МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ СМ 2 по сопротивлению материалов

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по выполнению лабораторных работ на универсальном лабораторном стенде
по сопротивлению материалов СМ 2
2
Работа 1
«Определение модуля упругости и коэффициента Пуассона»
Цель работы: Экспериментальное определение модуля упругости Е и
коэффициента Пуассона ۷ при испытании стержня на растяжение.
Характеристика лабораторной установки.
Лабораторная работа выполняется на универсальном лабораторном стенде по
сопротивлению материалов, на котором монтируется наладка №1 в
соответствии с описанием этого стенда (рис.1).
Схема установки
1 – образец;
2 – нагружающее устройство;
3 – силоизмерительное устройство.
Рис. 1
Объектом испытаний в этой лабораторной работе является стержень (рис. 2)
прямоугольного поперечного сечения. Деформации измеряются посредством
тензорезисторов фольгового типа, которые установлены в продольном и
поперечном направлениях. Тензорезисторы подключены к электронному
измерителю деформации.
3
Объект испытаний
1,2 – продольные тензорезисторы;
3,4 – поперечные тензорезисторы.
Рис. 2
Краткие теоретические сведения.
Поведение материалов при упругой деформации описывается законом
Гука, который определяет прямую пропорциональную зависимость между
напряжением и деформацией.
Механизм упругого деформирования материалов состоит в обратимых
смещениях атомов из положений равновесия в кристаллической решетке. Чем
больше величина смещения каждого атома, тем больше упругая деформация
тела. Величина упругой деформации невелика и для металлов и для их сплавов
меньше 1%, т.к. в этом случае атомы в кристаллической решетке способны
упруго смещаться лишь на небольшую долю межатомного расстояния.
Физический смысл модуля упругости состоит в том, что он
характеризует сопротивление материалов упругой деформации, т.е. смещению
атомов из положения равновесия в кристаллической решетке.
Модуль упругости определяется отношением нормального напряжения
 z к соответствующему относительному удлинению  z при растяжении
прямого стержня и выражается формулой:
E
или
z
z
4
E
F
,
Az
где  z - нормальное напряжение,
 z - продольная деформация,
F - сила, растягивающая стержень,
A - площадь поперечного сечения стержня.
Коэффициентом
Пуассона ۷ называется абсолютное значение
отношения поперечной деформации к продольной
при одноосном
напряженном состоянии:

x
,
z
где  x - поперечная деформация,
 z - продольная деформация.
Порядок выполнения работы.
1. Собрать наладку №1 в соответствии с описанием стенда.
2. Подключить электронный измеритель деформации (ИД).
3. Нагрузить стержень (объект испытаний) силой F  1кН , для устранения
зазоров в силовой цепочке стенда. Снимите показания ИД для четырех
тензорезисторов.
4. Нагрузить стержень последовательно силой 2 кН, 3 кН, 4 кН, 5кН,
контролируя величину силы по показаниям индикатора установленного
на силоизмеритель. На каждом уровне силы снимите показания ИД.
5. Подсчитать среднюю разность показаний ИД ( n z , n x ) для ступени
нагружения F  1кН .
6. Определить приращение продольной и поперечной деформаций,
соответствующие приращению силы ∆ F  1кН по формулам:
 z  K   n z ,  x  K   n x ,
где K  - цена единицы дискретности ИД.
7. Вычислить модуль упругости по формуле:
F
E
.
A   z
8. Вычислить коэффициент Пуассона по формуле:
5
 x
.
 z
9. Сравнить результаты с табличными данными.
Примечание: результаты опыта должны быть в пределах:
для стали:
۷
E  (1,9...2,1)  10 5 МПа ,
  0,25...0,3 .
для алюминиевого сплава:
E  (0,68...0,72)  10 5 МПа ,
  0,32...0,36 .
6
Работа 2
«Испытание на срез».
Цель испытаний:
Экспериментально установить сопротивление
материала срезыванию. Найти значение условного предела прочности на
срез.
Характеристика лабораторной установки.
Лабораторная работа выполняется на универсальном лабораторном стенде по
сопротивлению материалов, на котором монтируется наладка №2 в
соответствии с описанием этого стенда (рис.3). Объектом испытаний является
стержень круглого поперечного сечения.
Схема установки
1- нагружающее устройство;
2 – вилка;
3 – проушина;
4 – силоизмерительное устройство.
Рис.3.
На стенде устанавливается специальное приспособление, предназначенное
для испытания на срез. Это приспособление состоит из проушины и вилки, в
которые вставлены втулки из закаленной стали. Приспособление позволяет
осуществить испытания по схеме двойного среза (рис. 4).
7
Схема двойного среза
1 – вилка;
2 – проушина;
3 – втулка;
4 – образец.
Рис. 4
Краткие теоретические сведения.
Испытания образцов металлов на срез воспроизводит условия работы
заклепочных, болтовых, шпоночных и др. соединений. Результаты этих
испытаний используются для установления допускаемых напряжений при
условных расчетах на прочность заклепочных, болтовых, шлицевых,
шпоночных соединений. Образец круглого поперечного сечения вставляется
в плотно прилегающие к друг другу высокотвердые втулки, которые
установлены в проушине и вилке. Производят деформирование образца
посредством нагружающего устройства винтового типа, встроенного в
силовую цепочку стенда. При испытании на срез находят наибольшую силу
Fmax , при которой образец разрушается, т.е. перерезывается. Это значение
силы делится на удвоенную площадь поперечного сечения образца, т.к.
осуществляется испытание по схеме двойного среза.
Предполагается, что в плоскостях среза реализуется напряженное
состояние «чистый сдвиг», поэтому напряженное состояние в этих местах
оценивают касательными напряжениями, распределение которых по
поперечному сечению образца принимается равномерным. Величину этих
условных напряжений рассчитывают по формуле:
F
2  Fmax
 ср  max 
,
(1)
2 A
 d2
где  ср - касательное напряжение в плоскости среза,
8
Fmax - максимальная сила, воспринятая образцом до его
разрушения,
A
 d2
4
- площадь поперечного сечения образца.
Эта величина касательного напряжения иногда называется пределом
прочности на срез. При выполнении испытаний на срез необходимо следить
за тем, чтобы срезывающие плоскости в приспособлении возможно плотнее
прилегали друг к другу (впритирку), в противном случае результаты
испытаний будут искажены, т.к. срез образца будет сопровождаться его
изгибом.
Порядок выполнения работы:
Собрать наладку стенда в соответствии с его описанием.
Измерить диаметр образца микрометром или штангенциркулем.
Установить образец в приспособление для испытаний на срез.
Нагружать образец до разрушения плавным вращением маховика.
Наблюдать за перемещением большой стрелки индикатора часового
типа, установленного на силоизмерителе.
6. Отметить наибольшее отклонение большой стрелки индикатора
силоизмерителя при нагружении образца до разрушения.
7. По тарировочному графика определить величину силы, при которой
произошло разрушение образца.
8. Вычислить по формуле (1) величину условного предела прочности при
срезе.
1.
2.
3.
4.
5.
9
Работа 3
«Определение модуля сдвига при испытании стержня на
кручение».
Цель работы: Экспериментальное определение модуля сдвига (модуля
упругости 2-ого рода).
Характеристика лабораторной установки.
Лабораторная работа выполняется на универсальном лабораторном стенде по
сопротивлению материалов, на котором монтируется наладка №3 в
соответствии с описанием этого стенда (рис.5). Объектом испытаний является
стержень, поперечное сечение которого тонкостенное круглое кольцо (рис.5).
Внешний диаметр кольца равен 20 мм, внутренний – 17 мм. Стержень
выполнен из стали. Стержень нагружается крутящим моментом через рычаг
длиной 300 мм. Для измерения углов закручивания применяется угломер
механического типа.
Схема установки.
1 – стержень;
2 – угломер;
3 – рычаг.
Рис. 5
10
Краткие теоретические сведения.
В пределах упругих деформаций взаимный угол поворота (угол
закручивания)  определяется формулой:

MK l
;
G  IK
(2)
где M K - крутящий момент в стержне;
l - расстояние между сечениями равное измерительной базе
угломера;
I K  I P - полярный момент инерции сечения стержня.
Из формулы (2)
G
MK l
.
  IP
При экспериментальном определении модуля упругости его находят по
приращению угла закручивания  , которое соответствует приращению
крутящего момента
M  F  a
где F - ступень изменения нагрузки,
a - длина рычага.
Таким образом
G
F  a  l
  I P
(3)
Порядок проведения работы.
1. Собрать установку (наладка №3) согласно инструкции, приведенной в
описании стенда.
2. Убедиться в работоспособности угломера, для чего слегка постучать по
стержню и наблюдать за движением большой стрелки индикатора
часового типа, установленного на кронштейне угломера. Стрелка
должна колебаться около одного, но произвольного деления шкалы.
3. Убедившись в работоспособности угломера, снять его показания.
4. Нагрузить стержень крутящим моментом, равным 6 H  м , для чего на
грузовую подвеску положить груз, весом 20 H .
5. Снять показания угломера.
6. Последовательно нагружать стержень моментами 12 H  м ,18 H  м ,
24 H  м и 30 H  м , укладывая на подвеску грузы весом 40 H , 60 H , 80
H и 100 H , при каждом уровне нагрузке, снимая показания угломера.
11
7. Подсчитать среднее арифметическое значение приращения угла
закручивания  , соответствующее приращению крутящего момента
M K равное 6 H  м .
8. Вычислить модуль сдвига по формуле (3) и сопоставить найденную
величину модуля сдвига со справочными данными. Для стали
экспериментальное значение модуля упругости сдвига должно быть
близко к 8  10 4 МПа.
12
Работа 4
«Проверка закона распределения нормальных напряжений в
поперечном сечении прямого бруса при прямом изгибе»
Цель работы: Экспериментальная проверка закона распределения
нормальных напряжений в поперечном сечении стержня при прямом
«чистом» изгибе. Сравнение экспериментальных данных с результатами
расчетов.
Характеристика лабораторной установки:
Лабораторная работа выполняется на универсальном лабораторном стенде
по сопротивлению материалов, на котором монтируется наладка №4 в
соответствии с описанием этого стенда (рис.6). Объектом испытаний является
прямой брус (стержень) двутаврового поперечного сечения. Стержень
установлен на две шарнирные опоры (рис. 6), его нагружение осуществляется
винтовым механизмом через коромысло, которое одновременно является
упругим элементом силоизмерителя.
Размеры стержня: l  600 мм, H  80 мм, B  30 мм, b  8 мм, h  5 мм.
Схема установки
1 - стержень;
2 – коромысло (упругий элемент);
3 – винтовой механизм.
Рис. 6
13
Средняя часть стержня (между опорами коромысла) находиться в
условиях «чистого» изгиба. В среднем сечении этой части стержня наклеены
пять тензорезисторов фольгового типа. Тензорезисторы установлены в
направлении продольной оси z и позволяют измерить деформацию  z в
соответствующих точках (рис. 7.)
Схема расположения тензорезисторов
1, 2, 3, 4, 5 – тензорезисторы
Рис. 7
Краткие теоретические сведения.
Техническая теория «чистого» изгиба стержня основывается на
следующих гипотезах:
 гипотеза плоских сечений, согласно которой поперечные сечения
стержня плоские до деформации, остаются плоскими, и после
деформации;
 гипотеза о ненадавливании продольных «волокон», т.е. продольные
слои в стержне при его чистом изгибе не взаимодействуют в
нормальном по отношению к ним направлении, поэтому на
площадках, параллельных оси стержня нормальные напряжения
14
равны нулю, следовательно, напряженное состояние при чистом
изгибе стержня может считаться одноосным.
При изгибе стержня в нем образуются две зоны: зона растяжения и зона
сжатия. Границей между зонами растяжения и сжатия является продольный
слой, называемый нейтральным. Этот слой искривляется, но его длина не
изменяется (рис. 8.).
Схема чистого изгиба
Рис. 8
На основании гипотезы плоских сечений можно сделать вывод о
характере изменения длины продольных слоев стержня. Эпюра удлинений l
линейная (рис. 8а), линейной будет и эпюра относительных деформаций  z ,
т.к. длина всех волокон стержня одинаковая. Деформация продольного слоя
 z прямопропорциональна его расстоянию от нейтрального слоя (рис. 8б),
т.к. напряженное состояние одноосное, то
 z  E z ,
(4)
где  z - нормальное напряжение в поперечном сечении стержня (рис. 8в),
E - модуль упругости 1-ого рода.
Соотношение (4) используется для определения экспериментальных
значений нормальных напряжений. Теоретические значения нормальных
напряжений определяются по формуле:
z 
Mx
y,
Ix
(5)
где M x - изгибающий момент в сечении относительно оси x ,
Ix
- осевой момент инерции поперечного сечения
относительно оси x ,
y - ордината точки, в которой определяется напряжение.
Значение нормальных напряжений  z , вычисленные по формулам (4) и
(5) должны совпадать.
15
Порядок выполнения лабораторной работы.
1. Собрать установку (наладка №4) в соответствии с описанием стенда.
2. Подключить электронный измеритель деформации (ИД).
3. Убедиться в работоспособности ИД, путем пробного нагружения
стержня винтовым механизмом и наблюдением за показаниями
прибора.
4. Убедившись в работоспособности прибора, снять его показания для
пяти тензорезисторов при нагрузке равной 1 кН .
5. Последовательно нагружать стержень силой 2 кН , 3 кН , 4 кН и 5 кН ,
снимая показания ИД для всех тензорезисторов для каждого уровня
нагрузки.
6. После опыта стержень разгрузить.
7. Вычислить средние значения разностей отсчетов n для каждого
тензорезистора, соответствующие ступени нагружения F  1кН .
8. Определить приращения относительной деформации для каждого
тензорезистора, соответствующей ступени нагружения F  1кН по
формуле:
 z     n ,
где   - цена единицы дискретности ИД.
9. Вычислить приращения нормальных напряжений по формуле
 z  E   z .
10.Вычислить приращения нормальных напряжений по формуле
 z 
M x
y.
Ix
Сопоставить результаты, полученные в пунктах 9 и 10, и сделать
заключение о справедливости теории прямого чистого изгиба.
16
Работа 5.
«Определение линейных и угловых перемещений поперечных сечений
статически определимой балки и сравнение результатов испытаний с
теоретическими расчетами»
Цель работы: Экспериментально и теоретически найти угловые и
линейные перемещения сечения стержня при изгибе.
Характеристика лабораторной установки.
Лабораторная работа выполняется на универсальном лабораторном
стенде по сопротивлению материалов, на котором монтируется наладка
№5 в соответствии с описанием этого стенда. Объектом испытаний
является стержень (балка) прямоугольного поперечного сечения.
Материал стержня – сталь 45. Размеры стержня: l  450 мм, a  150 мм,
b  30 мм, h  4 мм.
Схема установки
Рис. 9
Стержень установлен на две шарнирные опоры, которые
обеспечивают наложение трех связей. Для нагружения стержня
используются грузы, которые укладываются на подвески, положения
которых вдоль оси стержня можно изменять.
Для измерения прогибов и углов поворота сечений используются
индикаторы часового типа, установленные на штативных стойках.
Краткие теоретические сведения.
В результате нагружения стержня он деформируется. Его сечение
получает прогибы и углы поворотов. Определение прогибов и углов
поворота сечений стержня возможно двумя путями:
 интегрирование дифференциального уравнения упругой линии;
 методом О.Мора (способ Верещагина).
Например, необходимо найти линейное перемещение сечения А и
угловые перемещения сечений В и С при нагружении по схеме рис. 10.
17
Расчетная схема стержня
Рис. 10
Используем дифференциальное уравнение упругой линии
EI x "  M x ( z )
Уравнение изгибающих моментов M x (z ) в принятой системе координат
(рис. 11).
Стержень в системе координат
Рис. 11
M x ( z)   1 F  z 
3
1
4
F z  l 
3
2
Дифференциальное уравнение упругой линии
EI x "   1 F  z 
3
1
4
F z  l 
3
2
Проинтегрируем это уравнение
EI x '   1 F 
3
z2
4 z  l 2
,
 F
2
3
2
1
EI x  C2  C1z  1 F 
3
2
z3
4 z  l 3
.
 F
6
3
6
1
2
18
Определяем произвольные постоянные C1 и C 2 , используя граничные
условия:
1. z  0,   0 ,
2. z  l ,   0 .
Из первого граничного условия: C2  0 .
Из второго граничного условия: C1 
1
F l2.
18
Окончательно получаем:
1  1
1 z2
4 ( z  l ) 2 
,
F  l2  F
 F

EI x  18
3 2
3
2
1
2

1  1
1 z3
4 ( z  l )3 
.

F  l2  z  F
 F

EI x  18
3 6
3
6
1
2

  ' 
Линейное перемещение сечения А:
zA  l  a 
4
l
3
3
3

4 
1  

 l
 l 
1 1
4 1
4
4 Fl 3
3
3
A 
F  l2  l  F    F      
EI x 18
3 3
6
3
6 
81 EI x




Угловое перемещение сечения В:
zB  l
в 
1 1
1 l2 
1 Fl 2
 F  l 2  F     
EI x  18
3
2
9 EI x
Условие перемещения сечения С:
zC  0
с 
1 Fl 2

18 EI x
Определение линейного перемещения сечения А (способом
Верещагина) (рис. 12):
A 
1 1
l l 2 l 1
l
2 l  4 Fl 3
 F      F  l     
EI x  2
3 3 3 3 2
3
3 3  81 EI x
19
Эпюры изгибающих моментов
Рис. 12
Определение углового перемещения сечения В (способ Верещагина)
(рис. 13):
Эпюра изгибающего момента
Рис. 13
B 
1 1
l
2 1 F  l2
 F  l   
EI x 2
3
3 9 EI x
20
Определение углового перемещения сечения С (способ Верещагина)
(рис. 14):
Эпюра изгибающего момента
Рис. 14
C 
2
1 1
l
1 1 F l
.
 F  l   
EI x 2
3 3 18 EI x
Вычислить  A , B ,C для выбранного варианта и сопоставить эти
величины с их экспериментальными значениями.
Порядок выполнения работы.
1. Собрать наладку №5 в соответствии с описанием стенда.
2. Проверить работоспособность прогибомера и угломера, для чего
слегка постучать по стержню и наблюдать за движением большой
стрелки индикаторов часового типа, укрепленных на штативных
стойках. Стрелка должна колебаться около одного, но произвольного
для каждого индикатора деления.
3. Убедившись в работоспособности измерителей перемещений, снять
показания их шкал и записать эти показания в лабораторный журнал.
Нагрузить стержень силами, в соответствии с выбранной схемой и
записать показания прогибомера и угломеров.
4. Вычислить экспериментальные значения прогиба  A и углов
поворота  B и  C .
5. Сопоставить результаты эксперимента и расчета, сделать
заключение о возможности использовать дифференциальное
уравнение упругой линии и способа Верещагина для определения
перемещений в изогнутых стрежнях.
21
Работа 6
«Определение посредством тензометрии главных напряжений при
кручении».
Цель работы: исследовать напряженное состояние «чистый сдвиг»,
которое возникает при «чистом» кручении стержня. Сопоставить
экспериментальные и расчетные значения главных напряжений.
Характеристика лабораторной установки.
Лабораторная работа выполняется на универсальном лабораторном
стенде по сопротивлению материалов, на котором монтируется наладка №6 в
соответствии с описанием этого стенда.
Объектом испытаний является стержень, поперечное сечение которого
тонкостенное круглое кольцо (рис. 15). Внешний диаметр кольца равен 42
мм, внутренний – 40 мм. Стержень выполнен из алюминиевого сплава Д16Т.
Стержень нагружается крутящим моментом через рычаг длиной 300 мм.
Схема установки
1- стержень;
2 – рычаг.
Рис. 15
Для исследования напряженного состояния при «чистом сдвиге»
используются два тензорезистора, наклеенные в точке А стержня.
Схема расположения тензорезисторов приведена на рис. 16.
22
Схема расположения тензорезисторов в точке А сечения I
1,3 – тензорезисторы
Рис. 16
Для измерения деформаций используется электронный измеритель
деформации (ИД).
Краткие теоретические сведения.
«Чистым сдвигом» называется плоское напряженное состояние, при
котором на гранях выделенного элемента действуют только касательные
напряжения  (рис. 17)
Напряженное состояние “чистый сдвиг”
Рис. 17
23
Такое напряженное состояние возникает при кручении стержня
тонкостенного круглого сечения.
Величина касательного напряжения  в этом случае вычисляется по
формуле
   max 
Mk
,
Wp
где M k - крутящий момент в сечении стержня,
Wp 
D 2 h
2
- полярный момент сопротивления сечения стержня.
Элемент, принадлежащий стержню, можно выделить гранями, которые
наклонены к граням с нормалями x и z под углом 450. На этих гранях будут
отсутствовать касательные напряжения, т.е. эти грани являются главными
площадками для выделенного элемента. Из расчета следует, что по главным
площадкам при «чистом сдвиге» действуют равные по модулю и
противоположные по направлению главные (нормальные) напряжения (рис.
18)
 1   ,  3   , где принято  1   2   3 .
Главные напряжения при чистом сдвиге
Рис. 18
Для вычисления экспериментальных значений главных напряжений
используются формулы обобщенного закона Гука.
1 
E
(  3 ) ,  3 
2 1
E
( 3  1) ,
1 
1  2
где 1   u , 3   - деформации в направлении осей u и  в точке А,
измеренные посредством тензорезисторов,
24
E , - упругие постоянные материала (алюминиевый сплав Д16Т).
Порядок выполнения лабораторной работы.
1. Собрать установку (наладка №6) в соответствии с описанием стенда.
2. Подключить электронный измеритель деформации (ИД).
3. Убедиться в работоспособности ИД, путем пробного нагружения
стержня небольшим крутящим моментом и наблюдением за
показаниями прибора.
4. Убедившись в работоспособности прибора, снять его показания для
двух тензорезисторов при нагрузке равной нулю.
5. Последовательно нагружать стержень крутящим моментом 6 H  м , 12
H  м , 18 H  м , 24 H  м и 30 H  м , укладывая на грузовую подвеску
грузы весом 20 H , 40 H , 60 H , 80 H и 100 H , снимая показания
прибора для двух тензорезисторов для каждого уровня нагрузки.
6. После опыта стержень разгрузить.
nu , n  для
7. Вычислить средние значения разности отсчетов
каждого тензорезистора, соответствующие ступени нагружения
M k  6 H  м .
8. Найти приращения относительной деформации для каждого
тензорезистора, соответствующие ступени нагружения M k  6 H  м ,
по формулам
 u  k   nu ,    k   n ,
где k  - цена единицы дискретности прибора.
9. Вычислить приращение главных напряжений по формулам:
1   u 
 3   
E
1  2
E
1  2
( u     ) ,
(     u ) .
10.Вычислить приращение касательного напряжения по формуле
 
M k
Wp
и записать расчетное значение приращения главных напряжений
,  3   .
 1  
Сопоставить результаты, полученные в пунктах 9 и 10, и сделать
заключение о справедливости теории чистого сдвига и обобщенного закона
Гука.
25
Работа 7
«Определение посредством тензометрии главных напряжений при
совместном действии изгиба и кручения».
Цель работы: Исследовать плоское напряженное состояние в точке
стержня при его совместном изгибе и кручении. Сопоставить
экспериментальные и расчетные значения главных напряжений.
Характеристика лабораторной установки.
Лабораторная работа выполняется на универсальном лабораторном стенде по
сопротивлению материалов, на котором монтируется наладка №6
в
соответствии с описанием этого стенда.
Объектом испытания является стержень, поперечное сечение которого
тонкостенное круглое кольцо (рис. 19). Внешний диаметр кольца равен 42
мм, внутренний - 40 мм. Стержень выполнен из алюминиевого сплава Д16Т.
Стержень нагружается изгибающим и крутящим моментами одновременно.
Схема установки
Рис. 19
Для исследования плоского напряженного состояния в т. А стержня
используются три тензорезистора фольгового типа, наклеенные в этой точке,
находящейся в сечении I. Схема расположения тензорезисторов в точке А
приведена на рис. 20.
26
Схема расположения тензорезисторов
Рис. 20
Для измерения деформаций применяется электронный измеритель
деформации (ИД).
Краткие теоретические сведения.
Под исследованием напряженного состояния в точке тела понимается
определение величин и направлений главных напряжений. В зависимости от
количества главных напряжений отличных от нуля напряженные состояния
делятся на:
 одноосные;
 двухосные (плоские);
 трехосные (объемные).
В любой точке внешней поверхности тела, нагруженного произвольным
образом, возникает плоское (двухосное) напряженное состояние. При этом
должно отсутствовать силовое воздействие на внешнюю поверхность тела,
например, в виде сил давления газа или жидкости. При этом условии одно из
главных напряжений оказывается равным нулю, два других главных
напряжения требуется найти.
Для определения величин и направлений главных напряжений в точке
тела необходимо измерить деформации, в направлении трех осей, например,
u, , z , проходящих через точку А. Эти деформации измеряются посредством
трех тензорезисторов, наклеенных в исследуемой точке (рис. 20). По
измеренным в направлении осей u ,  , z деформациям  u ,  ,  z , вычисляются
27
главные деформации  1,3 и угол  между осью u и одной из главных осей по
формулам:
 u  


1
 u   z 2     z 2 ,
2
2
2   u    
tg 2  z
 u  
 1,3 

Величины главных напряжений вычисляются с помощью обобщенного
закона Гука:
1 
3 
E
1  2
E
1 
2
1     3 ,
 3     1 ,
где Е,ν - упругие постоянные материала стержня.
Проведем анализ напряженного состояния в тонкостенном стержне при
его изгибе и кручении. Выделим точку А гранями, параллельными
координатным плоскостям (рис.21).
Компоненты напряженного состояния
Рис. 21
Нормальное и касательное напряжения в точке А определяются по
формулам:
 z   max 
Mx
,
Wx
 zx   xz   max 
Mk
,
Wp
где M x , M k - изгибающий и крутящий моменты, соответственно;
28
Wx 
D 2 h
- момент сопротивления сечения стержня изгибу;
4
D 2 h
- момент сопротивления сечения стержня кручению;
Wp 
2
D - средний диаметр тонкостенного круглого кольца;
h - толщина кольца.
Главные напряжения и угол наклона главной оси к продольной оси
стержня вычисляется по формулам:
z
2
 
2
 1,3 
  z    zx
,
2
2


2
tg 2   zx .
z
Соотношение между углом  и  определяется по формуле:
    45 0
Порядок проведения работы.
1. Собрать установку (наладка №6) в соответствии с описанием стенда.
2. Подключить электронный измеритель деформации (ИД).
3. Убедиться в работоспособности ИД путем пробного нагружения
стержня и наблюдением за его показаниями.
4. Убедившись в работоспособности прибора снять его показания для
трех тензорезисторов при нагрузке равной нулю.
5. Последовательно нагружать стержень изгибающим моментом: 5
H  м , 10 H  м ,15 H  м , 20 H  м и 25 H  м и крутящим моментом: 6
H  м , 12 H  м , 18 H  м , 24 H  м , 30 H  м , укладывая на подвеску
грузы весом 20 H , 40 H , 60 H , 80 H и 100 H , снимая показания
прибора для трех тензорезисторов для каждого уровня нагрузки.
6. После опыта стержень разгрузить.
7. Вычислить средние значения разности отсчетов ( nu , n , n z ) для
каждого тензорезистора, соответствующие ступени нагружения
M x  5 H  м , M k  6 H  м .
8. Найти приращения относительной деформации для каждого
тензорезистора, соответствующие ступени нагружения M x  5 H  м ,
M k  6 H  м по формулам:
     nu ,      n ,  z     nz ,
где   - цена единицы дискретности шкалы ИД.
9. Вычислить приращения главных деформаций и угол  по формулам:
29


 u   
1
 u   z 2     z 2 ,

2
2
2   z   u    
tg 2 
 u   
 1,3 
10.Вычислить приращения главных напряжений по формулам:
 1 
 3 
E
1  2
E
1  2
1     3 ,
 3    1  .
11.Вычислить приращения нормального и касательного напряжений по
формулам:
 z 
M x
,
Wx
 zx 
M k
.
Wp
12.Вычислить расчетные значения приращений главных напряжений и
угол  по формулам:
2
 z
  z 
2
 1,3 
 
   zx ,
2
2


2   zx
tg 2  
.
 z
13.Сопоставить результаты, полученные в пунктах 9, 10 и 12 и сделать
заключение о возможности исследования плоского напряженного
состояния методом электротензометрии.
30
Работа 8
«Определение критической силы для сжатого стержня большой
гибкости»
Цель работы: экспериментально найти значение критической силы для
сжатого гибкого стержня и сопоставить с расчетным значением критической
силы.
Характеристика лабораторной установки.
Лабораторная работа выполняется на универсальном лабораторном стенде по
сопротивлению материалов, на котором монтируется наладка №7
в
соответствии с описанием этого стенда.
Объектом испытаний является стержень прямоугольного поперечного
сечения (рис. 22). Материал стержня – сталь 45. Размеры стержня:
l  400 мм , b  30 мм , h  2 мм. Стержень установлен на двух опорах,
конструкция которых позволяет осуществить шарнирное и жесткое
закрепление концов стрежня в плоскости наименьшей жесткости при изгибе.
Схема установки
1 – стержень;
2 – нагружающее устройство;
3 – силоизмерительное устройство;
4 – прогибомер.
Рис. 22.
31
Предусмотрено три схемы закрепления концевых сечений стержня:
 шарнир - шарнир,
 шарнир - заделка,
 заделка - заделка (рис.23.).
Схемы закрепления стержня
Схема 1
Схема 2
Схема 3
Рис.23.
Правая опора стержня соединена с динамометром, левая – с
нагружающим устройством винтового типа. В среднем сечении стержня
установлен прогибомер (индикатор часового типа на штативной стойке).
Краткие теоретические сведения.
Для идеального гибкого стержня критическая сила Fкр определяется по
формуле Эйлера:
E  I min
Fкр 
 l 2 .
Реальный стержень не является идеальным, т.к. он содержит
несовершенства. Наибольшее практическое значение имеют два
несовершенства: начальная кривизна и внецентренное приложение силы.
В лабораторной установке приняты меры к снижению эксцентриситета
приложения силы до приемлемого уровня. Эксцентриситет составляет 0,10,15 мм. Поэтому наибольшее значение для лабораторной установки имеет
начальная кривизна, т.к. идеально прямой гибкий стержень изготовить
практически невозможно. Получим приближенную формулу, позволяющую
32
учесть влияние начальной кривизны стержня на зависимость “ продольная
сила - характерное перемещение”.
Пусть шарнирно-опертый по концам стержень имеет начальную кривизну
(рис.24.).
Расчетная схема неидеального стержня
Рис.24.
Будем считать, что геометрическая ось стержня до нагружения
описывается функцией
z
u0  f 0 sin .
l
Схема нагружения неидеального стержня приведена на рис. 25.
Схема нагружения стержня
Рис.25.
Дифференциальное уравнение упругой линии при нагружении
продольной силой F имеет вид:
EI y u  M y z  ,
M y z    F u0  u  ,
EI y  u    F u0  u  ,
33
u   k 2u  k 2u0 ,
2
где k 
F
EI у
.
Запишем решение дифференциального уравнения в виде
u  c1 sin kz  c2 cos kz  u
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения представим
в виде
u  B sin
Продифференцируем u по z
u  B
u   B

z
l
cos
l
2
,
z
sin
l
,
z
,
l
l
Подставим полученные выражения в (17.3)
2
 z
 z
 z
 2 B sin
 k 2 B sin
 k 2  f 0 sin
.
l
l
l
l
2
 2

B  2  k 2   k 2  f 0
 l

После преобразования
B
1
Принимаем
FЭ 
 2 EI y
l2
, тогда
 f0
 2 EI y .
l2  F
B
 f0
F .
1 Э
F
34
Граничные условия
z  0, u  0  c 2  0
z  l , u  0  c1  0
Окончательно получаем
 f0
 z
sin
F
l
1 Э
F
l
Определим прогиб сечения при z 
2
u
 f0
F
1 Э
F
Преобразуем полученную зависимость к виду
f 
f
f
f

 0
F FЭ FЭ
Нужно отметить, что определенная по этому методу эйлерова сила FЭ
совпадает с Fкр идеального стержня при соблюдении двух условий:
1. Начальная кривизна оси стержня должна лежать в плоскости
наименьшей жесткости.
2. Гибкость стержня в плоскости наименьшей жесткости должна быть
выше предельной, определяемой пределом пропорциональности материала
 пц ,
 2E
пц 
.
 пц
Порядок выполнения работы.
Собрать установку (наладка №7) согласно инструкции,
приведенной в описании универсального стенда.
2.
Убедиться в работоспособности отсчетного устройства
динамометра и прогибомера, для чего, путем пробного нагружения
небольшой силой, деформировать стержень и упругий элемент
силоизмерителя и наблюдать за показаниями прогибомера и
индикатора силоизмерителя.
1.
35
Убедившись
в
работоспособности
прогибомера
и
силоизмерителя, осуществить закрепление концов стержня по одной
из трех возможных схем.
4.
Осуществить предварительное нагружение стержня (3-5
делении по шкале индикатора динамометра). Установить шкалу
прогибомера в нулевое положение.
5.
Нагрузить стержень так, чтобы прогиб стал равным 1,0 мм .
Снять показания индикатора динамометра с точностью 0,001 мм .
3.
Увеличивать прогиб ступенями равными 0,10 мм , снимая при
каждом значении прогиба показания индикатора динамометра. Этот
процесс закончить при прогибе равном 3,00 мм .
7.
После опыта стержень полностью разгрузить.
8.
Вычислить значение силы F , действующей на стержень, для
чего использовать эмпирическую зависимость силы F от
деформации упругого динамометра, полученную при градуировке
динамометра.
9.
Нанести экспериментальные точки на координатную систему
6.
f
, f.
F
10.
Провести через экспериментальные точки осредненную
прямую. Выбрать на экспериментальной прямой две произвольные
точки (желательно на наибольшем расстоянии друг от друга) и
вычислить Fкр по формуле:
Fкр 
11.
f 2  f1
.
f 2 f1

F2 F1
Сопоставить расчетное и экспериментальное значение Fкр ,
сделать заключение о возможности применения формулы Эйлера.