Математическая логика - Учебно

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ, ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК И
ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Дёгтев А.Н.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов очной формы обучения,
направление 030100.62 «Философия»,
профиль подготовки «Социально - аксиологический».
Тюменский государственный университет
2011
Дёгтев
А.Н. Математическая
логика.
Учебно-методический
комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы обучения,
направления 030300.62 «Философия», профиль подготовки «Социально –
аксиологический». Тюмень, 2011, 12 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС
ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю
подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ:
«Математическая логика» [электронный ресурс] http://www.umk3.utmn.ru /
Режим доступа: свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики.
Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного
университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Кутрунов В.Н., д. ф.-м. н., профессор.
© Тюменский государственный университет, 2011.
© Дёгтев А.Н.., 2011.
2
1. Пояснительная записка:
1.1. Цели и задачи дисциплины.
Дисциплина "Математическая логика " обеспечивает приобретение знаний и
умений в соответствии с Федеральным государственным образовательным
стандартом, содействует фундаментализации образования, формированию
мировоззрения и развитию логического мышления.
Цели дисциплины:
- овладение студентами математическим аппаратом, необходимым для
применения математических методов в практической деятельности и в
исследованиях;
- ознакомление студентов с понятиями, фактами и методами, составляющими
теоретические основы информатики;
- развитие логического мышления;
- обеспечение студентов знаниями по математической логике, необходимые для
понимания математики, теории вероятностей и других математических дисциплин.
Задачи изучения дисциплины:
- изучить материал дисциплины;
- усвоить основные понятия и методы, изучаемые в процессе освоения
материала дисциплины;
- приобрести навыки самостоятельного решения задач различной степени
сложности;
- выработать умение проводить анализ полученных в процессе решения фактов
и результатов;
- обобщить и систематизировать полученные знания, умения и навыки.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата.
Дисциплина «Математическая логика» входит в цикл естественнонаучных дисциплин
вариативной части Федерального государственного образовательного стандарта высшего
профессионального образования (ФГОС ВПО) по направлению «Философия».
Дисциплина «Математическая логика» базируется на знаниях, полученных в рамках
школьного курса математика или соответствующих дисциплин среднего профессионального
образования. Для ее успешного изучения необходимы также знания и умения,
приобретенные в результате освоения фундаментальной и компьютерной алгебры.
В ходе изучения дисциплины «Математическая логика» студенты должны усвоить
основные понятия и методы математической логики, получить основные сведения о
структурах, используемых в персональных компьютерах.
Освоение дисциплины предусматривает приобретение навыков работы с
соответствующими учебниками, учебными пособиями, монографиями, научными статьями.
На основе приобретенных знаний формируются умения применять математические
методы при решении профессиональных задач повышенной сложности, владеть методами
построения математической модели профессиональных задач и содержательной
интерпретации полученных результатов.
Знание математической логики может существенно помочь в научноисследовательской работе.
3
1.3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате
освоения данной ООП ВПО.
В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать
следующими компетенциями:
способность использовать в профессиональной деятельности знание из области
естественнонаучных дисциплин (ОК-7);
способность
приобретать
новые
знания,
используя
современные
образовательные и информационные технологии (ОК-8);
умение использовать в профессиональной деятельности знание традиционных
и современных проблем: логики (логический анализ естественного языка, классическая
логика высказываний и предикатов, основные типы неклассических логик,
правдоподобные рассуждения, основные формы и приёмы рационального познания)
(ПК-1) .
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
 Знать: основные понятия математической логики , определения и свойства
математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы их
доказательства, возможные сферы их приложений, основы компьютерного
моделирования стохастических объектов и явлений.
 Уметь: решать задачи вычислительного и теоретического характера в
области математической логики и теории алгоритмов, доказывать утверждения из
этой области.
 Владеть: математическим аппаратом логики и теории алгоритмов, методами
решения задач и доказательства утверждений в этой области.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 3. Форма промежуточной аттестации: зачет. Общая трудоемкость
дисциплины составляет 2 зачетные единицы, 72 часа.
3. Тематический план.
Таблица 1.
Тематический план.
1
1.1.
1.2.
2.1.
2.2.
2.3.
2
Модуль 1
Булевы функции и логика
высказываний.
Исчисление высказываний.
Всего
Модуль 2
Логика предикатов.
Фильтры, теорема компактности.
Исчисление предикатов.
Всего
Модуль 3
3
4
Самостоятельн
ая работа*
Лекции*
недели семестра
Тема
Семинарские
(практические)
занятия*
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
№
Ито
го
час
ов
по
тем
е
Из
них в
интер
актив
ной
форм
е
Итого
количе
ство
баллов
5
7
8
9
10
1–5
5
4
4
13
2
0 – 25
6–8
3
8
4
8
8
12
15
28
2
0 – 25
0 – 50
2
2
2
6
2
2
2
6
4
4
4
12
8
8
8
24
2
2
4
0–2
0–4
0 – 14
0 – 20
9 – 10
11 - 12
13 – 14
4
3.1.
3.2.
Частично рекурсивные функции.
Машина Тьюринга.
Всего
Итого (часов, баллов):
Из них часов в интерактивной
форме
15 – 16
17 – 18
2
2
4
18
2
2
4
18
8
6
6
12
18
10
10
20
72
1
1
2
8
0 – 10
0 – 20
0 – 30
0 – 100
Таблица 2.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля.
Модуль 1
1.1.
1.2.
Всего
Модуль 2
2.1.
2.2.
2.3.
Всего
Модуль 3
3.1.
3.2.
Всего
Итого
-
Итого
количество
баллов
реферат
тест
Компьютерное
моделирование
ответ на
семинаре
дискуссии
Письменные работы
контрольная
работа
Устный опрос
собеседование
№ темы
0-5
0-5
0-10
0-15
0-15
0-30
0-5
0-5
0-5
0-5
0 – 25
0 – 25
0 – 50
-
-
0–2
0–4
0 – 14
0 – 20
0-5
0-4
0-4
0-9
0 – 10
0 – 20
0 – 30
0 – 100
-
0-2
0-2
0-4
0-2
0-2
0-2
0-6
0-10
0-10
0-2
0-2
0-2
0-4
0-4
0-5
0-9
0-25
0-40
0-15
0-15
0-15
Таблица 3.
Планирование самостоятельной работы студентов.
№
Модули и темы
Модуль 1
1.1
Булевы функции и логика
высказываний.
1.2
Исчисление высказываний.
Виды СРС
обязательные
дополнительные
Проработка
лекций, работа с
литературой,
решение
типовых задач
Подготовка
рефератов,
составление задач
Неделя
семестра
Объем
часов
1–5
4
6–8
8
12
0-10
9 – 10
11-12
4
4
0-2
0-2
13 – 14
4
12
0-2
0-6
15 – 16
6
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1
Логика предикатов.
2.2
Фильтры, теорема
компактности.
2.3
Исчисление предикатов.
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1
Частично рекурсивные
функции.
Проработка
Написание
лекций, работа с
литературой,
решение
типовых задач
программы
Проработка
лекций, работа с
литературой,
решение
Кол-во
баллов
0-10
5
3.2
Машина Тьюринга.
типовых задач
Подготовка
рефератов
17 – 18
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
6
0-9
12
36
0-9
0-25
4. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами.
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
5.
Наименование
обеспечиваемых
(последующих)
дисциплин
Начальная математика
в философском
осмыслении
Основы экологии
Философия экологии
Интернет - технологии
Философия языка
Теория аргументации
Эристика
Темы
дисциплины
необходимые
для
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.1
1.2
2.1
2.2
2.3
3.1
+
+
+
+
+
+
+
3.2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
изучения
+
+
+
+
Содержание дисциплины.
Модуль 1.
Тема 1.1. Булевы функции и логика высказываний.
Функции алгебры логики. Формулы. Представление функций формулами.
Замыкание множества функций. Замкнутые классы. Равенство функций. Эквивалентность формул.
Элементарные функции и их свойства. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
Совершенная конъюнктивная нормальная форма. Полные системы функций. Достаточное условие
полноты. Примеры полных систем. Функции, сохраняющие константы. Самодвойственные
функции и их свойства. Монотонные функции и их свойства. Теорема Поста о полноте системы
булевых функций.
Тема 1.2. Исчисление высказываний.
Высказывания и операции над ними. Аксиомы классического исчисления высказываний.
Схемы аксиом. Правила вывода. Вывод. Выводимые формулы. Вывод из системы гипотез.
Простые свойства выводимости. Примеры вывода.. Тождественная истинность выводимых
формул. Непротиворечивость классического исчисления высказываний. Теорема о полноте.
Модуль 2.
Тема 2.1. Логика предикатов.
Понятие предиката. Логические операции над предикатами; кванторы. Формулы;
свободные и связанные переменные. Модель, сигнатура модели. Значение формулы в модели.
Формула, истинная в модели. Тождественно истинная формула. Правила эквивалентных
преобразований формул логики предикатов. Нормальная форма. Приведение формул к
нормальной форме.
Тема 2.2. Фильтры, теорема компактности.
Фильтры, максимальные фильтры. Теорема о вложении фильтров. Теорема об
ультрафильтрах. Фильтрованные произведения, ультрапроизведения. Теорема об
6
ультрапроизведениях. Теорема компактности. Предложение о бесконечных моделях.
Нестандартные арифметики.
Тема 2.3. Исчисление предикатов.
Аксиомы классического исчисления предикатов. Правила вывода. Выводимые формулы.
Примеры вывода. Тождественная истинность выводимых формул. Непротиворечивость
классического исчисления предикатов. Теорема Гёделя о полноте.
Модуль 3.
Тема 3.1. Частично рекурсивные функции.
Частичные числовые функции. Простейшие функции. Операции суперпозиции и
примитивной рекурсии. Примитивно рекурсивные функции. Операция минимизации. Частично
рекурсивные функции, общерекурсивные функции. Тезис Чёрча. Теорема о совпадении класса
частично рекурсивных функций и класса частичных числовых функций, вычислимых по
Тьюрингу. Рекурсивные множества, разрешимые предикаты, рекурсивно перечислимые
множества.
Тема 3.2. Машина Тьюринга.
Машина Тьюринга и универсальные функции. Сводимости и степени. Сводимость
по Тьюрингу, степени неразрешимости.
Планы семинарских занятий.
Тема 1.1. Булевы функции и логика высказываний. Основные бинарные
отношения: эквивалентность и частичный порядок. Принципы трансфинитной индукции,
максимума и теорема об эквивалентностях. Задание булевых функций, контактнорелейные схемы. Предложения о КНФ и ДНФ. Теорема об описании предполных классов
Поста..
Тема 1.2. Исчисление высказываний. Формулировка ИВ: алфавит, формулы,
секвенции доказуемые и правила вывода, доказательство секвенций. Вспомогательные
леммы и теоремы о полноте ИВ а узком и широком смыслах.
Тема 2.1. Логика предикатов. Язык логики предикатов. Истинность формул в
системах данной сигнатуры. Эквивалентные и конгруэнтные и формулы. Основные
эквивалентности. Приведение формул к предваренному виду.
Тема 2.2. Фильтры и фильтрованные произведения. Фильтры и ультрафильтры.
Теорема о вложении фильтров в ультрафильтры и описание ультрафильтров. Понятие
фильтрованного произведения систем. Теоремы об ультрапроизведениях и компактности.
Предложения о нестандартных арифметиках и бесконечных моделях.
Тема 2.3. Исчисление предикатов. Формулировка исчисления, предварительные
результаты. Две леммы и теорема о существовании модели непротиворечивого множества
формул. Теоремы о полноте ИП и независимости аксиом.
Тема 3.1. Вычислимые функции. Тезис Чёрча. Частично рекурсивные функции.
Общерекурсивные функции. Рекурсивно перечислимые множества и их классы.
Тема 3.2. Машина Тьюринга. Сводимости.
6.
7.
Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не планируются.
8.
Примерная тематика курсовых.
Не планируются.
7
Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
a) Текущая аттестация:
 контрольные работы проводятся на семинарах;
 тестирование (письменное или компьютерное) по разделам дисциплины;
b) Промежуточная аттестация:
 тестирование по дисциплине;
 зачёт (письменно-устная форма). Зачёт выставляется после решения всех
задач контрольных работ и выполнения самостоятельной работы.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины
˅осуществляется в рамках рейтинговой (100-бальной) системы оценок.
9.
Тест по теме: «Основы математической логики»:
1. Наука, изучающая законы и формы мышления, называется:
а) алгебра;
б) геометрия;
в) философия;
г) логика.
2. Повествовательное предложение, в котором что-то утверждается или отрицается
называется:
а) выражение;
б) высказывание;
в) вопрос;
г) Умозаключение.
3. Константа, которая обозначается «1» в алгебре логики называется:
а) ложь;
б) правда;
в) истина;
г) неправда.
4. Какое из следующих высказываний являются истинными?
а) город Париж — столица Англии;
б) 3+5=2+4;
в) II + VI = VIII;
г) томатный сок вреден.
5. Объединение двух высказываний в одно с помощью союза «и» называется:
а) инверсия;
б) конъюнкция;
в) дизъюнкция;
г) импликация.
8
6. Чему равно значение логического выражения (1v1)&(1v0)?
а)1;
б) 0;
в) 10;
г) 2.
7. Двойное отрицание логической переменной равно:
а) 0;
б) 1;
в) исходной переменной;
г) обратной переменной.
Варианты контрольных работ:
Контрольная работа №1.
1. Составьте таблицу истинности булевой функции, реализованную данной
формулой. Составьте по таблице истинности СДНФ и СКНФ:
((𝑥|𝑦̅) → (𝑧 + 𝑥𝑦
̅̅̅)) ↔ (𝑥̅ ↓ 𝑦).
2. Проверьте, будут ли эквивалентны формулы, применяя следующие способы:
a) составлением таблиц истинности;
b) приведением формул к СДНФ или СКНФ с помощью эквивалентных
преобразований.
𝑥 → (𝑦 + 𝑥) и (𝑥 → 𝑦) + (𝑥 → 𝑧).
3. С помощью эквивалентных преобразований приведите формулу к ДНФ, КНФ,
СДНФ, СКНФ. Постройте полином Жегалкина.
(𝑥 v 𝑦̅) → (𝑥̅ + 𝑧̅).
4. Найдите сокращенную, все тупиковые и минимальные ДНФ булевой функции,
следующими способами:
a) методом Квайна;
b) с помощью карт Карно.
f(0, 1, 0)= f(1, 0, 0)= f(1, 0, 1)=0.
Выяснить, каким классам Поста принадлежит данная функция.
Контрольная работа №2.
Доказать секвенции:
1.
˥ (X→Y) ├ X,
2.
X, Y ├ ˥ (X→˥ Y),
3.
˥ X→Y├˥ Y→X,.
4.
X→Z, Y→Z ├ (˥ X→Y)→Z,
5.
X→Y, X→˥ Y├ X→Z.
9
Контрольная работа №3.
1. Предикатный символ D(x,y) интерпретируется на множестве натуральных чисел N
как «x делитель y», + интерпретируется стандартно. Записать формулами языка I-го
порядка в сигнатуре {+, D} условия «x=0» и «x=2».
2. Привести к предваренному виду формулу
(x)((z)(z<x→P(z))→P(x))→(x)P(x).
Будет ли эта формула истинной на множестве натуральных чисел, когда <
интерпретируется стандартно, а P(x) означает произвольное свойство натуральных чисел?
3. Проверить, что ПВ4 сохраняет тождественную истинность секвенций.
4. Показать, что (x)A(x)v(x)B(x)≡(x)(A(x)v(x)B(x)) не является тождеством.
Контрольная работа №4.
1. Построить стандартную машину Тьюринга, вычисляющую функцию x+y.
2. Пусть A={a0, a1,…,an} внешний алфавит машины Тьюринга. Построить машину
Тьюринга, которая меняет слово, записанное на ленте, на слово, состоящее из букв
исходного, но записанных в обратном порядке.
Темы рефератов:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Нейронные сети.
Вероятностные вычисления.
Квантовые вычисления.
Биомолекулярные вычисления.
Вычисления над кольцом целых чисел.
Вычисления над кольцом действительных чисел.
Вычисления над кольцом комплексных чисел.
Структурная сложность.
Коммуникационная сложность.
Дескриптивная сложность.
Алгебраическая сложность.
Вопросы к зачёту:
1. Булевы функции, КНФ и ДНФ, контактно-релейные схемы.
2. Теорема Поста о предполных классах.
3. Аксиоматика ИВ, вспомогательные леммы и теорема о полноте ИВ.
4. Формулы ЛП, их истинность в системах данной сигнатуры.
5. Предложения о конгруэнтных формулах и предваренной форме.
6. Основные эквивалентности.
7. Фильтры и ультрафильтры, две теоремы о них.
8. Теорема об ультрапроизведениях и компактности.
9. Предложения о нестандартной модели арифметики и бесконечных моделях.
10
10. ИП. Теорема о существовании модели.
11. Теоремы о полноте ИП и независимости аксиом.
12. ЧРФ и машины Тьюринга.
13. Рекурсивно перечислимые множества. Построение простого множества.
14. Неразрешимые проблемы. Элементарная теория арифметики. Тождественно
истинные формулы ИП.
10. Образовательные технологии.
a) аудиторные занятия:
 лекционные
и
практические
занятия
(коллоквиумы,
семинары,
специализированные практикумы); на практических занятиях контроль
осуществляется при ответе у доски и при проверке домашних заданий. В
течение семестра студенты решают задачи, указанные преподавателем к
каждому семинару.
 активные и интерактивные формы (семинары в диалоговом режиме по темам
1.1, 2.1, 3.1, 3.2, компьютерное моделирование и практический анализ
результатов, научные дискуссии по темам 2.2, 2.3, работа студенческих
исследовательских групп)
b) внеаудиторные занятия:
 самостоятельная работа (выполнение самостоятельных заданий разного типа и
уровня сложности на практических занятиях, подготовка к аудиторным
занятиям, подготовка к коллоквиумам, изучение отдельных тем и вопросов
учебной дисциплины в соответствии с учебно-тематическим планом,
составлении конспектов, подготовка индивидуальных заданий: рефератов,
выполнение самостоятельных и контрольных работ, подготовка ко всем видам
контрольных испытаний: текущему контролю успеваемости и промежуточной
аттестации);
 индивидуальные консультации.
11. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
11.1. Основная литература:
1. Дегтев А.Н. Алгебра и логика: Учебное пособие. Тюмень: Издательство Тюменского
государственного университета, . 2000. - 88 с.
2. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика, М.: “Наука”, 1979 г.
3. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1984.
4. Успенский В. А., Верещагин Н. К., Плиско В. Е. Вводный курс математической логики.
М.: Физматлит, 2002.
5. Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. М.: УРСС, 2004.
6. Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по математической логике, теории множеств и
теории алгоритмов. М.: Физматлит, 2004.
7. Клини С. К. Математическая логика. М.: Мир, 1973.
8. Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть
2. Языки и исчисления. М.: МЦНМ, 2000
9. Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть
3. Вычислимые функции. М.: МЦНМ, 1999.
10. Крупский В. Н., Плиско В. Е. Теория алгоритмов. М.: Издательский центр «Академия»,
2009.
11
11.2. Дополнительная литература:
1. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука,
1977.
2. Архангельский А. В. Канторовская теория множеств. М.: Изд-во МГУ, 1988.
3. Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. М.: Мир, 1994.
4. Гиндикин С. Г. Алгебра логики в задачах. М.: Наука, 1972.
5. Гладкий А. В. Математическая логика. М.: РГГУ, 1998.
6. Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. 2-е изд., испр. и доп. М.:
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.
7. Логический подход к искусственному интеллекту: От модальной логики к логике
баз данных / Тейз А., Грибомон П., Юлен Г. и др. М.: Мир, 1998.
8. Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. М.: Просвещение, 1968.
9. Фейс Р. Модальная логика. М.: Наука, 1974.
10. Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем.
М.: Наука, 1983.
11.Чёрч А. Введение в математическую логику. М.: ИЛ, 1960.
12. Шёнфилд Дж. Математическая логика. М.: Наука, 1975.
11.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:
1. Крупский В. Н. Лекции по теории алгоритмов для первого курса мехмата (2004).
http://lpcs.math.msu.su/~krupski/download/mm1/lect_kru.pdf,
http://lpcs.math.msu.su/~krupski/download/mm1/lect_kru.ps
2.
Крупский
В.
Н.
Подборка
задач
по
теории
алгоритмов.
http://lpcs.math.msu.su/~krupski/download/mm1/zad_alg.pdf,
http://lpcs.math.msu.su/~krupski/download/mm1/zad_alg.ps
3.
Плиско
В.
Е.
Математическая
логика:
Курс
лекций.
http://lpcs.math.msu.su/~plisko/matlog.pdf, http://lpcs.math.msu.su/~plisko/matlog.ps
4. Плиско В. Е. Теория алгоритмов: Курс лекций. http://lpcs.math.msu.su/~plisko/ta.pdf,
http://lpcs.math.msu.su/~plisko/ta.ps
5.
Bilaniuk
S.
A
Problem
Course
in
Mathematical
Logic.
(2003)
http://www.trentu.ca/mathematics/sb/pcml/
Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
12.
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в том
числе, оснащённые мультимедийным оборудованием, доступ студентов к компьютеру с
Microsoft Office.
12