Документ 4223936

Б.Рысбайулы, д.ф.-м.н.,
Казахстанско-Британский
Технический университет
(Казахстан, 050000, Алматы, ул. Толе би, 59
тел.(8-727) 2726935, Е-mail: [email protected] )
Т.Б. Акишев, соискатель
Екибастузский инженерно-технический институт
(Казахстан, 141208, г. Екибастуз, ул. Энергетиков, 54а
.(8-718) 7333503, Е-mail: [email protected] )
Приближенный метод определения коэффициента
теплоотдачи
Аннотация. В работе рассматривается кондуктивное распространение тепла в неоднородной
среде. Предлагается итерационный метод с помощью, которой вычисляется коэффициент
теплоотдачи грунта на окружающую среду. Доказывается сходимость итерационного
процесса.
1. Постановка задачи.
Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплообмена между
поверхностью тела и окружающей средой. Он численно равен количеству тепла,
отдаваемой (или воспринимаемой) единицей поверхности в единицу времени при
разности температур между поверхностью тела и окружающей средой в 01 .
Коэффициент теплоотдачи зависит от многих параметров, некоторые расчетные
формулы этого коэффициента в зависимости от вида теплообмена приведен в работе /1/.
Чтобы применить эти формулы в свих расчетах дополнительно надо знать некоторые
характеристики процесса теплообмена. На практике не всегда удается измерять этих
величин. Поэтому при расчетах, используя минимальную информацию постарается
решить поставленную задачу. В этой работе используя температуры грунта на
поверхности земли будем определять коэффициент теплоотдачи.
Физико-химические процессы и математические модели распространения тепла
основательно изучена в работах /2-3/. Методы решения обратных задач уравнений
теплопроводности изучаются в /4-5/. Методы решения некоторых задач идентификации
параметров распространения тепла изучены в работах /6-7/.
В области Q  0, H   0, T  , z  0, H  , t  0, T  изучается задача
 0C

    
 
,
t z  z 
z 0
 T1 ,

t 0
(1)

z
  0 ( z), 0  z  H ,

zH

  (  Tb )
zH
zH
 0,
 1 (t ), 0  t  T ,
(2)
(3)
Данная задача решается в неоднородной среде. Поэтому при решении задачи
(1) - (3) на изотермах ставится внутренние краевые условия на границах перехода
от одной среды на другую, т.е.
  
0,
 z 

 z  zi
 z  z
i
0
i  1,2,..., k ;
где k количество слоев неоднородного грунта,  f   f zi  0  f zi  0 скачок
функций в точках z  zi .
Требуется определить коэффициент теплоотдачи  .
Для задачи (1)-(3) предлагается приближенная задача
 0 CYi ,jt1  Yi ,jz1 z
Y0 j 1  T1 ,
(4)
YNj,z1   1j 1  Tbj 1   0
(5)
Yi 0   0 ( zi ), zi  i * z; i  0,1,..., N .
Yi j 1
Где,
(6)
является
разностный
аналог
температуры
H
T
 zi , t j 1 , zi  i * z; t j 1  ( j  1)t . Причем z  , t 
соответственно шаги
N
m
по пространственным координатам и по времени. В дальнейшем
будем
j 1
j
пользоваться обозначениями Yi  Y , Yi  Y . Задача (4)-(6) изучается в сеточной
области
QNm  zi  i * z; t j  j * t; i  0,1,2,..., N ; j  0,1,2,..., m
Сначала задается начальное приближение  0 . Следующие приближение
 n 1 будем определять из минимума функционала
m 1


J     YNj 1  1j 1 t .
2
j 0
Ясно, что  n и  n 1 удовлетворяют системе (4) – (6). Введем обозначения
Y ( n 1 )  Y ( n )  Y ,  n 1   n   .
Тогда из (4)-(6) получается разностная задача
 0CYt  Yz z
Y0 j 1  0 ,
YN , z   1j 1  Tbj 1   0 ,
Yi  0 ,
0
(7)
(8)
(9)
2. Сопряженная задача
Умножим (7) на 2U i j zt и суммируем по всем внутренним узлам
сеточной области Q NM . После несложных преобразований получим сопряженную
задачу:
 0 CU t  nU z z  0
(10)
U im  0 , U 0j  0
U Nj , z  2YNj 1  1j 1 
(11)

(12)
И равенство
m 1


m 1

2 YNj 1  1j 1 YNj 1t  1j 1  Tb j 1 t
j 0
j 0
Следующее приближение n 1 определяется из минимума функционала
M


J ( )   YNj 1  1l 1 t .
2
j 1
Используя формулу (12), выводим что


J (   )  J ( )    1j 1  Tb j 1 U N t   YN  t .
2
j
Если
i, j


   n 1   n    n  1j 1  Tb j 1 U N t
j
то
2


2
J ( n   )  J ( n )    n   1j 1  Tb j 1 U N t    YN  t
i, j
 j

Это говорит о том, что мы смогли построит минимизирующий
последовательность  n  такой, что
J ( n 1 )  J ( n )  0 , n  0,1,2,3,...


3. Алгоритм решения задачи
1) Задается начальное приближение  n
2) Решается прямая задача (4)-(6)
и определяется Yi j ; i  0,1,..., N  1 и YNj , j  1,2,..., m .
3) Решается сопряженная задача (10)-(12)
и определяется U i j ; i  1,..., N  1 и U Nj , j  1,2,..., m .
4) Следующее приближение коэффициента теплоотдачи определяется по
формуле:
 n 1   n   n  1j 1  Tb j 1 U Nj t ,  n  0
j
4. Априорные оценки и доказанные утверждения
Теорема-1 Если n  0, Tb (t ), 1 (t )  C1 (0, T );  0 ( z )  L2 (0, H ) , то для решения
системы (5)-(7) , справедлива оценка

Y J 1   YzJ 1 t  C1 1   n2
2
2

J
m 1
Y
j 1
N
j 0

t  C2 1   n2

Теорема-2 Если  0  0, Tb (t ), 1 (t )  C1 (0, T );  0 ( z )  L2 (0, H ) , то для решения
системы (10)-(12) , справедлива оценка
 0c U   U z t  C3 1   n2 
2
2
2
J
Теорема-3 Если  0  0, Tb (t ), 1 (t )  C1 (0, T );  0 ( z )  L2 (0, H ) и   const , то с
помощью малой величины  n подбираются константы C4  0, C5  0 такие,
что справедливо неравенство
C4   n1  C5
Теорема 4. Если  0  0, Tb (t ), 1 (t )  C1 (0, T );  0 ( z )  L2 (0, H ) , то схема (5)-(7)
является устойчивой по  0 ( x), Tâ (t ), 1 (t ) .
Теорема 5. Если  0  0, Tb (t ), 1 (t )  C1 (0, T );  0 ( z )  L2 (0, H ) ,
схема (10)-(12) является устойчивой по  0 ( x), Tâ (t ), 1 (t )
то разностная
Список литературы
1 Справочник машиностроителя. (под ред. Н.С. Ачеркан) – М: МашГИЗ, 1986, том 2.
2 Мартынов Г.А. Тепло - и влагоперенос в промерзающих и оттаивающих грунтах.
Основы геокрилогии (мерзлотоведения). – М.: 1959, под. ред. Н.А. Цытович.
3
Чудновский А.Ф. Теплобмен в дисперсных средах. – М. Гостехиздат, 1954, 444 с
4 Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена-М: Машмностроение, 1988, 280 с.
5
Кабахихин С.И., Бектемисов М.А., Нурсейтова А.Т. Итерационные методы решения
обратных некорректных задач с данными на части границы.- Алматы-Новосибирск: Типография
«TST-company»,2006, 426 с.
6 Рысбайулы Б. Идентификация коэффициента теплопроводности распространения
тепла в неоднородной среде// Вестник КБТУ, 2008, №1, ст. 62-65.
7
Рысбайулы Б., Маханбетова Г.И. Разностная схема для обратной задачи
кондуктивного распространения тепла в однородной среде. ДАН РК, 2008, №1, ст. 15-18.