Лекция 8. Счетность множества натуральных, целых, рациональных и алгебраических чисел.

Лекция 8.
Счетность множества натуральных, целых, рациональных и алгебраических чисел.
Несчетность множества трансцидентных, действительных и комплексных чисел.
Вычислимые действительные числа. Вычислимость алгебраических и существование
вычислимых трансцидентных чисел. Невычислимые числа.
Теорема Кантора (забыла включить в лекцию№7)
Для любого кардинального числа α справедливо α<2α
Множество всех подмножеств данного множества называется булеаном данного множества.
Каждому подмножеству М сопоставим его характеристическую функцию:
f M(x)=1 если x принадлежит М
f M(x)=0 если x принадлежит А но не принадлежит М
Всего характеристических функций: 2|Α|
α =|Α|
2α=| {0,1}Α |
Счетность множества натуральных чисел
Множество натуральных чисел является счетно-бесконечным по определению. Это некий эталон,
мощность которого определена как число Алеф-нуль (–первое трансфинитное число. Счетнобесконечными также будут все множества, для которых удастся доказать равномощность с
множеством натуральных чисел. Для доказательства того, что множества равномощны, обычно
используется какой либо способ, позволяющий поставить в соответствие каждому элементу
рассматриваемого множества какое то натуральное число. Далее рассматривается «расширенное»
множество натуральных чисел, включающее в себя стандартный ряд натуральных чисел (1,2,3,…) и
число 0.
Будем обозначать множество натуральных чисел буквой N.
Множество натуральных чисел является также эффективно перечислимым (тоже по определению)
Счетность множества целых чисел
Целые числа: -n, …, -3,-2,-1,0,1,2,3,…, n,…
Будем обозначать множество целых чисел буквой Z
Расположим их следующим образом
0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …., n, -n, …
Тогда каждому числу можно поставить в соответствие натуральное число
0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …. , n, -n, …
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,…., 2n-1, 2n, …
Таким образом доказано, что множество Z равномощно множеству N, а значит оно счетно.
Для доказательства эффективной перечислимости множества Z необходимо установить тот факт, что
все элементы множества Z могут быть перебраны по алгоритму и должны получить в результате
такого перебора порядковые номера, причем без пропусков и повторений. Позже для некоторых
случае оговорка «без пропусков и повторений» будет снята, однако важным остается факт
перечисления ПО АЛГОРИТМУ, т.е. неким регулярным образом.
Факт эффективной перечислимости множества Z напрямую следует из приведенного способа
нумерации элементов натуральными числами.
Счетность множества рациональных чисел
Определим рациональное число как q=n/m, где n и m – целые числа, причем m не равно 0.
Рассмотрим сначала положительные рациональные числа и запишем их в виде бесконечной
матрицы, строки и столбцы которой пронумерованы натуральными числами начиная с 1. Элемент
стоящий на пересечении i-ой строки и j-ого столбца получит наименование qij
1
1
q11
2
q12
3
4
q13
q14
2
q21
q22
q23
q24……
3
q31
q32
q33
q34……
4
q41
q42
q43
…
q44……
…………………………...
n qn1 qn2…………………
……………………………
Используя диагональный метод, перечислим их (пронумеруем натуральными числами):
q11 q21 q12 q13 q22 q31 q41 q32 q23 q14 q15 q24 q33
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Т.о. каждое рациональное число получит соответствующий номер, что означает счетность
множества рациональных чисел.
Факт эффективной перечислимости множества Z напрямую следует из приведенного способа
нумерации элементов натуральными числами.
Счетность множества алгебраических чисел
Алгебраическое число – корень уравнения ненулевой степени с целыми коэффициентами.
Общий вид алгебраического уравнения: a0+a1*x1+a2*x2+…+an*xn=0
где a0,a1,…- рациональные коэффициенты.
Нумеруем: a10+a11x1+a12x2 …=0
a20+a21x1 +a22x2 …=0
a30+a31x1 +a32x2 …=0
Получаем упорядоченную n-ку рациональных чисел: (a10,a11,a12…a1n) для каждого алгебраического
уравнения.
Выпишем на первой строке будущей матрицы все упорядоченные пары рациональных чисел (они
соответствуют линейным уравнениям и будут иметь по одному корню)
На второй строке выпишем все упорядоченные тройки рациональных чисел (они соответствуют
квадратным уравнениям и будут иметь максимум по два корня): т.о. вместо каждой тройки можно
указать подряд два числа, являющихся решением соотв. Уравнения.
На третьей строке – по три числа на каждое кубическое уравнение соотв. Упорядоченным четверкам
и т.д.
Т.о. получим матрицу, которую можно обойти при помощи диагонального процесса Кантора. Т.о.
каждое алгебраическое число получит соответствующий номер, что означает счетность множества
алгебраических чисел.
Факт эффективной перечислимости множества Z напрямую следует из приведенного способа
нумерации элементов натуральными числами.
К вопросу о приведении числовых систем к натуральным числам (добавить в лекцию №7)
Метод Дедикинда.
Действительное число: сечение множества рациональных чисел, т.е. упорядоченная пара двух
множеств рациональных чисел (А, В).
Каждое число множества А меньше каждого числа множества В, а в сумме они составляют все
множество рациональных чисел.
Например зададим √2 = (А,В)
p
А = {x : x  Q( x) & [ x  0  ( x  0 & ( ) 2  2]} }
q
p
B = {x : x  Q( x) & [( x  0) & ( ) 2  2]} }
q
A
√2
B
Т.о. действительные числа представимы как сечения множеств рациональных чисел.
Метод Вейштрасса
Действительное число – предел сходящейся последовательности рациональныз чисел. Существует
признак сходимости – и каждая сходящаяся последовательность дает некоторое действительное
число.
Метод Кантора
Действительное число – предел бесконечной систематической дроби.
Систематическая дробь: выражение числа через последовательные степени данного основания.
Систематическая дробь всегда есть сходящийся ряд. Ряд может сходиться к пределу, который не
является рациональным числом.
Несчетность множества действительных чисел
Множество действительных чисел обозначается латинской буквой R.
Теорема: Множество R действительных чисел несчётно.
Доказательство:
(от противного)
Пусть множество действительных чисел счетно. Любое подмножество счетного множества тоже
счетно. Возьмём на множестве действительных чисел интервал(0,1) и выкинем из этого отрезка
числа, содержащие хотя бы в одном своём разряде нули или девятки.(Примеры таких чисел: 0.9,
0.0001 etc.) Множество A, составленное из оставшихся чисел является подмножеством множества R.
Предположим, что множество A – счётно.
Тогда пронумеруем числа в разрядах:
0.a11a12a13…
0.a21a22a23…
……………
0.an1an2an3…
Теперь построим число b=0.b1b2…, причём bi=aij+1(т. е. если aij=1, то bi=2; аij=2 – то bi=3). Таким
образом построенное число b будет отличаться от каждого из чисел множества A хотя бы в одном
разряде, и, следовательно не попадёт в составленный список. Тогда предположение неверно и
множество A - несчётно.
Так как множество A является по условию подмножеством R, то и множество действительных чисел
– несчётно. Теорема доказана.
Примечание: можно и не выбрасывать числа, содержащие 0 и 9. Т.о. в наш ряд некоторые числа
войдут дважды. Это связано с тем, что конечные дроби могут быть превращены в бесконечные.
Например:
½=0,5=0,5(0)=0,4(9)
1
1
1
 n 1
2
0.01111…=1/22+1/23+1/24…=lim 2 2 = 2 =1/2
1
1
1
1
2
2
В общем случае это могло стать причиной того, что не удалось сосчитать множество
действительных чисел. Но множество чисел, представимых двояким образом (конечные дроби) – это
подмножество рациональных чисел. Следовательно их счетное количество. Можно показать, что это
множество эффективно перечислимо. Т.о. даже двойное представление множества таких чисел
образует счетное мн-во, следовательно доказательство верно.
Несчетность множества комплексных и трансцидентных чисел
Комплексное число задается парой (r1, r2), где R – действительное число. Так как множество
действительных чисел R(несчётное по доказанной ранее теореме) является подмножеством
множества комплексных чисел С, то множество комплексных чисел – также несчётно.
Трансцидентным называется действительное число, не являющееся алгебраическим. Поскольку
действительных чисел – несчетное множество, а алгебраических – счетное, то трансцидентных чисел
– несчетное множество.
Счетность множества вычислимых действительных чисел.
Действительное число вычислимо, если существует алгоритм его вычисления с любой степенью
точности.
Вычислимые числа включают в себя все алгебраические и некоторые трансцендентные числа.
Так как каждому вычислимому действительному числу соответствует хотя бы одна машина
Тьюринга, а машин Тьюринга - 0, то значит вычислимых чисел никак не больше чем 0 . С другой
стороны поскольку все алгебраические числа вычислимы, а их тоже
0, то вычислимых
действительных чисел никак не меньше чем 0. Значит множество вычислимых действительных
чисел счетно.
Существование вычислимых трансцидентных чисел. Невычислимые числа.
Пример невычислимого действительного числа:
Пусть имеются Т1,……,Тn,…. Машин Тьюринга и число Х можно представить как: Х=0,А1……Аn….
1, если Тi останавливается на чистой ленте
Где Аi=
0, в противном случае
Такое число является невычислимым, так как задача об остановки Тi на чистой ленте
алгоритмически не разрешима.
Пример вычислимого, но не алгебраического числа:
,
Вычислимость рациональных чисел. Вычислимость алгебраических чисел.
Рациональное число p/q- это частное двух целых чисел.
Все рациональные числа вычислимы, так как существует алгоритм их вычисления до любого знака,
то есть с любой степенью точности.
Алгебраическое число это корень алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами.
Алгебраическим называется уравнение, у которого слева стом многочлен , а справа ноль.
а0+а1*х+ а2*х*х+…+аn*х *… *х = 0
n штук
Алгебраические числа являются вычислимыми, так как существуют численные методы их
вычисления (алгоритм Ньютона) , позволяющие их определить с любой степенью точности.