Линейная функция

Линейная функция.
Мы начинаем изучать соответствия которые называются функциями.
Функцией называется соответствие между двумя множествами, при
котором каждому элементу одного множества, соответствует
единственный элемент другого множества.
Пусть x- переменная, множеством значений которой является множество
двузначных чисел, т. е. X, а y- переменная, множество значений которой
образуют квадраты двузначных чисел, т. е. подмножество множества Y.
Тогда соответствие между множествами X и Y можно задать формулой
у = х.
Значения переменной у зависят от значений х. Переменную у называют
зависимой переменной или функцией , а переменную х- независимой
переменной или аргументом.
В рассмотренном примере все двузначные числа являются значениями
аргумента, а соответствующие им квадраты - значениями функции.
Мы начнем знакомится с функциями, задаваемыми формулами, в которых
правая часть- выражение определенного вида. Простейшей из них является
функция, задаваемая формулой в правой части которой – одночлен первой
степени с одной переменной.
Для этой функции ввели специальное название – прямая
пропорциональность.
Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно
задать формулой вида y = kx , где х- независимая переменная, а k- не
равное нулю число.
Функции, задаваемые формулами вида y=kx, где k не равное нулю число,
находят широкое применение на практике. Приведем примеры.
ПРИМЕР 1. Периметр p квадрата является функцией длины его стороны a.
Функция ,
Заданная формула p = 4а – прямая пропорциональность.
Говорят, что периметр квадрата p прямо пропорционален длине a стороны
квадрата.
ПРИМЕР 2. Путь s км, пройденный автомобилем за t часов с постоянной
скоростью
80 км / ч, вычисляется по формуле s = 80 t,где t < 0, т. е. путь s прямо
пропорционален
времени движения t.
ПРИМЕР 3. Стоимость p товара в рублях по цене 10 р. за килограмм
вычисляется по
формуле p = 10х, где х - масса товара. Значит, зависимость p от х
является прямой
пропорциональностью.
Число k в форме y = kx называется коэффициентом
пропорциональности .
График прямой пропорциональности представляет собой прямую,
проходящую через начало координат.
Чтобы построить график функции y=kx, достаточно найти координаты
какой-нибудь точки графика этой функции, отличной от начала координат,
отметить эту точку и через нее и начало координат провести прямую.
Расположение графика функции в координатной плоскости зависит от
коэффициента k.
При k большем 0 график прямой пропорциональности расположен в первой
и третьей координатных четвертях, а при k меньшем 0 – во второй и
четвертой.
Продолжим свое знакомство с функциями и дадим определение линейной
функции.
Линейной функцией называется функция, которую можно задать
формулой вида y=kx+b, где x –независимая переменная, k и b –
некоторые числа.
Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции.
Действительно, при b=0 формула y=kx+b принимает вид y=kx , а этой
формулой при k не равном 0 задается прямая пропорциональность .
График функции y=kx+b , где k не равно 0 , есть прямая, параллельная
прямой y=kx.
Графиком линейной функции является прямая.
Расположение графика функции y=kx+b на координатной плоскости зависит
от значений коэффициентов k и b. Число k называют угловым
коэффициентом прямой – графика функции. Если k больше 0 , то угол
наклона прямой y=kx+b к оси x острый, если k меньше 0 , то этот угол тупой.
Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух
линейных функций, различны , то эти прямые пересекаются , а если угловые
коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 4. Принадлежат ли графику функции y=5x точки А (1;5), В (5;25), С
(-2:10).
Решение:
А(1;5)
5=5*1
5=5 значит точка А принадлежит графику данной функции.
В(5;25)
25=5*5
25=25 значит точка В принадлежит графику данной функции.
С(-2;10)
10=5*(-2)
10 =-10 значит точка С не принадлежит графику данной функции.
Пример 5.
Не выполняя построения , найдите координаты точек пересечения с осями
координат графика функции y=-2,4x+9,6.
Решение:
С осью ох: y=0
0=-2,4х+9,6
-9,6=-2,4х
х=-9,6/(-2,4)
х=4
А(4;0)
С осью оy: x=0
y=-2,4*0+9,6
y=9,6
В(0;9,6).
Пример 6.
Найдите координаты точки пересечения графиков функции y=10x-8 и y=3x+5.
Решение:
y =10x-8 и y =-3x+5
10x-8 = -3x+5
10x+3x = 8+5
13x = 13
x=1
Для того чтобы найти значение y необходимо значение x подставить в
любую функцию:
y=10*1-8
y=2
получаем , что графики функции пересекаются в точке А(1;2).
А теперь ребята вам необходимо выполнить небольшое задание
самостоятельно.
ЖЕЛАЮ УСПЕХОВ.
Задание 1.
Линейная функция задана формулой y=-3x+1,5. Найдите:
-значение y, если x = -1,5;
-значение x, при котором y=-4,5.
Задание 2.
Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями
координат графика функции y=-0,7x-28.
Задание 3.
В какой точке пересекает ось x график функции, заданной формулой y=0,4x12.
Задание 4.
Не выполняя построения графика функции y=1,2x-7, выясните , проходит ли
этот график через точку А(100,113), В(-15,-25), С(-10,5), D(300,353).
Задание 5.
Найдите координаты точки пересечения графиков функции y=14x и y=x+26.