Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №14 с углубленным изучением отдельных
предметов»
Методические рекомендации
Преподавание курса «Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей»
в 7- 9 классах общеобразовательной школы. Контрольные работы.
(К учебникам алгебры авторского коллектива: Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, Н. Е.
Федорова, М. И. Шабунин издано дополнение: [3] М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова. Элементы
статистики и вероятность: Учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных
учреждений)
Работу выполнила
Ильясова Н. Ш.
учитель высшей категории
МОУ СОШ №14
г. Балахна.
2006г.
Преподавание курса «Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей»
в 7- 9 классах общеобразовательной школы. Контрольные работы.
Введение.
Один из важнейших аспектов модернизации содержания современного математического
образования состоит во включении в школьные программы элементов статистики и теории
вероятностей. В настоящее время некоторые образовательные учреждения уже начали мероприятия
по включению в школьный курс математики новой содержательной линии - «Элементы
статистики, комбинаторики и теории вероятностей». Изучение нового материала в основной и
старшей школе станет обязательным после утверждения федерального компонента государственного
стандарта общего образования по математике.
В 2003 году Министерство образования РФ издало приказ №03-93ин/13-03 от 23. 09.2003 «О
введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание
математического образования основной школы». В нем указана целесообразность изучения этих тем
«начать в 5 –6 классах, или в 7 классе – в зависимости от изложения тем в учебнике, по которому
ведется преподавание».
В 2003-2004 гг. были изданы специальные дополнения к учебникам математики для 7-9 классов, в
которых изложен теоретический материал и приводится большое количество задач и упражнений по
элементам статистики, комбинаторики и теории вероятностей.
К учебникам алгебры авторского коллектива: Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. Н. Нешков, С. Б.
Суворова под редакцией С. А. Теляковского издано дополнение: [1]Ю. Н. Макарычев, Н. Г.
Миндюк. Алгебра: Элементы статистики и теории вероятностей: Учебное пособие для учащихся
7-9 классов общеобразовательных учреждений / под редакцией С. А. Теляковского. М.:
Просвещение, 2003 –78с.
К учебникам алгебры А. Г. Мордковича издано дополнение: [2] А. Г. Мордкович, П. В. Семенов.
События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Дополнительные параграфы к курсу
алгебры 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2003. – 112с.
К учебникам алгебры авторского коллектива: Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, Н. Е.
Федорова, М. И. Шабунин издано дополнение: [3] М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова. Элементы
статистики и вероятность: Учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных
учреждений. М.: Просвещение, 2004 –112с.
Указанные дополнения должны использоваться к соответствующим учебником как вкладыши при
преподавании алгебры в основной школе до выхода в свет новых, переработанных учебников,
полностью соответствующих новым образовательным стандартам.
Несмотря на то, что все три указанных дополнения к учебникам написаны в соответствии с
образовательным стандартом для основной школы, различия между ними очень велики – и по отбору
теоретического материала, и по последовательности рассмотрения изучаемых вопросов, и по
характеру изложения, и, особенно, по подбору задач.
В пособиях [1] и [2] есть методический комментарий и послесловие для учителя, где авторы этих
пособий предлагают учителям примерное распределение материала по классам и примерное его
тематическое планирование.
В школах нашего Балахнинского района в основном при изучении алгебры 7-9 классов
используется учебники алгебры авторского коллектива: Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В.
Сидоров, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. В учебном пособии [3] Элементы статистики и
вероятность, авторов: М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, таких рекомендаций нет, поэтому предлагаю
учителям некоторые методические рекомендации из опыта работы по распределению материала, его
изложению и решению задач. Некоторые методические рекомендации к 1 главе и краткое
содержание этой главы вышеуказанного пособия можно найти в журнале «Математика в школе»,
№3, 2003г, с.36 – 49 в статье «Элементы стохастики в курсе математики 7-9 классов основной
школы» авторы М. В. Ткачева и Н. Е. Федорова.
Методический комментарий.
Данное пособие [3] Элементы статистики и вероятность, авторов: М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова,
предназначено для изучения вероятностно статистического материала при работе по учебникам
алгебры авторского коллектива: Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, Н. Е. Федорова, М.
И. Шабунин., состоит из трех глав. Предоставленный в пособии материал распределяется между 7, 8
и 9 классами по главам.
В 7 классе при изучении Главы 1 «Введение в комбинаторику» (7-8ч) учащиеся знакомятся с
такими простейшими понятиями комбинаторики, как сочетания и перестановки, рассматривают
применение теории графов к решению комбинационных задач. Этот материал рекомендуется изучать
в конце курса алгебры 7 класса, за счет более компактного изучения других тем.
Изучение элементов теории вероятностей продолжается в 8 классе в Главе 2 «Случайные события»
(8-9ч). Учащиеся получают сведения о случайных событиях и их вероятностях, о законе больших
чисел и тактике игр.
В 9 классе завершается изучение вероятностно-статистического материала. В Главе 3 «Случайные
величины», ученики получают информацию о статистических понятиях. Они знакомятся с
таблицами распределения, с генеральной совокупностью и выборкой, графическим изображением
статистических исследований – построением столбчатых и круговых диаграмм и полигонов. На
изучение этой главы отводится 8-9ч.
Итак, основной материал каждого параграфа рассчитан, как правило, рассчитан на 1 урок, еще один
урок отводится для обобщения материала и подготовке к контрольной работе или для
самостоятельной работы, изучение темы заканчивается контрольной работой.
Распределение вероятностно-статистического материала по классам приведено ниже.
Примерное тематическое планирование.
7 класс (7-8ч).
Глава 1 «Введение в комбинаторику».
§1. Исторические комбинаторные задачи. (1)
§2. Различные комбинации из трех элементов. (1)
§3. Таблица вариантов и правило произведения. (1)
§4. Подсчет вариантов с помощью графов. (1)
§5*. Перестановки. (1)
§6*. Разбиение на две группы. Выдвижение гипотез. (1)
Решение задач. (1)
Контрольная работа. (1)
8 класс (8-9ч).
Глава 2 «Случайные события».
§7. События. (1)
§8. Вероятность события. (1)
§9. Решение вероятностных задач с помощью комбинаторики. (1)
§10*. Геометрическая вероятность. (1)
§11. Противоположные события и их вероятности. (1)
§12. Относительная частота и закон больших чисел. (1)
§13*. Тактика игр. Справедливые и несправедливые игры. (1)
Решение задач. (1)
Контрольная работа. (1)
9 класс (8-9ч).
Глава 3 «Случайные величины».
§14. Таблицы распределения. (1)
§15. Полигоны частот. (1)
§16. Генеральная совокупность и выборка. (1)
§17. Размах и центральные тенденции. (1)
§18*. Нормальное распределение. (1)
§19*. Отклонение от среднего и дисперсия. (1)
§20*. Среднее квадратичное отклонение и правило трех сигм. (1)
Решение задач. (1)
Контрольная работа. (1)
Условные обозначения.
§1* дополнительный, более сложный материал, который вводится по усмотрению учителя и в
зависимости от уровня подготовки класса.
№ 1* дополнительная, более сложная задача, решение которой берется по усмотрению
учителя и в зависимости от уровня подготовки класса.
№ 1 задачи, аналогичные которым взяты в контрольную работу.
Комментарии к поурочному планированию.
Формы и методы изложения теоретического материала и разбор задач, примеров, исследований
текста параграфа, конечно же, выбираются самим учителем. Выбор упражнений к решению на уроке
и дома так же может быть совсем иным. Представленные поурочные планы предлагают примерное
распределение на каждом уроке изучения нового материала и решения упражнений к нему, форму и
место проверки домашнего задания на уроке. Предложенные тексты самостоятельных и
контрольных работ так же являются примерными и могут быть изменены учителем по его
усмотрению. В зависимости от профессионализма учителя, подготовленности класса методику
ведения этих уроков определяет каждый учитель. Решения всех задач дополнений [1], [2], [3] можно
найти в книге автора составителя В. Н. Студенецкой «Решение задач по статистике, комбинаторике
и теории вероятностей 7 – 9 классы» [4].
1 урок
Изучение
нового
материала
Поурочное планирование.
7 класс. Глава 1 дополнения [3] «Введение в комбинаторику»
§1. Исторические комбинаторные задачи.
1. Из истории комбинаторики.
2. Фигурные числа: а) квадратные числа (п2); б) треугольные числа (
в) пятиугольные числа ( n  3 
Решение задач
Итог урока
Задание на дом
2 урок
Проверка д. р.
Изучение
нового
материала
n(n  1)
); г) изображение составных
2
n(n  1)
);
2
(прямоугольных) и простых (непрямоугольных) чисел в древности.
3. Магические квадраты;
4* Латинские квадраты, ортогональные латинские квадраты.
§1 № 1(устно), №6(3,4), №7(3,4), №8, №9(4), №10(1), №12(1),№13(1)
§1 № 2(устно)
самостоятельная работа (с последующей проверкой):
1 вариант: №6(1), №9(1), №13(3) . 2 вариант: №6(2), №9(2), №13(4)
§1 №3, №5, №9(3), №13(2),№7(1,2)
Оставшиеся задачи №№ 4, 10(2), 11(2), 14*,15*,16,17*,18*,19*.
§2. Различные комбинации из трех элементов.
§1 №3, №5, №9(3), №13(2),№7(1,2)
1. Мотивационная задача на выбор наиболее подходящего варианта из трех
элементов.
2. Простейшие задачи, связанные с составлением различных комбинаций из трех
элементов: №1 – №4 текста.
В задаче №1 использованы сочетания, в №2 – размещения, в №3 – перестановки.
«Сочетанием из п элементов по k называется любое множество, составленное
из k элементов, выбранных изданных п элементов»
Можно ввести понятие факториала: п! = 1  2  3  ...  n и формулу для
n!
.
(п  k )! k!
«Размещением из п элементов по k ( k  п) называется любое множество,
вычисления сочетаний
C
k
n

составленное из любых k элементов, взятых в определенном порядке изданных п
элементов». Формула для вычисления размещений:
k
A
n
Решение задач
Итог урока
Задание на дом
3 урок
Проверка д. р.
Изучение
нового
материала
Решение задач
Итог урока
Задание на дом
 n(n  1)( n  2)  ...  (n  (k  1))
Перестановки в §5.
§2 № 1(устно, и в ответе 2) можно и 3 набора, если в набор взять один предмет, как
в 1)), №2 (устно), № 4, №6, №8, №9 (самостоятельно), №10, №13.
§2 № 14, дополнительно №15
§ 2 №3, №5, №7, №11,№12.
Оставшиеся задачи №№ 15
§3. Таблица вариантов и правило произведения.
§ 2 №3, №5, №7, №11,№12. В №11, №12 назвать количество чисел, которое
получилось, предложить средства, исключающие возможность «потери» какойлибо комбинации элементов, например, таблицу вариантов.
1. Для подсчета числа комбинаций по два элемента составляют таблицы: задачи
№1,2 текста.
2. Правило произведения: задачи №3,4 текста.
§3 № 1 (1, 2 самостоятельно), №2 (2), № 4, №5, №7, №10, №11(1) №12(2).
§3 № 3, № 9 (в ответе 42 варианта, но их всего 21, т. к. для закладки фруктов в
компот порядок не учитывается)
Дополнительно (устно): «Сколько двухзначных кодов можно составить из шести
различных букв, если буквы в коде: 1) могут повторяться; 2)должны быть
различными? (Ответ: 1) 6  6  36;2)6  5  30 ).
§ 3 №2(1), №6, №8, №11(2),№12(1).
4 урок
Проверка д. р.
§4. Подсчет вариантов с помощью графов.
§ 3 №2(1), №6, №8, №11(2),№12(1).
Решение задачи №6 §3 показать с помощью графа:
Изучение
нового
материала
Решение задач
1. Графы задачи № 1, 2, 3* текста.
2. Граф - дерево: задачи № 4, 5, 6 текста.
Итог урока
§4 № 1 (3), №2 (2, 3), № 3, № 6.
Задачи на повторение: §4 № 8, № 10, №11, №12(в ответе только 120, т. е.
учитывается порядок закладки овощей в салат, если же порядок не учитывать, то
может быть и 20)
§4 № 1(1),
Дополнительно: Решить задачу, используя графы «Несколько мальчиков
встретились на вокзале, чтобы поехать за город в лес. При встрече все они
поздоровались друг с другом за руку. Сколько мальчиков поехало за город, если
было всего 10 рукопожатий? Решение:
Задание на дом
Ответ: 5 мальчиков.
§ 4 №1(2), №2(1),№4, №5, №7, №9.
Оставшиеся задачи №№ 13,14, 15, 16, 17*, 18*.
5 урок
Проверка д. р.
Изучение
нового
материала
Решение задач
Итог урока
Задание на дом
6 урок
Проверка д. р.
Изучение
нового
материала
Решение задач
Итог урока
Задание на дом
§5*. Перестановки.
§ 4 №1(2), №2(1),№4, №5, №7, №9. По домашним задачам №7 ответить на вопрос:
«Сколько трехзначных чисел из двух цифр получилось?», по №9(2) ответить на
вопрос: «Сколько трехзначных чисел из пяти цифр получилось?»
Устно решить задачу: Сколько трехзначных чисел из трех цифр получится
(например, взять цифры 8,7,5), если все цифры различны?
Решение: На первом месте – 3, на втором – 2, на третьем – 1, и по правилу
произведения всего: 3  2  1 =Р3 = 3! перестановок.
§5 задачи № 1 – 4 текста
§5 №3, №4(сам – но, с указанием), №5 (устно), № 6(2), №8, №9(1,4,6), №10(2).
Самостоятельная работа: Упражнения к главе 1 (стр. 32- 33)
1 вариант: №5 (1), №6 (1), № 11.
2 вариант: №5 (2), № 7, № 12.
§ 5 № 2, № 6 (1), № 7, № 9(2, 3, 5), № 10(1).
Оставшиеся задачи №№ 1,11, 12, 13, 14*, 15*, 16*,17.
§ 6* Разбиение на две группы. Выдвижение гипотез.
§ 5 № 2, № 6 (1), № 7, № 9(2, 3, 5), № 10(1). При проверке №6 повторить понятия
простых и составных чисел.
1. Разбиение на две группы: разобрать по § 6 пример с рассаживанием двух
девочек, трех девочек на две скамейки.
2. Выдвижение гипотез. Задача текста.
§6* № 2, №4, №5 (устно).
Решить задачу на разбиение на две группы: «У Антона 6 друзей. Он может
пригласить в гости одного или нескольких из них. Определите общее число
вариантов».
Решение: Разобьем множество из 6 элементов на две группы: приглашенных и
Неприглашенных. Расположим всех друзей в один ряд, и под именем каждого
друга будем писать 0, если он не приглашен, и 1, если приглашен. Получим
шестизначные наборы нулей и единиц. Общее число 26 = 64, но среди этих наборов
есть состоящий из одних нулей (никто не приглашен), значит вариантов 64–1 = 63.
Ответ: 63 варианта.
§ 6 № 1, № 3. Упражнения к главе 1 (стр. 32- 33) №3.
Оставшиеся задачи №№ 6, 7, 8.
7 урок
Проверка д. р.
Решение задач
Обобщающий урок по главе 1 «Введение е комбинаторику»
§ 6 № 1, № 3. Упражнения к главе 1 (стр. 32- 33) №3.
На доске (на плакате) напомнить формулы а) квадратных чисел (п2);
n(n  1)
n(n  1)
); в) пятиугольных чисел ( n  3 
); г) числа
2
2
n!
k
сочетаний (если формула давалась ученикам) C n 
; д) числа
(п  k )! k!
б) треугольных чисел (
размещений (если формула давалась ученикам)
k
A
n
Итог урока
Задание на дом
 n(n  1)( n  2)  ...  (n  (k  1)) ; е) перестановок Рп = п!.
Упражнения к главе 1 (стр. 32- 33) № 1(2), № 2(2), № 6(2), №8, №10, №13, №15.
§ 4 № 13(1), № 15, №16, №18.
§ 5 № 11, № 12, № 17(2).
Упражнения к главе 1 (стр. 32- 33)№14, № 16.
Вопросы к главе 1 «Введение е комбинаторику»:
§1. Как найти п – ое 1) квадратное число, 2) треугольное число, 3) пятиугольное
число?
§2. Какие комбинации из трех элементов можно составить: 1) по 2 элемента, не
учитывая порядок, 2) по 2 элемента, учитывая порядок, 3) по три элемента?
§3. В чем состоит комбинаторное правило произведения для подсчета числа
возможных вариантов?
§4. Что называется графом?
§5. Что называется перестановкой из п элементов?
§4 №13(2), §5 №13, №17 (1). Упражнения к главе 1 (стр. 32- 33) №1(1), № 2(1), №9.
Оставшаяся задача из упражнений к главе 1: №4
8 урок
Контрольная работа
1 вариант.
1) Записать п – ое по порядку а)квадратное
число; б)треугольное число, если п = 23, п = 40.
2) Укажите все способы, какими можно
разложить 3 яблока в две вазы (учтите при этом
случай, когда одна из ваз окажется пустой)
3) Составьте все возможные двузначные числа из
указанных цифр 0, 3, 4, при условии, что а)
цифры в числе не повторяются; б) допускается
повторение цифр в числе.
4) Сколько существует способов занять первое,
второе и третье места в чемпионате по
волейболу, в котором участвует 8 команд?
5) В кафе предлагают напитки: кофе и чай, и три
вида пирожных: трубочка, эклер и картошка.
Перечислите (с помощью графа) все возможные
варианты из напитка и пирожного.
6) Вычислите: а) 4! + 3!; б)
7!
, в) Р5 – Р4.
5!
2 вариант.
1) Записать п – ое по порядку а)квадратное
число; б)треугольное число, если п = 24, п = 41.
2) Укажите все способы, какими можно
разложить 4 апельсина в две вазы (учтите при
этом случай, когда одна из ваз окажется пустой)
3) Составьте все возможные двузначные числа из
указанных цифр 0, 5, 2, при условии, что а)
цифры в числе не повторяются; б) допускается
повторение цифр в числе.
4) Сколько существует способов занять первое,
второе и третье места в чемпионате по
волейболу, в котором участвует 9 команд?
5) В школьном буфете есть компот и чай, и три
вида пирожков: с капустой, с мясом, с джемом.
Перечислите (с помощью графа) все возможные
варианты из напитка и пирожка.
6) Вычислите: а) 5! – 3!; б)
8!
, в) Р5 + Р4.
6!
Ответы к контрольной работе по главе 1 «Введение в комбинаторику».
1 вариант. 1) а) п2 =232 =529, п2 =402 =1600; б)
n(n  1) 23  24
n(n  1) 40  41
 276 ,
 820
=
=
2
2
2
2
2)
1 ваза
2 ваза
1 способ
–
3 яблока
2 способ
1 яблоко
2 яблока
3 способ
2 яблока
1 яблоко
4 способ
3 яблока
–
3) а) 30, 34, 40, 43. б) 30, 34, 40, 43, 44,33.
4) На 1место претендует 8 команд, на 2 место – 7 команд, на 3 место – 6 команд, всего способов
Ответ: 336 способов.
8  7  6 = 336.
5)
Ответ: 6 вариантов.
6) 4! + 3! = 3!4  3! 5  3! 5  6  30 ; б)
7!
= 6  7  42 , в) Р5 – Р4 = 5! – 4! = 96.
5!
2 вариант. 1) Ответ: а) 576, 1681; б) 300, 861.
2)
1 ваза
2 ваза
1 способ
–
4 апельсина
2 способ
1 апельсин
3 апельсина
3 способ
2 апельсина
2 апельсина
4 способ
3 апельсина
1 апельсин
5 способ
4 апельсина
–
Ответ: 5 способов.
3) Ответ: а) 52, 50,25, 20; б) 52, 50,25, 20, 55, 22.
4) На 1место претендует 9 команд, на 2 место – 8 команд, на 3 место – 7 команд, всего способов 504.
Ответ: 504 способа.
5)
Ответ: 6 вариантов.
6) Ответ: а) 114, б)56, в) 144.
Поурочное планирование.
8 класс. Глава 2 дополнения [3] «Случайные события».
1 урок
Изучение
нового
материала
Решение задач
Итог урока
Задание на дом
§ 7. События.
1. Историческая справка (из книги [10] стр. 132 – 160, выборочно)
2. § 7 п. 1 Невозможные, достоверные и случайные события.
п. 2 Совместные и несовместные события
п. 3 Равновозможные события.
§7 № 1, 2, 5(устно). В тетради: № 4, № 6 (самостоятельно, с последующей
проверкой). Устно: №7, №8. Письменно: №9,13, дополнительно №14.
Приведите примеры: а) невозможного события; б) достоверного события; в)
случайного события; г) совместных событий; д) несовместных событий.
§7 №3, №12, № 15
Оставшиеся задачи №№ 10, 11.
2 урок
Проверка д. р.
Изучение
нового
материала
Решение задач
Итог урока
Задание на дом
3 урок
Проверка д. р.
Изучение
нового
материала
Решение задач
Итог урока
Задание на дом
4 урок
Проверка д. р.
Изучение
нового
материала
§8. Вероятность события.
§7 №3, №12, № 15
1. Историческая справка (из книги [10] стр. 132 – 160, выборочно)
2. Задачи. №1 текста и ввести классическое определение вероятности. № 2, № 3
текста и вывод о значении вероятности: 0  Р  1.
§8 № 1(устно), №2 (таблица), № 4, № 5, № 7, №9( вероятность выпадения орла при
одном бросании равна 0,5, независимо, сколько раз до этого брошена монета, и что
при этом выпадало), №10 (2, 4, 5), №11.
Устно решить задачу: В новогодней лотерее 100 билетов. Из них на 10 билетов
можно выиграть мандарин, на 20 билетов – шоколадку, на 50 билетов – конфетку.
Найти вероятность того, что на один купленный билет
а) выигран мандарин (ответ: 0,1); б) выиграна шоколадка (ответ: 0,2)
в) выиграна конфетка (ответ: 0,5); г) какой либо выигрыш (ответ: 0,8); д) ничего
не выиграть (ответ: 0,2).
§ 8 №3, №6, №8, № 10 (1, 3)
§9. Решение вероятностных задач с помощью комбинаторики.
§ 8 №3, №6, №8, № 10 (1, 3)
Перед разбором задач текста повторить правила и способы вычислений вариантов
с помощью таблиц, графов, правила произведения, а затем рассмотреть №№ 1, 2, 3,
4*, 5, 6 текста.
§9 № 2, 3(2,4,6,8,10,12), №4(1,4), №5(1), №6(1)(2 самостоятельно), №7, №9*-13*
Самостоятельная работа с последующей проверкой
1 вариант §9 № 3(3), № 4(2)
2 вариант §9 № 3(4), № 4(3)
§ 9 № 1, № 3(1,5,7,9,11), № 5(2), 8*.
§ 10*. Геометрическая вероятность.
§ 9 № 1, № 3(1,5,7,9,11), № 5(2), 8*.
«Равновозможность исходов случайного эксперимента позволяет вычислять
вероятность любого связанного с ним события без обращения к частоте. Такая
ситуация возникает в некоторых геометрических задачах, связанная со случайным
выбором точки на прямой, плоскости или пространстве.
Представим себе, что мы выбираем на географической карте мира точку
(например, зажмурим глаза и покажем в нее указкой). Какова вероятность, что
точка окажется в России? Очевидно, для ответа на вопрос надо знать, какую часть
всей карты занимает Россия. Точнее, какую часть всей площади карты составляет
площадь России. Отношение этих площадей и даст искомую вероятность.
Такую же картину мы имеем и в общем случае, когда в некоторой области G (см.
рис.) выбирается точка. Если предположить, что попадание в любую точку
равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в любую подобласть А
будет равна отношению площадей: Р(А) =
S ( A)
.
S (G )
Такое
определение вероятности называется геометрическим. Если А имеет нулевую
площадь, то вероятность попадания в А равна нулю.» ([6])
Рассмотрим задачу «О встрече»: Два человека договорились о встрече в
определенном месте в промежуток времени от 9 часов до 10 часов. Каждый из них
приходит наудачу, независимо друг от друга и ожидает 15 минут, после чего
уходит. Какова вероятность встречи этих людей?
Решение: Пусть х и у - моменты прихода первого и второго человека. Изобразим
в прямоугольной системе координат область G и подобласть А. Необходимым и
достаточным условием их встречи является выполнение неравенства | у – х | 
( 15 мин. =
1
4
1
1
1
час.). Получим x   y  x  . Тогда все возможные исходы –
4
4
4
являются точками квадрата, площадью S = 1, а заштрихованная область – все
возможные точки, благоприятствующие встрече (см. рис.). S1 =
S
1 3 3 7
7
.
1  2     .P  1 
2 4 4 16
S 16
Решение задач
Задание на дом
5 урок
Проверка д. р.
Изучение
нового
материала
Решение задач
Итог урока
Задание на дом
6 урок
Проверка д. р.
Изучение
нового
материала
Решение задач
Итог урока
Задание на дом
7 урок
Проверка д. р.
Изучение
нового
материала
Решение задач
Итог урока
Задание на дом
Разобрать задачи текста №1, 2.
l
§ 10* №1, 4*(пояснения к №4*: Р = 1 , где l1 – длина отрезка ХХ и она равна нулю,
l
l = | АВ|, тогда вероятность события «точка Х попадет в середину отрезка АВ»
равна нулю. Результат кажется парадоксальным: попасть в середину отрезка
можно, это возможное событие, а вероятность этого события равна нулю).
§ 10 № 2, 3, Упражнения к главе 2 стр. 65 № 1(1 – 3)
§11. Противоположные события и их вероятность.
§ 10 № 2, 3, Упражнения к главе 2 стр. 65 № 1(1 – 3)
Разобрать задачи №1, № 2, №3* текста §11.
§11 № 1 (3 – 6 устно), 2(устно), №3, №6 (1сам – но,2 и 3 по вариантам с
проверкой), №9*, 10*. Упражнения к главе 2 (стр. 65 - 66) №1 (6,7,8), № 2(5 – 8)
Самостоятельная работа ( с последующей проверкой):
1 вариант: Упражнения к главе 2 (стр. 65 - 66) № 1(4), №2 (1, 2) и из §11 №1(1)
2 вариант: Упражнения к главе 2 (стр. 65 - 66) № 1(5), №2 (3, 4) и из §11 №1(2)
§ 11 №4, № 5, №8.(принести кубики для исследовании на 6 уроке).
§ 12. Относительная частота и закон больших чисел.
§ 11 №4, № 5, №8. Напомнить, что в задачах использовались формула
классической вероятности и формула вероятности противоположного события.
Напомним уже известные определения вероятности случайного события А:
классическое: вероятность – это отношение числа благоприятных для события А
исходов к числу всех исходов эксперимента (см. §7)
геометрическое: вероятность – это отношение площади события А ко всей
площади области, где случайно выбирается точка (см. § 10)
Сегодня рассмотрим определение статистической вероятности.
1. Определение относительной частоты. Задача №1 текста и Исследование 1.
2. Определение статистической вероятности.
3. Закон больших чисел. Задача №2 текста и Исследование 2.
§ 12 № 3, № 5.
В №6 исследование, которое необходимо организовать лучше по группам, а затем
полученные данные объединить в общую таблицу, заготовленную заранее.(можно
дать №6 на дом, на следующем уроке полученные результаты обсудить).
§ 12 № 1, № 2, № 4.
§ 13*. Тактика игр. Справедливые и несправедливые игры.
§ 12 № 1, № 2, № 4.
1. Историческая справка (из книги [10] стр. 155 – 160)
2. § 13 задачи № 1, № 2, № 3 текста
§ 13 № 1(2, 4),№ 2.
Вопросы к главе 2 «Случайные события»:
1) какое событие называется а) невозможным; б) достоверным; в) случайным?
(приведите примеры).
2) какие два события называются а) совместными; б) несовместными? (приведите
примеры).
3) какие события называются равновозможными? (приведите примеры).
4) дайте определение классической вероятности.
5) какие события называются противоположными? (приведите примеры).
6) дайте определение относительной частоты события А.
7) дайте определение статистической вероятности.
§ 13 №1(1, 3)
8 урок
Проверка д. р.
Решение задач
Итог урока
Обобщающий урок по главе 2 «Случайные события»
§ 13 №1(1, 3)
Упражнения к главе 2 (стр. 65 - 66) № 4, 5, 7, 9, 10, 12.
Самостоятельная работа:
№1. В коробке «Ассорти» - 20 неразличимых по виду конфет, 12 – с шоколадной
начинкой и 8 – с фруктовой. Таня взяла две конфеты. Какова вероятность того, что
обе конфеты окажутся
1 вариант: с шоколадной начинкой?
2 вариант: с фруктовой начинкой?
№2. Из четырех тузов случайным образом поочередно вытащили две карты.
Найти вероятность того, что обе карты
1 вариант: тузы черной масти?
2 вариант: тузы красной масти?
Ответы: 1. Событие А – «взяты две конфеты с одинаковой начинкой»
Число равновозможных исходов события п =
C
2
20
= 190, число т
благоприятствующих исходов и вероятность: 1 вариант: т =
2 вариант: т =
C
2
8
C
2
12
= 66, Р(А)=0,35.
= 28. Р(А) = 0,15.
Ответы: 2. т = 2, п = 4 3 = 12, Р(А) =
2 1
 .
12 6
Задание на дом
Упражнения к главе 2 (стр. 65- 66) №3 №6, №8, № 11
9 урок
Контрольная работа
1 вариант.
2 вариант.
1. В мешке лежат 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4
красных. Охарактеризуйте следующее событие как
достоверное, невозможное или случайное.
а) из мешка вынули 4 шара, и все они синие;
б) из мешка вынули 4 шара, и все они красные;
в) из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось
шара черного цвета.
2. Для новогодней лотереи отпечатали 1500 билетов,
из которых 120 выигрышных. Какова вероятность
того, что купленный билет окажется выигрышным?
3. В мешке содержаться жетоны с номерами от 1 до 50
включительно. Какова вероятность того, что
извлеченный наугад из мешка жетон содержит только
одну цифру 3?
4. Случайным образом выбрали двузначное число.
Найти вероятность того, что оно оканчивается нулем.
5. В ящике находятся 10 деталей, одна из них
нестандартная. Наугад берут две детали. Какова
вероятность того, что обе детали окажутся
стандартными?
1. В двух урнах находятся по пять шаров пяти
различных цветов: белого, синего, красного, желтого,
зеленого. Из каждой урны одновременно вынимают
по одному шару. Охарактеризуйте следующее
событие как достоверное, случайное или
невозможное.
а) вынуты шары разного цвета;
б) вынуты черный и белый шары;
в) вынуты два шара, причем каждый из них оказался
окрашенным в один из следующих цветов: белый,
синий, красный, желтый, зеленый.
2.В денежно-вещевой лотерее на 100000 билетов,
разыгрывается 1200 вещевых 800 денежных
выигрышей. Какова вероятность того, что купленный
билет окажется выигрышным?
3. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1
до 25 включительно. Какова вероятность того, что
взятый наугад учеником билет имеет однозначный
номер?
4. Случайным образом выбрали двузначное число.
Найти вероятность того, что оно состоит из
одинаковых цифр.
5. В пачке находятся одинаковые тетради по размеру
из них 7 тетрадей в линейку и 5 – в клетку. Из пачки
наугад берут три тетради. Какова вероятность того,
что все три тетради окажутся в клетку?
Ответы к контрольной работе по главе 2 «Случайные события»
1 вариант.
1. Ответ: а) невозможное; б) случайное; в) достоверное.
2. Событие А – «купленный билет выигрышный», тогда тА = 120, п = 1500, Р(А) =
120
4

= 0,08.
1500 50
3. Событие А – «извлеченный жетон содержит только одну цифру 3». Это числа: 3, 13, 23, 43, 30, 31,
32, 34, 35, 36, 37, 38, 39. тА = 13, п = 50. Р(А) =
13
= 0,26. Ответ: Р(А) = 0,26.
50
4. Всего двузначных чисел п = 9  10 = 90. Событие А – «выбранное число, оканчивается 0». тА = 9
(числа 10,20,30,40,50,60,70,80,90). Р(А) =
9
= 0,1. Ответ: Р(А) = 0,1.
90
10  9
= 45 (порядок в паре не учитывается). Событие А – «обе
1 2
98
36 4
2
 = 0,8. Ответ: Р(А) = 0,8.
детали оказались стандартными»; тА = C 9 
= 36. Р(А) =
1 2
45 5
5. Общее число исходов п =
C
2
10

2 вариант.
1. Ответ: а) случайное; б) невозможное; в) достоверное.
2. Событие А – «купленный билет выигрышный», тогда тА = 1200 + 800 = 2000 , п = 100000,
Р(А) =
2000
1

= 0,02.
100000 50
Ответ: Р(А) = 0,02.
3. Общее число билетов п = 25. Событие А – «наугад взятый билет имеет однозначный номер».
9
= 0,36. Ответ: Р(А) = 0,36.
25
4. Всего двузначных чисел п = 9  10 = 90. Событие А – «выбранное число состоит из одинаковых
9
цифр». тА = 9 (числа 11,22,33,44,55,66,77,88,99). Р(А) =
= 0,1. Ответ: Р(А) = 0,1.
90
тА = 9. Р(А) =
5. Исходы – все возможные наборы по 3 тетради из 12, порядок не важен, общее число п =
12  11  10
= 220. Событие А – «все три тетради в наборе в клетку»; тА =
1 2  3
10
1
1

Р(А) =
.
Ответ: Р(А) =
.
220 22
22
C
3
12

C
3
5

54
= 10.
1 2
9 класс. Глава 3 дополнения [3] «Случайные величины»
1 урок
Изучение
нового
материала
Решение задач
Итог урока
§14. Таблицы распределения.
1. Из истории статистики ( из книги [11] стр. 4 – 22, выборочно).
2. §14 примеры 1, 2, задачи №1, 2, пример 3 текста.
§14 №1(1,3), №2 (рассказать об ошибке Д Аламбера, [12] стр. 183), №4, №5,№7.
Таблицы распределения:
1. Закон распределения случайной величины Х – суммы выпавших на монетах
чисел на примере № 2 §14
Хi 0
1
2
pi 1
1 1
4
2
4
2. Таблица распределения значений случайной величины Х – оценка за
контрольную работу учащихся 9 класса, по примеру №2 текста §14: по частотам
(M) и относительным частотам( W)
Х 1
2
3
4
5
М 1
3
15 9
3
W 1
3 15
9
3
31
Задание на дом
2 урок
Проверка д. р.
Изучение
нового
материала
Решение задач
Итог урока
31
31
31
31
3. Таблица распределения непрерывной случайной величины – интервальный ряд
на примере №3 текста §14.
§14 №1(2, 4), №3, № 6, принести циркуль и транспортир.
§ 15. Полигоны частот.
§14 №1(2, 4), №3, № 6,
На прошлом уроке мы рассматривали таблицы распределения. Из курса алгебры
известно, что и для функций есть табличный способ задания, таблицы образуют
«мостик», по которому от таблиц можно к графикам, а в нашем случае к
графическому представлению информации.
§15 1.Полигон частот;2. Полигон относительных частот; 3. Столбчатые и круговые
диаграммы; 4. Гистограммы частот; 5. Гистограммы относительных частот.
§15 № 1(2) , №2 (2), № 4, № 3(1)( в условии задачи сказано, что в таблицах
представлено распределение случайной величины Х, хотя вторые строки
озаглавлены М(частота), а не вероятность. Различия между этими таблицами см.
урок 1, 9 класс).
Повторить все виды графического представления информации.
Задание на дом
§15 №1(1), №2(1), №5, № 3(2).
Оставшиеся задачи №№ 6 практическая работа:» при проведении работы нужно
иметь в виду, что случайность выбора здесь плохо обеспечена: крайние страницы
открываются фактически только умышленно; книжные листы как бы
«сминаются» в пачки, которые редко открываются и т. п.» ([4]).
3 урок
Проверка д. р.
Изучение
нового
материала
§16. Генеральная совокупность и выборка.
§15 №1(1), №2(1), №5, № 3(2).
В тех случаях когда бывает сложно или даже невозможно провести сплошное
исследование, его заменяют выборочным . При выборочном исследовании из всей
изучаемой совокупности данных, называемой генеральная совокупностью,
выбирается определенная ее часть, т. е. составляется выборочная совокупность
(выборка), которая подвергается исследованию. При этом выборка должна быть
представительной, или, как говорят, репрезентативной, т. е. отражающей
характерные особенности исследуемой генеральной совокупности.
Mi
N
Решение задач
Итог урока
Задание на дом
4 урок
Проверка д. р.
Изучение
нового
материала
 Wi 
Si
, где...1  i  k .
S - объем генеральной совокупности; N – объем
S
репрезентативной выборки; Мi – частоты по которым распределены значения
исследуемого признака; Si частоты этого признака во всей генеральной
совокупности.
§16 №1 (1, 5, 6) – устно; №3, №6
§16 №2 устно.
§ 16 №1 (2, 3, 4), №4, №5.
§ 17. Размах и центральные тенденции
§ 16 №1 (2, 3, 4), №4, №5.
Для сравнения некоторых совокупностей могут быть использованы различные
числовые характеристики: Размах А = хmax - xmin; Среднее значение x ,
вычисляется как среднее арифметическое x 
x
Решение задач
Итог урока
Задание на дом
 xi
или как среднее взвешенное
N
 xi M i
, если даны частоты; Мода (М0) – наиболее часто встречающееся
N
значение случайной величины (их может быть и не одна, а может и не быть совсем.
Заметим, что «среднее арифметическое ряда чисел может не совпадать ни с одним
из этих чисел, а мода, если она существует, обязательно совпадает с двумя или
более числами ряда. Кроме того, в отличие от среднего арифметического, понятие
«мода» относится не только к числовым данным. Например, проведя опрос
учащихся можно получить ряд данных, показывающих, каким видом спорта они
предпочитают заниматься, какую из развлекательных телевизионных программ
они считают наиболее интересной. Модой будут служить те ответы, которые
встречаются чаще всего. Этим и объясняется само название «мода»» ([1]).
Медиана ( Ме) – так называемое среднее значение упорядоченного ряда значений
случайной величины.
Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется
число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с четным
числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных
посередине. [1]
Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего
упорядоченного ряда чисел. [1]
**закон больших чисел: При неограниченном увеличении числа повторений
некоторого испытания частота наступления в этом испытании события А
практически совпадает с вероятностью Р(А) этого события.[2]
§ 17 №1(2)(в №1 дополнения [3] дан неверный ответ), № 3(2), № 5(1), №6, №8, №9
Повторить меры центральной тенденции (среднее, мода, медиана).
§ 17 №1(1), №3(1), №5(2), №7
5 урок
Проверка д. р.
Изучение
нового
материала
Решение задач
Итог урока
Задание на дом
6 урок
Проверка д. р.
Изучение
нового
материала
Решение задач
Итог урока
Задание на дом
7 урок
Проверка д. р.
Изучение
нового
материала
Решение задач
Итог урока
§ 18*. Нормальное распределение.
§ 17 №1(1), №3(1), №5(2), №7.
Самостоятельная работа: 1 вариант § 17 №2(1). 2 вариант § 17 №2(2).
§ 18* до опыта Гальтона.
§18 №1(1), №2(лучше провести опрос заранее или просто дать уже результаты
своего «опроса»)
Рассмотреть опыт Гальтона.
§ 18, №1(2), повторить меры центральной тенденции из § 17.
§ 19*. Отклонение от среднего и дисперсия.
§ 17, §18, №1(2)
Проанализировать ситуацию, предложенную в тексте § 19, сравнивая
совокупности значений случайной величины с помощью центральных тенденций
(из § 17), которые не могут обеспечить необходимого сравнения. Ввести понятие
отклонения от среднего и дисперсии.
§ 19 №2(2), №3(2), №6, №4.
§ 19 №1 (Обратить внимание на то, что дисперсия величина именованная и имеет
вторую степень, а в ответах дополнения [3] наименования дисперсий указаны
неверно, к тому же в №1(2) дисперсия также и вычислена с ошибкой, правильный
ответ 2,5 г2).
§ 19 №2(1), №3(1), №5.
§ 20*. Среднее квадратичное отклонение и правило трех сигм.
§ 19 №2(1), №3(1), №5.
1. Для оценки степени отклонения от среднего значения удобно иметь дело с
величиной той же размерности, что и сама величина Х. С этой целью используют
значение корня квадратного из дисперсии, которое называется Средним
квадратичным отклонением. Рассмотреть задачи №1, №2 текста.
2. Правило трех сигм пояснить на примерах задач текста. Включать решение
задачи №5 к § 20 на использование этого правила не стоит, т. к. результаты
вычислений показывают, что данные задачи плохо подтверждают это правило.
§ 20№1(2) №2(2), №4.
Повторить меры центральной тенденции (среднее, мода, медиана). Решить
задачу: Найти размах, моду, медиану и среднее значение ряда
– 7 ; 6; - 2; 3; 0; 1; 5; 6.
Решение.
Упорядочим ряд: - 7 ; - 2; 0; 1; 3; 5; 6; 6. Размах А = 6 – (– 7 ) = 13; мода Мо = 6;
медиана Ме =
1 3
 7  (2)  0  1  3  5  6  2 3
 .
= 2; среднее значение x 
2
8
2
Задание на дом
§ 20 №1(1), №2(1), №3.
8 урок
Проверка д. р.
Решение задач
Обобщающий урок по главе 3 «Случайные величины»
§ 20 №1(1), №2(1), №3
Упражнения к главе 3 стр. 107 №2. Решить задачи:
1. В ходе опроса 34 учащихся класса было выяснено сколько времени (с точностью
до 0,5 час.) в неделю они затрачивают на занятия в кружках и спортивных секциях.
Получили данные: 5 1,5 0 2,5 1 0 0 2 2,5 3,5 4
5 3,5 2,5 0 1,5 4,5 3 3 5 3,5 4
3,5 3 2,5 2 1 2 2 4,5 4 3,5 2 5 .
Представьте этот ряд в виде таблицы частот и относительных частот. Найдите,
сколько времени в среднем тратят учащиеся на занятия в кружках и спортивных
секциях.
Решение.
Х 0
0,5 1
1,5 2
2,5 3
3,5 4
4,5 5
М ||||
||
||
|||||
||||
|||
|||||
|||
||
||||
4
0
2
2
5
4
3
5
3
2
4
W
0
4
2
2
5
4
3
5
3
2
4
34
34
34
34
34
34
34
34
34
34
Среднее значение найдем по формуле среднего взвешенного: x 
Задание на дом
 xi M i
= 2,72ч.
N
2. В таблице показано распределение сотрудников отдела по стажу работы:
Стаж
3 года и менее 4 года 5 лет 6 лет 7 лет и более
Количество
8
12
16
24
40
сотрудников
Постройте полигон распределения случайной величины Х – числа сотрудников
отдела по стажу работы.
Упражнения к главе 3 стр. 107 №1, №3.
9 урок
Контрольная работа
1 вариант.
1. В таблице приведены номера месяцев
рождения 25 учеников 9 класса
1 3 3 5 12 11 12 9 2 1 6 6 10
11 3 12 7 3 2 10 4 8 5 9 8.
На основании этих данных составить таблицы
распределения по частотам и относительным
частотам значений случайной величины Х –
номеров месяцев рождения учащихся 9 класса.
2. Построить столбчатую диаграмму,
показывающую распределение рабочих цеха по
тарифным разрядам, которое представлено в
следующей таблице
Тарифный
1
2
3
4
5
6
разряд
Число
4
2
10
13
8
4
рабочих
3. В таблице показана урожайность зерновых в
43 хозяйствах района. Постройте полигон
распределения хозяйств по урожайности
зерновых.
Урожайность ц/га
Число хозяйств
18
3
19
9
20
13
21
11
22
7
4. Найдите среднее арифметическое, размах,
моду и медиану ряда
30; 30; 32; 37; 40; 41; 42; 45; 49; 52.
2 вариант.
1. В таблице приведены первые буквы (15 букв)
фамилий 25 учеников 9 класса
А Н К Ш Г Л О С К Р К Б Д
К О М П К Б Д В Н Ф М Г.
На основании этих данных составить таблицы
распределения по частотам и относительным
частотам значений случайной величины Х –
первых букв фамилий учащихся 9 класса.
2. По четвертным оценкам по геометрии
учащиеся 9 класса распределились следующим
образом:
оценка
2
3
4
5
Число
1
15
10
4
уч
Построить столбчатую диаграмму,
характеризующую распределение учащихся по
четвертным оценкам по геометрии.
3.При изучении семей, проживающих в доме, по
количеству членов семьи была составлена
таблица. Постройте полигон распределения
семей по количеству членов семьи.
Количество членов
Количество семей
семьи
1
12
2
18
3
22
4
30
5
11
6
7
4. Найдите среднее арифметическое, размах,
моду и медиану ряда 100; 102; 102; 104; 205;
206; 327; 408; 417.
Ответы к контрольной работе по главе 3 «Случайные величины». 1 вариант: № 1.
Х
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
М
2
2
4
1
2
2
1
2
2
2
2
3
W 0,08 0,08 0,16 0,04 0,08 0,08 0,04 0,08 0,08 0,08 0,08 0,12
Решение №2
Решение №3
Решение №4.
Среднее значение найдем по формуле среднего арифметического x 
А = 52 – 30 = 22; мода Мо = 30; медиана Ме =
2 вариант: № 1.
 xi
= 39,8; размах
N
x5  x6 40  41
= 40,5.

2
2
Х
а
б
в
г
д
к
л
м
н
о
п
р
с
ш
ф
М
1
2
1
2
2
5
1
2
2
2
1
1
1
1
1
W 0,04 0,08 0,04 0,08 0,08 0,2 0,04 0,08 0,08 0,08 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04
Решение №2
Решение №3
Решение №4.
Среднее значение найдем по формуле среднего арифметического x 
А = 417 – 100 = 317; мода Мо = 102; медиана Ме = х5 = 205.
 xi
= 219; размах
N
Список, используемой литературы.
1. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк. Алгебра: Элементы статистики и теории вероятностей: Учебное
пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений / под редакцией С. А. Теляковского. М.:
Просвещение, 2003 –78с.
2. А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. События. Вероятности. Статистическая обработка данных:
Дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина,
2003. – 112с.
3. М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова. Элементы статистики и вероятность: Учебное пособие для учащихся 7-9
классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2004 –112с.
4. В. Н. Студенецкая. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей 7 – 9 классы.
Изд. 2 – е, испр. – Волгоград: Учитель, 2006. – 428 с.
5. П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб.
пособие для студентов втузов. В 2 - х ч. Часть 2. – 4 - е изд., испр. И доп. - М.: Высш. шк., 1986. – 415 с., ил.
6. Е. А. Бунимович, В. А. Булычев. Вероятность и статистика. 5 – 9 кл.: Пособие для общеобразоват. учеб.
заведений. – М.: Дрофа, 2002. – 160сю: ил. – (Темы школьного курса).
7. А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд, В. Д. Головина, И. И. Крючкова, Л. А. Литвачук. Внеклассная
работа по математике в 4 – 5 классах. Под. Ред. С. И. Шварцбурда. М.: Просвещение, 1974. – 191 с. с ил.
(Метод. б – ка школы).
8. Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашов – Мусатов, С. И. Шварцбурд. Алгебра и математический анализ для 11
класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. – 3 –е изд. – М.: Просвещение,
1993. – 288 с.: ил.
9. Г. В. Горелова, И. А. Кацко. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах
с применением Excel. Учеб. пособие для вузов. Издание 2 – е исправленное и дополненное. – Ростов н/Д:
Феникс, 2002. – 400 с., ил.
10. В. Ф. Бутузов, Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, Э. Г. Позняк, Ю. В. Сидоров, М. В. Ткачева, Н. Е.
Федорова, М. И. Шабунин. Математика: Учебное пособие для учащихся 10 кл. общеобразоват. учреждений.
– М.: Просвещение, 1995. – 223 с.: ил.
11. В. Ф. Бутузов, Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, Э. Г. Позняк, Ю. В. Сидоров, М. В. Ткачева, Н. Е.
Федорова, М. И. Шабунин. Математика: Учебное пособие для учащихся 11 кл. общеобразоват. учреждений.
– М.: Просвещение, 1995. – 223 с.: ил.
12. И. И. Баврин, Е. А. Фрибус. Занимательные задачи по математике. – М.: Гуманит. Изд. Центр
ВЛАДОС, 1999. – 208 с.: ил. – (Б – ка учителя математики).