познакомить учащихся со скалярным

Урок «Скалярное произведение векторов»1
Цель: познакомить учащихся со скалярным произведением векторов,
его свойствами и показать, как применяется скалярное произведение векторов при решении
геометрических задач.
Демонстрации: презентация «Скалярное произведение векторов
Ход урока.
I.
Повторение ранее изученного материала о свойствах векторов.
1.Повторение свойств векторов:
 Определение вектора
Вспомним свойства векторов
 Координаты вектора с концами в точках A(xA, yA) и B(xB, yB) определяются по
формуле:


AB
 xB  xA  yB  yA

 Длина вектора a( x  y)

a
x2  y2
 Координаты суммы векторов a(xA, yA) и b(xB, yB) :
 
ab
 xB  xA  yB  yA
 Координаты произведения вектора a(x, y) на число λ:

a
2.
   x    y
Диктант на вычисление координат и длины вектора2:
Даны точки A(2; -3), B(-1; 2), С(0; -4)
1
1.
Найдите координаты вектора AB
2.
Найдите координаты вектора ВС
3.
Найдите длину вектора AB
4.
Найдите длину вектора BC
5.
Произведение 5 · AB:
3.
Взаимопроверка диктанта по доске с выставлением оценки
(по количеству правильно выполненных заданий)
1.


AB
( 3  5)
2.


BC
( 1   6)
3.


AB
( 3)  5
2
2
4.


BC
1  ( 6)
2
5.


5  AB
4.
II.
2
34
37
( 15  25)
Выставление оценки
Объяснение нового материала.
1) Рассмотрим понятие угла между векторами
 
o Любые 2 вектора - a и b можно построить из одной точки.

 

o Углом между ненулевыми векторами OA и OB называется угол AOB
 
o Углом между любыми двумя ненулевыми векторами a и b называется угол между
равными им векторами с общим началом.
o Если векторы параллельны или один из них равен нулю, то угол между ними
считается равным нулю.
Примеры:

 a b

30 ,  a  c
0
0 
120 ,  b  c
0 
90 ,  d  f
0 
0 ,  d c
0
180 ,
2
 
a  b, если α = 900
2) Обучающиеся записывают в тетрадях: Скалярным произведением векторов
называется произведение их длин на косинус угла между ними:
5) Примеры: (первые 2 примеры учитель вычисляет сам, остальные - обучающиеся с
проверкой по доске)

a
1.

ab

2  3  cos  
3

a
2.

ab

ab
4.

ab

ab
60
1, 
30

7, b
4, 
 0
14  2

1, b
1, 



7, b
5, 
 0
0
7  5  cos 90
0
45
0
120
1
2
0
1  1  cos 120
0
5 3
2
7  4  cos 45

a
5.

5, b
 0

a
0
1, 
3
5  1  cos 30

a
3.

2, b
0
90
4) Свойства скалярного произведения: (обучающиеся записывают в тетрадях).
 
 
 
Если
a

b
,
т

cos
(
a
;
b
)

0

a
b  0
I.
 
   
 
 
Если a  b  0 (a  0;b  0 ), то cos (a;b )  0  a  b  0 ,
 
 
a b  0  a  b
II.
    

   
a  b a  b  a  b  cos 00  a  b  a  b
3
 


0
a

b

90
ab 0

III.
,
 


0
a

b

90
IV.
, то a  b  0
V 3.
VI.
    

 
a  b a  b  a  b  cos1800   a  b
  
a  a  a 2  скалярный квадрат вектора

   
2
a 2  a  a  a  a  cos 00  a
5) Скалярное произведение векторов в координатах: Скалярным произведением векторов



a x1  y1 и b x2  y2 называется число a  b
x1  x2  y1  y2
Примеры:

ab
5  ( 4)  2  1
18

ab
0  3  7  ( 1)
7

ab
5  2  4  ( 1)
6
6) Диктант на закрепление вычисления скалярного произведения в координатах:
Вычислите скалярное произведение векторов: 1. a(1,1); b(1,2)
2. a(-2,5); b(-9,-2)
3. a(-3,4); b(4,5)
4. a(5,2); b(-9,4)
5. a(-1,1); b(1,1)
самопроверка по доске с выставлением оценки.
7) Итак, из вышеизложенного вытекают 2 очень важных следствия:
   
 
Следствие 1: a  0 и b  0, то a  b  x1 x2  y1 y2  0
4
 




a b
Следствие 2 : a  b  a  b  cos   cos    
ab


a
(
1

3
)
8) Примеры : Даны 2 вектора:
и b( 5  2)
Вычислите:

1. a  b

2. a

3. b
1532
2
2
2
2
1 3
10
5 2
 

cos a  b
4.

11
29
11
10  29
11
290
 

cos
a  b  0, значит угол острый
5.
9) проверка ответов.
10) Второе следствие позволяет важнейшую операцию нахождения угла между векторами
свести к нескольким простым действиям4:
Вычисление угла между векторами с координатами:
a (a1, a2), b (b1, b2)

1. Вычислить скалярное произведение векторов: a  b
2. Вычислить длину вектора a:
3. Вычислить длину вектора b:

a
a12  a22

b
b12  b22
a1  b1  a2  b2
 
4. Найти произведение длин векторов: a  b
5. Разделить скалярное произведение векторов на произведение их длин:
5
 

cos a  b
 

ab
 
a  b


6. Домашнее задание:
6
1