Случайные процессы - Основные образовательные программы
advertisement
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Институт математики и компьютерных наук Кафедра математического анализа и теории функций Мосягин В.Е., Швемлер Н.А. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 01.03.01 «Математика», профиль: «Вещественный, комплексный и функциональный анализ», очная форма обучения Тюменский государственный университет 2014 Мосягин В.Е., Швемлер Н.А. Случайные процессы. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 01.03.01 «Математика», профиль: «Вещественный, комплексный и функциональный анализ», очная форма обучения. Тюмень, 2014, 19 стр. Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом рекомендаций и ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки. Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ: Случайные процессы [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3plus.utmn.ru, раздел «Образовательная деятельность», свободный. Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории функций. Утверждено директором Института математики и компьютерных наук. ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Хохлов А.Г., к.ф-м.н, доцент © Тюменский государственный университет, 201__. © Мосягин В.Е., Швемлер Н.А., 201__. 1. Пояснительная записка 1.1. Цели и задачи дисциплины (модуля) Систематично изложить основы современной теории случайных процессов – науки, изучающей семейства случайных величин и событий. Ознакомить студентов с основными классами случайных процессов (гауссовские, марковские, стационарные, с независимыми приращениями) и обеспечить усвоение основных разделов и методов теории, а также привлечь их внимание к богатому многообразию приложений. Создать у студентов достаточную теоретическую базу и сформировать практические навыки для решения практических задач. 1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы Дисциплина Случайные процессы принадлежит Профессиональному циклу Б1. базовая часть. Для успешного усвоения дисциплины студент обязан знать курсы теории вероятностей и математической статистики, математического анализа, теории функций, алгебры и геометрии. Модели и методы теории случайных процессов используются в следующих дисциплинах: теория экстремальных и оптимизационных задач, история развития математических понятий и при выполнении ВКР. № п/п 1. Таблица 1. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами Наименование Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых обеспечиваемых (последующих) дисциплин (последующих) 1.1 1.2 2.1 3.1 дисциплин Выпускная + + + + квалификационная работа Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной образовательной программы. В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими компетенциями: ОПК-1 Готовность использовать фундаментальные знания в области математического анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей профессиональной деятельности ПК-3 Способность строго доказать утверждение, сформулировать результат, увидеть следствия полученного результата 1.3. 1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю): Знать: условия существования случайного процесса с заданными конечномерными распределениями; основные классы случайных процессов; свойства траекторий, их непрерывность и дифференцируемость; достаточные условия существования непрерывной модификации и отсутствии разрывов второго рода; свойства многомерных гауссовских процессов; Уметь: Владеть: винеровские процессы, свойства их траекторий, принцип отражения, законы повторного логарифма; пуассоновские процессы, свойства траекторий, построение процесса по последовательности независимых величин с экспоненциальным распределением; линейную теорию случайных процессов с конечными вторыми моментами; конструкцию и свойства интегралов по случайной ортогональной мере интеграл Ито; спектральное представление стационарного случайного процесса, спектральную плотность; марковские процессы с дискретным и непрерывным временем; процессы гибели и размножения; элементы теории массового обслуживания; устанавливать принадлежность случайного процесса к определенному классу; находить числовые характеристики процесса (среднее значение, ковариационную функцию); проверять траектории процесса на наличие регулярной модификации; находить интеграл Ито; осуществлять проверку процесса на стационарность и находить его спектральную плотность; классифицировать состояния цепи Маркова; проверять цепь на эргодичность и находить ее стационарное распределение; находить вероятность вырождения процесса гибели и размножения; навыками решением типовых задач и правильной интерпретацией полученного решения навыками общения на профессиональном языке и способностью к адаптации при общении со специалистами из других областей навыками анализа реальных случайных процессов и описанием их в виде математических моделей 2. Структура и трудоемкость дисциплины. Семестр 7. Форма промежуточной аттестации экзамен. Общая трудоемкость дисциплины составляет 5 зачетных единиц, 180 академических часов, из них 76,65 часов, выделенных на контактную работу с преподавателем, 103,35 часов, выделенных на самостоятельную работу. 3. Тематический план Таблица 3. 1.2 2.1 3.1 3.2 3.3 Марковские процессы с непрерывным временем Всего Иные виды работы Итого (часов, баллов): Из них в интеракт. форме Итого количес тво баллов 8 9 10 Самостоятельная работа* 1.1 Из них в интерак тивной форме, в часах Лабораторные занятия* 2 Модуль 1 Основные понятия теории случайных процессов Свойства траекторий. Винеровский и пуассоновсий процессы Всего Модуль 2 Линейная теория случайных процессов с конечными вторыми моментами Всего Модуль 3 Дискретные цепи Маркова Мартингалы Итого часов по теме Семинарские (практические) занятия* 1 Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час. Лекции * Тема недели семестра № 3 4 5 6 7 1-3 6 4 14 24 2 0-15 4-6 6 8 16 30 3 0-15 12 12 30 54 5 0-30 8 8 30 46 5 0-30 8 8 30 46 5 0-30 6 4 15 25 3 0-15 5 6 15 26 2 0-15 5 6 13,35 24,35 5 0-10 16 16 43,35 75,35 10 0-40 180 20 0-100 7-10 1113 1315 1618 4,65 36 36 *- если предусмотрены учебным планом ОП. 108 20 4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля другие формы комплексные ситуационные задания 0-5 0-2 0-15 0-15 0-30 0-4 0-6 0-6 0-5 0-30 0-30 0-2 0-2 0-2 0-3 0-3 0-3 0-4 0-4 0-3 0-2 0-2 0-2 012 0-23 0-25 017 0-15 0-15 0-10 0-40 0100 электронные практикумы 0-5 0-3 эссе 0-5 0-3 реферат 0-2 лабораторная работа тест программы компьютерног о тестирования Информа ции онные системы и технологи и контрольная работа 23 Технические формы контроля ответ на семинаре Модуль 1 1.1 0-5 1.2 Всего Модуль 2 0-9 2.1 Всего Модуль 3 0-4 3.1 0-4 3.2 3.3 Всего 0Итого Письменные работы собеседование коллоквиумы Устный опрос Итого количество баллов Таблица 4. № Темы 5. Содержание дисциплины. Определение случайного процесса, конечномерные распределения; траектории; теорема Колмогорова о существовании процесса с заданным семейством конечномерных распределений (без доказательства). Классы случайных процессов: гауссовские, марковские, стационарные, точечные с независимыми приращениями; примеры; соотношения между классами. Свойства многомерных гауссовских процессов; существование гауссовского процесса с заданным средним и корреляционной матрицей; свойства симметрии и согласованности. Винеровский процесс; критерий Колмогорова непрерывности траектории; следствие для гауссовских процессов. Пуассоновский процесс; построение пуассоновского процесса по последовательности независимых показательных распределений; определение Хинчина пуассоновского процесса. Среднеквадратическая теория: необходимые и достаточные условия непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости; стохастический интеграл; процессыс ортогональными приращениями. Пример стационарного, гауссовского, марковского процесса; примеры стационарных в широком смысле процессов. Цепи Маркова с непрерывным временем; уравнение Колмогорова – Чепмэна; прямые и обратные дифференциальные уравнения Колмогорова; время пребывания процесса в данном состоянии. Процессы гибели и размножения; связь с теорией массового обслуживания; применение к расчету пропускной способности технических систем. Модуль 1. 1.1. Основные понятия теории случайных процессов Определение случайного процесса, конечномерные распределения. Траектория процесса. Стохастически эквивалентные процессы. Сигма-алгебра цилиндрических множеств. Выборочное вероятностное пространство. Неизмеримость множества непрерывных функций относительно цилиндрической сигма-алгебры. Сепарабельные процессы. Семейство конечномерных распределений процесса. Теорема Колмогорова о согласованных распределениях. Ковариационная функция комплекснозначного случайного процесса. Основные типы случайных процессов. Стохастически непрерывные и непрерывные в среднеквадратичном процессы. Процессы с непрерывными траекториями. Классы случайных процессов: гауссовские, марковские, стационарные, с независимыми приращениями. Однородные процессы с независимыми приращениями. Общий вид характеристической функции стохастически непрерывного однородного процесса с независимыми приращениями. 1.2. Свойства траекторий. Винеровский и пуассоновский процессы Достаточные условия существования непрерывной модификации процесса; теорема Колмогорова. Достаточные условия существования модификации процесса без разрывов второго рода; теорема Клмогорова-Ченцова. Винеровский процесс; непрерывность его траекторий с вероятностью 1. Недифференцируемость траектории винеровского процесса в любой точке. Принцип отражения. Законы повторного логарифма. Распределение функционалов: момента первого достижения заданного уровня, максимума траектории на отрезке; первого момента достижения максимума (закон арксинуса). Пуассоновский процесс; его стохастическая непрерывность. Представление пуассоновского процесса посредством случайного вариационного ряда из равномерного распределения. Ступенчатый характер траекторий пуассоновского процесса. Совместное распределение моментов скачков пуассоновского процесса. Сложный (обобщенный) пуассоновский процесс. Простейший поток однородных событий и его связь с пуассоновским процессом. Гауссовские распределения. Гауссовские процессы. Среднее значение и ковариационная функция. Броуновский мост. Модуль 2. 2.1 Линейная теория случайных процессов с конечными вторыми моментами Гильбертово пространство L2 случайных функций с конечным вторым моментом. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость в L2 траекторий процесса. Необходимые и достаточные условия непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости. Непрерывность винеровского и пуассоновского процессов в L2. Недифференцируемость винеровского и пуассоновского процессов в L2. Стационарные процессы в узком и широком смысле, примеры. Теорема Бохнера–Хинчина для стационарных процессов. Спектральная функция и спектральная плотность. Интегрирование случайных процессов по ортогональной стохастической мере (стохастический интеграл). Спектральное представление стационарных процессов. Стохастический интеграл Ито. Стохастический дифференциал. Формула Ито. Стохастические дифференциальные уравнения. Модуль 3. 3.1 Дискретные цепи Маркова Однородные цепи Маркова, примеры. Переходные вероятности. Уравнения Колмогорова–Чепмена. Классификация состояний цепи Маркова. Случайные блуждания в Zn. Неприводимая цепь Маркова. Эргодическая теорема. Стационарное распределение. Система уравнений для вычисления стационарного распределения. 3.2Маргтингалы Обобщение понятия условного математического ожидания, его свойства. Мартингалы(субмартингалы, супермартингалы). Теорема Дуба об остановке. Задача о разорении. Мартингальные неравенства. 3.3 Марковские процессы с непрерывным временем Марковский однородный процесс с непрерывным временем и дискретным множеством состояний, примеры. Марковость винеровских и пуассоновских процессов. Переходные вероятностные функции. Уравнения Колмогорова-Чепмена. Интенсивность переходов. Время пребывания процесса в данном состоянии. Непрерывность и дифференцируемость переходных вероятностных функций. Системы прямых и обратных дифференциальных уравнений Колмогорова. Решение систем уравнений Колмогорова для марковского процесса с конечным множеством состояний. Система уравнений для нахождения стационарного распределения. Процессы гибели и размножения; связь с теорией массового обслуживания; применение к расчету пропускной способности технических систем. 6. Планы семинарских занятий. 1. Основные понятия теории случайных процессов Определение случайного процесса. Траектория процесса. Стохастически эквивалентные процессы. Семейство конечномерных распределений процесса. Ковариационная функция случайного процесса. Стохастически непрерывные и непрерывные в среднеквадратичном процессы. Классы случайных процессов: гауссовские, марковские, стационарные, с независимыми приращениями. Однородные процессы с независимыми приращениями. 2. Свойства траекторий. Винеровский и пуассоновский процессы Теоремы Колмогорова и Колмогорова-Ченцова о существовании регулярных модификаций процесса. Винеровский процесс, принцип отражения. Ковариационная функция винеровского процесса. Пуассоновский процесс, свойства траекторий, его стохастическая непрерывность и ковариационная функция. Гауссовские процессы. Среднее значение и ковариационная функция. Броуновский мост. 3. Линейная теория случайных процессов с конечными вторыми моментами Гильбертово пространство L2 случайных функций с конечным вторым моментом. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость в L2 траекторий процесса. Необходимые и достаточные условия непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости. Стационарные процессы в узком и широком смысле. Спектральная функция и спектральная плотность. Интегрирование случайных процессов по ортогональной стохастической мере (стохастический интеграл). Спектральное представление стационарных процессов. Стохастический интеграл Ито. Стохастический дифференциал. Формула Ито. 4. Дискретные цепи Маркова Однородные цепи Маркова, примеры. Переходные вероятности. Классификация состояний цепи Маркова. Необходимые и достаточные условия возвратности. Теорема солидарности. Эргодические классы состояний. Стационарное распределение. Система уравнений для вычисления стационарного распределения. 5. Мартингалы Условное математическое ожидание. Его свойства. Проверка мартингальности последовательности случайных величин. 6. Марковские процессы с непрерывным временем Переходные вероятностные функции. Уравнения Колмогорова-Чепмена. Стохастическая непрерывность. Интенсивности переходов. Время пребывания процесса в данном состоянии. Системы прямых и обратных дифференциальных уравнения Колмогорова. Решение систем уравнений Колмогорова для марковского процесса с конечным множеством состояний. Стационарное распределение и система уравнений для его отыскания. Процессы гибели и размножения. 7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум). Не предусмотрены учебным планом ОП 8. Примерная тематика курсовых работ. Не предусмотрены учебным планом ОП 9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы студентов. Таблица5 . № Модули и темы Виды СРС обязательные Неделя Объем Кол-во семестра часов баллов дополнительные Модуль 1 1.1 Основные понятия теории случайных процессов 1.2 Свойства траекторий. Винеровский и пуассоновский процессы Работа с лекционным материалом 1-3 14 0-15 Работа с лекционным материалом 4-6 16 0-15 30 0-30 30 0-15 30 0-30 11-13 15 0-15 13-15 15 0-15 16-18 13,35 0-10 43,35 103,35 0-40 0-100 Всего Модуль 2 2.1 Линейная случайных процессов конечными вторыми моментами теория Работа с лекционным материалом с 7-10 Всего Модуль 3 3.1 Дискретные Маркова 3.2 Мартингалы 3.3 Марковские процессы непрерывным временем Всего Итого цепи Работа с лекционным материалом Работа с лекционным материалом Работа с лекционным с материалом 10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля). 10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы (выдержка из матрицы компетенций): * - отмечены дисциплины базовой части Математический анализ + Математический анализ Математическая логика Дифференциальные уравнения + + + Концепции современного естествознания Теория категорий Граничные свойства аналитических функций Итоговая государственная аттестация + + + Случайные процессы 6 семестр + + Теоретико-множественная топология + Функциональный анализ + Математическая статистика Комплексный анализ + Нестандартный анализ 5 семестр + + Теория вероятностей + + Функциональный анализ + Ряды и интегралы Фурье Комплексный анализ + 4 семестр + Дифференциальная геометрия и топология + Действительный анализ Дискретная математика + Иностранный язык (английский) Алгебра + 3 семестр + Математический анализ + 2 семестр + Аналитическая геометрия + Иностранный язык (английский) Алгебра + 1 семестр + Математический анализ + Иностранный язык (английский) Аналитическая геометрия Циклы, дисциплин ы (модули) учебного плана ОП + ПК-3 + ОПК-1 Алгебра Индекс компетенц ии + Выдержка из МАТРИЦЫ соответствия компетенции и составных частей ООП Б.1. Дисциплины (модули) 7 семестр 8 семестр 10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания: Таблица 6. ОПК-1 Код компетенции Карта критериев оценивания компетенций Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП пороговый (удовл.) 61-75 баллов повышенный (отл.) 91-100 баллов Знает: Знает: Знает: основные разделы случайных процессов; имеет представление о возможности их применения в различных областях математики и естествознания базовые понятия и методы современных случайных процессов; знает сферы применения вероятностных моделей в разных областях математики и естествознания случайные процессы в объеме лекционного курса и смежные области, основные методы современной теории, свободно ориентируется в вопросах приложения Умеет: Умеет: Умеет: корректно строить модели случайных процессов и применять методы теории при решении теоретических и прикладных задач уверенно применять случайные процессы для построения математических моделей в различных областях математики и естествознания свободно оперировать понятиями и методами случайных процессов и квалифицированно применять знания в многочисленных приложениях Владеет: Владеет: Владеет: навыками общения на профессионально м вероятностном языке навыками объяснения сути теорем и решения задач неформальным языком (объяснение на «пальцах») Знает: основные понятия и теоремы случайных процессов и разделы курса, где эти теоремы применяются развитыми навыками объяснения сути теорем и решения задач неформальным языком Знает: основные ПК-3 базовый (хор.) 76-90 баллов понятия случайных процессов и разделы теории, где эти понятия используются Знает: все разделы курса случайных процессов и понимает их логическую взаимосвязь Виды занятий (лекции, семинар ские, практические, лабораторные) лекция, семинар Оценочные средства (тесты, творческие работы, проекты и др.) опрос, практические задания семинар опрос, практические задания лекция, семинар опрос, практические задания лекция, семинар опрос, практические задания Умеет: определять тематику задачи и находить способ ее решения с консультационной поддержкой Умеет: Умеет: самостоятельно определить тематику задачи и находить один из возможных вариантов решения, сформулировать результат видеть разные подходы к решению поставленной задачи и самостоятельно находить рациональное решение, формулировать результат Владеет: Владеет: Владеет: начальными навыками строгого доказательства утверждений навыками применения методов и утверждений случайных процессов при решении задач и доказательстве теорем развитыми навыками строгого доказательства теорем в разных областях математики и ее приложениях семинар практические задания лекция, семинар практические задания, опрос 10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы. Задачи для подготовки к контрольным работам: 1. Пусть ( t ) at , t 0 , где случайная величина N(0,1) , a const . Найти конечномерные распределения процесса ( t ) . 2. Найти ковариационные функции винеровского и пуассоновского процессов. 3. Пусть ( t ) 2t , t 0 , где K(0,1) . Вычислить вероятность того, что (t ) 0 хотя бы для одного t (0,1 / 2] . Пусть , - случайные величины, причем P( 0) 0 , P( 0) P( 0) . Найти вероятность того, что траектории процесса (t ) t( t ) , t 0 процесс 4. возрастают. 5. Пусть ( W1( t ), W2 ( t )) , t 0 – векторный процесс, составленный из независимых винеровских процессов. Доказать, что с вероятностью единица этот процесс выйдет из круга произвольного радиуса R с центром в (0,0). 6. Пусть ( t ), t 0 - процесс с независимыми приращениями. Доказать, что функция f (t ) D(t ) возрастает. 7. Пусть X(t) = e–t W(e2t), tR, где W – винеровский процесс, константа >0. Доказать, что X – стационарный гауссовский процесс и найти его спектральную плотность. -алгебра 8. На вероятностном пространстве , , , где 0, 1 , борелевских множеств и - мера Лебега, заданы случайные величины и 1 1 , если 0 ω 3 1 2 η(ω) 1, если ω ; 3 3 2, если 2 ω 1 3 Найти E ( / ). 9. Пусть независимые случайные величины 1, 2 ,..., n имеют пуассоновское 2 2 распределение с параметром , Sn (1 ) ... (n ) . Доказать, что последовательность Xn Sn n , n 1,2,... образует мартингал. 10. Независимые случайные величины 1, 2 ,..., n имеют одно и тоже дискретное распределение: P(1 1) p , P(1 x ) 1 p . При каком значении x n X последовательность n k будет мартингалом. 1 11. Пусть Xn – последовательность, состоящая из независимых случайных величин со средним 0 и дисперсией 2.Найти спектральную плотность процесса Xn = (1/4)Xn-1 +(1/2)Xn-3+n, nZ, где величины n, nZ, независимы и одинаково распределены с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Решить стохастическое дифференциальное уравнение dXt=aX(t)dt +bX(t)dWt, где Wt, t0 – винеровский процесс, a,b – константы, а X(0)=X0. Билеты к экзамену формируются из перечня вопросов: 1. Определение случайного процесса. Стохастически эквивалентные процессы. Неизмеримость множества непрерывных функций отностительно цилиндрической сигма-алгебры 2. Семейство конечномерных распределений процесса. Теорема Колмогорова о согласованных распределениях 3. Ковариационная функция комплекснозначного случайного процесса. Основные типы случайных процессов 4. Стохастически непрерывные и непрерывные в среднеквадратичном процессы. Процессы с непрерывными траекториями 5. Классы случайных процессов: гауссовские, марковские, стационарные, с независимыми приращениями 6. Однородные процессы с независимыми приращениями. Общий вид характеристической функции стохастически непрерывного однородного процесса с независимыми приращениями 7. Достаточные условия существования непрерывной модификации процесса; теорема Колмогорова 8. Достаточные условия существования модификации процесса без разрывов второго рода; теорема Клмогорова-Ченцова 9. Винеровский процесс; непрерывность его траекторий с вероятностью 1. Недифференцируемость траектории винеровского процесса в любой точке 10. Принцип отражения 11. Законы повторного логарифма 12. Распределение момента первого достижения заданного уровня 13. Распределение максимума траектории на отрезке 14. Распределение первого момента достижения максимума (закон арксинуса) 15. Пуассоновский процесс; его стохастическая непрерывность 16. Представление пуассоновского процесса посредством случайного вариационного ряда из равномерного распределения. Ступенчатый характер траекторий пуассоновского процесса 17. Совместное распределение моментов скачков пуассоновского процесса 18. Сложный (обобщенный) пуассоновский процесс. Простейший поток однородных событий и его связь с пуассоновским процессом 19. Гауссовские распределения. Гауссовские процессы. Среднее значение и ковариационная функция. Броуновский мост 20. Гильбертово пространство L2 случайных функций с конечным вторым моментом. Непрерывность траекторий процесса. Необходимые и достаточные условия непрерывности 21. Дифференцируемость в L2. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости 22. Интегрируемость траекторий процесса. 23. Недифференцируемость винеровского и пуассоновского процессов в L2 24. Стационарные процессы в узком и широком смысле, примеры. Теорема Бохнера– Хинчина для стационарных процессов. Спектральная функция и спектральная плотность. 25. Интегрирование случайных процессов по ортогональной стохастической мере 26. Спектральное представление стационарных процессов 27. Стохастический интеграл Ито. Стохастический дифференциал 28. Формула Ито 29. Однородные цепи Маркова, примеры. Переходные вероятности. Уравнения Колмогорова–Чепмена 30. Классификация состояний цепи Маркова. Неразложимые цепи. 31. Обобщение понятия у.м.о. Определение 32. Геометрическая интерпретация у.м.о. 33. Простейшие свойства у.м.о., включая неравенство Чебышева 34. У.м.о. величины относительно независящей от нее сигма-алгебры 35. У.м.о. произведения величин, одна из которых измерима относительно сигма-алгебры 36. Формула повторного матожидания 37. Свойства последовательного усреднения 38. Определение мартингала (полумартингала): его свойства. Естественный поток сигмаалгебр 39. Сумма независимых величин – полумартингал. Пример 40. Теорема Дуба и ее следствия 41. Классификация состояний по асимптотическим свойствам. Необходимые и достаточные условия возвратности состояния 42. Теорема солидарности 43. Случайные блуждания в Zn 44. Эргодическая теорема. Стационарное распределение. Система уравнений для вычисления стационарного распределения 45. Марковский однородный процесс с непрерывным временем и дискретным множеством состояний, примеры 46. Марковость винеровских и пуассоновских процессов 47. Переходные вероятностные функции. Уравнения Колмогорова-Чепмена 48. Интенсивность переходов. Время пребывания процесса в данном состоянии 49. Непрерывность и дифференцируемость переходных вероятностных функций 50. Системы прямых и обратных дифференциальных уравнений Колмогорова 51. Система уравнений для нахождения стационарного распределения 52. Процессы гибели и размножения; связь с теорией массового обслуживания; применение к расчету пропускной способности технических систем 10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования компетенций. Критерии успешности обучения Количественная итоговая оценка определяется как суммарная характеристика фактического уровня знаний студента (в баллах) по совокупности всех форм контроля, предусмотренных по данной дисциплине (максимум – 100 баллов). Шкала перевода семестровых баллов в оценку Таблица 7. Баллы 0 – 60 61 – 75 76 – 90 91 – 100 Экзамен Неудовлетворительно Удовлетворительно Хорошо Отлично Неуспевающие студенты или студенты, желающие повысить оценку, должны сдать экзамен. Экзаменационные билеты включают: два теоретических вопроса по курсу дисциплины за семестр и три практические задачи. Ответ на вопрос и решение каждой задачи оценивается максимально в 5 баллов. Критерии оценивания ответа на теоретический вопрос: 5 баллов ставится в случае, если: - ответ содержит глубокое знание излагаемого материала; - студент ответил на дополнительные или уточняющие вопросы по тематике, указанной в билете. При этом допускаются незначительные неточности и частичная неполнота ответа при условии, что в процессе беседы экзаменатора с экзаменуемым последний самостоятельно делает необходимые уточнения и дополнения. 4 балла ставится в случае, если - ответ содержит в целом правильное, но не всегда точное и аргументированное изложение материала. - недостаточно полно раскрыто содержание вопроса, и при этом в процессе беседы студент не смог самостоятельно дать необходимые поправки и дополнения, или не обнаружил какое-либо из необходимых для раскрытия данного вопроса умение. 3 балла ставится в случае, если: - в ответе допущены значительные ошибки, которые при наводящих вопросах экзаменатора были частично исправлены; - студент испытывает затруднения с использованием научно-понятийного аппарата и терминологии дисциплины; - в ответе не раскрыты некоторые существенные аспекты содержания. 2 балла ставится в случае, если: - в ответе допущены значительные ошибки, которые студент не смог исправить даже с помощью наводящих вопросов экзаменатора; - студент путает термины и не владеет научно-понятийным аппаратом курса. 1 балл ставится в случае, если: - хотя бы одна формулировка (определения или теоремы) в ответе верна; - все формулировки ответа не соответствуют поставленным вопросам, но при этом они частично верны и относятся к тому же разделу курса, что и экзаменационный вопрос. В остальных случаях ставится 0 баллов. Критерии оценивания решения практической задачи: 5 баллов ставится в случае, если решение содержит - все необходимые этапы, каждый из которых не содержит ошибок; - развернутые ответы и грамотные комментарии, - правильно используется терминология и математические символы. При этом допускаются незначительные ошибки в расчетах на последнем этапе решения. 4 балла ставится в случае, если - решение содержит все необходимые этапы, некоторые из которых могут содержать ошибки вычислительного характера, которые не оказали существенного влияния на дальнейшее решение; - решение не содержит необходимых комментариев, обоснований выводов и переходов от одного этапа решения к другому; - неверно используются символьный аппарат и терминология при правильном решении. 3 балла ставится в случае, если: - в решении пропущены некоторые необходимые этапы без какого-либо комментария; - в решении допущены ошибки в вычислениях, повлекшие за собой неверные выводы и ответы, но при этом сами выводы сделаны верно с учетом данных ошибок. - промежуточные этапы проведены верно, но при этом либо ответ не соответствует постановке задачи, либо требуемое в постановке задачи вообще не найдено. 2 балла ставится в случае, если: - студент показал знание алгоритма решения, провел решение по алгоритму, но этапы решения содержали существенные ошибки. 1 балл ставится в случае, если: - решение содержит менее трети необходимых этапов, но при этом хотя бы один из этапов выполнен верно; - студент показал знание алгоритма, проведя по нему решение, но при этом ни один из этапов не был выполнен правильно; В остальных случаях ставится 0 баллов. Шкала перевода экзаменационных баллов в оценку Таблица 8. Баллы 0-8 9-15 16-20 21-25 Экзамен Неудовлетворительно Удовлетворительно Хорошо Отлично 11. Образовательные технологии. При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы с методами и формами активизации познавательной деятельности бакалавров для достижения запланированных результатов обучения и формирования заявленных компетенций. Лекционные занятия проводятся с использованием наглядных пособий и раздаточных материалов. Целью лекций является изложение теоретического материала и иллюстрация его примерами и задачами. Основным теоретическим положениям сопутствуют пояснения об их приложениях к другим разделам математики, а также экономике, физике, программированию. При проведении практических занятий используются индивидуальные и групповые формы работы; работа в малых группах; выполнение заданий в паре; взаимопроверка выполненных задач. Во время лекционных занятий ведется активный диалог со слушателями, используется проблемное изложение материала. Принципами организации учебного процесса являются: активное участие слушателей в учебном процессе; проведение практических занятий, определяющих приобретение навыков решения практических задач; приведение примеров применения изучаемого теоретического материала к реальным практическим ситуациям. 12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля). 12.1 Основная литература: 1. Кельберт М.Я. Вероятность и статистика в примерах и задачах: перевод с английского/ Марк Яковлевич Кельберт; М. Я. Кельберт, Ю. М. Сухов. - Москва: МЦНМО. Т. 2: Марковские цепи как отправная точка теории случайных процессов и их приложения. - 2010. - 560 с.: ил.; 22 см. - Библиогр.: с. 554-555. 2. Раенко, Е. А.. Теория случайных процессов [Электронный ресурс] : учебное пособие / Е. А. Раенко, Д. А. Ваулин: учебное пособие/ Е. А. Раенко, Д. А. Ваулин ; ГорноАлтайский гос. ун-т. - Горно-Алтайск: Горно-Алтайский гос. ун-т, 2014. - 70 с.. Библиогр.: с. 69. Загл. из текста. Режим доступа : http://icdlib.nspu.ru/catalog/details/icdlib/645140/ 12.2 Дополнительная литература: 1. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 2. Боровков А.А. Теория вероятностей. – М., “Эдиториал УРСС”, 2004. 3. Коршунов Д.А., Фосс С.Г., Эйсымонт И.М. Сборник задач и упражнений по теории вероятностей и случайным процессам. – СПб.: «Лань», 2004. 12.3 Интернет-ресурсы: 1. Лекции по теории случайных процессов - http://kyrator.com.ua/index.php 2. Материалы по теории случайных процессов -http://student48.ru/materials.php 3. Случайные процессы – http://scask.ru/book_brts.php 13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости). Нет необходимости 14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля). В организации учебного процесса необходимыми являются средства, обеспечивающие аудиовизуальное восприятие учебного материала (специализированное демонстрационное оборудование): доска и мел или мультимедийная доска, компьютеры (для передачи, поиска, изучения материала, для контроля знаний и др.) 15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля). Для успешного усвоения Модуля 1 требуется повторить следующие разделы курса Теории вероятностей: независимость случайных величин, нормальное и пуассоновское распределения, характеристические функции. Для успешного усвоения Модуля 2 обучающим необходимы сведения из курса Функционального анализа, в частности, знание таких разделов как: нормированные пространства, пространство Банаха, гильбертовы пространства. Первый раздел Модуля 3 – Дискретные цепи Маркова - предполагает у обучающего знание курса матричной алгебры. Раздел 3 обобщает раздел 3.1. на непрерывное время. Раздел Мартингалы предполагает знание условных распределений и условных математических ожиданий. Дополнения и изменения к рабочей программе на 201__ / 201__ учебный год В рабочую программу вносятся следующие изменения: _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ ___________________________________________________________ Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании ______________________________________ «__» _______________201 г. Заведующий кафедрой ___________________/___________________/ Подпись Ф.И.О. кафедры
