Объем тела - mary

Объем тела
План
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Понятие объема
Кубируемые тела
Объем прямого цилиндрического тела
Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений
Принцип Кавальери
Объем тела вращения
Понятие объема в пространстве вводится аналогично понятию площади для фигур на плоскости.
Определение 1.
Тело называется простым, если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид.
Можно доказать, что любой выпуклый многогранник является простым телом.
Определение 2.
Внутренней точкой тела называется всякая точка, которая принадлежит телу вместе с некоторой своей
окрестностью (т. е. открытым шаром с центром в данной точке).
Определение 3.
Каждому телу в пространстве поставим в соответствие положительную величину и назовем ее объемом тела,
если будут выполнены следующие условия:

равные тела имеют равные объемы;

если тело разбить на непересекающиеся по внутренним точкам части, то объем тела равен объему его частей;

за единицу объема принят объем куба, ребро которого равно единице длины.
Определение 4.
Тела с равными объемами называются равновеликими.
Можно доказать, что если тело с объемом V1 содержится внутри тела с объемом V2, то V1 < V2.
Вычисление объемов тел с помощью интегралов
Кубируемые тела
Можно доказать, что объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами
равен
(аналогично
тому, как в планиметрии переходили от площади единичного квадрата к площади прямоугольника).
Рассмотрим более сложные многогранники.
Назовем ступенчатым любое тело , которое можно представить в виде объединения конечного числа
параллелепипедов, никакие два из которых не имеют общих внутренних точек.
Пусть
тела,
— разложение ступенчатого тела на такие параллелепипеды. Тогда, по определению объема
.
Возьмем теперь любое тело . Обозначим через
числовое множество, состоящее из объемов ступенчатых тел,
целиком содержащихся в , а через
— множество объемов ступенчатых тел, содержащих
(внутренние ступенчатые тела),
(внешние ступенчатые тела),
Тогда числовое множество
лежит левее числового множества . В самом деле, если
и
,
то
, где
. Так как ступенчатое тело — часть ступенчатого тела
, то
, а это и значит, что
.
Поскольку
лежит левее , то найдется хотя бы одно число, разделяющее эти множества.
Если
и
разделяются лишь одним числом, то тело называют кубируемым, а число, разделяющее
множества
и , удовлетворяет определению объема для данного тела. Его обозначают
.
Применяя необходимое и достаточное условие единственности разделяющего числа, получаем
следующее необходимое и достаточное условие кубируемости тела:
Для того чтобы тело было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого
нашлись
ступенчатые тела
и
такие, что
и
.
Разделы
Объем прямого цилиндрического тела
Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений
Принцип Кавальери
см.
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=vychislenie-obemov-tel-s-pomoshchyu-integralov
Раздел Объем тела вращения см
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=obem-tela-vrashcheniya