КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРЫ» ВАРИАНТ I В

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРЫ»
ВАРИАНТ I
1. В ромбе АВСD диагонали AC  a и BD  b . Разложить по этим двум векторам векторы
AB и BC .
2. Даны векторы a и b и угол между ними равный 1200. Построить вектор c  2a  1,5b и
определить его длину, если a  3, b  4 .
3. Даны векторы a  2i  j  3k , b  i  3 j  2k , c  3i  2 j  4k . Найти вектор x , если
x  a  5 , x  b  11 , x  c  20 .
4. В треугольнике с вершинами А(4;-14;8), В(2;-18;12), С(12;-8;12) найти длину высоты,
опущенной из вершины С на сторону АВ.
5. Дана пирамида с вершинами в точках А1(-2;0;-4), А2(-1;7;1), А3(4;-8;-4), А4(1;-4;6). Найти:
1) длину ребра А2А3;
2) косинус угла между ребрами А1А2 и А1А4;
3) объем пирамиды.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРЫ»
ВАРИАНТ II
1. В ромбе АВСD диагонали AC  a и BC  b . Разложить по этим двум векторам векторы
CD и DA .
2. Зная одну из вершин треугольника А(1;-6;3) и векторы, совпадающие с двумя сторонами
AB  3 j  5k и BC  4i  2 j  k , найти остальные вершины и вектор CA .
3. Найти вектор m , зная, что m  c , m  a  4 , m  b  35 , где a  3;2;4  , b  5;1;6  ,
c   3;0;2 .
4.
Зная две стороны AB   3;2;6  , BC   2;4;4 треугольника АВС, вычислить длину
высоты АD.
5. Дана пирамида с вершинами в точках А1(1;2;0), А2(3;0;-3), А3(5;2;6), А4(8;4;-9). Найти:
1) длину ребра А2А3;
2) углол между ребрами А1А2 и А1А4;
3) объем пирамиды.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРЫ»
ВАРИАНТ III
1. В параллелограмме АВСD стороны CB  a и CD  b . Разложить в базисе ( a, b ) векторы
CO и OB , где О- точка пересечения диагоналей параллелограмма.
2. Разложить вектор c  10;5 по векторам a и b , если a  2;3 и b  3i  4 j .
3. Найти

вектор

d , зная, что
d  a,
d  b , где
a  2;3;1 ,
b  1;2;3
и
d  2i  j  k  6 .
4.
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a  3 p  q и b  p  2q , где
 
p  4 , q  1 ,  p, q 

4
.
5. Дана пирамида с вершинами в точках А1(7;2;4), А2(7;-1;-2), А3(3;3;1), А4(-4;2;1). Найти:
1) угол между ребрами А1А2 и А1А4;
2) объем пирамиды.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРЫ»
ВАРИАНТ IV
1. В параллелограмме АВСD стороны CB  a и CD  b . Разложить в базисе ( a, b ) векторы
AO и OD , где О- точка пересечения диагоналей параллелограмма.
2. Разложить вектор c   2;5 по векторам a и b , если a  1;3 и b  3i  4 j .
3. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам a  2i  j  k и b  1;1;2 .
4.
Найти площадь треугольника АВС, в котором А(2;1;0), В(-2;4;1), С(-3;-8;4).
5. Дана пирамида с вершинами в точках А1(1;3;6), А2(2;2;1), А3(-1;0;1), А4(-4;6;-3). Найти:
1) косинус угла между ребрами А1А2 и А1А4;
2) объем пирамиды.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРЫ»
ВАРИАНТ V
1. Дано:
a
b
c
Построить:

 
1) a  b  c ;

2) 3b 

1 
ac ;
2
 
3) a  b  c
2. Сила F  2; 3;  5 приложена к точке А(1; -2; 2). Определить модуль момента силы F
относительно точки В(1; 4; 0).
3. Найти проекцию вектора c  4;  5;1 на направление вектора d  3; 2;  4  .
4. Найти угол между векторами m и n , если m  n  1 и векторы a  m  n и b  2m  n
взаимно перпендикулярны.
5. Найти объем пирамиды, построенной на векторах
a   3; 0;  2, b   1;  1; 3, c   4;  1; 0
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРЫ»
ВАРИАНТ VI.
1. Дано:
b
a
Построить:

c


1) a  b  c ;

2) 2b 
1 
a c;
2



3) c  b  a
2. Сила F  2; 3;  5 приложена к точке А(1; -2; 2). Вычислить работу силы F в случае, когда
точка её приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения А в положение
В(1; 4; 0).
3. Найти координаты единичного вектора e , направленного по биссектрисе угла, образуемого
векторами a  2i  3 j  6k и b  i  2 j  2k .
4. Найти площадь треугольника, построенного на векторах a  i  6 j  2k и b  5i  4 j .
5. Доказать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом
базисе. a  i  4 j  3k , b  3i  2 j  4k , c  2i  7 j  k ,
d  6i  20 j  3k .
ОТВЕТЫ.
Вариант I
1) AB 
1
1
1
1
a  b; BC  a  b
2
2
2
2
2) c  108  6 3
3) x  2;3;2 
4) 10
5) A2 A3  5 11; cos  
1
15
; V
250
3
Вариант II
1) CD  
1
1
1
1
a  b ; DA   a  b
2
2
2
2
2) В(1; -3; 8) ; С(5; -1; 7) ; CA  (4;  5;  4)
3) m  2; 7; 3
8 5
3
4)
AD 
5)
A2 A3  89 ; cos  
37
134  17
; V=34
Вариант III
1
1
1
1
a  b ; OB  a  b
2
2
2
2
55
20
a b
2) c 
17
17
1) CO 
3) d   3; 3; 3
4) S  14 2
6
5) cos  
;
V=21,5
5 26
Вариант IV
1
1
1
1
a  b ; OD   a  b
2
2
2
2
23
1
a b
2) c  
13
13
1) AO  

1

11
3)  
;
3
11
;
3163
2
37
5) cos  
;
3 345
1 

11 
4) S 
V 
70
3
ВАРИАНТ V
2)
3) 
736
2
29
4) 
5)
1
2
ВАРИАНТ VI
2) 28
 1
3) e
3 2
4)
;
4 

3 2 3 2
1
210
5) d  a  b  2c
;