Программа элективного курса по информатике и ИКТ «Решение математических задач

ЗАВЕРЯЮ
Директор школы:
______________
Программа элективного курса
по информатике и ИКТ
«Решение математических задач
средствами программы EXCEL»
для профильного обучения в 10-11 классах
Учитель МОУ Весьегонская средняя школа №1
Афанасьева Ольга Федоровна
2008 г.
Пояснительная записка.
В школьном базовом курсе информатики разделу «ТП EXCEL>> отводится не достаточно
времени, для того чтобы раскрыть, освоить возможности программы EXCEL и оценить ее
прикладной аспект. Однако, действительность (учебные программы ВУЗов, конкретные
рабочие места и т.д.) требует хороших знаний и владения данной программой.
Межпредметный профильный учебный курс «Решение математических задач средствами
EXCEL» предназначен для изучения в 10-11 классах. Курс является элективным и
предназначен для
углубленного изучения темы
«ТП
EXCEL». Курс
«Решение
математических задач средствами EXCEL» является преемственным по отношению к
базовому курсу информатики и ИКТ. Он раскрывает прикладные возможности программы
EXCEL в области математики. В ходе изучения курса будут расширены знания учащихся
по соответствующим разделам математики и информатики, на которых базируется данная
тема. Изучение дополнительного материала по математике основано на основных понятиях
и приемах и сопровождается практикой решения задач, что не вызовет у учащихся
затруднения.
Цели курса
Продемонстрировать новые возможности программы EXCEL и практическое ее
использование в области математики.
Задачи курса
1. Обеспечить усвоение нового материала по соответствующим разделам математики
и информатики.
2. Продемонстрировать новь1е возможности программы EXCEL и практическое ее
использование в области математики.
3. Развивать у учащихся навыки работы на компьютере и с соответствующим
программным обеспечением
Форумы и методы работы
Методы:
объяснительно иллюстративный, репродуктивный, частично поисковый поисковый,
самостоятельная работа.
Формы: лекции, практикумы.
2
Планируемые результаты.
1. Развитие интереса к предмету.
2. Развитие интеллектуальных и творческих способностей учащихся.
3. Расширение и углубление знаний учащихся по теме ТП Excel и отдельным темам
математики
4. Полное усвоение приемов и средств, позволяющих выполнить решение математических
задач в Excel.
Содержание курса
Межпредметный элективный курс предназначен для углубленного изучения темы «ТП
EXCEL». Он состоит из двух взаимосвязанных разделов:
1. математика: функции, матрицы, система линейных уравнений
2. информатика: ТП EXCEL
Каждый раздел включает изучение теории и выполнения практической части.
Межпредметная направленность курса определяется направлением изучения самой темы, а
также в подборе практической части.
3
Содержание программы.
Тема 1. Математические функции.
Данный раздел – раздел повторения. Рассматривается понятие функции, математические
функции,
правила
создания
пользовательских
формул.
Учащиеся
на
практике
отрабатывают построение таблиц значений функции и их графиков.
Тема 2. Вложенные функции.
Учащиеся знакомятся с понятием «Вложенная функция», отрабатывают приемы создания
формул, содержащих вложенные функции.
Тема 3. Вычисление значения функции на промежутках.
Рассматриваются логические функции ЕСЛИ, И, ИЛИ и использование данных функций
для вычисления значений функции на заданном интервале.
Тема 4. Числовые рады. Вычисление суммы числового ряда с заданной
точностью.
В этом разделе рассматривается теоретические аспекты числового ряда. Учащиеся на
практике отрабатывают использование логических функций
для вычисления суммы
числового ряда с заданной точностью.
Тема 5. Решение системы уравнений по правилу Крамера, матричным способом.
Раздел состоит из двух частей: теории и практике. В теоретической части рассматриваются
следующие вопросы:
 матрица и ее определитель;
 решение системы линейных уравнений с помощью метода Крамера;
 обратная матрица;
 решение системы линейных уравнений матричным способом.
В практической части рассматриваются функции МОБР, МУМНОЖ, алгоритмы решения
системы уравнений по правилу Крамера, матричным способом средствами EXCEL.
Тема 6. Поиск решений. Решение оптимизационных и поисковых задач.
Учащиеся на практике знакомятся с метод поиска решений и решением задач на
оптимизацию.
Тема 7. Практический зачет.
4
Учебно-тематический план
Форма
Вид
проведения
деятельности
занятия
учащихся
Математические функции
Практика
Конспект/практика
Вложенные функции.
Практика
Конспект/практика
3.
Вычисление
значения
функции на промежутках.
Практика
Конспект/практика
4.
Числовые рады. Вычисление
суммы числового ряда с
заданной точностью.
Лекция/практика
Конспект/практика
Проверка выполнения
работы
5.
Решение системы уравнений
по
правилу
Крамера,
матричным способом.
Лекция/практика
Конспект/практика
Лекция/практика
Практика
№
1.
2.
6.
7.
Раздел, тема
Поиск решений. Решение
оптимизационных
и
поисковых задач.
Практический зачет.
Количество часов
Форма
Прак-
Все-
тика
го
2
2
2
2
2
2
1
1
2
Проверка выполнения
работы
2
2
4
Конспект/практика
Проверка выполнения
работы
1
2
3
Практика
Проверка выполнения
работы
2
2
контроля
Тео-рия
Проверка выполнения
работы
Проверка выполнения
работы
Проверка выполнения
работы
ИТОГО
17
5
Урок 1-2.
Математические функции. Вложенные функции.
Цель урока
1. Повторить ранее изученный материал по соответствующим темам
2. Освоить приемы создания сложных формул и вычисления значений функции на
интервале
План урока
1. Повторение
2. Практическая работа
Ход урока
1. Повторение. ( Прежде, чем перейти к решению математических задач необходимо
повторить с учащимися ранее изученный материал по темам ТП Excel, функция из
соответствующих разделов информатики и, математики.)
 ссылка абсолютная и относительная
 мастер функций
 математические функции
 тригонометрические функции
(аргумент тригонометрических функций задается в радианах, если угол задан в
градусах, необходимо умножить его на ПИф/180 или использовать функцию
РАДИАНЫ, чтобы преобразовать его в радианы).
 правила создания формул
 виды функций
 область определения и значения функции
 график функции
 построение графика функции
Практическая работа: вычислить значение функции
у = cos2 х, при х=1.5
у = ln(x2-8), при х=4
у = arcsin х5, при х=2
2. Вложенные функции. Результат вычисления функции может быть использован в
качестве аргумента другой функции. Функция, используемая в качестве одного из
аргументов другой функции, называется вложенной. Excel поддерживает до 7 уровней
вложенности функций.
= ln(соs(А1 ^3)^2)
Для ввода функции в качестве аргумента необходимо раскрыть список в строке формул и
ввести любым способом нужную функцию. Для переключения в режим редактирования
основной функции необходимо щелкнуть в строке формул по имени этой функции.
3. Вычисление значения функции на интервале [а,Ь] с шагом h:
 оформить заголовок таблицы
 в соответствующем столбце/ строке таблицы задать значения аргумента на
интервале [а,b] с шагом h
 ввести в первую ячейку под/за заголовком столбца/строки значений функции
формулу
 скопировать формулу на остальные ячейки столбца/строки
X
1
Y
=SIN(B1)
1.5
2
2.5
4. Практическая работа
Вычислить значение функции у = f(x) на интервале [а,Ь) с шагом h. Исходную
функцию путем введения промежуточных переменных разбить на три.
Решение получить в виде таблицы. Построить график функции.
7
8
Урок 3.
Вычисление значения функции на промежутках.
Цель урока
1. Повторить ранее изученный материал по соответствующим темам
2. Освоить приемы создания сложных формул и вычисления значений функции на
интервале
План урока
1. Повторение
2. Логические функции
3. Простые и сложные условий
4. Вычисление значения функции на промежутках
5. Практическая работа
Ход урока
1. Повторение: создание вложенной функции, практическое задание.
2. Логические функции:
Функция ЕСЛИ используется при проверке условий для значений и формул. Возвращает
одно значение, если заданное условие при вычислении дает значение ИСТИНА, и другое
значение, если ЛОЖЬ.
Синтаксис
ЕСЛИ(лог выражение; значение если истина; значение если ложь)
=ЕСЛИ(А4<0;"число отрицательное";"число положительное")
Функция И возвращает значение ИСТИНА, если все аргументы имеют значение
ИСТИНА; возвращает значение ЛОЖЬ, если хотя бы один аргумент имеет значение
ЛОЖЬ.
Синтаксис
И(логическое значение1; логическое значение2; ...)
=И(А4>=1;А4<=2)
(Логическое значение 1, логическое значение 2, ...) — это от 1 до 30 проверяемых
условий, которые могут иметь значение либо ИСТИНА, либо ЛОЖЬ.
Функция ИЛИ возвращает ИСТИНА, если хотя бы один из аргументов имеет значение
ИСТИНА; возвращает ЛОЖЬ, если все аргументы имеют значение ЛОЖЬ.
9
Синтаксис
ИЛИ(логическое значение1;логическое значение2; ...)
=ИЛИ(А2="красный";А2="желтый")
(Логическое значение1, логическое значение2,...) — от 1 до 30 проверяемых условий,
которые могут иметь значение либо ИСТИНА, либо ЛОЖЬ.
Функция ИСТИНА возвращает логическое значение ИСТИНА.
Синтаксис
ИСТИНА( )
Функция ЛОЖЬ возвращает логическое значение ЛОЖЬ.
Синтаксис
ЛОЖЬ( )
Функция НЕ меняет на противоположное логическое значение своего аргумента.
Функция НЕ используется в тех случаях, когда необходимо быть уверенным в том, что
значение не равно некоторой конкретной величине,
Синтаксис
НЕ(логическое значение)
Логическое значение - величина или выражение, которые могут принимать два значения:
ИСТИНА или ЛОЖЬ.
3. Вычисление значения функции на промежутках
 оформить заголовок таблицы
 в соответствующем столбце/ строке таблицы задать значения аргумента на
интервале [а,Ь] с шагом h
 ввести в первую ячейку под/за заголовком столбца/строки значений функции
формулу.
 скопировать формулу на остальные ячейки столбца/строки
10
4. Практическая работа.
Вычислить функцию у = f(x), обеспечив не менее 2-х точек из каждого интервала
11
Урок 4.
Числовые ряды. Вычисление суммы числового ряда с заданной
точностью.
Цель урока
1. Познакомить числовыми рядами
2. Освоить приемы вычисления суммы числового ряда с заданной точностью.
План урока
1. Повторение
2. Теория числовых рядов ..
3. Вычисления суммы числового ряда с помощью Excel
4. Практическая работа
Ход урока
1. Повторение: логические функции.
2. Теория числовых рядов.
а. Числовым рядом называется выражение вида u1+u2+u3+…+un, где числа u1,u2,u3,…,un
называемые членами ряда, образуют числовую последовательность un= f(n); n
N.
Пример: 1+1/2+1/ 3+...+1 /n+..
Ряд еще можно записать так:
b. Сумма ряда S=
3. Вычисления суммы числового ряда с заданной точностью с помощью Excel.
 Задать значение констант (Х, )
 Вычислить по формуле значение члена данного ряда
 Сравнить полученное значение с заданной точностью
 Если оно не меньше , то перейти к п1, иначе вычислить сумму
12
13
Урок 5.
Решение системы уравнений по правилу Крамера, матричным
способом.
Цель урока
1. Познакомить с новыми способами решения системы уравнений
2. Освоить приемы решения системы уравнений с помощью Excel.
План урока
1. Повторение
2. Матрица, правило Крамера
3. Обратная матрица. Матричное уравнение.
4. Решение задач
5. Решение системы уравнений с помощью Excel
6. Практическая работа
Ход урока
1. Повторение. Понятие числового ряда, алгоритм вычисления суммы числового ряда.
2. Матрицей размера М x N называется прямоугольная таблица чисел аij, i=1,2,...,М,
j=1,2,...,N.
a11 a12…a1n
a21 a22…a2n
A=
………………..
А состоит из m строк и n столбцов
am1 am2…amn
Если M=N, то такая матрица называется квадратной. Нуль-матрицей называется матрица,
в которой все элементы равны нулю. Единичной матрицей Е называют матрицу, у
которой на главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю.
Определитель матрицы 2 порядка — число, a11 a22-a21 a12
Определитель 3-го порядка — правило треугольника.
14
Если элементы матрицы отметить точками, то получим правило треугольников:
(+)
(-)
Слагаемые со знаком плюс представляют собой произведение элементов определителя,
взятых по три так, как указано линией на левой части рисунка, а со знаком минус - на
правой части.
Обратной матрицей к матрице А называют матрицу А-1, такую, что А*А-1= А-1*А=Е, при
этом матрица А не вырожденная (определитель не равен нулю)
Систему линейных уравнений можно записать в матричной форме
AX=B
где Х — матрица-столбец неизвестных, B — матрица-столбец свободных членов данной
системы
Правило Крамера:
если в системе
det A≠0 т.е матрица А имеет обратную матрицу А-1, то система имеет,
и при том единственное, решение Х= А-1*b, или x, = , где
определитель, получаемый
из определителя системы заменой i-го столбца на столбец свободных членов.
Пример
3. Решение системы линейных уравнений в Excel.
Решить систему уравнений по правилу Крамера
13x1 - 12х2 - 14х3 + 18х4 = 39
7х1 + 17х2 + 3х3 + 6х4 = 60,б
12х1 + 16х2 + 3х3 + 4х4 = 59,2
2х1- х2 - 3х3 + 6х4 = 7,4
15
1. В Excel
ввести коэффициенты при неизвестных,
вектор свободных членов
следующим образом:
2.Получить 4 новых матрицы
членов,
4х4 путём замены 1 столбца вектором из свободных
далее 2 столбца –вектором свободных членов, 3 столбца, 4 столбца.
В результате :
16
3. В ячейках Н1: Н5 записать текст:
4. В ячейках I1: I5 записать формулы:
5. В ячейках Н7: Н10 записать текст: x1=,x2=,x3=,x4=
В ячейках I7: I10 записать формулы:
17
Таким образом решается система уравнений методом Крамера.
Решение системы уравнений методом обратной матрицы:
1.В Excel ввести коэффициенты при неизвестных,
следующим образом:
вектор свободных членов
2.Вычислить обратную матрицу:
В ячейке А6 записать формулу: = МОБР(A1:A4)
Выделить диапозон
c A6:D9, указатель мыши в строку формул и нажать
CTRL+SHIFT+ENTER одновременно.
18
3.
В ячейках Н1: Н4 записать текст: x1=,x2=,x3=,x4=
В ячейках H5: H9 записать формулы
19
20
Урок 6.
Поиск решений. Решение оптимизационных и поисковых задач.
Цели урока
1. Познакомить с методом поиска решений
2. Освоить приемы решения оптимизационных и поисковых задач средствами Excel.
План урока
1. Повторение
2. Метод поиска решений.
3. Практическая работа
Ход урока
Метод поиска решений.
Поиск решений является частью блока задач, который иногда называют анализ "чтоесли". Процедура поиска решения позволяет найти оптимальное значение формулы
содержащейся в ячейке, которая называется целевой. Эта процедура работает с группой
ячеек, прямо или косвенно связанных с формулой в целевой ячейке. Чтобы получить по
формуле, содержащейся в целевой ячейке, заданный результат, процедура изменяет
значения во влияющих ячейках. Чтобы сузить множество значений, используемых в
21
модели, применяются ограничения. Эти ограничения могут ссылаться на другие
влияющие ячейки.
Вызов модуля «Поиска решения» - Сервис/Поиска решения.
Пример1:
найти максимум функции у = 10cos х(0.5x2+Зх-4) на интервале 0≤Х≤50.
Для этого необходимо в качестве целевой ячейки выбрать ту ячейку, которая содержит
формулу искомой функции, а в качестве изменяющейся ячейки — ячейку с переменной
(в начале расчета Х=О). Выбрать режим вычисления максимального значения.
Интервальное ограничение разбивается на две части
22
23
24
25
26
27
Список литература для учащихся.
1. Непомнящая Н.Н. Учебное пособие по изучению прикладной программы Microsoft
Excel: Для изучающих курс «Компьютерные технологии». - Ижевск: ИД Удмуртский унт, 2001 – 96 с.
Список литература для учителей.
2. Микро-, макроэкономика. Практикум. / Под общ. Ред. Ю.А. Огибина. – СПб.:
«Литера плюс», «Санкт-Петербург оркестр», 1994.
4. Д.М. Златопольский. 1700 заданий по Microsoft Excel. – СПб.: БХВ-СанктПетербург, 2003. – 544 с.
5. Лавренев С.М. Excel: сборник примеров и задач. – Финансы и статистика, 2001. –
336 с.
6. Белоусова Л.И. Сборник задач по курсу информатики / под редакцией Л.И.
Белоусовой. – М.: Издательство «Экзамен», 2007. – 253, [3] с. (серия «Учебнометодический комплект»)
28
Ресурс программы
Определение, обозначения и типы матриц
Определение 14.1
таблица чисел, содержащая
Матрицей размеров
строк и
называется прямоугольная
столбцов. Числа, составляющие матрицу,
называются элементами матрицы.
Обычно принято обозначать матрицы большими буквами, а саму таблицу чисел
заключать в круглые скобки. Например,
,
-- матрица размеров
столбец,
-- матрица размеров
, или другими словами, матрица-
-- матрица размеров
, или матрица-строка.
Иногда вместо круглых скобок в записи матрицы используют квадратные или двойные
прямые линии. Например,
или
.
Если элементы матрицы обозначаются буквами, то для этого обозначения используется
та же буква, что и для обозначения матрицы, только не большая, а малая, и эта буква
снабжается двумя индексами. Например, матрицу размеров
можно записать в
виде
29
В этой записи
означает, что элемент находится в строке с номером и столбце с
номером , то есть первый индекс указывает номер строки, а второй -- номер столбца.
Например, в матрице
,
.
Наряду с
указанным
обозначение
обозначением
элементов
матрицы
используется
также
, в котором номер строки указывает верхний индекс, а номер столбца --
нижний.
Укажем основные типы матриц.
Если число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной.
Число строк или, что то же самое, число столбцов в ней называется порядком матрицы.
Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой. Нулевая
матрица обозначается обычной цифрой 0. Как правило, из контекста ясно, является ли
этот 0 числом или матрицей.
Совокупность
элементов
квадратной
матрицы,
расположенных
на
отрезке,
соединяющем левый верхний угол с правым нижним, называется главной диагональю
матрицы. Например, в матрице
числа
главную диагональ образуют
. Отметим, что при обозначении элементов матрицы буквами с двумя
индексами у элементов главной диагонали и только у них индексы будут равны друг
другу. Так у квадратной матрицы
элементы
,
порядка
элементами главной диагонали являются
.
Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю,
называется диагональной. Примеры диагональных матриц:
30
Квадратная матрица называется верхней треугольной (нижней треугольной), если все
ее элементы, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю. Например, верхние
треугольные матрицы:
Нижние треугольные матрицы:
Верхняя треугольная матрица иногда называется правой треугольной, а нижняя
треугольная -- левой треугольной.
Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы
главной диагонали равны 1. Для обозначения единичной матрицы обычно используется
буква
. Порядок матрицы при этом обычно ясен из контекста. Например,
-- единичная матрица третьего порядка.
Из определения единичной матрицы видно, что ее элементы
равны нулю, если
индексы различны, и равны 1, если индексы совпадают. В математике таким свойством
обладает величина
Поэтому
, называемая символом Кронекера:
.
31
Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и элементы,
стоящие на одинаковых местах, равны друг другу.
32
Транспонирование матрицы
Над матрицами определена еще одна операция, называемая транспонированием.
Определение
14.5
транспонированной матрицей
,
,
Транспонированная матрица
Пусть
--
матрица
размеров
называется такая матрица
размеров
.
Тогда
, что
.
обозначается
или
. Операция транспонирования
заключается в том, что строки и столбцы в исходной матрице меняются ролями. В
транспонированной матрице первым столбцом служит первая строка исходной матрицы,
вторым столбцом -- вторая строка исходной матрицы и т.д. Например,
где
-- число.
Предложение 14.5 Если произведение
определено, то
33
Обратная матрица
Определение 14.8
матрицы
Матрица
, если
называется обратной матрицей для квадратной
.
Из определения следует, что обратная матрица
порядка, что и матрица
будет квадратной матрицей того же
(иначе одно из произведений
или
было бы не
определено).
Обратная матрица для матрицы
существует, то
обозначается
. Таким образом, если
.
Из определения обратной матрицы следует, что матрица
матрицы
, то есть
. Про матрицы
и
является обратной для
можно говорить, что они
обратны друг другу или взаимно обратны.
Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.
Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы
нулю или нет, то введем следующие определения.
Определение 14.9 Квадратную матрицу
матрицей, если
назовем вырожденной или особенной
, и невырожденной или неособенной матрицей, если
.
Предложение 14.21 Если обратная матрица существует, то она единственна.
Предложение 14.22 Если квадратная матрица
является невырожденной, то
обратная для нее существует и
(14.1
4)
34
где
-- алгебраические дополнения к элементам
Теорема 14.1
.
Обратная матрица для квадратной матрицы
тогда и только тогда, когда матрица
существует
-- невырожденная, обратная матрица
единственна, и справедлива формула (14.14).
Замечание 14.12
Следует обратить особое внимание на места, занимаемые
алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс
показывает номер столбца, а второй -- номер строки, в которые нужно записать
вычисленное алгебраическое дополнение.
Пример 14.7 Найдите обратную матрицу для матрицы
.
Решение. Находим определитель
Так как
, то матрица
-- невырожденная, и обратная для нее существует.
Находим алгебраические дополнения:
Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так,
чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй -- строке:
35
(14.1
5)
Полученная матрица и служит ответом к задаче.
Замечание 14.14
При нахождении обратной матрицы приходится выполнять
довольно много вычислений и необычно правило расстановки алгебраических
дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать
ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на
итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то
обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.
Пример 14.8 Найдите обратную матрицу для матрицы
.
Решение.
-- существует.
Ответ:
Нахождение обратной
.
матрицы по формуле (14.14) требует
слишком много
вычислений. Для матриц четвертого порядка и выше это неприемлемо. Реальный
алгоритм нахождения обратной матрицы будет приведен позже.
36
Определители
Определитель квадратной матрицы
Определение
будем обозначать
Определителем
14.6
второго
или
порядка
называется
.
квадратной
матрицы
число
Определителем квадратной матрицы
.
порядка
,
,
называется число
где
--
определитель
матрицы
порядка
вычеркиванием первой строки и столбца с номером
,
полученной
из
матрицы
.
Для наглядности запишем, как можно вычислить определитель матрицы четвертого
порядка:
Предложение 14.6 При транспонировании матрицы определитель не меняется,
то есть
.
37
Предложение 14.7
Определитель произведения квадратных матриц равен
произведению определителей сомножителей, то есть
Предложение 14.8
.
Если в матрице
поменять местами две строки, то ее
Если матрица
имеет две одинаковые строки, то ее
определитель сменит знак.
Предложение 14.9
определитель равен нулю.
Предложение 14.10
Если строку матрицы умножить на число
, то ее
определитель умножится на это число.
Предложение 14.11
Если матрица содержит нулевую строку, то ее
определитель равен нулю.
Предложение 14.12 Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на
число
(строки пропорциональны), то определитель матрицы равен нулю.
Предложение
14.13
Пусть
.
получается из матрицы
матрица
в
матрице
-ая
Тогда
заменой
,
имеет
где
-ой строки на строку
-- заменой -ой строки на строку
Предложение 14.14
строка
вид
матрица
, а
.
Если к одной из строк матрицы добавить другую,
умноженную на число, то определитель матрицы не изменится.
Предложение 14.15
Если одна из строк матрицы является линейной
комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю.
14.7 Алгебраическим дополнением к элементу
,
где
--
определитель
матрицы
матрицы,
называется число, равное
полученной
из
матрицы
вычеркиванием -ой строки и -ого столбца.
Алгебраическое дополнение к элементу
Пример 14.4 Пусть
матрицы
обозначается
.
. Тогда
38
Замечание 14.10
Используя алгебраические дополнения, определение 14.6
определителя можно записать так:
Предложение 14.16
определителя матрицы
Разложение определителя по произвольной строке. Для
справедлива формула
Пример 14.5 Вычислите
.
Решение. Воспользуемся разложением по третьей строке, так выгоднее, поскольку в
третьей строке два числа из трех -- нули. Получим
Предложение 14.17 Для квадратной матрицы
порядка
при
выполнено
соотношение
39
(14.1
2)
Предложение 14.18
Все свойства определителя, сформулированные для строк
( предложения 14.8-14.17), справедливы и для столбцов, в частности, справедливо
разложение определителя по -ому столбцу
(14.1
3)
и равенство
при
.
Предложение 14.19
Определитель треугольной матрицы равен произведению
элементов ее главной диагонали.
Следствие 14.1 Определитель единичной матрицы равен единице,
.
Перечисленные выше свойства позволяют находить определители матриц достаточно
высоких порядков при сравнительно небольшом объеме вычислений. Алгоритм
вычислений следующий.
40
Системы линейных уравнений
Определение 15.1
Системой
линейных уравнений с
неизвестными
называется система уравнений вида
(15.1)
Система
уравнений
называется
однородной,
если
и
неоднородной в противном случае.
Систему (15.1) можно записать также в виде
или в виде
Но наиболее удобной формой записи системы (15.1) является матричная запись.
Введем следующие матрицы: матрица системы
, столбец неизвестных
и столбец
свободных членов ,
С помощью введенных обозначений систему (15.1) можно записать в виде
(15.2)
Определение 15.2
,
которые
Решением системы (15.1) называется любой набор чисел
при
подстановке
в
систему
вместо
неизвестных
превращают все уравнения системы в верные равенства.
41
Решением системы (15.2) называется столбец чисел
подстановки в уравнение вместо столбца
, который после
превращает уравнение (15.2) в верное
матричное равенство.
42
Правило Крамера
Рассмотрим частный случай системы линеных уравнений (15.1), когда
, то есть
когда число уравнений совпадает с числом неизвестных.
Если число уравнений равно числу неизвестных, то матрица
квадратная, порядка
,
и
-- столбцы высоты
исходной системы --
. Предположим, что
. Тогда по
теореме 14.1 существует обратная матрица. Умножив слева обе части равенства (15.2) на
, получим
Таким образом, система уравнений (15.1) имеет единственное решение и оно в
матричной форме может быть записано в виде
(15.
3)
Это так называемый матричный способ решения системы линейных уравнений.
Введем следующие обозначения. Пусть
полученной из матрицы
,
-- определитель матрицы,
заменой столбца с номером на столбец свободных членов,
:
43
Теорема 15.1
(Правило Крамера) Если в системе
неизвестными
линейных уравнений с
, то система имеет решение и притом единственное. Это
решение задается формулами
Пример 15.1 Решите систему уравнений
Решение. Выписываем матрицу системы
членов
и столбец свободных
.
Находим определитель системы:
. Определитель отличен от
нуля, следовательно, можно применить правило Крамера. Находим дополнительные
определители:
Итак,
Ответ:
.
44
Замечание 15.1 При кажущейся простоте правила Крамера применяется оно для
систем более, чем из трех уравнений, только в каких-то исключительных случаях. Дело в
том,
что
вычисление
определителей
требует
выполнения
большого
числа
арифметических операций и существует способ, требующий меньшей вычислительной
работы. Этот способ будет описан позже.
Замечание 15.2 При решении системы уравнений приходится выполнять довольно
большой объем вычислений. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы обнаружить
эту ошибку, рекомендуется выполнить проверку ответа, то есть подставить полученные
значения неизвестных в уравнения системы. Если все уравнения превратятся в верные
равенства, то решение найдено верно. В противном случае при вычислениях где-то
допущена ошибка.
45