Основные элементарные функции комплексного переменного

Тема 1 Функции комплексной переменной
Практическое занятие 1 Функции комплексной переменной
1.1 Множества, кривые, области
1.2 Предел последовательности
1.3 Предел и непрерывность функции комплексной переменной
1.4 Основные элементарные функции комплексной переменной
1.1 Множества, кривые, области
Множество точек плоскости , удовлетворяющих неравенству
z0  z   , называется ε-окрестностью точки z0 :
U ( ; z0 )   z 
z0  z    .
Множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих
условию z  R  0 , называется R - окрестностью бесконечно
удаленной точки z   :
U ( R; )   z 
z  R  0.
Комплексная плоскость вместе с бесконечно удаленной точкой
z   называется расширенной комплексной плоскостью. Символы x  i ,   iy ,  ei задают направления на плоскости .
Точка z0 называется предельной точкой множества E  , если в любой окрестности точки z0 расположено бесконечно много
точек z  Ε . Предельная точка z0 может принадлежать множеству
E , а может и не принадлежать ему.
Точка z  Ε называется внутренней точкой множества E , если
существует такое   0 , что окрестность U ( ; z ) состоит только из
точек множества E . Множество называется открытым, если каждая точка этого множества является его внутренней точкой.
Точка z0 расширенной комплексной плоскости называется граничной точкой множества E , если при любом   0 окрестность
U (  , z0 ) содержит точки z  E и точки z  E . Граничная точка
множества E может принадлежать множеству E , а может и не
принадлежать ему. Совокупность всех граничных точек множества
5
называется границей множества. Множество E , содержащее свою
границу, называется замкнутым и обозначается E .
Пусть t  T  . Если каждому значению t T поставлено в
соответствие z  , то говорят, что на множестве T задана комплекснозначная функция действительной переменной t : z  z (t ) .
Полагая z (t )  x(t )  iy (t ) , можно считать, что задание функции
z (t ) равносильно заданию на множестве T двух действительных
функций x(t ) и y (t ) переменной t . Очевидно, если x(t ) и y (t )
непрерывные функции, то и функция z (t ) является непрерывной.
Графиком функции z (t ) является кривая на комплексной плоскости . Точкой самопересечения кривой z (t ) называется точка z ,
для которой при t1  t2 имеет место соотношение z (t1 )  z (t2 ) .
Кривой Жордана называется непрерывная кривая z (t ) , t T ,
не имеющая точек самопересечения. Замкнутой кривой называется
кривая Жордана, у которой конец совпадает с началом (совпадение
начала и конца замкнутой кривой не считается точкой самопересечения). Кривая Жордана z  t  называется гладкой, если функции
x(t ) и y (t ) непрерывно-дифференцируемы и xt' 2  yt' 2  0 на множестве T . Кривая Жордана называется кусочно-гладкой, если она
состоит из конечного числа гладких кривых.
Множество E называется связным множеством, если две любые его точки можно соединить кривой Жордана, целиком лежащей в E . Связное открытое множество E называется областью.
а)
б)
Рисунок 1. 1 – Односвязная (а) и многосвязная (б) области
Область, ограниченная замкнутым контуром  , обозначается
D . Область D называется односвязной, если любой замкнутый
контур  целиком лежащий в D , ограничивает область D  D
6
(рисунок 1. 1, а). В противном случае область называется многосвязной (рисунок 1. 1, б).
Для многосвязной области D найдутся контуры  1 ,  2 , …,  n ,
такие, что точки из областей D 1 , D 2 , …, D n не входят в D . С
помощью дополнительных разрезов l1 , l2 , ..., ln многосвязная область преобразуется в односвязную (рисунок 1. 2), так как в области с разрезами любой замкнутый контур  не будет содержать
внутри себя точек из областей D 1 , D 2 , …, D n .
Рисунок 1. 2 – Многосвязная область D и ее разрезы l1 , l2 , l3
Положительным направлением обхода границы области D считается то направление, при котором область D остается слева.
1.2 Предел последовательности
Пусть дана последовательность комплексных чисел
 zn  , n  1,2, ... .
Число a , a  называется пределом числовой последовательности  zn  , если для любого   0 существует номер N   такой,
что для всякого n  N   справедливо неравенство zn  a   :
a  lim zn     0 N   : n  N  
n
zn  a   .
Комплексное число a   называется пределом последовательности  zn  , если  R  0 найдется такой номер N  R  , что для
любого n  N выполняется неравенство zn  R :
lim zn     R  0  N  R  : n  N  R 
n
7
zn  R .
Т е о р е м а 1 Для того чтобы существовал конечный предел
a    i последовательности  zn  , zn  xn  iy n , необходимо и
достаточно, чтобы существовали пределы последовательностей
действительных чисел  xn  и  yn  и lim xn   , lim yn   .
n
n
Пусть zn  rn ei n и a  r e i  показательные формы для
zn  xn  iyn и a    i соответственно.
Т е о р е м а 2 Для того чтобы существовал конечный предел
i
r e , r  0 , последовательности rn ei n , необходимо и доста-


точно, чтобы существовал предел lim rn  r , а при соответствуn 
ющем выборе области главных значений аргументов  n и  существовал предел lim n   .
n
Последовательность  zn  называется ограниченной, если существует число M 
такое, что все элементы последовательности

удовлетворяют неравенству zn  M .
Сходящиеся последовательности комплексных чисел обладают свойствами:
– сходящаяся последовательность имеет только один предел;
– сходящаяся последовательность ограничена;
– если последовательность  zn  сходится, то она ограничена:
lim zn  a  M  R : zn  M ;
n
– сумма (разность) двух сходящихся последовательностей
есть сходящаяся последовательность, предел которой равен
сумме пределов последовательностей:
lim  zn  wn   lim zn  lim wn ;
n 
n 
n 
– произведение двух сходящихся последовательностей есть
сходящаяся последовательность предел которой равен произведению пределов последовательностей:
lim  zn  wn   lim zn  lim wn ;
n 
n 
n 
– частное двух сходящихся последовательностей
8
 zn 
и
 wn  ,
lim wn  0 , есть сходящаяся последовательность предел
n
которой равен частному пределов последовательностей:
lim zn
z
lim n  n  ;
n  w
lim wn
n
n 
Т е о р е м а 3 ( к р и т е р и й К о ш и ) Для того чтобы последовательность  zn  была сходящейся, необходимо и достаточно,
чтобы для любого   0 существовал номер N   такой, что для
всякого n  N   и p  1,2,... справедливо неравенство
zn  p  zn   .
1.3 Предел и непрерывность функции комплексной переменной
Если каждому комплексному числу z  E ( z  x  iy ) по правилу f поставлено в соответствие одно или несколько комплексных чисел w  G , ( w  u  iv ), то говорят, что на множестве E
задана функция комплексной переменной w  f ( z ) , переменная z
называется независимой переменной, а w – значением функции.
Если каждому z  E соответствует одно значение w  G , то
функция w  f ( z ) называется однозначной; в противном случае –
многозначной. При этом множество E называется областью определения, а совокупность всех значений w , которые функция принимает на E , называется множеством значений.
Геометрически функция w  f ( z ) представляет собой отображение области E плоскости
 Oxy 
на некоторую область G
плоскости W  O*uv  (рисунок 1. 3)
Рисунок 1. 3 – Геометрическая интерпретация функции w  f ( z )
9
Обратное отображение множества G на множество E определяет обратную функцию z    w  .
Если функция w1  f ( z ) отображает область E на область E1 ,
а функция w  g ( w1 ) отображает область E1 на область G , то
сложная функция w  g  f  z   осуществляет отображение обла-
сти E на G .
Функция f ( z ) называется однолистной на множестве E , если
она однозначна и в различных точках z1  z2 множества E прини-
мает различные значения f  z1   f  z2  .
Пусть z  x  iy и w  u  iv . Тогда функция f ( z ) может быть
записана в виде:
f ( z)  u( x, y)  iv( x, y) ,
где u( x, y)  Re f ( z) – действительная часть, v( x, y)  Im f ( z ) –
мнимая часть.
Модуль функции f ( z ) находится по формуле:
f  z   u 2  x; y   v 2  x; y  .
Пусть однозначная функция f ( z ) определена в некоторой
окрестности точки z0  , кроме, быть может, самой точки z0 .
Комплексное число A ( A   ) называется пределом функции
f ( z ) при z  z0 , если для любого   0 найдется такое
   ( )  0 , что для всех точек z , удовлетворяющих неравенству
0  z  z0   , выполняется неравенство f ( z )  A   :
A  lim f ( z )    0   0 : z 0  z  z0  
z  z0
f z  A   .
Комплексное число A   , называется пределом функции f ( z )
при z  z0 , если для любого R  0 найдется такое  ( R)  0 , что
для всех точек z , удовлетворяющих неравенству 0  z  z0   ,
выполняется неравенство f ( z )  R :
lim f ( z)    R  0   R   0 : z 0  z  z0  
z  z0
10
f z  R .
Функция  ( z ) называется бесконечно малой при z  z0 , если
ее предел равен нулю: lim f ( z )  0 .
z  z0
Т е о р е м а 4 ( к р и т е р и й К о ш и ) Для существования конечного предела A функции f ( z ) необходимо и достаточно, чтобы для любого числа   0 существовало такое число
   ( )  0 , что для любых точек z ' и z '' , принадлежащих области определения функции f ( z ) и удовлетворяющих неравенствам
0  z ' z  
0  z '' z   ,
и
выполняется
неравен-
ство f ( z ')  f ( z '')   .
Т е о р е м а 5 Пусть функция f ( z )  u( x, y,)  iv( x, y) определена и конечна в некоторой окрестности точки z0  x0  iy0 и
A  u0  iv0 . Тогда для того, чтобы lim f ( z )  A , необходимо и
z  z0
достаточно, чтобы существовали пределы
lim u ( x, y )  u0 , lim v( x, y)  v0 .
x  x0
y  y0
x  x0
y  y0
Пусть функции f ( z ) и g ( z ) имеют конечные пределы при
z  z0 . Тогда имеют место соотношения:
lim[ f ( z )  g ( z )]  lim f ( z )  lim g ( z ) ,
z  z0
z  z0
z  z0
lim[ f ( z )  g ( z )]  lim f ( z )  lim g ( z ) ,
z  z0
z  z0
z  z0
f ( z)
 f ( z )  zlim
 z0
lim 

при g ( z )  0 .

z  z0 g ( z )
g z

 zlim
z
0
Функция f ( z ) называется непрерывной в точке z0 , если
lim f ( z )  f ( z0 ) .
z  z0
Функция f ( z ) называется непрерывной в области D , если она
непрерывна в каждой точке этой области.
Сумма, разность и произведение конечного числа функций комплексной переменной, непрерывных в области D , является непрерывной функцией в этой области. Частное двух непрерывных
11
функций f ( z ) и g  z  в области D является непрерывной функцией в тех точках этой области, где g  z   0 .
Если функция w1  f ( z ) непрерывна в точке z0 и функция
w  g ( w1 ) непрерывна в точке w1  f  z0  , то сложная функция
w  g  f  z   непрерывна в точке z0 .
Функция f ( z ) называется равномерно непрерывной в области D , если для любого   0 можно найти такое    ( )  0 , что
для любых двух точек z ' , z ''  D , расстояние между которыми
меньше  ( z ' z ''   ), расстояние между соответствующими
значениями
функции
f  z '
и
f  z ''
меньше

( f ( z ')  f ( z '')   ).
Очевидно, что всякая равномерно непрерывная функция в области D является непрерывной функцией в этой области. Обратное
утверждение верно не всегда: непрерывная функция в области D
может и не обладать свойством равномерной непрерывности.
Т е о р е м а 6 ( К а н т о р а ) Если f ( z ) непрерывна в замкнутой области D , то она равномерно непрерывна в этой области.
1.4 Основные элементарные функции комплексной переменной
Следующие функции (как однозначные, так и многозначные)
называются элементарными:
а) дробно-рациональная функция
a0 z n  a1 z n 1  ...  an
,
b0 z m  b1 z m 1  ...  bm
ai , b j  , i  0,1,..., n , j  0,1,..., m , n , m  ,
частными случаями которой являются:
– линейная функция a z  b ;
– степенная функция z n ;
– дробно-линейная функция
az  b
, ad  bc  0 ;
cz  d
12
1
1
z  ;
2
z
z
б) показательная функция e , для которой при z  x  iy справедливо представление
exi y  ex (cos y  i sin y) ,
и формулы Эйлера
eiz  cos z  i sin z , eiz  cos z  i sin z ;
в) тригонометрические функции:
eiz  eiz
eiz  eiz
, sin z 
,
cos z 
2
2i
sin z
cos z
, ctg z 
.
tg z 
sin z
cos z
Все тригонометрические тождества для тригонометрических
функций комплексного переменного аналогичны тождествам тригонометрических функций действительного переменного;
г) гиперболические функции:
e z  e z
e z  e z
, ch z 
,
sh z 
2
2
sh z
ch z
, cth z 
.
th z 
sh z
ch z
Гиперболические и тригонометрические функции связаны между собой соотношениями:
– функция Жуковского
sh z  i  sin iz ,
ch z  cos iz ,
th z  i tg iz ,
cth z  i ctg iz ,
sin z  i sh iz ,
cos z  ch iz ,
tg z  i th iz ,
ctg z  i cth iz .
Для гиперболических функций справедливы тождества, аналогичные тригонометрическим тождествам за исключением
ch 2 z  sh 2 z  1 ;
д) логарифмическая функция
Ln z  ln z  i Arg z или
13
Ln z = ln z  i(arg z  2 k ) , k  ,
которая является многозначной.
Значение функции, которое получается при k  0 , называется
главным значением и обозначается
ln z  ln z  i arg z ;
е) общая степенная функция
z  e Ln z ,   , z  0 ,
которая является многозначной, ее главное значение равно
z  e ln z ;
ж) общая показательная функция
a z  e zLn a , a  \ 0 ,
которая является многозначной, и ее главное значение равно
a z  e z ln a ;
и) обратные тригонометрические функции Arcsin z ,
Arccos z , Arctg z , Arcctg z определяются как обратные функции к
функциям sin z , cos z , tg z , ctg z соответственно. Эти функции
являются многозначными и выражаются через логарифмическую:
i
 1  iz 
Arcsinz  i Ln iz  1  z 2 ,
Arctg z   Ln 
,
2  1  iz 
i
 z i 
Arccos z  i Ln z  z 2  1 ,
Arcctg z  Ln 
.
2  z i
Функции являются многозначными, и их главные значения
arcsin z , arccos z , arctg z , arcctg z получаются, если брать главные значения соответствующих логарифмов;
к) обратные гиперболические функции Arcsh z , Arcch z ,
Arcth z , Arccth z определяются как обратные функции к функциям sh z , ch z , th z , cth z соответственно. Эти функции являются
многозначными и выражаются через логарифмическую:






Arcsh z  Ln z  z 2  1 ,
1 1 z 
Arcth z  Ln 
,
2 1 z 

1  z 1
Arccth z  Ln 
.
2  z 1 
14

Arcch z  Ln z  z 2  1 ,
Функции являются многозначными и их главные значения
arcsh z , arcch z , arcth z , arccth z получаются, если брать главные
значения соответствующих логарифмов.
Вопросы для самоконтроля
1 Что называется окрестностью точки z0 ?
2 Дайте определение: а) предельной, б) внутренней, в) граничной точки множества E  .
3 Какое множество называется: а) открытым, б) замкнутым?
4 Какая функция называется комплекснозначной?
5 Какая кривая называется кривой Жордана?
6 Дайте определение связного множества.
7 Что называется областью комплексной плоскости?
8 Какая область называется: а) односвязной, б) многосвязной?
9 Какое направление обхода границы области называется положительным?
10 Сформулируйте определение числовой последовательности
комплексных чисел.
11 Что называется пределом числовой последовательности комплексных чисел и какими свойствами он обладает?
12 Дайте определение функции комплексной переменной.
13 Какая функция называется: а) однозначной, б) многозначной,
в) однолистной?
14 Как определяется действительная и мнимая части функции
комплексной переменной?
15 Что называется пределом функции комплексной переменной?
16 Сформулируйте критерий Коши существования предела
функции комплексной переменной.
17 Какая функция комплексной переменной называется непрерывной а) в точке, б) в области?
18 Какая функция называется равномерно-непрерывной?
19 Какие функции комплексной переменной называются элементарными?
15
Решение типовых примеров
1 Вычислить пределы последовательностей:
n2  i n  2i  4
i
а) zn 
;
б) zn  n tg .
2
i n  5n  4i
n
Р е ш е н и е . а) имеем
i 2i  4 

n 2 1   

n 2  i n  2i  4
n
n2  1

lim

lim
  i ;
n  i n 2  5n  4i
n 
5 4i 
i
2
n i   2 
 n n 
б) имеем
i
i
tg
sin
i
n  i  1  lim i  i .
lim n tg  lim n  lim
n 
n 
n 
i
i
i
n n 1
cos
cos
n
n
n
n
2 Найти значение модуля функции w  sin z в точке


z0    i ln 2  5 .
Р е ш е н и е . Пусть z  x  iy . Тогда
w  sin z  sin  x  iy   sin x cos iy  cos x sin iy 
 sin x ch y  i sh y cos x .
Отсюда
Re  sin z   sin x ch y ,
Im  sin z   sh y cos x .
Тогда модуль функции w  sin z равен
sin z  sin 2 x ch 2 y  sh 2 y cos2 x 
 sin 2 x ch 2 y  sh 2 y 1  sin 2 x  
 sin 2 x  ch 2 y  sh 2 y   sh 2 y  sin 2 x  sh 2 y .


Подставляя z0    i ln 2  5 , получим


sin   i ln 2  5
 
 
sin 2   sh 2 ln 2  5
16
 
 
 sh ln 2  5
 
e

ln 2  5

e
2

 ln 2  5


2  5  1  4  4 5  5 1  8  4 5  2 .

22  5 
22  5 
22  5 
2
Видно, что тригонометрические функции комплексной переменной могут принимать значения по модулю больше единицы.
3 Найти значение модуля и главное значение аргумента функции w  ch z в точке z0  i .
Р е ш е н и е . Имеем ch i  cos1 . Тогда значение модуля функции w  ch z в точке z0  i равно
ch i 
 cos1
2
 02  cos1 ,
а главное значение аргумента –
 0 
arg  ch i   arctg 
0.
 cos1 
2
 z в точке z0  i .
4 Найти все значения функции w 
2
Р е ш е н и е . Для извлечения корня n -ой степени из комплексного числа z воспользуемся формулой Муавра в показательной
форме:
i   2 k 
zk  z  r  e n , k  0, 1, 2,..., n  1 .
Так как показательная форма комплексного числа z0  i равна
n
i

n
i 

  2 k 

z0  e 2 , то i  e 2  2
, k  0,1 .
Тогда функция в точке z0  i принимает два значения:

5
i
i
2
2
 e 4 , w1 
e 4
2
2
5 Вычислить значения функции в точке:
а) Ln  1 ;
б) Arctg 1  i  .
w1 
Р е ш е н и е . а) имеем z0  1 ; z0  1 ; arg z0   .
Тогда
17
Ln  1  ln1  i  2 ki  i  2 ki  i 1  2k  , k  ;
б) по свойствам обратных тригонометрических функций имеем
i
2i
i
Arctg 1  i    Ln
  Ln  2i  1 .
2
i
2
Для числа 2i  1 модуль и главное значение аргумента есть
2i  1  5 ,
arg  2i  1    arctg 2 .
Найдем
Ln  2i  1  ln 5  i   arctg 2   2k i 
 ln 5  i arctg 2   2k  1  i , k  .
Тогда
1
i

Arctg 1  i    arctg 2  ln 5   2k  1 , k  .
2
2
2
6 Найти область однолистности функции w  z 2 .
Р е ш е н и е . Возьмем на комплексной плоскости
две различные точки z1 и z 2 , заданные в показательной форме:
z1  r1ei1 , z2  r2ei2 .
Из условия однолистности
r12 e2i1 = r22e2i2
находим r1  r2 , 22  21  2 k , k  .
Очевидно, при k  0 получим 2  1 , т. е. z1  z2 .
Так как z1  z2 , то 2  1   k , k  \ 0 .
Таким образом, область однолистности функции w  z 2 не
должна содержать внутри себя точек, модули которых совпадают, а
аргументы отличаются на  .
cos z
7 Вычислить предел lim
.
z 0 ch iz
Р е ш е н и е . Имеем
cos 2 z
cos 2 z
lim
 ch iz  cos z  lim
 limcos z  1 .
z 0 ch iz
z 0 cos z
z 0
18
Задания для аудиторной работы
1 Найти пределы последовательностей:
in
i
а) zn  ;
б) zn  n sin .
n
n
2 Найти действительную и мнимую части функций:
а) w  sin z ;
д) w  sh z ;
z i
б) w   ;
е) w  i z  2z 2 ;
i z
в) w  2 z  1 ;
ж) w  z  z 2 ;
1
г) w  z ;
и) w  e z .
3 Найти значение модуля и главное значение аргумента функций в точках:
а) w  cos z , z0 

2
z
б) w  ze , z0   i ;
в) w  th z , z0   i ;
 i ln 2 ;
г) w  3z , z0  2  i .
4 Найти все значения функции w  f  z  в точке z0 :
б) w 
а) w  z  4 z , z0 = – 1;
z i
, z0 = i .
z i
5 Вычислить значения функций в точках:
а) Ln e ;
д) Ln  1  i  ;
к) Ln  2  i  ;
i
л) th  i ;
б) Arcsin i ;
е) sh
в) i i ;
ж) 1i ;
м) 1  i 
и) cos  i ;
н) tg

i
г) e 4 ;
6 Решить уравнения:
а) e z  1  0 ;
7 Вычислить пределы:
z 2  3i z  2
а) lim
;
z  i
zi
3
;
3  3i

2
i.
б) 4cos z  5  0 .
б) lim
z

4
cos2 z
.
ch iz  sh iz
8 Исследовать на непрерывность функцию w  z .
19
;
Задания для домашней работы
1 Найти пределы последовательностей:
n  2i
sh in
а) zn 
;
б) zn 
.
3n  7i
n
2 Найти действительную и мнимую части функций:
а) w  ch  z  i  ;
г) w  2i  z  iz 2 ;
z i
;
iz
в) w  z 2  1 ;
е) w  e z .
3 Найти значение модуля и главное значение аргумента функций в точках:
а) w  sin z , z0    i ln 2 ;
д) w 
б) w  tg z ;
б) w  sh z , z0  1  i

2
.
в) w  10 z , z0  i .
4 Найти все значения функции w  f  z  в точке z0 :
а) w  1  z , z0 = – i ;
б) w  i  z , z0 = – 1.
5 Вычислить значения функций в точках:
1
3
а) Ln  i  ;
г) Ln  2  i  ;
ж) Ln   i
;
2 
2
1
i
б) i ;
1 i
д)  2  i  ;
i
i
;
е) Arccos i ;
3
6 Решить уравнения:
а) e z  i  0 ;
б) sin z   i .
7 Вычислить пределы:
e2 z  1
sin z
а) lim
;
б) lim z
.
 e i
z 0 sh iz
z 
в) Arctg
 3 i
  ;
и) 
 2 2
к) ctg  i .
2
8 Исследовать на непрерывность функцию w  z Re z .
20