Методы и средства вычислительной математики

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук информационных технологий
Кафедра алгебры и математической логики
Сигунов Ю.А.
МЕТОДЫ И СРЕДСТВА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для аспирантов специальности 05.13.18- математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ
очной и заочной форм обучения
Тюменский государственный университет
2011
Сигунов Ю.А. Методы и средства вычислительной математики.
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для аспирантов
специальности 05.13.18- математическое моделирование, численные методы
и комплексы программ. Тюмень, 2011, 8 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с ФГТ к структуре
основной профессиональной образовательной программы послевузовского
профессионального образования (аспирантура).
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте
ТюмГУ: Методы и средства вычислительной математики [электронный
ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики.
Утверждено и.о. проректора-начальника управления по научной работе
Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: заведующий кафедрой
математической логики Кутрунов В.Н .д.ф.-м.н., профессор
© Тюменский государственный университет, 2011.
© Сигунов Ю.А., 2011.
алгебры
и
1. Пояснительная записка
1.1. Цели
и задачи дисциплины «МЕТОДЫ И СРЕДСТВА
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ»
Главной целью дисциплины «Методы и средства вычислительной
математики» является обзор областей применения и конкретных методов
численного анализа, достоинств и ограничений в их использовании при
решении прикладных задач в разных разделах науки.
Огромное количество задач алгебры, математического анализа,
дифференциальных и интегральных уравнений, возникающих в важных
практических проблемах, не допускают решения классическими
аналитическими способами. Это привело к формированию отдельной
математической дисциплины для доведения подобных задач до конечных
численных результатов. Умение эффективно и грамотно реализовывать и
применять численные методы имеет большое значение для корректного
исследования математических моделей с использованием современной
компьютерной техники. Кроме того, в последующей научной деятельности
нынешние аспиранты могут столкнуться с необходимостью разработки или
усовершенствования численных алгоритмов для новых прикладных задач.
Для этого необходима глубокая проработка имеющегося широкого спектра
подходов и методов вычислительной математики. Поэтому данная
дисциплина занимает особое место в процессе подготовки аспирантов по
специальности 05.13.18- математическое моделирование, численные методы
и комплексы программ.
Задачами изучения дисциплины является освоение материала по основным
задачам и методам вычислительной математики, а так же более глубокая
самостоятельная проработка особенностей применения численных
алгоритмов на примере конкретной задачи в процессе подготовки реферата.
1.2. Место дисциплины в структуре основной профессиональной
образовательной программы послевузовского профессионального
образования (аспирантура)
Дисциплина входит в блок специальных дисциплин отрасли науки и
научной специальности учебного плана.
Курс «Методы и средства вычислительной математики» читается на
последнем семестре обучения аспирантов специальности 05.13.18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.
Знания, полученные в этом курсе, могут быть использованы в некоторых
специальных дисциплинах последнего, шестого семестра, таких как «Теория
и средства математического моделирования» и
«Теория комплексов
программ». Главным назначением данного курса предполагается
использование результатов его изучения в последующей научноисследовательской деятельности.
Изучение дисциплины «Методы и средства вычислительной
математики» требует владения слушателями математическим аппаратом
фундаментальных математических дисциплин: алгебры, математического
анализа, функционального анализа, дифференциальных уравнений и
уравнений математической
компьютерных дисциплин.
физики
и
других
математических
и
1.3. Требования к результатам освоения дисциплины.
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование
следующих компетенций:
владение методами и средствами вычислительной математики при
анализе проблем фундаментальной математики , экономических и
социальных процессов, задач бизнеса, финансовой и актуарной математики;
умение публично представлять научные результаты;
умение ориентироваться в современных алгоритмах компьютерной
математики, совершенствовать, углублять и развивать математическую
теорию, лежащую в их основе;
умение изложить собственное видение прикладного аспекта в
строгих математических формулировках.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать: область применения, теоретические основы, особенности и
современные проблемы развития методов вычислительной математики.
Уметь: применять методы численного решения задач в области своей
научно-исследовательской работы.
Владеть: программными средствами реализации вычислительных
алгоритмов, способами их тестирования и предварительной апробации.
2. Трудоемкость дисциплины.
Семестр 6. Форма промежуточной аттестации – защита рефератов.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 1 зачетную единицу, 36 часов.
3. Тематический план.
Таблица 1
Тематический план
1
1
2
Семестр 6
Предмет и задачи
численных методов.
Методы решения
основных задач
3
4
18
6
5
Итог
о
часов
по
теме
Из них в
интеракт
ивной
форме
Формы
контроля
ая работа*
Семинарские
(практические)
занятия*
Самостоятельн
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
Лекции*
Тема
Всего часов
№
7
8
12
18
9
2
Реферат по
выбранной
теме
2
алгебры и математического анализа.
Численные методы
решения задач для
обыкновенных
дифференциальных
уравнений и уравнений
с частными
производными
Всего
18
6
12
18
2
36
12
24
36
4
Из них часов в
интерактивной форме
Реферат по
выбранной
теме
4
Таблица 2
Планирование самостоятельной работы аспирантов
№
Темы
1
Предмет и задачи
численных методов.
Методы решения
основных задач
алгебры и математического анализа.
Численные методы
решения задач для
обыкновенных
дифференциальных
уравнений и уравнений
с частными
производными
2
Виды СРС
Обязательные Дополнительные
Подготовка
Чтение
реферата
дополнительной
литературы
Подготовка
реферата
Чтение
дополнительной
литературы
4.
Разделы
дисциплины
и
междисциплинарные
обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
п/п
1.
2.
5.
Наименование
обеспечиваемых
(последующих)
дисциплин
Теория и средства
математического
моделирования
Теория комплексов
программ
Содержание дисциплины.
1
2
+
+
+
+
Объем
часов
12
12
связи
с
1. Предмет и задачи численных методов. Методы решения
основных задач алгебры и математического анализа.
Предмет, задачи, краткая история развития и современная роль
вычислительной математики. Погрешность, ее структура, анализ
погрешностей.
Методы решения нелинейных уравнений и систем. Условия и скорость
сходимости методов.
Способы приближения функций. Лагранжева и Эрмитова
интерполяция. Интерполяция сплайнами. Применение интерполяционных
многочленов для решения задач численного дифференцирования и
интегрирования. Априорные и апостериорные оценки погрешности.
Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов, сглаживание
экспериментальных данных, математические модели динамики временного
ряда.
Прямые и итерационные методы решения задач линейной алгебры.
Специальные методы для систем с разряженными матрицами.
2. Численные методы решения задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений и уравнений с частными
производными
Принцип построения численных методов решения задачи Коши для
обыкновенных дифференциальных уравнений. Простейшие схемы.
Многостадийные методы Рунге-Кутты. Контроль погрешности и
автоматический выбор шага. Многошаговые методы типа Адамса. Жесткие
задачи и неявные схемы. Краевые задачи для ОДУ. Разностный метод, его
сходимость, аппроксимация граничных условий.
Основные понятия теории разностных схем. Разностная сетка, шаблон.
Метод разностной аппроксимации. Схемы бегущего счета для линейного
уравнения переноса. Аппроксимация и ее порядок. Методы исследования
устойчивости разностных схем. Теорема о сходимости. Нелинейное
уравнение переноса, консервативные разностные схемы. Классические схемы
для уравнения теплопроводности. Экономичные схемы расщепления для
многомерных задач. Метод прямых. Прямые и итерационные методы
решения краевых задач для эллиптических уравнений. Конечно-элементные
схемы.
6. Планы семинарских занятий.
Не предусмотрено учебным планом.
7.
Темы
Отсутствует
лабораторных
работ.
(Лабораторный
практикум)
8. Примерная тематика курсовых работ.
Отсутствует
9.
Примерная тематика рефератов.
1. Прямые методы решения систем линейных алгебраических
уравнений. Проблемы обусловленности.
2. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических
уравнений. Проблемы сходимости.
3. Прямые методы решения алгебраической проблемы на собственные
значения.
4. Итерационные методы решения алгебраической проблемы на
собственные значения.
5. Применение метода наименьших квадратов для обработки
экспериментальных данных.
6. Методы нахождения всех корней многочленов.
7. Методы расщепления для численного решения параболических
уравнений.
8. Жесткие системы ОДУ. Типы неявных методов Рунге-Кутты и
особенности их реализации.
9. Схемы конечных элементов для решения краевых задач для
эллиптических уравнений.
10.Интегро-интерполяционный метод построения разностных схем.
10. Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы
аспирантов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
Аспирантам предоставляется на выбор тематика рефератов и
рекомендации по подбору литературы для их подготовки. Промежуточная
аттестация выставляется по результатам защиты рефератов.
11. Образовательные технологии.
аудиторные занятия:
 В связи с большим спектром задач и методов вычислительной
математики и ограниченными временными рамками,
предусмотренные учебным планом лекционные занятия
являются обзорными. Задача курса состоит в привлечении
внимания аспирантов к возможностям и современным
проблемам численных методов, а также к инициированию
самостоятельного освоения методов для их эффективного
использования в практической работе.
активные и интерактивные формы (лекционные занятия
проводятся в диалоговом режиме, проводится обсуждение
особенностей применения конкретных численных методов с
учетом имеющегося у аспирантов опыта решения задач
вычислительной математики).
внеаудиторные занятия:
 самостоятельная работа: проработка рекомендованной
литературы по разделам вычислительной математики.
 Заключительный реферат с его публичным обсуждением.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины .
12.1. Основная литература:
1. Демидович, Б. П. Численные методы анализа: приближение функций,
дифференциальные и интегральные уравнения : учебное пособие для
обучающихся по направлениям 510000 "Естественные науки и математика",
550000 "Технические науки", 540000 "Педагогические науки"/ Б. П.
Демидович, И. А. Марон, Э. З. Шувалова. - 5-е изд., стер. - Санкт-Петербург:
Лань, 2010. - 400 с.
2. Пантина, И. В. Вычислительная математика [Электронный ресурс] :
учебник / И. В. Пантина, А. В. Синчуков. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.:
МФПУ Синергия, 2012. - 176 с. - (Университетская серия). URL:
http://znanium.com/catalog.php?bookinfo=451160.
12.2. Дополнительная литература:
1. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М.
Кобельков / [Электронный ресурс]. - М. : БИНОМ. Лаборатория знаний,
2012. - 636 с. - (Классический университетский учебник). URL:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=222833
(дата
обращения:
30.10.2014)
2. Вержбицкий, В.М. Численные методы (математический анализ и
обыкновенные дифференциальные уравнения) : учебное пособие
[Электронный ресурс]. - М. : Директ-Медиа, 2013. - 400 с. URL :
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=214561
(дата
обращения:
30.10.2014).
13. Технические средства и материально-техническое обеспечение
дисциплины.
Для сокращения временных затрат на математические выкладки и в
целях демонстрации работы отдельных численных алгоритмов может быть
использовано мультимедийное оборудование.