Задачи к курсу «Приборы полупроводниковой микро- и наноэлектроники» -2014 Задача 1.

Задачи к курсу «Приборы полупроводниковой микро- и наноэлектроники» -2014
(лектор В.В. Вьюрков)
Задача 1. Рассчитать энергию низшей моды для электронов в кремниевом нанопроводе с
квадратным сечением. Использовать зонную структуру кремния, канал направлен вдоль
оси [001]. (2 балла)
Задача 2. Рассчитать спектр кремниевой кубической квантовой точки для дырок.
Использовать зонную структуру кремния. (2 балла).
Задача 3. В полупроводниковой нанопроволоке (нанотрубке) сформирован резкий p-n
переход. Написать уравнения для расчета трехмерного распределения потенциала
  x , y , z  и получить распределение потенциала вдоль оси проволоки. Сравнить с
распределением потенциала в «классическом» объемном p-n-переходе. (4 балла)
Задача 4. В тонком слое полупроводника (графена) сформирован резкий p-n переход.
Написать уравнения для расчета трехмерного распределения потенциала   x , y , z  и
получить распределение потенциала в листе графена. Сравнить с распределением
потенциала в «классическом» объемном p-n-переходе. Считать, что на расстоянии d над
листом графена расположен металлический затвор (5 баллов).
Задача 5. Рассчитать проводимость σ(ω) баллистической квантовой нити, свернутой в
кольцо, в вихревом переменном электрическом поле с частотой ω. Рассмотреть предел ω
→ 0 и сравнить с эффектом квантования проводимости одномерного проводника.
(4 балла)
Задача 6. Написать уравнение Лиувилля (левая часть кинетического уравнения
Больцмана) для функции распределения f частиц с произвольным законом дисперсии
 ( p ) , в частности, для безмассовых частиц в углеродных нанотрубках и графене c
законом дисперсии   vF | p | , vF  106 м/с – скорость Ферми. Получить из данного
кинетического уравнения уравнение Эйлера. Какая величина играет роль массы частицы в
уравнении Эйлера? (7 баллов).
Задача 7. Оценить величину запрещенной зоны в полоске графена (nanoribbon) шириной
10нм (2 балла).
Задача 7*. Рассчитать эту величину точно, используя гамильтониан безмассовых частиц в
графене
0
  x px   y p y

H  vF 

*
*

0
 x px   y py 

где  - матрицы Паули, p - оператор импульса, vF  106 м/с – скорость Ферми.
Рассмотреть эту задачу для двух возможных структур края полоски – зигзагообразной
(zigzag) и кресельной (armchair). (10 баллов)
Задача 8. Рассмотреть классическое движение электрона в графене в постоянном
электрическом поле при произвольной ориентации вектора начального импульса по
отношению к вектору поля. (2 балла)
Задача 9. Рассмотреть классическое движения электронов в «металлической» углеродной
нанотрубке (линейный закон дисперсии), помещенной в переменное электрическое поле.
Показать, что эта система не имеет линейного отклика на периодическое поле. (2 балла)
Задача 10. Рассмотреть движение волнового пакета электрона в металлической
нанотрубке (линейный закон дисперсии), помещенной в постоянное электрическое поле
(нестационарный вариант парадокса Клейна). (3 балла)
Задача 11. Рассчитать зависимость коэффициента поглощения света листом графена от
частоты. Считать, что уровень Ферми в графене проходит через дираковскую точку (точка
соприкосновения зоны проводимости и валентной зоны), температура близка к
абсолютному нулю (6 баллов).
Задача 12. Из соображений размерности показать, что удельная проводимость графена
(Ом-1) не зависит от температуры. Считать, что проводимость графена обусловлена
рассеянием электронов и дырок друг на друге (в борновском приближении), состояние
графена полностью определяется температурой T и единственным параметром зонной
структуры является величина скорости Ферми v F . Использовать мировые постоянные e и
. (6 баллов)
Задача 13. Металлический шарик емкостью С имеет заряд равный Ne (е – заряд
электрона, N=0,1,2,…). Рассчитать потенциальную энергию данной системы (т.е. работу
по зарядке шарика). При каких условиях можно пользоваться классической формулой
E  Q 2 / 2C , где C - емкость шара, Q - его заряд? (4 балла)
Задача 14. Доказать возможность разделения спинов при пропускании тока в двумерном
слое с кулоновскими рассеивающими центрами (спиновый эффект Холла). Учесть спинорбитальное взаимодействие. (10 баллов)
Задача 15. Основываясь на доказательстве теоремы о запрете клонирования неизвестного
состояния квантовой системы, доказать, что возможна операция обмена неизвестными
состояниями между двумя кубитами (SWAP), т.е. из состояния АВ можно получить
состояние ВА, но нельзя получить состояния АА или ВВ. (5 баллов)
Задача 16. Рассчитать вероятность туннелирования между валентной зоной и зоной
проводимости в полупроводнике, помещенном в постоянное электрическое поле. Считать,
что энергетический спектр в данных зонах описывается единым уравнением
 2   pvF    2 ,
2
такой спектр имеют полупроводниковые нанотрубки и узкие полоски графена. Почему
результат отличается от прозрачности треугольного барьера в вакууме? (6 баллов)
Задача 17. Показать, что наклон подпороговой характеристики МОП - транзистора
d lg I / dVG ( VG - напряжение на затворе) не может превосходить (60 мВ/дек)-1 при
комнатной температуре. Показать, что это ограничение отсутствует для туннельных
полевых транзисторов с управляемым p-n-переходом. (4 балла).
Задача 18. При каком энергетическом спектре   p  носителей заряда межэлектронное
рассеяние не влияет на проводимость материала? Рассмотреть столкновения между
электронами одной зоны, процессами переброса пренебречь. (4 балла)
Задача 19. Показать, что линейный энергетический спектр электронов   vF | p |
характерен не только для графена, но и для любой двумерной решетки, содержащей два
неэквивалентных атома в базисе. Использовать приближение сильной связи. (8 баллов)
Задача 20. В двойном слое графена, помещенном в канал полевого транзистора,
присутствует запрещенная зона и закон дисперсии электронов и дырок напоминает
сомбреро (имеется изотропный минимум, смещенный от центра зоны). Показать, что при
нулевой температуре возможен скачок проводимости при изменении напряжения на
затворе. (6 баллов)
Задача 21. В легированном полупроводнике проводимость определяется упругим
рассеянием на ионизированных примесях, скорость дрейфа в электрическом поле
невелика. Однако электрон, пройдя между контактами с разностью потенциалов 1 В,
неизбежно приобретает энергию 1 эВ и имеет большую скорость. Объяснить это
противоречие. (5 баллов)