Вычислимая функция отображения

УДК 51(06) Проблемы современной математики
С.В. ХОЛОД
ФГУ «12 ЦНИИ Минобороны России», Сергиев Посад, Московская обл.
ВЫЧИСЛИМАЯ ФУНКЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЯ
Предложена теория числовых систем. Построены две числовые системы записи, обладающие внутренним свойством ограничения точности. Из однозначного
соответствия этих систем выведена функция отображения и описаны основные её
свойства. Введено понятие отображения плоскости с помощью этой функции и
дано определение класса линеаризуемых на таком отображении функций.
Пусть S – значение числа, тогда ki  – последовательность цифровых
знаков, составляющих число, где k  K – множество цифр – допустимых
знаков выбранной числовой системы. То есть, число со значением S составляется из последовательной записи цифровых знаков ki:
(1)
S  ki : k  K .
Порядок составления записи числа из цифровых знаков состоит в способе получения этих знаков из исходного значения и в общем случае является рекуррентным:
R0  S ki 1  f1 Ri 
(2)
Ri 1  f 2 ki , Ri 
где f1 , f 2 – функции, задающие правила составления значения числа, а
Ri – «остаток» разложения, где от функций f1 , f 2 требуется условие однозначности составления значения числа.
Рекуррентное правило составления числа в первой из предложенных
систем записывается как
R0  S ki 1  sgnRi 
,
(3)
Ri 1  2 Ri  1
Значение числа в такой системе представляет собой
 k  k

(4)
S  k11  2 1  3 1   
2 
2


Рекуррентное правило составления числа во второй из предложенных
систем записывается как
R0  S ki 1  sgnRi 
(5)
Ri 1  ln  Ri 
Значение числа в этой системе представляет собой
ISBN 5-7262-0633-9. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2006. Том 7
143
УДК 51(06) Проблемы современной математики
(6)
S  k1 exp k2 exp k3 exp k4   .
В обоих предложенных системах записи числа множество допустимых
цифровых знаков K  , , 0 одно и то же.
Обозначим S 0 как значение числа ki  в первой числовой системе, а
S 1 как значение того же числа, но во второй числовой системе. Так как
любому числу ki  однозначно соответствуют как единственное значение
S 0 , так и единственное значение S 1 , то существует однозначное соответ-
ствие S 0  S 1 . По определению, такое отображение является функцией:
 
(7)
S1  Fkh S 0 .
Таким образом, мы получили вычислимую функцию с областью определения  2,  2 , областью значений  ,    и алгоритмом соответствия (3) и (5).
Возьмём функцию вида y  f x  и применим преобразования:
1
x , Y  Fkh1  y  ,
X  Fkh
где
1
–
Fkh
(8)
обратная к (7) функция. В результате получим функцию вида
Y  F  X  , являющуюся отображением функции с плоскости  ,   2
на квадрат  2,  22 . Можно дать определение, что функция y  f x 
является спрямляемой на отображении (8), если отображённая функция
Y  F  X  может быть записана в виде Y  AX  B . Причём, спрямляемым могут быть даже функции, не имеющие аналитической записи. Такие
функции также являются вычислимыми, поскольку на основании (3), (5) и
(8) существует алгоритм их вычисления.
1
Функции Fkh и Fkh
могут найти своё применение в теории алгорит-
мов для быстрого поиска решений, для моделирования физических процессов, для передачи данных, в криптографии, а также в интегральной
схемотехнике и электронике.
144
ISBN 5-7262-0633-9. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2006. Том 7