Решение уравнении ( нахождение корней уравнения )

Решение уравнении ( нахождение корней уравнения )
Уравнение – это равенство двух выражений с переменными .
Решить уравнение –найти корни данного уравнения или доказать , что их нет.
1. Раскрыть скобки , если они имеются , применяя распределительное
свойство
a ( b + c ) = a b +a c
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
(a  b)2  a 2  2ab  b2
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2
(a  b)( a  b)  a 2  b 2
(a  b)(a 2  ab  b 2 )  a 3  b 3
(a  b)( a 2  ab  b 2 )  a 3  b 3
2. Корни уравнения не изменятся , если какое – нибудь слагаемое перенести
из одной части уравнения в другую , изменяя при этом его знак .
( Выражения с переменными собираем в одну сторону , числа в другую
сторону , меняя знаки выражении и чисел при переходе через знак равенства .)
Пример :
3 ( 2 + 1,5 x ) = 0,5 x + 24
6 + 4,5 х = 0,5 х + 24
4,5 х – 0,5 х = 24 – 6
3 х = 18
х = 18 : 3
х=6
Ответ : 6
Пример: вычислите координаты точек пересечения прямой 5 х + 7 у = 105 с осями
координат.
Решение : 1) с осью ОХ точка ( 21 ; 0 )
у=0 ; 5 х + 7 *0 = 105 отсюда х = 21
2) с осью ОУ точка ( 0 ; 15 )
х=0; 5*0+7 у = 105 отсюда у = 15
Ответ: с осью ОХ точка ( 21 ; 0 ) и с осью ОУ точка ( 0 ; 15 ).
3. Корни уравнения не изменяются , если обе части уравнения умножить или
разделить на одно и тоже число , не равное 0
Пример :
x4
x
2 
! *4
4
2
х–4–8=2х
х–2х=8+4
- х =12
х = - 12
Ответ : - 12
2
Решение рациональных уравнений .
3 x
1 x
5
4
5
4
15  5 x  4  4 x



0
0
Пример:
1 x 3  x
1 x 3  x
(1  x)(3  x)
11  x  0......ОДЗ (1  x)(3  x)  0
х = 11
Ответ: 11
Пример :
6
6

5
x x 1
x 1
x
x ( x 1)
6

5
x
x 1
6 x  6  6 x  5x2  5x
0
x( x  1)
6
ОДЗ х (х +1 ) = 0
 5x2  7 x  6
0
x( x  1)
 5x2  7 x  6  0
разделим на – 1
5x  7 x  6  0
2
D  (7) 2  4  5  (6)  49  120  169 0
x1, 2 
7  169
25
x1, 2 
7  13
10
x1  0,6
x2  2
Ответ: -0,6 и 2
Пример:
6
9
12 x 2  15


1  2x 2x 1
4x 2 1
1 2 x
1 2 x
6
9
12 x 2  15
6
9
12 x 2  15



0



0
1  2x 1  2x 1  4x 2
1  2 x 1  2 x (1  2 x)(1  2 x)
6  12 x  9  18 x  12 x 2  15
 0  12 x 2  6 x  0....ОДЗ (1  2 x)(1  2 x)  0
(1  2 x)(1  2 x)
6 x(2 x  1)  0  x  0....2 x  1  0
х =0,5 не удовлетворяет условию ОДЗ.
.............................................x  0,5
Ответ: 0;
Пример :
2
6
1


x 2  x  12 x 2  4 x  3 x  3
3
Разложим квадратные трехчлены на множители по формуле
ax 2  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 ) ,где x1 ...и...х2 - корни квадратного уравнения
ax 2  bx  c  0
x 2  x  12  0  x1  3....x 2  4  x 2  x  12  ( x  3)( x  4)
x 2  4 x  3  0  x1  1....x 2  3  x 2  4 x  3  ( x  1)( x  3)
2
6
1


0
( x  3)( x  4) ( x  3)( x  1) x  3
2( x  1)  6( x  4)  1( x  4)( x  1)
 0 дробь равна 0, если числитель равен 0, а
( x  3)( x  4)( x  1)
знаменатель не равен 0.
2x+2+6x – 24 - x 2 +4x - x+4=0
О.Д.З. ( x  3)( x  4)( x  1)  0
2
- x + 11x – 18 = 0
x 2 - 11x + 18 = 0
По теореме Виета
x1  x2  11
x1  x2  18  x1  2.....x2  9
Отсюда корни данного уравнения 2 и 9.
Ответ: 2 и 9 .
Пример : Чему равно произведение корней уравнения 2  x2 (2 x2  5x  3)  0
Решение: Произведение равно нулю, если один из множителей равен 0 .
2  x2  0
и
x1   2 .....x2  2
2 x 2  5x  3  0
;
2
ОДЗ 2  x  0
x3  1.....x4  1,5
ОДЗ удовлетворяют три корня и их произведение равно  2  2 1  2
Ответ: - 2.
Пример :
1
1
2( x 2  2 )  11( x  )  8  0 преобразуем выражение
x
x
2
1
1
1

x  2  x2  2  2  2   x    2
x
x
x

2
1
1
2(( x  ) 2  2)  11( x  )  8  0
x
x
обозначим x 
1
t
x
2(t 2  2)  11t  8  0
Получаем квадратное уравнение 2t 2  11t  12  0 , корни которого 4 и 1,5.
4
1
 4, x  0
x
x 2  4 x  1  0  x1  2  5......x 2  2  5
x
Отсюда
1)
1
 1,5, x  0
x
x 2  1,5 x  1  0  x1  2.......x 2  0,5
x
2)
Ответ: 2  5 ;2  5 ;2;0,5.
Решение биквадратных уравнений
Пример :
4 x 4  5x 2  1  0
x 2  t  4t 2  5t  1  0
D  (5) 2  4  4  1  9
5 9
53
 t1, 2 
24
8
53 1
53
t1 
 ........t 2 
1
8
4
8
1
x 2  ...............................................................x 2  1
4
1
1
1 1
x1  
  ......x 2 
 .........x 3   1  1.....x 4  1  1
4
2
4 2
Ответ : -0,5 ; 0,5 ; - 1 ; 1 .
t1, 2 
4
2
Пример : ( x  4)  3( x  4)  4  0
( x  4)2  t....( x  4)4  t 2
t 2  3t  4  0  по теореме Виета
Отсюда
t1  t2  3
t1  t2  4  t1  4...t2  1
( x  4) 2  4....................( x  4) 2  1  не..имеет.. решения
x  2   4.........x  2  4
x–2=-2
x=0
Ответ: 0 ; 4 .
x–2=2
x=4
5
Пример :
x
2


 4 x x 2  4 x  17  60
x 2  4 x  t  t (t  17)  60
t 2  17t  60  0
t1  t 2  17
t1  t 2  60  t1  12.....t 2  5
x 2  4 x  12........................................x 2  4 x  5
x 2  4 x  12  0...................................x 2  4 x  5  0
x1  x 2  4.........................................x 3  x 4  4
x1  x 2  12  x1  2....x 2  6...........x 3  x 4  5  x 3  1....x 4  5
Ответ : 2 ; -6 ; 1 ; -5 .
Пример :
x
x  20  0
 
2
x  t...x  x  t 2  t 2  t  20  0
t1  t2  1
t1  t2  20  t1  5....t2  4
x  5  не..имеет...смысла
x  4  x  16
Ответ : 1
Метод группировки при решений уравнении:
Пример :
x 3  3 x 2  4 x  12  0
x 2  x  3  4 x  3  0
x  3x 2  4  0
x  3( x  2)( x  2)  0
х +3=0
или
х=-3
Ответ : - 3 ; - 2 ; 2 .
х–2=0
х=2
или
х +2 = 0
х=-2
Пример : x  3x  3x  3x  2  0
4
3
2
x 4  2 x 2  1  3x 3  3x  x 2  1  0
( x 2  1) 2  3 x( x 2  1)  ( x 2  1)  0
Произведение равно 0 , если один из
( x 2  1)( x 2  1  3 x  1)  0
( x 2  1)( x 2  3 x  2)  0
6
2
множителей равен 0. x  1  0 , решаем квадратное уравнение:
x  x  3
x 2  3 x  2 =0 По теореме Виета имеем 1 2
x1  x 2  2  x1  1.....x 2  2
Ответ: - 1 ; - 2.
Решение систем уравнений
Опр. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара
значений переменных , обращающая каждое уравнение системы в верное
равенство.
Методы решение систем уравнений .
1) графический (строим графики уравнений системы , находим по
графикам точки пересечения , координаты точек пересечения будут и
решениями системы уравнений ).
Пример:
2 x  3 y  5

3 x  y  9
строим отдельно графики прямых 2х+3у=5 и 3х – у = - 9
y
5  2x
3
y  3x  9
Строим графики данных функций в одной системе координат и находим
координаты точек пересечения . В данном примере одна точка пересечения и его
координаты равны х = - 2 и у = 3 .
Ответ : ( - 2 ; 3 )
2) метод подстановки ( выражаем одну переменную через другую в одном из
уравнении подставляем во второе уравнение и решаем полученное уравнение
относительно одной переменной , найденное значение переменной подставляем
во второе уравнение и находим вторую переменную .и записываем ответ )
Пример : решить систему уравнений
25  x  4 y  x  25  4 y
 3x  y  7  y  7  3x


 3x  2 y  30........................
 5 x  2 y  3.......................
- 5x +2 (7 – 3x)=3
3 (25+4y) – 2y=30
-5x +14 – 6x = 3
75 + 12y – 2y=30
-11x = 3 – 14
10y=30 - 75
- 11x = - 11
10y= - 25
x=1
y = 7 – 3 *1=4
y= - 2,5 x= 25+4*(- 2,5)=15
Ответ : х = 1 ; у = 4
Ответ: х = 15 ; у = - 2,5
7
3) метод сложения ( умножаем обе части первого уравнения на одно число ,
обе части другого уравнения на другое число , эти два числа таковы , что при
умножении их получаются одинаковые переменные с противоположными
коэффициентами )
Пример : решить систему уравнении
 7a  4b  90  5
62b  310
 35a  20b  450

+
b5
 35a  42b  140
5a  6b  20   7 
7а + 4*5 = 90
7а = 90 – 20
7а = 70
а = 10
Ответ : а = 10 b = 5
Пример : решить систему уравнении
5 x  6 y  20  2...

9 y  2 x  25   5
 10 x  12 y  40
 45 y  10 x  125
+
- 33у= - 165
у=5
5 х + 6 *5 = - 20
5 х = - 20 – 30
5 х = - 50
х = - 10
Ответ : х = - 10 у = 5
Пример : вычислите координаты точек пересечения прямых
2 х – 3 у = 7 и 5 х + 4 у =6
Решение: по условию координаты точек удовлетворяют обоим уравнениям, то есть
являются решением системы данных уравнений.
 2x  3y  7  5
 10 x  15 y  35
.  23 y  23  y  1


5 x  4 y  6  (2) .  10 x  8 y  12
10 x  15  (1)  35  x  2
Ответ: (2 ; - 1 ).
Пример :
Прямая y= k x + b проходит через точки А ( - 1 ; 3 ) и В ( 2 ; - 1 ). Напишите
уравнение этой прямой .
Решение : подставляем в уравнение прямой значения координат заданных точек
и получаем систему уравнении.
.  k  (1  2k )  3
 3k  1  3
3  k  (1)  b
 k  b  3...........................
....  3k  4



1

k

2

b
2
k

b


1

b


1

2
k


1
.....k  1
3
8
1
.  1  1  2  b
3
2
b  1  2
3
2
b 1
3
y = k x +b ; подставляем значения k и b , и получаем
1
2
y  1 x  1
3
3
1
2
y


1
x

1
Ответ:
3
3
уравнение прямой :
Пример : решить систему уравнении
 x2  y 2  5
 4
4
 x  y  15

x2  y 2  5
 2
2
2
2
( x  y )( x  y )  15
 x2  y 2  5
 2
2
5( x  y )  15
x2  y 2  5
 2
2
x  y  3
Далее решаем методом сложения 2 x 2  8  x 2  4  x1  2.....x2  2
Подставляем в 1-ое уравнение
(2)2  y 2  5
y 2  1  y1  1..... y2  1
22  y 2  5
y 2  1  y1  1..... y2  1
Находим координаты точек пересечения (-2;-1) , (-2;1) , (2;-1) , (2;1)
Ответ: (-2;-1) , (-2;1) , (2;-1) , (2;1)
Пример :
x y 7
x y 7

x y 7



 2

2
2
( x  y )  7  175
( x  y )( x  y )  175
( x  y )( x  y )( x  y )  175
( x  y ) 2  25
x  y   25...или...x  y  25
x  y  5................x  y  5
Отсюда решаем две системы уравнении.
 x y 7

 x  y  5
Решая методом сложения получаем:
2х=2
х=1
подставляя в первое уравнение получаем:
1+у=7
у=6
x  y  7

x  y  5
2х=12
х=6
6+у=7
у=1
Ответ : (1;6) и (6;1)
Это же уравнение можно решить методом подстановки.
9
Пример :
2 1
 x  y  4
1 3
  9
 x y
u-3(4-2u)=9
u-12+6u=9
7u=21
u=3
2u  v  4  v  4  2u
1
1

u
........

v
пусть
получаем 
x
y
 u  3v  9...................
v=4 – 2*3= - 2
подставляя значения u и v получаем :
1
3
x
1
x
3
1
 2
y
1
y
2
1 1
Ответ: ( ; ) .
3 2
Решение систем уравнений второй степени
Пример :
2 y (2  5 y )  y  7
2 xy  y  7.....................

10 y 2  3 y  7  0
x  5y  2  x  2  5y
D  32  4  10  (7)  289 0
 3  289
2  10
 3  17
y1 
 1..........x1  2  5  (1)  3
20
 3  17
y2 
 0,7.........x2  2  5  0,7  5,5
20
Ответ : ( -3 ; -1 ) и ( 0,7 ; 5,5 )
y1, 2 
Пример :
Вычислите координаты точек пересечения парабол:
y  3x 2  8 x  2.....и...... y  x 2  4
Решение:
Чтобы вычислить точки пересечения парабол , надо решить систему уравнении
 y  3x 2  8 x  2


2
 y  x 4
10
3x 2  8 x  2  x 2  4  2 x 2  8 x  2  0  x 2  4 x  1  0
D  (4) 2  4  1  12 0
4  12
 2 3
2
x1  2  3............................................................................................x2  2  3
x1, 2 
y1  (2  3 ) 2  4  4  4 3  3  4  3  4 3................................... y2  (2  3 ) 2  4  3  4 3
Отсюда точки пересечения парабол имеют соответствующие координаты .
Ответ: (2  3;3  4 3).....и......(2  3;3  4 3)
Уравнения с параметрами:
Пример : Найдите все значения k , при которых уравнение kx2  6 x  k  0 имеет
два корня.
Решение : Уравнение имеет два корня , если D>0 . Найдем
.  4  k 2  36 0
a  40...ветви...вниз
D  (6)2  4  k  k  36  4  k 2 
Найдем....точки...пересечения...с...осью...ОХ   3;0 ...3;0 
.  4  k 2  36  0
k2  9
k1  3.....k2  3
Ответ : k   3;3
Пример 2: При каком значений m уравнение x3  6 x 2  mx  0 имеет два корня?
Найдите эти корни.
2
Решение: Вынесем за скобки х , получаем x( x  6 x  m)  0
Один из корней равен 0, тогда уравнение x 2  6 x  m  0 имеет один корень при
D=0,т.е. 36 – 4m=0, m=9.
2
Уравнение x  6 x  9  0 имеет один корень равный -3.
Ответ: 0, - 3.
Пример 3: При каких значениях p корни уравнения x 2  2( p  1) x  p( p  2)  0
принадлежат промежутку 1;3
Решение: Определяем значения p , при которых данное уравнение имеет два
корня.
D  (2( p  1)) 2  4 p( p  2)  4 p 2  8 p  4  4 p 2  8 p  4 0 при любых значениях p
11
2( p  1)  4
2p  2  2
x1, 2 
2
2 1
x1  p........x2  p  2
Отсюда x1, 2 
 p  1
 p  1

отсюда p  [1;1] , так
p  2  3  p 1
как p меньший корень , а p+2 больший корень.
Ответ: p  [1;1]
Тогда получаем систему неравенств 
2
Пример 4: При каких значениях b уравнение x  2(b  1) x  9  0 , имеет два
различных положительных корня?
Решение: уравнение имеет два корня , значит дискриминант больше 0.
D  (2(b  1)) 2  4  9  4(b  1)2  36 0
 по...алгоритму... решения...неравенств...имеем...b  (;4)  (2; )
 2(b  1)  4(b  1)2  36
x1, 2 
 (b  1)  (b  1)2  9
2
Так как по условию корни положительные , то
x2  (b  1)  (b  1) 2  9  0
x1  (b  1)  (b  1) 2  9  0
Корни положительны , если b+1<0 или b< -1 ,то .  (b  1).. (b  1)  9 тогда по
условию примера имеем b  (;4)
Ответ: b  (;4)
2
Пример 5: при каких значениях k число 0 находится между корнями уравнения
x 2  4 x  (2  k )(2  k )  0 ?
Решение: Уравнение имеет два корня , если дискриминант больше 0.
D  42  4(2  k )(2  k )  16  16  k 2  k 2  0
Уравнение имеет два корня при любых значениях k.
x1, 2
4  k2

2
x1  2  k
x1, 2  2  k
x2  2  k
По условию корни имеют разные знаки , отсюда
Ответ: k < -2 и k > 2.
12
k >2.
Б. С.Орлов
2007 год
Учитель математики Мари–Куптинской средней школы Орлов Б.С.
Предлагаемое учебное пособие позволяет подготовится к сдаче
единого государственного экзамена (ЕГЭ) по математике. Пособие
содержит примеры решений уравнений и систем уравнений.
Пособие предназначено учащимся старших классов средней
школы и учителям.
Мари – Купта , 2007 год.
Литература
1. Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе.
Авторы : Л.В.Кузнецова, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович,
Т.В.Колесникова,
Л.О.Рослова. 2006 год.
2. Итоговая аттестация – 2007 . Предпрофильная подготовка. Под
редакцией
Ф.Ф.Лысенко. 2006 год.
Для заметок
12-0 ПЛ
13-14 ЛП
1-15 ПЛ
2-11 ЛП
3-10 ПЛ
4-9 ЛП
5-8ПЛ
6-7 ЛП