прогрессия и гармонический ряд. Операции над рядами. Признаки
сравнения, Даламбера и Коши. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница.
Функциональный ряд и его область сходимости. Степенной ряд и его круг
сходимости. Теорема Абеля. Комплексный степенной ряд.
3.7. Элементы аналитической геометрии и линейной алгебры. Матрицы и операции над ними. Определитель квадратной матрицы. Обратная матрица. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Формулы Крамера.
Векторы и алгебраические операции над ними. Векторное пространство.
Линейная зависимость векторов. Базис векторного пространства. Координаты
вектора в базисе. Преобразование координат векторов при замене базиса. Ориентация векторного пространства. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов и их свойства. Применение векторов к решению задач.
Аффинная и прямоугольная системы координат на плоскости. Основные
задачи в координатах. Прямая на плоскости и ее уравнение. Расстояние от точки до прямой. Геометрический смысл знака трехчлена. Линии второго порядка
на плоскости. Определение, свойства и канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы.
Аффинная и прямоугольная системы координат в пространстве. Основные задачи в координатах. Плоскость в пространстве и ее уравнение. Взаимное
5
расположение двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Геометрический смысл знака четырехчлена. Уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости. Вычисление угла между прямой и
плоскостью, между двумя плоскостями. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Поверхности второго порядка. Поверхности вращения, конические поверхности, цилиндрические поверхности и их канонические уравнения. Эллипсоиды, гиперболоиды,
параболоиды. Примеры
3.8. Элементы функционального анализа. Метрическое пространство и
его полнота. Нормированное пространство и его полнота. Конечномерное пространство и нормы на нем. Линейный оператор в конечномерном пространстве
и его матрица. Норма оператора.
4. Список рекомендуемой литературы
Основная
1. В.С. Щипачев Высшая математика Москва 2003г
2. Баврин ИИ Высшая математика
3. 3.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.:
Наука, 1988.
4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы.
Ряды. Функции. – М.: Наука, 1988.
5. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/ Под ред. Б.П. Демидовича. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2002.
6. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М-Л.: Наука, 1992.
7. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1972.
8. Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993.
9. Шнейдер В.Е. и др. Краткий курс высшей математики: В 2-х т. – М.: Высшая школа, 1978.
Дополнительная
1. Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии. Ч.1. – М.: Просвещение, 1973.
2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч. 1. – М.: Просвещение, 1986.
3. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1995.
4. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа: В 2-х т. – Висагинас: «Alfa», 1998.
5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3-х т. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
6
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
1. Пояснительная записка
Целями обучения математической логике будущих учителей информатики являются:
 обучение основным понятиям и методам математической логики;
 обеспечение понимания того, что математическая логика является
стержнем всей математики, ее основанием; инструментом процесса
обучения математике;
 демонстрация связи математической логики со всеми математическими
дисциплинами, изучаемыми в педагогическом ВУЗЕ.
Задачи изучения дисциплины:
 сформировать чувство строгости математического рассуждения и умение находить и видеть нарушения этой строгости, способствовать
формированию дедуктивного мышления;
 продемонстрировать неразрывную связь методов математической логики и современных компьютеров (ЭВМ) по двум направлениям при
их конструировании и создании;
 способствовать формированию алгоритмического мышления, на основе демонстрации его научных основ.
Учебная дисциплина «Математическая логика» является одной из основных в цикле специальных дисциплин, изучаемых будущими учителями информатики. Знание основ математической логики является прочным научным
фундаментом для логической составляющей всех изучаемых в школьном курсе математики и информатики понятий и методов, а также основой логикодидактической подготовки учителя информатики.
Использование в логике формальных языков привело к созданию логических
исчислений. Науку, занимающуюся исследованием таких исчислений, обычно
называют математической логикой. Такой подход возник в связи с открытием
известных логических парадоксов. Поэтому долгое время математическая логика
развивалась как средство решения задач обоснования математики. В этом направлении было получено множество первоклассных результатов, уже давно имеющих
общекультурное значение. Уже поэтому курс математической логики имеет все
основания находиться среди дисциплин, читаемых будущим учителям информатики. В настоящее время математическая логика все чаще стала использоваться
непосредственно в информатике. Более того, одним из наиболее известных проектов создания компьютеров пятого поколения предполагается использование логических исчислений в качестве основной системы программирования. Поэтому
специалисты, работающие в различных областях информатики, проявляют все
большее внимание и интерес к математической логике. Проникновение методов
математической логики в информатику уже привело к новым результатам, имеющих первостепенное практическое значение. В частности, к созданию нового языка программирования ПРОЛОГ – языка принципиально отличающегося от всех
созданных ранее.
7
2. Требования к уровню освоения дисциплины
В результате изучения дисциплины студенты должны знать:
Студенты, завершившие изучение данной дисциплины, должны
Знать основные положения и понятия алгебры высказываний и алгебры
предикатов.
Уметь применять свои знания к решению практических задач, пользоваться математической литературой для самостоятельного изучения вопросов,
возникающих на практике.
Иметь представление о методах современной математической логики
и ее приложениях в практике.
3. Содержание дисциплины
Введение
Предмет математической логики. Понятие логики как науки. Развитие
формальной и математической логики.
Алгебра высказываний
3.1. Логические операции. Высказывания и высказывательные формы.
Элементарные и составные предложения. Конъюнкция и дизъюнкция. Отрицание. Импликация. Эквиваленция.
3.2. Язык логики высказываний. Понятие формального языка, его синтаксиса и семантики. Язык исчисления высказываний. Семантика исчисления
высказываний. Формулы логики высказываний. Выполнимые и общезначимые
формулы. Составление таблиц истинности для данных формул. Тавтологии.
Основные правила получения тавтологий.
3.3. Логическая равносильность. Равносильность формул логики высказываний. Законы логики. Равносильные преобразования. Упрощение формул.
Выражение импликации и эквиваленции через конъюнкцию, дизъюнкцию и
отрицание
3.4. Обратные и противоположные предложения. Обратные предложения. Противоположные предложения. Закон контрапозиции. Достаточное и
необходимое условия. Структура определений.
3.6. Логическое следование. Отношение следования между формулами
логики высказываний. Правильные и неправильные аргументы. Сокращенный
способ проверки аргументов.
3.7. Нормальные формы. Составление формул по заданным таблицам истинности. Нормальные формы. Приведение формул к совершенным нормальным формам с помощью равносильных преобразований. Получение следствий
из данных посылок.
8
3.8. Переключательные схемы. Описание переключательных схем с помощью формул логики высказываний. Анализ, упрощение и синтез переключательных схем.
3.9. Исчисления высказываний. Формулы исчисления высказываний.
Аксиомы исчисления высказываний и правила вывода. Теорема дедукции и ее
применение. Исследование системы аксиом исчисления высказываний, непротиворечивость и полнота исчисления высказываний.
Алгебра предикатов
3.10. Предикаты и высказывательные формы. Недостаточность логики
высказываний. Предикаты и способы их задания. Множество истинности предиката. Формулы логики предикатов и их классификация. Приведенная форма
для формул логики предикатов. Предваренная нормальная форма. Проблема
разрешимости в логике предикатов. Равносильность высказывательных форм.
Логические операции и операции над множествами. Следование и включение.
3.11. Свойства и отношения. Свойства как одноместные предикаты.
Классификация. Отношения как многоместные предикаты. Свойства бинарных
отношений. Отношения эквивалентности и отношения порядка.
3.12. Кванторы. Кванторы общности и существования. Квантификация
многоместных высказывательных форм. Отрицание предложений с кванторами. Численные кванторы. Символическая запись определений и теорем.
3.13. Исчисление предикатов. Язык исчисления предикатов. Семантика
исчисления предикатов. Аксиомы исчисления предикатов. Правила вывода
исчисления предикатов. Непротиворечивость исчисления предикатов. Теорема
Геделя о полноте исчисления предикатов. Принцип двойственности. Метод
резолюций. Принцип логического программирования.
4. Список рекомендуемой литературы
Основная
1. Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов: Учеб. пособие для студентов высш. учеб. заведений. М.: Издательский центр «Академия», 2004.
2. Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов: Учеб. пособие для студентов высш. учеб. заведений. М.: Издательский центр «Академия», 2005.
3. Никольская И.Л. Знакомство с математической логикой. М.: Изд-во Флинта, 1998.
Дополнительная
1. Гончарова Г.А., Мочалин А.А. Элементы дискретной математики: Учебное пособие. – М.: ФОРУМ: ИНФРА –
М, 2004. (Серия «Профессиональное образование»).
2. Игошин В.И. Тетрадь по математической логике. Саратов, 1996.
3. Успенский В.А., Верещагин Н.К., Плиско В.Е. Вводный курс математической логики. М.: Физматлит, 2004.
9
4. Эдельман С.Л. Математическая логика. – М.: Высшая школа, 1975.
10
ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
1. Пояснительная записка
Разрешая повседневные практические задачи, люди постепенно и весьма
долго расширяли свои эмпирические представления о количестве и величине.
В результате этого сформировались понятия натуральных, целых, рациональных и действительных чисел. Арифметические действия (операции) с разными
видами чисел имеют сходные свойства. Вместе с тем, всякое расширение того
или иного класса чисел приводит к числам, действия с которыми обладают
рядом новых дополнительных свойств. Каждый класс чисел может быть описан с помощью своего списка свойств операций. Поэтому со временем в математике стали рассматривать произвольные множества с операциями и отношениями, обладающими наперед заданными свойствами. Элементы таких множеств в общем случае уже не являются числами, поэтому действия над элементами множеств называют алгебраическими операциями. Раздел математики, изучающий множества с алгебраическими операциями и отношениями,
называется общей или абстрактной алгеброй. В курсе рассматриваются основные объекты абстрактной алгебры (группа, кольцо, поле, булева алгебра и др.)
и их построение.
Объекты и методы абстрактной алгебры нашли широкое применение в
самых разных разделах фундаментальной и прикладной математики. В частности, важными сферами приложений абстрактной алгебры стали: создание и
использование ЭВМ, разработка средств хранения, передачи и переработки
информации. В средине прошлого века на стыке математики и информатики
возникло и бурно развивается новое направление – компьютерная или символьная математика, представленная такими известными системами как «Maple», «Mathematica», «MathCad». Эти системы позволяют проводить формульные (символьные) вычисления в различных областях математики и ее приложениях. Компьютер освобождает пользователя от сложных и громоздких формульных вычислений и требует от него более глубоких предметных знаний и
навыков владения символьными пакетами. В основе представления значительной части символьных данных в компьютере лежат реализации алгоритмов
абстрактной алгебры на языках программирования. В курсе даются общие
сведения о представлении символьных данных в компьютере и краткое введение в теорию кодирования.
Абстрактная алгебра – дисциплина, являющаяся фундаментальной математической основой развития стиля мышления, позволяющего наименьшими
средствами достигать наилучших результатов в любой области исследования,
связанной с применением компьютера. Изучение абстрактной и компьютерной
11
алгебры является обязательным элементом подготовки специалистов по прикладной математике и информатике, инженеров, занимающихся разработкой
ЭВМ и т.д. Можно прогнозировать, что в ближайшем будущем в школе будут
использоваться различные символьные пакеты, а отдельные элементы абстрактной алгебры войдут в программы профильной школы (в математическом и технологическом профилях). Поэтому знакомство с основами абстрактной и компьютерной алгебры является важной составляющей в подготовке будущего учителя информатики.
На основании сказанного основная цель данной дисциплины: познакомить студента с достаточно широким кругом понятий и методов абстрактной и
компьютерной алгебры, необходимым:
 для понимания важности основных алгебраических структур при построении систем компьютерной алгебры;
 для изучения смежных математических и специальных дисциплин;
 для дальнейшего самостоятельного чтения специальной литературы.
Достижение этой цели достигается путем решения следующих задач:
 изучение теории таких основных алгебраических структур как группа,
кольцо, поле, булева алгебра;
 широкое сопровождение изучаемого теоретического материала конкретными и доступными примерами;
 расширение запаса алгоритмов, которые могут послужить в дальнейшем базой для приобретения навыков программирования;
 решение стандартных задач абстрактной алгебры «с карандашом и бумагой»;
 знакомство с решением стандартных задач абстрактной алгебры в системе «MathCad».
2. Требования к уровню освоения дисциплины
Студенты, завершившие изучение курса, должны:
 свободно владеть понятиями отображение, отношение, алгебраическая
операция, алгебра, реляционная система, алгебраическая система,
группа, кольцо, поле, булева алгебра;
 знать основные теоретические сведения по теории групп, теории колец
и полей, необходимые для изучения смежных дисциплин;
 овладеть основными понятиями теории делимости в кольце целых чисел и кольце многочленов;
 иметь начальные представления о теории кодирования и компьютерной
алгебре.
12
Уметь:
 определить вид заданной алгебраической структуры;
 приводить примеры основных видов бинарных отношений, отображений, алгебраических структур;
 реализовывать изученные алгебраические алгоритмы «с карандашом и
бумагой».
На изученном алгебраическом материале получить начальные умения работы с системами символьной математики.
3. Содержание дисциплины
3.1. Алгебры и алгебраические системы. Декартово произведение множеств. Бинарные отношения: определение, примеры. n-арные отношения:
определение, примеры. Отображения: определения, примеры. Ограничение и
продолжение отображения. Виды отображений. Композиция отображений.
Обратное отображение.
Преобразования конечных множеств. Биективность инъективного преобразования. Подстановки.
Специальные виды бинарных отношений. Отношение эквивалентности.
Отношение порядка.
Алгебраическая бинарная операция. Примеры. Свойства бинарных операций. Конгруэнция. Понятие алгебры. Подалгебры. Гомоморфизмы и изоморфизмы алгебр. Факторалгебра. Реляционные системы. Алгебраические системы. Гомоморфизмы и изоморфизмы алгебраических систем. Подсистемы.
Булевы алгебры.
3.2. Группы. Полугруппы. Определение группы, примеры. Простейшие
свойства группы. Подгруппы. Изоморфизм групп. Циклические подгруппы.
Циклические группы. Разложение группы по подгруппе. Теорема Лагранжа.
Нормальные делители группы. Факторгруппа. Гомоморфизмы групп. Теорема
о гомоморфизмах групп. Симметрическая группа. Разложение подстановок в
произведение циклов. Знакопеременная группа. Теорема Кэли. Теорема о
строении конечных групп (без доказательства).
3.3. Кольца. Определение кольца. Примеры. Простейшие свойства колец.
Подкольца. Кольца с единицей. Отношение делимости в кольцах и его свойства. Обратимые элементы кольца. Делители нуля. Область целостности:
определение, примеры. Свойства отношения делимости в областях целостности. Простые и составные элементы области целостности.
Идеалы кольца: определение, примеры, свойства. Главные идеалы кольца. Делимость идеалов кольца. Сравнения и классы вычетов по идеалу. Кольца
главных идеалов: определение, примеры. Свойства колец главных идеалов,
13
основная теорема арифметики. Евклидовы кольца. Гомоморфизм колец. Ядро
гомоморфизма. Факторкольцо. Теорема о гомоморфизмах.
Поле: определение, примеры. Простейшие свойства поля. Подполе. Расширение поля. Поле отношений.
Поле комплексных чисел.
3.4. Целые числа. Кольцо целых чисел. Делимость в кольце целых чисел.
Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель. Наименьшее
общее кратное. Алгоритм Евклида, расширенный алгоритм Евклида. Взаимно
простые числа. Свойства простых чисел. Теорема о каноническое разложение
натурального числа.
Сравнения в кольце целых чисел и их свойства. Кольца классов вычетов
по модулю. Поле классов вычетов по простому модулю. Полные системы вычетов и их свойства. Обратимые элементы в кольце вычетов. Функция Эйлера.
Теоремы Эйлера и Ферма. Решение сравнений. Сравнения первой степени с
одним неизвестным. Китайская теорема об остатках. Порядок класса вычетов,
первообразные корни, индексы.
3.5. Кольца многочленов. Кольцо многочленов от одной переменной над
областью целостности, полем. Делимость в кольце многочленов. Теорема о
делении с остатком. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное многочленов. Алгоритм Евклида. Взаимно простые многочлены. Приводимость многочленов. Разложение многочлена на неприводимые множители.
Поле рациональных дробей. Простейшие дроби.
Корни многочлена. Алгебраическое и функциональное равенства многочленов.
Многочлены от нескольких переменных.
3.6. Расширения поля. Конечные поля. Конечное алгебраическое расширение. Конечные поля и поля Галуа. Многочлены над конечными полями.
3.7. Элементы теории кодирования. Основные задачи теории кодирования. Кодирование и его виды. Кодирование и передача информации. Коды,
обнаруживающие и исправляющие ошибки. Групповые коды. Полиномиальные и циклические коды. Криптография: предмет и основные понятия. Примеры шифров с закрытым и открытым ключами.
3.8. Представление символьных данных в компьютере. Компьютерная
алгебра и ее основные задачи. Алгоритмы символьных преобразований. Алгоритм сложения неотрицательных целых чисел. Алгоритм вычитания неотрицательных целых чисел. Алгоритм умножения неотрицательных целых чисел.
Алгоритмы символических преобразований рациональных чисел. Алгоритмы
символьных преобразований многочленов. Формальное дифференцирование.
Формальное интегрирование.
14
4. Список рекомендуемой литературы
Основная
1. Клековкин Г.А., Перминов Е.А. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры. Ч. 1: Алгебры. Алгебраические
системы: Учебное пособие для студентов пед. ун-тов и ин-тов. – Самара: СФ МГПУ, 2006.
2. Клековкин Г.А., Перминов Е.А. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры. Ч.2: Группы. Кольца: Учебное
пособие для студентов пед. ун-тов и ин-тов. - Самара: СФ МГПУ, 2006.
3. Клековкин Г.А. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры. Ч.4: Кодирование: Учебное пособие для студентов пед. ун-тов и ин-тов. – Самара: СФ МГПУ, 2008.
4. Матрос Д.Ш., Поднебесова Г.Б. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры: Учебное пособие для студентов педагогических вузов. – М.: Издательский центр «Академия», 2004.
Дополнительная
1.
Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. – М.: Мир, 1994.
2.
Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир, 1976.
3.
Дэвенпорт Д., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра. – М.: Мир, 1991.
4.
Журавлев Ю.И., Флеров Ю.А., Вялый М.Н. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. – М.: МЗ Пресс, 2006.
5.
Казачек А.Н. и др. Алгебра и теория чисел. – М.: Просвещение, 1974.
6.
Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления / Под ред. Б.Бухбергер, Д.Коллинз, Р.Лоос.
М.: Мир, 1986.
7.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.: Наука, 1977.
8.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учебное пособие для пед. ин-тов – М.: Высшая школа, 1979.
9.
Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для
студ. физ.-мат. спец. пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1993.
10. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1968.
11. Лидл Р., Пильц Г. Прикладная абстрактная алгебра: Учебное пособие. – Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 1996.
12. Молдовян Н.А., Молдовян А.А. Введение в криптосистемы с открытым ключом. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005.
13. Нечаев В.Н. Элементы криптографии. Основы теории защиты информации. - М.: Высшая школа, 1999.
14. Панкратьев Е.В. Элементы компьютерной алгебры: Учебное пособие. – М.: Интернет-университет информационных технологий; БИНОМ, 2007.
15. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. – М.: Мир, 1976.
15
16
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
1. Пояснительная записка
Бурное развитие кибернетики и вычислительной техники стимулировало
резкое возрастание интереса к изучению дискретных математических моделей.
Представление информации в ЭВМ имеет дискретный характер, а ее обработка
представляет собой последовательность элементарных преобразований введенных информационных единиц (цифр, букв, знаков, слов и т.п.). В основе
компьютерных вычислений лежит понятие алгоритма – предписания, задающего вычислительный процесс, который начинается с некоторых произвольных
исходных данных и после конечного числа шагов заканчивается получением
полностью определенного этими исходными данными результата.
Алгоритмы в фундаментальной и прикладной математике встречаются на
каждом шагу. Быстродействие и объем оперативной памяти современных ЭВМ
позволили «заглянуть» на микроскопический уровень реальности и значительно
расширить масштабы использования дискретных математических моделей. Однако не всякий алгоритм может быть фактически (или практически) реализован.
Важной проблемой компьютерных вычислений является анализ алгоритма, который подразумевает оценку ресурсов, необходимых для его выполнения. Чаще
всего оценивается время выполнения или необходимый объем памяти компьютера. Поэтому дискретизация и «фактическая бесконечность» стали фундаментальными идеями отображения реальных объектов в компьютере.
В настоящее время постепенно стираются прежние границы между непрерывной и дискретной математикой; и в самой математике и в ее приложениях
все чаще встречаются задачи, при решении которых одновременно используются как непрерывные, так и дискретные модели. Несмотря на это, дискретная
математика имеет свои специфические особенности. Прежде всего, в ней нет
свойственной анализу универсальной операционной техники, построенной на
понятии предельного перехода, поэтому для решения дискретных задач часто
применяются методы из разных разделов математики. Она требует, чтобы у
решающего был развит особый компонент мышления, который обычно называют комбинаторным.
Включение в школьные программы элементов комбинаторики показало, что
преподавание этого раздела вызывает порой значительные затруднения даже у
опытных учителей математики. Дело, по-видимому, в том, что у них сформировалось устойчивое «непрерывное видение мира». Несомненно, что в ближайшем
будущем в связи с широким внедрением компьютерной техники в различные сферы человеческой жизнедеятельности удельный вес дискретной математики в
школьном математическом образовании будет постоянно увеличиваться. Поэтому
будущие учителя математики и информатики должны одинаково хорошо изучить
и методически переосмыслить методы решения математических и прикладных
задач, основанные как на непрерывной, так и дискретной математике.
17
Долгое время комбинаторика определялась как раздел математики, в котором изучаются задачи выбора, расположения и пересчета элементов данного
конечного множества в соответствии с заданными правилами. Объекты, конструируемые по этим правилам, называются комбинаторными конфигурациями, а общие модели построения совокупностей требуемых конфигураций –
комбинаторными схемами. Теперь к комбинаторике относят также задачи на
доказательство существования конфигураций и поиск алгоритмов их эффективного построения, анализ, оценку и оптимизацию этих алгоритмов. Значительную часть комбинаторики составляют перечислительные задачи, в которых требуется либо осуществить перебор всех конфигураций заданного вида,
либо только подсчитать их число, либо выполнить то и другое. Числа, которые
получаются при пересчете комбинаторных конфигураций, называются комбинаторными числами.
Развитие современной науки невозможно представить без идей и методов
дискретной математики. Один из наиболее ярких примеров дискретного моделирования дает теория графов. Существует множество задач, анализ которых
удобно проводить с помощью аппарата теории графов: сетевое планирование и
динамическое программирование (задачи о распределении ресурсов, оборудования, о размещении определенных объектов и т.д.). Современное программирование также нельзя представить без использования графовых алгоритмов. К
области применения графов в информатике можно отнести хранение, поиск и
обработку информации; трансляцию и оптимизацию программ; анализ преобразования и распараллеливания программ. В качестве моделей для определенных алгоритмов используются деревья, бесконтурные (ацикличные) графы,
регуляризуемые (сводимые) графы и др. Процессы и явления, описанные на
языке теории графов, наглядны и просты. Графы позволяют иллюстрировать
наиболее общие связи и отношения, присущие этим процессам, прослеживать
логику рассуждений и доказательств.
Начальные основы комбинаторики сегодня включены в школьные программы по математике, графы рекомендуются для элективного изучения в математическом, информационно-технологическом, социально-экономическом
профилях. Комбинаторная и графовая тематика широко представлена на
олимпиадах школьников по математике и программированию. Поэтому изучение этих вопросов являются важным моментом в подготовке будущего учителя информатики.
Основная цель изучения дискретной математики: познакомить студента с
понятиями и методами комбинаторики, теории графов, асимптотической оценки сложности алгоритмов, которые необходимы:
 для последующего теоретического изучения компьютера, информационных технологий, компьютерного моделирования;
 для понимания важности основных алгебраических структур при построении систем компьютерной алгебры;
 для изучения смежных математических и специальных дисциплин;
18
 для дальнейшего самостоятельного чтения специальной литературы.
Достижение этой цели достигается путем решения следующих задач:
 изучение основных комбинаторных конфигураций и комбинаторных
чисел, рекуррентных соотношений и методов их решения, основных
понятий теории графов и алгоритмов на графах;
 знакомство с некоторыми важными методами вычисления конечных
сумм, асимптотической нотацией и примерами асимптотической оценки;
 решение комбинаторных и графовых задач, задач на вычисление конечных сумм.
2. Требования к уровню освоения дисциплины
В результате изучения дисциплины студент должен:
 иметь представления о специфике предмета и методов дискретной математики, ее роли и месте в современной фундаментальной и прикладной математике;
 владеть основными понятиями и методами комбинаторики и теории
графов;
 получить знания и умения, необходимые для последующего теоретического изучения компьютера, информационных технологий, компьютерного моделирования;
 приобрести начальные представления об оценке сложности алгоритмов,
уметь использовать асимптотическую нотацию при решении задач дискретной математики.
3. Содержание дисциплины
Введение. Предмет и основные разделы дискретной математики.
3.1. Комбинаторика. Основные правила комбинаторики: суммы, включений и исключений, произведения.
Последовательности и конечные суммы. Способы записи и преобразования конечных сумм. Кратные суммы, произведения сумм. Некоторые методы
вычисления конечных сумм.
Мультимножество. Выборки и их виды: размещения, перестановки, сочетания. Формулы для пересчета выборок.
Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник
Паскаля. Полиномиальная формула. Свойства полиномиальных коэффициентов.
Функции x  , x  ; операция x mod y . Специальные целочисленные
функции, заданные на множестве натуральных чисел.
Отображения и подстановки конечных множеств, их пересчет. Числа
Стирлинга первого рода.
Разбиения множеств, их виды и пересчет. Числа Стирлинга второго рода,
числа Белла.
Разбиения чисел, их виды и пересчет. Диаграммы Ферре-Юнга.
19
3.2. Рекуррентные соотношения. Рекуррентные последовательности и
соотношения. Решение рекуррентного соотношения (уравнения). Однородные
линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами и их
решение. Неоднородные линейные рекуррентные соотношения с постоянными
коэффициентами.
3.3. Производящие функции. Производящие функции и операции над
ними. Экспоненциальные производящие функции. Ряд Ньютона. Решение рекуррентных соотношений с помощью производящих функций. Производящие
функции для выборок, разбиений множеств и чисел. Числа Каталана.
3.4. Асимптотические оценки и приближения. Символы ~, о, О и
асимптотические формулы. Асимптотические разложения. Асимптотики комбинаторных чисел. Формула Стирлинга. Суммирование гармонического ряда.
Числа Бернулли. Формула суммирования Эйлера-Маклорена. Асимптотические решения рекуррентных соотношений.
3.5. Графы. Понятие графа. Элементы графа. Геометрическая реализация
графа. Теорема о вершинах конечного графа. Основные классы конечных графов
(простые графы, простые графы с петлями, полные графы, однородные графы,
двудольные и k-дольные графы, мультиграфы и псевдографы). Орграфы.
Помеченные и абстрактные графы. Матричные представления и изоморфизм графов.
Операции на множестве элементов графа. Операции на множестве графов.
Маршруты. Цепи и циклы. Связность и k-связность графов. Связность орграфов. Множества сочленения, разделяющие множества и разрезы. Помеченные графы.
Древовидные графы. Покрывающее дерево связного графа. Остовы графа.
Число помеченных деревьев. Корневые деревья. Ориентированные деревья.
Обходы графов. Эйлеровы графы. Алгоритм нахождения эйлерова цикла.
Гамильтоновы графы. Некоторые свойства гамильтоновых графов.
Метрические задачи в графах. Взвешенные графы. Экстремальные задачи
во взвешенных графах (минимальный поток в сети, поиск минимального остового дерева, поиск кратчайших маршрутов, задача коммивояжера).
Доминирующие множества вершин. Покрытия. Независимые множества
вершин. Клики. Покрывающие и независимые множества ребер. Паросочетания. Критерий двудольности. Паросочетания и трансверсали в двудольных
графах.
Укладки графов. Проблема планарности графов. Теорема Эйлера о плоском графе. Двойственность плоских графов. Графы из многоугольников. Критерии планарности. Реберные пересечения.
Раскраска графов. Раскраска граней плоского графа. Раскраска вершин
графа. Гипотеза четырех красок. Хроматический многочлен. Раскраска ребер
графа.
20
4. Список рекомендуемой литературы
Основная
1.
Клековкин Г.А., Перминов Е.А. Дискретная математика. Ч. 1: Комбинаторные конфигурации и комбинаторные числа. – Самара: СФ МГПУ, 2005.
2.
Клековкин Г.А., Перминов Е.А. Дискретная математика. Ч. 2: Рекуррентные соотношения и производящие
функции. – Самара: СФ МГПУ, 2005.
3.
Клековкин Г.А., Перминов Е.А. Дискретная математика. Ч. 3: Графы. – Самара: СФ МГПУ, 2005.
4.
Клековкин Г.А., Перминов Е.А. Дискретная математика. Ч. 4: Асимптотические оценки и приближения. –
Самара: СФ МГПУ, 2005.
Дополнительная
1.
Алексеев В.Е., Таланов В.А. Графы и алгоритмы. Структуры данных. Модели вычислений. – М.: Интернетуниверситет информационных технологий; БИНОМ, 2006.
2.
Андерсон Дж. А. Дискретная математика и комбинаторика. – М.: Изд. дом «Вильямс», 2003.
3.
Баранов В.И., Стечкин Б.С. Экстремальные комбинаторные задачи и их приложения. 2-е изд., исправ. и доп. –
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
4.
Виленкин Н.Я. Комбинаторика. – М.: Наука, 1969.
5.
Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике: Учебное пособие. – 3-е изд.,
перераб. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
6.
Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. 2-е изд., исправ. – М.:
Мир; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.
7.
Ежов И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Элементы комбинаторики.– М.: Наука, 1977.
8.
Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. – М.: Наука, 1990.
9.
Кирсанов М.Н. Графы в Maple. Задачи, алгоритмы, программы. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
10. Кнут Д.Э. Искусство программирования, том I. Основные алгоритмы. 3-е изд. - М.: Изд. дом «Вильямс», 2004.
11. Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения / Под ред. К.А.Рыбникова – М.: Наука, 1982.
12. Мельников О.И. Занимательные задачи по теории графов: Учебно-методическое пособие. – Минск: Тетра
Системс, 2001.
13. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики: Учебное пособие. - М.: Изд. МАИ, 1992.
14. Оре О. Теория графов. – М.: Наука, 1980.
15. Сачков В.Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики. М.: МЦНМО, 2004.
16. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики: Учебник. – М.: ИНФРА-М; Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002.
17. Уилсон Р.Дж. Введение в теорию графов. – М.: Мир, 1977.
21
18. Харари Ф. Теория графов. 2-е изд. – М.: Едиториал УРСС, 2003.
19. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику: Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2003.
22
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
1. Пояснительная записка
Теория вероятностей – математическая дисциплина, изучающая закономерности, происходящие в массовых однородных случайных явлениях и процессах. Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные
явления, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Случайные
явления присутствуют во многих областях науки (физике, биологии, генетике,
агрономии, экономике, демографии, технике и т.д.), когда заранее невозможно
предсказать результат опыта. Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности,
теории массового обслуживания, в геодезии, астрономии, теории ошибок
наблюдений, теории автоматического управления, общей теории связи и во
многих других теоретических и прикладных науках.
Одним из важнейших моментов в деятельности руководителя, менеджера,
экономиста, инженера, педагога, социолога является принятие решений в
условиях неопределенности. При этом наиболее разработанным инструментарием является математическая статистика. Она используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов,
предупредительном и приемочном контроле качества продукции, обработке
социологических данных и для многих других целей. Математическая статистика получает в свое распоряжение объем экспериментальных опытных данных, относящихся к изучаемому случайному явлению. В основе математической статистики лежат методы теории вероятностей, она пользуется такими же
определениями и понятиями, как и теория вероятностей.
В результате студенты должны изучить основные законы теории вероятностей, овладеть методами математической статистики, уметь проводить статистическую обработку опытных данных.
Учебная дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» является одной из фундаментальных дисциплин математической подготовки. Она базируется на знаниях и навыках, полученных при изучении базового курса высшей математики.
Для статистической обработки данных студентам потребуется не только
знание основ высшей математики, но и владение навыками работы в электронных таблицах Excel и других статистических пакетах.
23
2. Требования к уровню освоения дисциплины
В результате изучения дисциплины студенты должны знать:
 основные понятия теории вероятностей;
 основные закономерности, которым подчиняются массовые случайные явления;
 виды случайных величин;
 числовые характеристики случайных величин;
 полигон и гистограмму;
 критерии согласия;
 теорию корреляции.
Студенты должны уметь:
 проводить сбор опытных данных;
 сортировать и анализировать данные;
 проводить статистическую обработку данных.
3. Содержание дисциплины
Относительная и статистическая частоты. Основные формулы комбинаторики. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность.
Независимые события. Вероятность появления хотя бы одного события.
Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Повторение испытаний.
Формула Бернулли. Формула Пуассона.
Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Наивероятнейшее число появлений события. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности.
Случайные величины (СВ), дискретные, непрерывные. Законы распределения дискретной и непрерывной величин. Функция распределения и плотность
распределения, их свойства, графики.
Числовые характеристики случайных величин, их свойства.
Основные законы распределения НСВ: биномиальный, пуассоновский,
равномерный, показательный законы распределения, их числовые характеристики. Понятие о законе больших чисел.
Нормальный закон распределения. Вероятность попадания СВ в заданный интервал. Правило «трех сигм». Теоремы Чебышева, Бернулли. Предельные теоремы закона больших чисел. Теорема Ляпунова.
Двумерная СВ (х,у). Таблица распределения двумерной ДСВ (х,у). Закон
распределения двумерной СВ. Ковариация. Коэффициент корреляции, свойства.
Линейная регрессия.
Предмет математической статистики. Выборка, статистический ряд распределения. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
Линия эмпирической плотности.
24
Числовые характеристики статистических распределений: характеристики
положения, характеристики рассеяния.
Основные понятия о точечных оценках параметров распределения. Качество оценки. Оценка математического ожидания и дисперсии. Исправленная
дисперсия.
Интервальные оценки параметров распределения. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Доверительный интервал при большом и малом объемах выборки. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания. Распределение Стюдента.
Проверка статистических гипотез. Нулевая, альтернативная гипотезы. Варианты расположения критической области. Квантили распределения. Уровень
значимости.
Проверка гипотезы о виде закона распределения. Критерий согласия Пирсона.  2 -квадрат распределение. Теоретические частоты. Схема проверки гипотезы о выбранном законе распределения.
Корреляционный анализ. Функциональная и корреляционная зависимости. Корреляционная таблица. Уравнение регрессии. Коэффициент корреляции, его смысл, прогноз значения результативного признака.
Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции. Выборочное
уравнение регрессии, построение графиков на корреляционном поле, анализ.
Схема выполнения типового расчета: «Статистический анализ данных с использованием пакета Microsoft Excel».
4. Список рекомендуемой литературы
Основная
1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 2000.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2000.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.:
Высшая школа, 2000.
4. Беликов А. А., Болдырева М.Х, Горелова В.В., Карпухин Ю.П., Клековкин Г.А. Основы теории вероятности. –
Самара: СФ МГПУ, 2004.
Дополнительная
1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. - М., 2004.
2. Горелова Г.В., Кацко И.А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с примерами Excel. – Ростов-на-Дону, 2005.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа,
1999.
25
4. Ермаков В.И. Сборник задач по высшей математике. – М., 2002.
5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Интеграл-Пресс, 2001.
26
ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
1. Пояснительная записка
Учебная дисциплина «Теория алгоритмов» базируется на знаниях и
умениях, полученных при изучении следующих профессиональных и специальных дисциплин: высшая математика, математическая логика, абстрактная и компьютерная алгебра, теоретические основы информатики.
Общеобразовательная ценность дисциплины определяется тем. Что
она направлена на усвоения интуитивного понятия алгоритма и необходимости его математического уточнения, изучение таких уточнений, а также
знакомство с рядом важных алгоритмически неразрешимых проблем, как в
самой теории алгоритмов, так и в других областях математики.
Методологическое значение дисциплины определяет изучение алгоритмически неразрешимых проблем в математике. Идейная ценность курса
теории алгоритмов возрастает благодаря тесной связи с математической
логикой, с проблематикой оснований математики.
Для развития алгоритмической интуиции, необходимой в будущей
профессиональной деятельности, важную роль играет формирование у ст удентов интуитивного понятия алгоритма в математике, а также таких понятий, как вычислимость, разрешимость, перечислимость, алгоритмическая
сводимость.
Связь теории алгоритмов с другими математическими дисциплинами
обусловлена тем, что конкретные алгоритмы встречаются в различных о бластях математики. Особую связь имеет теория алгоритмов с информатикой, представляя собой определенную теоретическую базу для науки о
компьютерах.
Цель изучения дисциплины:
 овладение основными понятиями теории алгоритмов;
 формирование представлений об алгоритмах в математике, алгоритмически разрешимых и неразрешимых проблемах;
 развитие алгоритмического мышления, алгоритмической культуры,
алгоритмической интуиции;
 обеспечение теоретической базы алгоритмической составляющей
школьного курса математики.
Задачи изучения дисциплины:
 сформировать интуитивное понятие алгоритма в математике и понимание необходимости его математического уточнения;
 познакомить с основными математическими уточнениями понятия алгоритма: частично рекурсивными функциями, машинами Тьюринга;
27
 изучить примеры алгоритмически неразрешимых проблем в теории
алгоритмов;
 познакомить с некоторыми алгоритмически неразрешимыми проблемами в других областях математики.
2. Требования к уровню освоения дисциплины
В результате изучения дисциплины студенты должны знать:
 основные определения и теоремы дисциплины;
 важнейшие черты алгоритмов в математике;
 примеры разрешимых и неразрешимых алгоритмических проблем из
теории алгоритмов и других разделов математики;
Студенты должны уметь:
 грамотно формулировать алгоритмические проблемы;
 приводить примеры, иллюстрирующие основные понятия теории
алгоритмов;
 доказывать основные теоремы курса;
 доказывать рекурсивность простейших арифметических функций,
предикатов, множеств;
 строить программы машин Тьюринга, вычисляющих простейшие
арифметические функции.
3. Содержание дисциплины
3.1. Введение. Интуитивное понятие алгоритма. Характерные свойства
алгоритмов. Примеры алгоритмов. Необходимость уточнения понятия алгоритма.
3.2. Вычислимость. Понятие вычислимой функции. Разрешимые и
перечислимые множества. Свойства перечислимых множеств. Теорема Поста (о разрешимом множестве). График вычислимой функции.
3.3. Формальная теория вычислимости. Рекурсивные функции.
Операторы: суперпозиции, примитивной рекурсии, минимизации (определения, примеры). Частично-рекурсивные функции. Свойства и график частично-рекурсивных функций. Универсальные частично-рекурсивные
функции. Теорема Клини (о нормальной форме).
3.4 Машина Тьюринга (описание и работа). Программа и функциональная схема машины Тьюринга. Алгоритм сложения натуральных чисел.
Применение машины Тьюринга к «словам». Вычислимые по Тьюрингу
функции. Тезис Тьюринга, алгоритмически неразрешимые проблемы: пример функции не вычислимой по Тьюрингу (проблема распознавания сам оприменимости).
28
Регистровые машины. Тезис Черча. Конечные и бесконечные машины.
3.5. Понятие программы. Нумерации. Эффективная нумерация программ. Теорема о параметризации. Существование универсальной программы. Два приложения универсальной программы.
3.6. Информационный поиск и организация информации. Простейшие механизмы (массивы, файлы, цепные списки). Простейшее действие
организации – сортировка. Компьютер фон Неймана (метод фон Неймана).
Диагональный метод.
3.7. Неразрешимые алгоритмические проблемы. Пример невычислимой функции. Теорема о существовании перечислимого, но не разрешимого
множества. Проблема останова. Примеры неразрешимых и неперечислимых
множеств. Алгоритмическая сводимость проблем. Примеры неразрешимых
алгоритмических проблем в математике и информатике:
 массовая алгоритмическая проблема;
 самоприменимые и несамоприменимые алгоритмы;
 проблема распознавания применимости алгоритма к исходному
данному;
 проблема распознавания аннулирования;
 проблема распознавания применимости;
 проблема распознавания равенства действительных чисел;
 теорема Коши о нуле знакопеременной непрерывной функции;
 10-я проблема Гильберта.
3.8. Общие понятия исчисления. Грамматики. Языки. Иерархия языков по-Хомскому. Задачи распознавания. Языки и машины.
3.9. Сложность вычисления. Сложность и основные меры сложности
вычисления. Теорема об ускорении. Классы сложности. Основы теории NP полноты (понятие о NP-полных задачах). Детерминированные и недетерминированные машины Тьюринга. Соотношения между классами P и NP.
Полиномиальная сводимость и NP - полные задачи. Теорема Кука. Применение теории NP-полноты для анализа сложности проблемы.
3.10. Приложение теории алгоритмов в информатике.
4. Список рекомендуемой литературы
Основная
1.
Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов: Учеб. пособие для студентов высш. учеб.
заведений. М.: Издательский центр «Академия», 2004.
29
2.
Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов: Учеб. пособие для
студентов высш. учеб. заведений. М.: Издательский центр «Академия», 2005.
3.
Лавров И.А. Логика и алгоритмы. – Новосибирск: Изд. Новосибирского ун-та, 1970.
4. Верещагин Н.К., Шень А. Вычислимые функции. – М.: МЦНМО, 1999.
5.
Верещагин Н.К., Шень А. Языки и исчисления. – М.: МЦНМО, 1999.
6. Верещагин Н.К., Шень А. Начала теории множеств. – М.: МЦНМО, 1999.
7. Лихтарников Л.М., Сукачева Т.Г. Математическая логика: Курс лекций. Задачник – практикум и решения. – СПб., 1999.
8. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. – 2-е изд. – М.: Наука 1986.
9. Матросов В.Л. Теория алгоритмов. – М.: Прометей, 1989.
10. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М.: Наука, 1979.
11. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике: Учебное пособие. – 3-е
изд., перераб. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
12. Лавров И.А., Максимова Л.Л Задачи по теории множеств, математической л огике и теории алгоритмов. – 5-е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
Дополнительная
1.
Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. – М.: Мир, 1994.
2.
Галкина В.А. Дискретная математика: комбинаторные методы оптимизации. - М.: Гелиос АВР, 2003.
3.
Глушков В.М, Цейтлин Г.Е.. Ющенко Е.Л. Алгебра. Языки. Программирование. – Киев: Наукова думка, –
1978.
4. Ершов Ю.Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели. – М.: Наука, 1980.
5.
Ершов Ю.Л. Теория нумераций. – М.: Наука 1977.
6. Ершов Ю.Л. Определимость и вычислимость. – Новосибирск: Научная книга, 1996.
7. Катленд Н. Вычислимость. Введение в теорию рекурсивных функции. – М.: Мир. 1983.
8. Марков А.Л, Нагорный Н.М. Теория алгорифмов. – М.: Наука 1984.
9. Петер Р. Рекурсивные функции. – М.: ИЛ 1954.
10. Роджерс Х. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. - М.: Мир 1972.
11. Справочная книга по математической логике. Т. 1-4. – М.: Наука, 1982,1983.
30
12. Соар Р.И. Вычислимо перечислимые множества и степени. – Казань: Казанское математическое общво, 2000.
13. Успенский В.Л. Лекции о вычислимых функциях. – М.: Физматгиз, 1960.
31
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
1. Пояснительная записка
Цель изучения дисциплины  освоение основных идей методов, особенностей областей их применения, методики использования их как готового инструмента при проектировании, моделировании различных проце ссов, математической обработке данных, построении алгоритмов и организации вычислительных процессов на ПК.
Задачи изучения дисциплины  освоить приемы и навыки вычислительных процедур, научиться выбирать оптимальный численный метод р ешения данной задачи, давать оценку точности полученного решения.
Курс «Численные методы» в значительной степени опирается на базовые знания курсов «Математика», «Элементы абстрактной и компьютерной
алгебры», «Дискретная математика». Изучение курса важно для дальнейшего освоения курсов «Теория вероятностей и математическая статистика», «Компьютерное моделирование», дисциплин, изучающих языки программирования.
При изучении данного курса представляется целесообразным использовать пакеты прикладных программ для математических и научных расч етов, ориентированных на широкие круги пользователей.
2. Требования к уровню освоения дисциплины
В результате изучения дисциплины студенты должны знать:
 основные понятия теории погрешностей,
 основные методы приближенного решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений,
 методы численного решения линейных систем уравнений, способы
контроля вычислений,
 постановку задач интерполирования и численного интегрирования,
 основные численные методы решения дифференциальных уравнений;
 достоинства и недостатки различных численных методов,
 методы оценки погрешности результатов.
Студенты должны уметь:
 уметь производить действия с приближенными числами,
 отбирать метод для решения поставленной задачи,
 представить модель решения задачи в математическом и алгоритмическом виде;
32
 давать геометрические иллюстрации к различным численным методам и понятиям входящим в данный курс,
 пользоваться пакетами прикладных программ для решения поставленных задач,
 оценивать полную погрешность результата.
3. Содержание дисциплины
3.1. Теория погрешностей. Понятия: ошибки, абсолютной погрешности, относительной погрешности, предельной абсолютной погрешности,
предельной относительной погрешности. Примеры. Основные источники
погрешностей. Примеры. Вычисления со строгим учетом погрешностей:
теоремы о погрешности арифметических действий, погрешность степени и
корня, теорема дифференциального исчисления о погрешности функции.
Вычисления без строго учета погрешности. Понятия: верных цифр числа в
строгом и широком смысле, значащие цифры числа. Правила подсчета ве рных знаков.
3.2. Приближенное решение нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений. Понятие корня уравнения. Геометрический смысл
корня уравнения. Теоремы существования и единственности корня уравнения. Отделение корней. Графический способ. Геометрическая иллюстр ация. Метод проб. Метод хорд. Геометрическая иллюстрация. Оценка погрешности. Метод касательных. Геометрическая иллюстрация. Оценка погрешности. Комбинированный метод хорд и касательных. Геометрическая
иллюстрация. Оценка погрешности. Метод итерации. Геометрическая иллюстрация. Оценка погрешности. Приведение уравнения к виду, допускающему применение метода итераций.
3.3. Методы решения систем линейных уравнений. Метод Гаусса
для решения систем линейных уравнений с выбором главного элемента
(схема Жордано). Текущий и окончательный контроль вычислений. Уто чнение решения системы. Метод квадратных корней. Контроль вычислений.
Метод итерации. Оценка погрешности результата.
3.4. Интерполирование. Постановка задачи интерполирования. Единственность ее решения в классе многочленов. Интерполяционная формула
Лагранжа. Оценка погрешности. Конечные разности. Первая и вторая интерполяционные формулы Ньютона.
3.5. Численное дифференцирование. Постановка задачи. Общий случай вычисления производной произвольного порядка, неустранимая погрешность формул численного дифференцирования. Полная погрешность
результата.
33
3.6. Численное интегрирование. Постановка задачи. Геометрическая
иллюстрация. Формулы прямоугольников. Геометрическая иллюстрация.
Оценка погрешности. Формула трапеций. Геометрическая иллюстрация.
Оценка погрешности. Формула парабол (Симпсона). Геометрическая иллюстрация. Оценка погрешности. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
3.7. Численные методы решения дифференциальных уравнений.
Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта. Многошаговые методы. Численные
методы интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных, начальные и краевые условия.
4. Список рекомендуемой литературы
Основная
1. Исаков В.Н. Элементы численных методов. – М.: Академия, 2003.
2. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 2005.
3. Лапчик М.П., Рагулина М.И., Хеннер Е.К. Численные методы: Учебное пособие для вузов. – М.: Академия,
2005.
4. Волков Е.А. Численные методы. – М.: Высшая школа, 2003.
5. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Самарская Е.А. Задачи и упражнения по численным методам. – М.:
Эдиториал УРСС, 2000.
Дополнительная
1. Бахвалов Н.И., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: БИНОМ. Лаборатория базовых
знаний, 2003.
2. Бахвалов Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях. – М.: Высшая школа, 2000.
3. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. – М.: Мир, 2001.
4. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 2004.
5. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1970.
6. Аладьев В. Maple 6: Решение математических, статистических и физико-технических задач. + CD. –
М.: БИНОМ. Лаборатория базовых знаний, 2001.
34
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ
1. Пояснительная записка
Экономические реформы, связанные со становлением рыночных отношений в России, предполагают совершенствование планирование разв ития хозяйства. Для разработки направлений эффективного экономического
развития, необходимо владеть методами количественного моделирования
экономических процессов. Это нужно и для определения различных вар иантов экономического развития, как на ближайшую перспективу, так и при
разработке стратегических планов, когда учитываются крупные и долгосрочные мероприятия в сфере национальной экономики. Математическим
инструментарием для исследования перечисленных организационных задач
во многих случаях может служить достаточно эффективно развивающееся
в последнее время направление прикладной математики, получившее
название «исследование операций».
Цель изучения дисциплины – дать студентам представление о математическом аппарате исследования операций, а также показать сферы приложений методов исследования операций на наглядных примерах. Освоение
этого материала придаст студенту уверенность, если он с самого начала
направляет свои усилия на изучение философских аспектов и искусства
принятия решений. После приобретения глубоких знаний по математич еским основам исследования операций студент может повысить уровень
своей подготовки в данной области, изучая соответствующие публикации и
занимаясь практическим исследованием реальных проблем.
Достижение этой цели достигается путем решения следующих задач:
 изучение математических основ и методов линейного, нелинейного,
динамического программирования; теории игр и теории систем массового обслуживания (СМО);
 рассмотрение конкретных примеров приложений методов исследования операций.
2. Требования к уровню освоения дисциплины
В результате изучения дисциплины студенты должны знать:
 понятия задач линейного, нелинейного, динамического программирования;
 методы решения задач математического программирования;
 основы теории игр;
 основы теории СМО;
35
Студенты должны уметь:
 решать задачи математического программирования;
 решать задачи теории игр;
 решать задачи СМО.
2. Содержание дисциплины
2.1. Оптимизационные задачи в науке и технике. Однокритериальная и многокритериальная оптимизация.
2.2. Линейное программирование (ЛП). Задача об оптимальном использовании ресурсов. Общая и каноническая задачи ЛП; связь между ними. Сведение задачи ЛП к каноническому виду. Система ограничений и ее
решений. Теоремы ЛП Геометрическое решение задачи ЛП Симплексный
метод решения задачи ЛП Получение базисного решения.
Алгоритм симплексного метода. Частные случаи.
Составление двойственной задачи ЛП Основные теоремы двойственности. Определение решения двойственной задачи через решение прямой
задачи ЛП Экономическая интерпретация двойственности.
Транспортная задача (замкнутая и незамкнутая модели). Сведение незамкнутой модели к замкнутой. Метод минимального элемента получения
опорного плана транспортной задачи. Метод потенциалов.
2.3. Динамическое программирование (ДП). Задачи и методы Д.П.
Условие отсутствия последействия и аддитивности целевой функции.
Принцип оптимальности Беллмана. Определение наивыгоднейшего пути
между двумя пунктами. Задача о распределении ресурсов. Задача о замене
оборудования. Задача целочисленного программирования. Задача о загрузке контейнера. Принцип оптимальности. Последовательность решения задач ДП.
2.4. Нелинейное программирование. Экономическая и геометрическая
интерпретация задачи нелинейного программирования. Метод множителей
Лагранжа. Выпуклое программирование. Теорема Куна-Таккера. Квадратичное программирование. Численные методы в задачах нелинейного программирования. Метод деформированного многогранника. Градиентные
методы (условного градиента, штрафных функций). Многокритериальные
задачи. Сведение к задаче с одним критерием.
2.5. Марковские случайные процессы. Понятие о Марковском процессе. Потоки событий. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.
Финальные вероятности состояний.
36
2.6. Системы массового обслуживания (СМО). СМО и их характеристики. Схема размножения и гибели. Формула Литтла. Многоканальная
СМО с отказами. Одноканальная СМО с неограниченной очередью.
2.7. Введение в теорию игр. Основные задачи теории игр. Платежная
матрица. Нижняя и верхняя цены игры. Антагонистические матричные игры. Стратегии: чистые, смешанные, оптимальные. Итерационные методы
решения конечных игр. Геометрический метод решения игровой задачи с
матрицей размера 2 2 . Задачи теории статистических решений. Критерий
выбора оптимального решения.
4. Список рекомендуемой литературы
Основная
1. О.А.Косоруков А.,В. Мищенко Исследование операций. – М.: Экзамен, 2003.
2. Акулич И.С. Математическое программирование в примерах и задачах. М: Высшая школа, 1986.
3. Вентцель Е.С. Исследование операций – М.: Дрофа, 2004.
4. Костевич Л.С. Математическое программирование. – Мн.: Новое знание, 2003.
5. Крушевский А.В. Теория игр. – Киев: Вища школа, 1977.
6. Кузнецов А.В. и др. Математическое программирование. – Мн.: Вышэйш. шк., 1984.
Дополнительная
1. Айзекс Р. Дифференциальные игры. – М.: Мир, 1967
2. Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов кибернетиков. – М.: Наука, 1985.
3. Давыдов Э. Г. Методы и модели теории антагонистических игр. – М.: Изд-во МГУ, 1978.
4. Дюбин Г.Н., Суздаль В.Г. Введение в прикладную теорию игр. – М.: Наука, 1981.
5. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. – М.: Мир, 1964.
6. Крушевский А.В. Теория игр, – Киев: Вища школа, 1977.
7. Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. – М.: Физматгиз, 1960.
8. Оуэн Г. Теория игр. – М.: Мир, 1977.
9. Петросян Л.А. и др. Теория игр. – М.: Высш. шк.; Книжный дом «Университет», 1998.
37
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
1. Пояснительная записка
Можно без большого преувеличения сказать, что всё, что нас окружает, описывается уравнениями в частных производных или уравнениями
математической физики. Методы математической физики являются неотъемлемой частью современной фундаментальной и прикладной науки, и относится к традиционным теоретическим методам. Уравнения с частными
производными образуют сегодня огромную область математики, использующую методы всей остальной математики (от которой эта область нео тделима) и оказывающую обратное влияние на развитие как самой математики, так и физики, химии, биологии и других наук.
Учебная дисциплина «Уравнения математической физики» является
одной из основных дисциплин в цикле специальных и базируется на знаниях и навыках, полученных при изучении следующих профессиональных и
специальных дисциплин: «Математика» и «Физика».
Цель курса  расширить представления студентов о математическом
моделировании различных процессов (явлений), необходимом в их дальнейшей профессиональной и научно-исследовательской деятельности.
Основные задачи курса:
 ознакомить студента с основными типами дифференциальных уравнений с частными производными и процессами (явлениями), которые ими моделируются.
 ознакомить студента с основными методами решения дифференциальных уравнений с частными производными.
 дать студенту глубокие и систематизированные знания, необходимые для корректной постановки задач и выбору методов их решения
при моделировании различных процессов в различных областях
науки.
2. Требования к уровню освоения дисциплины
В результате изучения дисциплины студенты должны знать:
 основные типы уравнений с частными производными;
 постановку основных краевых задач для уравнения колебаний струны, уравнения распространения тепла в стержне, уравнения Лапласа;
 основные методы решения краевых задач для уравнений математической физики;
38
Студенты должны уметь:
 определять тип уравнения с частными производными второго порядка;
 решать краевые задачи для волнового уравнения методом Даламбера;
 применять метод Фурье к решению различных краевых задач;
 решать задачи Дирихле для круга, цилиндра, шара.
3. Содержание дисциплины
3.1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях с частными
производными. Дифференциальные уравнения с частными производными.
Порядок уравнения. Решение уравнения. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения с частными производными, свойства
их решений. Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка Уравнения гиперболического, параболического, эллиптич еского типов. Колебательные процессы, процессы теплопроводности, установившиеся процессы − уравнение Лапласа. Приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду. Постановка основных задач для л инейных дифференциальных уравнений второго порядка. Начальные условия. Задача Коши. Краевая задача Дирихле, Краевая задача Неймана. Смешанная краевая задача. Корректность постановки задачи по Адамару.
3.2. Уравнения гиперболического типа. Уравнение колебаний струны.
Метод бегущих волн. Решение Даламбера. Решение задачи Коши для неограниченной струны. Формула Даламбера. Исследование формулы Даламбера. Корректность постановки задачи. Пример Адамара некорректно
поставленной задачи. Метод Фурье (Метод разделения переменных). Свободные колебания однородной струны, закрепленной на концах. Вынужденные колебания струны, закрепленной на концах. Вынужденные колебания струны с подвижными концами.
3.3. Уравнения параболического типа. Уравнение теплопроводности.
Задача Коши для уравнения теплопроводности. Фундаментальное решение
уравнения теплопроводности. Распространение тепла в конечном стержне.
Метод Фурье для уравнения теплопроводности.
3.4.Уравнения эллиптического типа. Уравнение Лапласа в декартовых и криволинейных координатах. Двойные, криволинейные интегралы.
Формулы Грина. Интегральная формула Грина. Гармонические функции.
Свойства гармонических функций. Первая, вторая и третья краевые задачи
для уравнения Лапласа. Фундаментальное решение для уравнения Лапласа.
Специальные функции. Решение задачи Дирихле для круга, цилиндра, шара
методом Фурье. Интеграл Пуассона.
39
4. Список рекомендуемой литературы
Основная
1. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. – М, 2002.
2. Голосков Д.П. Уравнения математической физики. – С-Пб, 2004.
3. Краснов М.Л., Киселёв А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И. Вся высшая математика. Т. 1-6. –
М.: УРСС, 2005.
4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Т. 1-3. –М.: Дрофа, 2004.
5. Несис Е.И. Методы математической физики. – М.: Просвещение, 1977.
6. Афанасьев В.И., Зимина О.В., Кириллов А.И., Петрушенко И.М., Сальникова Т.А. Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. – М.: Физматлит, 2006.
7. Карпук А.А., Жевняк Р.М. Сборник задач по специальным главам высней математики.  Минск: Харвест, 2006.
Дополнительная
1. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1976.
2. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физике. – М.: Наука,
1985.
3. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных Интегральные уравнения: Учеб. пособ. / Вуколов Э.А., Земсков И.Н. и др.: Под ред. А.В. Ефимова. –
М.: Наука, 1990.
4. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической
физики. – М.: Физматгиз, 1962.
5. Олейник О.А. Лекции об уравнениях с частными производными. – М.: Бином, 2005.
6. Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики. – М.: МЦНМО, 2003.
40
ФИЗИКА
1. Пояснительная записка
Цель изучения дисциплины  познакомить студентов с физическими основами механики, колебаний и волн, молекулярной физики и термодинамики,
электричества и магнетизма, оптики, атомной и ядерной физики; способствовать формированию представлений о единстве материального мира, его познаваемости; способствовать развитию интеллектуальных и творческих способностей будущих специалистов.
Задачи изучения дисциплины:
 Формировать у студентов систему научных взглядов об общих закономерностях явлений природы, свойствах и строении материи и законах
ее движения.
 Развивать логическое и креативное мышление у студентов.
 Способствовать формированию профессиональной готовности специалистов к реализации основных видов профессиональной деятельности:
учебно-воспитательной,
социально-педагогической,
культурно-просветительной, научно-методической, организационно-управленческой.
Учебная дисциплина «Физика» является одной из основных дисциплин в
цикле естественнонаучных и базируется на знаниях и умениях, полученных
при изучении курса физики на ступени общего полного образования, создает
основу для изучения учебной дисциплины «Концепции современного естествознания».
Для успешного освоения учебной дисциплины «Физика» студенту необходимо знать основы математического анализа, теории вероятности и математической статистики, владеть основами компьютерной грамотности.
2. Требования к уровню освоения дисциплины
В результате изучения дисциплины студенты должны:
Иметь представление:
 о месте физического знания в системе наук о природе;
 о воздействии физики на технику и общественную жизнь.
Знать:
 физические основы механики, колебаний и волн, молекулярной физики и термодинамики, электричества и магнетизма, оптики, атомной и ядерной физики.
 способы решения физических задач;
Студенты должны уметь:
 использовать полученные знания для объяснения физических явлений и процессов, решения практических задач.
41
3. Содержание дисциплины
Физические основы механики
Кинематика материальной точки. Механическое движение. Скорость.
Ускорение. Поступательное движение твердого тела.
Динамика материальной точки. Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона. Сила и масса. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона. Силы. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести и вес. Упругие силы.
Силы трения.
Законы сохранения. Закон сохранения импульса. Энергия и работа. Кинетическая энергия. Консервативные силы. Потенциальная энергия. Закон сохранения энергии. Соударение тел. Момент силы. Закон сохранения момента
импульса.
Механика твердого тела. Кинематика вращательного движения. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции. Теорема Штейнера. Кинетическая энергия вращения твердого тела.
Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции. Центробежная сила
инерции. Сила Кориолиса.
Механика жидкостей. Закон Паскаля. Закон Архимеда. Уравнение движения (уравнение Эйлера) жидкости и газа. Уравнение неразрывности. Уравнение Бернулли. Силы внутреннего трения. Вязкость жидкости. Течение жидкости: ламинарное и турбулентное.
Элементы специальной теории относительности (СТО). Принцип относительности Галилея. Постулаты СТО. Преобразования Лоренца. Релятивистский импульс. Релятивистское выражение для энергии. Взаимосвязь массы и энергии. Границы применимости ньютоновской механики.
Физические основы молекулярной физики и термодинамики
Молекулярно-кинетическая теория. Состояние термодинамической системы. Процесс. Молекулярно-кинетические представления. Уравнение состояния идеального газа. Давление газа на стенку сосуда.
Первое начало термодинамики. Внутренняя энергия термодинамической системы. Работа, совершаемая телом при изменениях его объема. Первое
начало термодинамики. Внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа.
Уравнение адиабаты идеального газа. Политропические процессы. Работа, совершаемая идеальным газом при различных процессах.
Явления переноса. Длина свободного пробега молекул. Молекулярнокинетическая теория явлений переноса.
Статистические распределения. Функция распределения вероятности.
Распределение Максвелла. Распределение Больцмана.
Второе начало термодинамики. Микро- и макросостояния. Статистический вес. Энтропия идеального газа. Второе начало термодинамики. Коэффициент полезного действия тепловой машины. Цикл Карно.
42
Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Фазовые превращения.
Твердое и жидкое состояния. Физические типы кристаллов. Строение
жидкостей. Поверхностное натяжение. Капиллярные явления.
Физические основы электричества и магнетизма
Электрическое поле в вакууме. Электрический заряд. Закон Кулона.
Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Теорема Гаусса.
Применение теоремы Гаусса к расчету полей. Потенциал электростатического
поля. Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом.
Электрическое поле в диэлектриках. Электрическое поле диполя. Поляризация диэлектриков. Электрическое смещение. Сегнетоэлектрики.
Проводники в электрическом поле. Равновесие зарядов на проводнике.
Электроемкость уединенного проводника. Конденсаторы.
Энергия электрического поля. Энергия системы точечных зарядов.
Энергия заряженных проводников. Энергия электрического поля.
Постоянный электрический ток. Электрический ток. Электродвижущая сила. Закон Ома. Правила Кирхгофа. Закон Джоуля-Ленца. Классическая
теория электропроводности металлов. Электрический ток в газах.
Магнитное поле в вакууме. Магнитное поле. Магнитная индукция. Закон
Био-Савара-Лапласа. Закон Ампера. Сила Лоренца. Контур с током в магнитном поле. Движение заряженных частиц в магнитном поле.
Магнитное поле в веществе. Намагничивание вещества. Напряженность
магнитного поля. Диа- и парамагнетизм. Ферромагнетизм.
Уравнения Максвелла. Вихревое электрическое поле. Ток смещения.
Уравнения Максвелла.
Физические основы колебаний и волн
Колебательные процессы. Колебания в природе и технике. Гармонические колебания. Маятник. Электрический колебательный контур. Затухающие
колебания. Вынужденные колебания.
Волновые процессы. Волны в упругой среде. Волновое уравнение. Энергия упругой волны. Звуковые волны. Электромагнитные волны.
Физические основы оптики
Интерференция света. Электромагнитная природа света. Когерентность. Интерференционная картина от двух источников. Интерференция света
при отражении от тонких пленок. Интерферометры.
Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракция Френеля на
простейших преградах. Дифракция Фраунгофера на щели. Дифракционная
решетка.
Поляризация света. Естественный и поляризованный свет. Поляризация
света при отражении и преломлении. Поляризация света при двойном лучепреломлении.
43
Распространение света в веществе. Дисперсия света. Поглощение и
рассеяние света. Эффект Вавилова-Черенкова.
Квантовая природа излучения. Законы излучения. Формула Планка. Фотоэффект. Эффект Комптона.
Физические основы атомной и ядерной физики
Физика атомов и молекул. Опыты Резерфорда. Теория Бора. Атом водорода. Принцип Паули.
Излучения и спектры. Спектры атомов и молекул. Вынужденное излучение. Лазеры.
Атомное ядро. Состав и характеристика атомного ядра. Дефект массы и
энергия связи ядра. Ядерные силы. Радиоактивность. Ядерные реакции. Деление ядер. Синтез атомных ядер.
Элементарные частицы. Виды взаимодействий и классы элементарных
частиц. Единая теория взаимодействий.
4. Список рекомендуемой литературы
Основная
1. Савельев И.В. Курс физики: Учебное пособие. В 3-х тт. – СПб: Лань, 2007.
2. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике: Учеб. Пособие. - СПб: Лань, 2007.
3. Детлаф А.А., Яворский В.М. Курс физики: В 3-х тт. – М.: Высшая школа, 2005.
Дополнительная
1. Гладской В.М., Самойленко П.И. Сборник задач по физике с решениями: пособие для втузов. – М.: Дрофа, 2007.
2. Курс общей физики: В 3-х тт. – Киев: Изд-во «Днипро», 1994.
3. Матвеев А.Н. Механика. – М.: Высшая школа, 1985.
4. Матвеев А.Н. Оптика. – М.: Высшая школа, 1985.
5. Сборник задач по общей физике / Н.Г.Птицына, Н.В.Соина, Г.Н.Гольцман и др.; Под ред Е.М.Гершензона. – М.:
Изд. центр «Академия», 2002.
6. Сивухин Д.В. Общий курс физики: В 3-х тт. – М.: Наука, 1986.
Содержание
МАТЕМАТИКА ....................................................................................................... 3
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ............................................................................ 7
ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ ................... 11
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА .......................................................................... 17
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА .......... 23
ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ ...................................................................................... 27
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ...................................................................................... 32
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ .......................................................................... 35
44
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ................................................ 38
ФИЗИКА.................................................................................................................. 41
45
СБОРНИК
УЧЕБНЫХ ПРОГРАММ
Специальность 050202.65 Информатика
Математика
Математическая логика
Элементы абстрактной и компьютерной алгебры
Дискретная математика
Теория вероятностей и математическая статистика
Теория алгоритмов
Численные методы
Уравнения математической физики
Исследование операций
Физика
Издательство Московского городского педагогического университета:
г. Москва, Второй Сельскохозяйственный пр., 4.
Лицензия ЛР № 07891 от 08.06.1999
Самарский филиал МГПУ: 443084, г. Самара,
ул. Ново-Вокзальная, 213
Подписано в печать 15.12.07 г.
Формат 60  84 1 16 . Бумага офсетная. Печать оперативная.
Усл. печ.л. 2,6., печ.л. 2,5 Тираж 100 экз.
Отпечатано в Издательском центре СФ МГПУ
46
Департамент образования города Москвы
Самарский филиал
Государственного образовательного учреждения
высшего профессионального образования города Москвы
«Московский городской педагогический университет»
СБОРНИК
УЧЕБНЫХ ПРОГРАММ
Специальность 050202.65 Информатика
Математика
Математическая логика
Элементы абстрактной и компьютерной алгебры
Дискретная математика
Теория вероятностей и математическая статистика
Теория алгоритмов
Численные методы
Уравнения математической физики
Исследование операций
Физика
Самара 2007
47
48