Пермский институт ФСИН России Кафедра естественнонаучных дисциплин Учебно-методические материалы

Пермский институт ФСИН России
Кафедра естественнонаучных дисциплин
МАТЕМАТИКА
Учебно-методические материалы
Заочное обучение
Специальность 110400 - Зоотехния
Пермь 2010 г.
Математика: Учебно-методические материалы (заочное обучение)/
Пермский институт ФСИН России
Пермь 2010. 23с.
Материалы подготовлены преподавателем - методистом
майором внутренней службы
Герасимовой Р.В.
Утверждены на заседании кафедры ЕНД
протокол №7 от 10 июня 2010г
Герасимова Р.В. ©
ПИ ФСИН России ©
Пояснительная записка
Потребность в изучении дисциплины Математика слушателями,
обучающимися по специальности 110400 - Зоотехния вызвана необходимостью анализа и обработки большого объёма служебной информации, с которой будут работать выпускники школы, а также
применением ряда математических методов при решении служебных задач, стоящих перед правоохранительными органами.
Целевая установка
Целью изучения дисциплины Математика является усвоение
фундаментальных понятий в области математики, приобретение
твёрдых знаний в теории пределов для последовательностей и функций, дифференциальном и интегральном исчислении, теории вероятностей и математической статистики и теории дифференциальных
уравнений.
Выполнение контрольной работы закрепляет знания в области
изучения дисциплины Математика.
Структура курса
Программа изучения дисциплины Математика предусматривает 24 часов аудиторных занятий, из них по 12 часов лекций и практических занятий, выполнение одной контрольной работы и сдачу
экзамена.
Требования к экзамену
Экзамен проводится в письменной форме. Слушатель должен ответить на вопросы теста.
Методические указания по выполнению контрольной
работы
Контрольная работа даётся в 30 вариантах. Выполняется один из
них, исходя из порядкового номера в журнале по списку. Варианты
заданий приведены в таблице в конце брошюры.
Для выполнения контрольной работы используется школьная
тетрадь объёмом 12…18 листов. На обложке тетради оформляется
Герасимова Р.В. ©
ПИ ФСИН России ©
1
надпись: Контрольная работа по дисциплине Информатика и математика слушателя ___ учебной группы!!! Далее указываются: специальное звание, фамилия, имя, отчество, номер зачётной книжки
(обязательно) и номер варианта.
Выполнение каждого задания и ответ на каждый вопрос начинается с новой страницы. Вначале указывается номер задания или вопроса и приводится его формулировка. Затем излагается ход выполнения задания или ответ на вопрос. В заключение каждого задания
или вопроса указывается список литературы, которая использовалась при выполнении задания или при ответе на вопрос.
Контрольная работа
Выполните письменно указанные ниже задания в соответствии с
номером варианта.
Примечание. Требования и данные для выполнения заданий 1, 7
указаны ниже.
Задание 1. Изложите теоретические вопросы в краткой форме. Контрольная работа даётся в десяти вариантах. Выполняется один из
них, исходя из последней цифры номера своей зачётной книжки.
Слушатель, номер зачётной книжки которого заканчивается на 1,
выполняет вариант №1, на 2 - вариант №2, на 3 - вариант №3, на
4 - вариант №4, на 5 - вариант №5, на 6 - вариант №6, на 7 вариант №7, на 8 - вариант №8, на 9 - вариант №9, на 0 - вариант №10.
Таблица 1
Задание 1
Герасимова Р.В. ©
ПИ ФСИН России ©
Вариант №1
1.1; 2.1; 1.5; 3.1
Вариант № 2
1.2; 2.2; 1.5; 3.2
Вариант №3
1.3; 2.3; 1.5; 3.3
Вариант №4
1.4; 2.4; 1.5; 3.1
Вариант №5
1.6; 2.5; 1.5; 3.2
Вариант №6
1.1; 2.6; 1.5; 3.3
Вариант №7
1.2; 2.1; 1.5; 3.1
2
Задание 1
Вариант №8
1.3; 2.2; 1.5; 3.2
Вариант №9
1.4; 2.3; 1.5; 3.3
Вариант №10
1.6; 2.4; 1.5; 3.1
1. Алгебра и начала математического анализа
1.1. Производная. Геометрический и физический смысл.
1.2. Дифференциал функции и его геометрический смысл.
1.3. Неопределенный интеграл и его свойства.
1.4. Определенный интеграл и его свойства.
1.5. Основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений.
1.6. Случайные события и случайные величины. Способы представления случайных величин.
2. Аналитическая геометрия
2.1. Векторы на плоскости.
2.2. Векторы в пространстве.
2.3. Прямая на плоскости.
2.4. Плоскость и прямая в пространстве.
2.5. Линейное пространство.
2.6. Евклидово пространство.
3. Линейная алгебра
3.1. Матрицы
3.2. Определители линейных уравнений
3.3. Определители и система линейных уравнений
Задание 2. Найти предел функции:
1.
2.
3.
x2  x  6
x2
x2
sin( x  3)
lim
x 0
x3
x  sin x
lim
x0
x
lim
Герасимова Р.В. ©
ПИ ФСИН России ©
4.
5.
6.
3
cos 2 x  1
x 0
x2
x2  x  6
lim
x  2 x 2  3 x  2
x2  2
lim 3
x 0 x  3x  1
lim
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
x3
x 3
x 3
2
x 1
lim
x 1 x  1
1
lim ( x  1)
x4
x2
2
3x  4 x  2
lim 2
x  x  8 x  1
x 2  25
lim
x5 x  5
sin 4 x
lim
x 0 sin 5 x
x 2  5x  6
lim
x
x3
2
x  2x  3
lim 2
x 2 x  3 x  4
sin 2 2 x
lim
x0
x2
x2  x  2
lim
x1
x3 1
5x 3  7 x
lim
x  1  2 x 3
sin x  cos x
lim
x
cos 2 x
4
lim
3
19. lim
x0
20. lim
x 
( x 2  1) 50
x ( x  1)100
21. lim
x2  1
x
x 1
4 
 1
 2
23. lim 

x 2 x  2
x 4

22. lim
tgx  sin x
x3
tg 2 x
25. lim
x sin 4 x
2
24. lim
x 0
1 3 x
x 1 1  5 x
26. lim
27. lim
x 0
1  x2  1  x
1 1 x
9  x2
x3
3x  3
x 2  6x  8
29. lim
x2
x3  8
x3  x 2  x 1
30. lim
x1
x 3  3x  2
28. lim
1 x2  1 x2
x3  2x 2
Герасимова Р.В. ©
ПИ ФСИН России ©
1  tgx  1  tgx
sin 2 x
4
Задание 3. Найти производную функции:
1.
y  x2 
x2
x2
sin x
2x
2.
y
3.
y  ( x 2  4 x  2) 9
5.
6.
x2  2
y
x 1
y  (sin x  cos x) 20
y  cos( x 2  2)
7.
y
4.
a2  x2
a2  x2
1  2x
19. y  ln
1  2x
20. y  x ln x  arcsin
21. y  sin 2 x 3
18. y  ln
x
x 1
xtgx
23. y 
1  x2
24. y  1  5 cos x
22. y 
e x  x7
1 x
8. y  x12  sin x
9. y  (3x 2  6 x) 5
10. y  tg( x 2  2 x)
26.
27.
28.
x 2  2 x  3)
29.
14. y  ln tg 5 x
15. y  etg 3 x
16. y  ln( x 2 2 x)
17. y  ln ln
Герасимова Р.В. ©
ПИ ФСИН России ©
1
x2
arcsin
2
3
1 x
y  e (sin x  cos x)
2
y  tg 3 x  3tgx  3x
x 3
y  ctg 3 
3 x
1  sin 2 x
y
1  sin 2 x
2
y  ( x  2)e  x
25. y 
x12  sin x
11. y 
4
12. y  ln sin x
13. y  ln( x  1 
x
30.
x
6
Задание 4. Вычислить неопределенный интеграл:
dx
ex 
x
1. y   2

12. y   e  2  3 dx
sin x  cos 2 x
x 

2. y  
x 4  2  x 3 dx
2
13.
x
 x
y    sin  cos  dx
2
 2
14.
x4
y
dx
1 x2
15.
1  sin 3 x
y
dx
sin 2 x
16.
x
y   sin 2 dx
2
17.
1 1 1 
y     2  3 dx
x x x 
18.

4x
y   4 x 3 
x3

9. y   cos( 2 x  4)dx
19.
y
4
10. y   (3x  2  2 x )dx
sin x
20.
y   2 x e x dx
21.
y   ctg 2 xdx
22.
x2  2
y   2 dx
x 1
23.
 1
1
y    
4 3
x
 x
3. y  
3 sin xdx
4  cos 2 x
dx
4. y   2
sin x
x2
5. y   2 dx
x 1
6. y  
xdx
( x 2  3)
2 x 2 dx
7. y  
4  3x 3
3 
 2
8. y    2  2 dx
 sin x cos x 
5
 2
3

11. y   
2
1 x2
1 x
Герасимова Р.В. ©
ПИ ФСИН России ©

dx


6

dx


3tg 2 x  4
dx
sin 2 x

dx



ex 
y   e x 1  2 dx
 cos x 
24.
25.
y

28.

3
x 1
dx
x
29.
2
x
 x
y    sin  cos  dx
2
 2
26.
y
30.


y   2 x  3 x dx
y
2x  5x
dx
10 x
 1
1 
dx
y    2


2
x

25
x 5

2x  5x
dx
10 x
27.
Задание 5. Вычислить определенный интеграл, используя формулу
Ньютона-Лейбница:
 2
1 

7.
y   1 
dx
2x 
sin



6
1
1.
y   2 x  3 dx
5
4
0
8.
 x
 2 x  7 dx
1
2.
y
3
8
1
3
3.
y
0
4
4.
y
1
9.
y
dx
9  x2
10.
x 1
dx
x
3
x dx
y   x 2dx
0
1
11.
y   ( x  x 2 )dx
0
dx
2

 6 cos x
3
12.
3x3  2 x 2  4
y
dx
x3
1
Герасимова Р.В. ©
ПИ ФСИН России ©

1
4
6.
y
1
 3
5.
dx
25  x 2
3
y
y
0
8
dx
1  x2


y


3x 4  3x 2  1
dx
1  x2
0
13.
23.
0
4
3
14.
3
y   x sin xdx
24.
2
1
15.
y   xe
17.
dx
18.
y
26.
y   x 2 e  x dx
1
2
2
2
1
4
3
2

0
27.
y   arctgxdx
0

1 x
dx
1 x
28.
y   sin 2 xdx
0
29.
1 

y    x 2  4 dx
x 
1
30.
y   ln 2 xdx
2

19.
a  x dx
2
dx
y
x
1 1
y
dx
0 1  2x 1
25.
0
1
dx
x x
2
4
 x2
a
y  x
y
1
1
16.
4
y   sin 4 xdx
2
y   sin x cos 2 dx
0
e
1
20.
dx
y x
e 1
0
21.
y
1
dx
x2  1
0

22.
1
4
y   tg 3 xdx
0
Герасимова Р.В. ©
ПИ ФСИН России ©
9
Задание 6. Найти интегралы методом подстановки:
 cos( 2 x  4)dx
 x  2  x dx
1.
4
2.
17.  e3 x  5 dx
x5dx
 7 x6 1
19.  ln( x  1)dx
3
18.
xdx
 3) 5
3.
 (x
4.
 (8 x  9) dx
 (8 x  1)  x dx
 (3x  1) dx
2
7
5
5.
6
20.
3
5
22.  (4 x  1) dx
xdx
7.  2
(x  3) 5
x 2 dx
8.  3
x 1
dx
9. 
(2 x  3)3
10.
23.
2 7
3
 x  x  6  dx

12. 
11.
xdx
1 x
13.  e  cos xdx
2
25.

28.
6
(1  x 4 ) 5
dx
x3  1
x 4  2  x 3 dx
sin x
x2
cos x  dx
 xdx
xdx
 (3  x
2 2
)
(7  2 x)dx
29.  2
x  7x
30.  sin( 3 x  5)dx
dx
15.  e x  e x  1  dx
16.  (e2 x  2 x 2 )dx
2
Герасимова Р.В. ©
ПИ ФСИН России ©

dx
e
27.  2e
sin x
14.  e

24.
26.
x 2  2  xdx
2 x
3x 2  1  xdx
x 2 dx
21. 
(3  5 x 3 )7
4
3
6.

10
Задание 7. Найти решение дифференциального уравнения:
1. xy   y  0
16.
y tgx  y  1
17.
2 y dx  dy
18.
y  sin x  y ln y
4. y   y
19.
(1  y 2 )dx  xydy  0
2
5. x y  y  0
20.
2 x  1dy  y 2 dx  0
2. yy   x  0
3. xy  y  0
7.
 
xy  xdx  ( y  x
8.
1  2 y xdx  (1  x 2 )dy  0
2
2
6. 1  y dx  (1  x )dy
21.
y
x
22.
x 2dx  ydy
2
2
9. xy 1  x y  1  y
23.
x dy  ( y  1)dx  0
y
2
y
10. e 1  x dy  2 x(1  e )dx  0
24.
x  y  x  y  0
25.
y  4 x  5
11. x  xy  y( y  xy)  0
26.
y  y
2
12. y  xy  1  x y
27.
y   2 x 2  3x  5
2

2
y 
y)dy  0



13. 2 y x  y
14. y   (2 y  1)ctgx
28.
29.
15. x 2 y  y 2  0
1  y 2  у  ху  0
y  1 y 2
5
30. y  ( x  5)
Задание 8. Построить гистограмму распределения случайной
величины Х и определить основные параметры закона распределения. Число преступлений (хi) по годам наблюдения (i)
представлено простым статистическим рядом в таблице №2.
Герасимова Р.В. ©
ПИ ФСИН России ©
11
Контрольная работа даётся в десяти вариантах. Выполняется один из них, исходя из последней цифры номера своей зачётной книжки. Слушатель, номер зачётной книжки которого
заканчивается на 1, выполняет вариант №1, на 2 - вариант
№2, на 3 - вариант №3, на 4 - вариант №4, на 5 - вариант
№5, на 6 - вариант №6, на 7 - вариант №7, на 8 - вариант
№8, на 9 - вариант №9, на 0 - вариант №10. Варианты заданий приведены в таблице 2 данной брошюры.
Таблица №2
Годы
Число преступлений по годам наблюдения, хi
наблюде- Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант
ния, i
№10
№1
№2
№3
№4
№5
№6
№7
№8
№9
1983
149
162
185
173
205
185
217
188
168
171
1984
175
132
152
161
187
212
189
171
152
132
1985
134
152
174
174
163
172
178
162
179
152
1986
152
142
163
152
172
202
194
186
169
142
1987
163
183
139
192
199
186
152
192
142
151
1988
113
165
176
162
152
196
204
164
195
163
1989
153
128
161
186
208
206
173
175
154
146
1990
129
172
141
172
181
171
195
148
186
181
1991
145
153
181
193
198
226
161
172
172
124
1992
131
141
159
145
175
195
182
199
182
162
1993
151
131
182
189
182
211
202
156
158
174
1994
132
151
169
168
164
189
174
174
144
131
1995
126
161
155
194
212
213
185
166
164
144
1996
147
145
194
178
196
192
163
182
171
153
1997
169
154
148
208
171
173
196
195
165
161
1998
155
174
165
156
184
208
181
154
177
135
1999
139
137
172
185
168
194
203
173
147
178
2000
141
169
156
165
207
168
169
164
134
154
2001
122
158
143
157
185
184
188
183
153
148
Герасимова Р.В. ©
ПИ ФСИН России ©
12
2002
162
147
167
176
172
191
171
153
185
168
2003
142
171
175
182
192
204
192
201
167
158
ПРИЛОЖЕНИЕ
I. Руководство для выполнения Задания 8
В качестве примера решим следующую задачу. Число преступлений хi по годам наблюдения i представлено простым
статистическим рядом таблицей 3:
Таблица №3
i
хi
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
137
124
147
131
132
152
115
146
121
133
142
128
142
136
157
Построить гистограмму распределения случайной величины Х,
определить основные параметры закона распределения.
Необходимо разбить статистический ряд на равные интервалы. Количество интервалов (q) выбирается произвольно. Допустим, q=5. Далее необходимо вычислить длину каждого интервала h по следующей формуле:
х  х min
, где
h  max
q
хmax – максимальное значение случайной величины Х для своего варианта, для нашего примера хmax=157
хmin – минимальное значение случайной величины из статистического ряда для своего варианта, для нашего примера хmin=115
157  115 42
h

 8,4
5
5
Далее составляется таблица группировки:
Таблица 4
q=1
q=2
q=3
q=4
q=5
к
115-123,4
2
123,4-131,8
3
131,8-140,2
4
140,2-148,6
4
148,6-157
2
рк*
0,133
0,2
0,266
0,266
0,133
Интервал
Герасимова Р.В. ©
ПИ ФСИН России ©
13
 Строка Интервал заполняется следующим образом: первый
интервал начинается c минимального значения случайной
величины (хmin) и заканчивается значением хmin +h =
115+8,4=123,4 Значения каждого последующего интервала
больше значения предыдущего интервала на величину h.
Необходимо помнить следующее: если значение случайной
величины попадает в два интервала, то заносится один раз в
интервал с большими значениями. Например: если случайная
величина имела бы значение 140,2 то данное значение случайной величины заносится только в один четвёртый интервал, а не в третий и четвёртый интервалы одновременно;
 к: количество значений случайной величины из статистического ряда, попадающих в данный интервал. Например, второй интервал включает в себя все значения случайной величины от 123,4 до 131,8. Тогда из нашего статистического
ряда попадают в этот интервал три значения случайной величины: 124, 128, 131, т.е. к=3;
 рк* : это относительная частота появления значений случайk
ной величины в данном интервале: pk* 
где n – общее
n
число значений случайной величины в статистическом ряду,
для нашего примера n=15. Для второго интервала
рк* 
3
 0,2
15
По таблице группировки строится гистограмма распределения
случайной величины:
Герасимова Р.В. ©
ПИ ФСИН России ©
14
К основным числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение.
1. Математическое ожидание в случаях группировки данных
5
вычисляется по следующей формуле:    x q cp рк*
q 1
где xq ср – среднее арифметическое значение всех значений
случайной величины, попадающих в интервал q. Верхний предел суммы равен 5, потому что интервалов всего 5.
При вычислении математического ожидания по любой формуле значение рк должно соответствовать значению относительной частоты случайной величины Х того интервала, в котором
находится значение случайной величины. Например, относительная частота появления значений хi=115 и хi=121 в первом
интервале равна 0,133 т.е. для первого интервала р1 = 0,133
Необходимо учитывать следующее. Допустим, что случайная
величина имеет пограничное значение, например, 123,4 Тогда
данное значение случайной величины нужно включать только
в один интервал. Вычисляем среднее арифметическое значение
для каждого интервала:
 для интервала q=1 хq1ср=(115+121)/2=118;
 для интервала q=2 хq2ср=(124+128+131)/3=127,7;
Герасимова Р.В. ©
ПИ ФСИН России ©
15
 для интервала q=3 хq3ср=(132+133+136+137)/4=134,5;
 для интервала q=4 хq4ср=(142+142+146+147)/4=144,25;
 для интервала q=5 хq5ср=(152+157)/2=154,5
MX  118  0,133  127,7  0,2  134,5  0,266  144,25  0,266  154,5  0,133 
135,93  136
2. В случаях группировки данных дисперсия случайной величины Х вычисляется по следующей формуле:
5
DX   ( xqсс  MX ) 2 * рк* 
q 1
 (118  136) 2  0,133  (127,7  136) 2  0,2  (134,5  136) 2  0,266 
 (144,25  136) 2  0,266  (154,5  136) 2  0,133  121,09  121
3. Среднеквадратическое отклонение показывает отклонение
случайной величины от математического ожидания на
определённую величину σ в ту или иную сторону:
  DХ  121 =11
Герасимова Р.В. ©
ПИ ФСИН России ©
16
Список теоретических вопросов и практических заданий
для проведения экзамена
1. Аналитическая геометрия
2. Векторы на плоскости.
3. Векторы в пространстве.
4. Прямая на плоскости.
5. Плоскость и прямая в пространстве.
6. Линейная алгебра
7. Матрицы
8. Определители линейных уравнений
9. Определители и система линейных уравнений
10. Числовые последовательности.
11. Виды и способы задания последовательностей.
12. Числовые ряды. Виды рядов.
13. Числовые функции. Способы задания функций.
14. Свойства функции.
15. Предел функции. Свойства пределов.
16. Основные теоремы о пределах.
17. Геометрический смысл производной.
18. Физический смысл производной.
19. Основные теоремы производных.
20. Исследование функций с помощью производной.
21. Дифференциал функции.
22. Геометрический смысл дифференциала функции.
23. Неопределенный интеграл и его свойства.
24. Определенный интеграл и его свойства.
25. Методы интегрирования.
26. Формула Ньютона—Лейбница.
27. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
28. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.
29. Случайные события.
30. Вероятность события. Основные теоремы теории вероятностей.
Герасимова Р.В. ©
ПИ ФСИН России ©
17
31. Случайные величины.
32. Закон распределения случайной величины.
33. Способы представления закона распределения случайной
величины.
34. Числовые характеристики случайной величины.
35. Построение гистограммы по статистическому ряду.
36. Преобразование простого статистического ряда в таблицу
группировки.
37. Построить график функции y  ( x  4)( x  1)( x  2)
38. Вычислить предел
lim
x 2
x2  x  6
x2
39. Вычислить предел
lim
x 0
cos 2 x  1
x2
40. Вычислить предел
3x 2  4 x  2
x  x 2  8 x  1
lim
41. Найти производную функции
y  (2 x  3) 8
42. Найти производную функции
y  x 2 sin 2 x  2 x cos 3x
43. Найти производную функции
y  x12  sin x
44. Найти значение производной функции y 
x
x 1
в точке
х0 = 0
45. Найдите угловой коэффициент касательной к графику
функции y  3x  2 cos x в точке с абсциссой х0 = 0
46. Найдите первообразную функции f ( x)  x  cos x
47. Найдите первообразную функции f ( x)  e x  12
48. Вычислить неопределенный интеграл
Герасимова Р.В. ©
ПИ ФСИН России ©
18
 x dx
4
49. Вычислить неопределенный интеграл
5
 (2 x  3) dx
50. Вычислить неопределенный интеграл
 (3x
5

4
 2 x  1) dx
sin 2 x
51. Вычислить неопределенный интеграл
 (x
xdx
 3) 5
2
52. Вычислить неопределенный интеграл
 cos(2 x  4)dx
53. Вычислить неопределенный интеграл
dx
 sin x  cos x
54. Вычислить определенный интеграл, используя формулу
Ньютона—Лейбница
1
 (2 x  3)
5
dx
0
55. Вычислить определенный интеграл, используя формулу
Ньютона—Лейбница
3x3  2 x 2  4
dx
1
x3
2
56. Вычислить определенный интеграл, используя формулу
Ньютона—Лейбница
 3
dx
 6 cos 2 x
57. Вычислить определенный интеграл, используя формулу
Ньютона—Лейбница
4

1
x 1
dx
x
58. Решите дифференциальное уравнение
Герасимова Р.В. ©
ПИ ФСИН России ©
19
y   x  sin x
59. Решите дифференциальное уравнение
y sin x dx + cos x dy=0
60. Найдите все решения дифференциального уравнения
xy   y  y 2
61. Найдите все решения дифференциального уравнения
y  4 x y  1
62. По данным статистического ряда определить математическое ожидание и статистическую дисперсию:
xi
pi
2
0,08
4
0,12
6
0,28
8
0,32
10
0,15
12
0,05
63. По заданному простому статистическому ряду построить
гистограмму:
xi
pi
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
0,08
0,12
0,15
0,11
0,15
0,05
0,1
0,05
0,03
0,05
0,11
Герасимова Р.В. ©
ПИ ФСИН России ©
20
ЛИТЕРАТУРА
a) Основная:
1. Алгебра и начала анализа. Часть I / Под ред. Г.Н. Яковлева.
– М.: Наука, 1978. – 336с.
2. Алгебра и начала анализа. Часть II / Под ред. Г.Н. Яковлева. – М.: Наука, 1978. – 334с.
3. Р.О. Быкова, М.Р. Шабалина. Учебное пособие. Основы
высшей математики. - Киров, ПВВКИУ, 1992. – 147с
b) Дополнительная:
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 2.- М.: Наука, 1978. - 574 с.
Герасимова Р.В. ©
ПИ ФСИН России ©
21