2. Построение правильных многоугольников с - Ya

Министерство образования Пензенской области
Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего
профессионального образования Пензенской области
«Каменский техникум промышленных технологий и предпринимательства»
Научно-исследовательская
работа:
«Геометрия – это просто»
Выполнила:
Студентка ГБОУ СПО КТПТП
Карташова А.
г.Каменка
Содержание
1. Введение…………………………………………………………………. 3
2. Основная часть
§1. Построения правильных многоугольников с помощью …………..
4
чертежных инструментов
§2. Построения правильных многоугольников с помощью …………… 6
перегибания листа бумаги
3. Заключение…………………………………………………………….. 15
4. Литература……………………………………………………………… 16
5. Приложение 1…………………………………………………………… 17
6. Приложение 2…………………………………………………………… 18
2
Введение
На уроках геометрии изучается тема «Построение правильных
многоугольников». Любое построение правильного многоугольника
является объемной работой и вызывает некоторые затруднения, например:
использование чертежных инструментов, точность и аккуратность
построений. В связи с этим возникает вопрос, какие еще существуют
методы построения правильных многоугольников.
Проблема: Как можно изучить задачи на построение более наглядным
и интересным способом?
Цель: Узнать, возможно, ли применение возможностей оригами для
решения геометрических задач на построение правильных
многоугольников.
Задачи:
1)Показать правила построения правильных многоугольников с
помощью циркуля и линейки
2) Изучить правила построения правильных многоугольников с помощью
перегибания листа бумаги.
Методы исследования:
1) Изучение литературы.
2) Построение оригами.
3) Анализ проведённой работы.
3
Основная часть
§1. Построения правильных многоугольников с помощью
линейки и циркуля
В курсе геометрии изучают построения правильных многоугольников с
помощью циркуля и линейки. Эта задача замечательна тем, что возникла в
глубокой древности из практических потребностей людей в архитектуре и
строительной технике. Способов таких построений существует несколько.
Мы
разберем
самый
распространенный:
построение
через
центральный угол. Для начала разберем построение правильного
шестиугольника, так как в математике 6 является совершенном числом.
Есть много примеров: в Древней Греции на 6 – м месте на званом перу
возлежал самый уважаемый и самый знаменитый и почетный гость; в
Древнем Вавилоне круг делили на 6 частей; в Библии утверждается, что
мир создан за 6 дней. 6 – самое маленькое, самое первое совершенное
число, не даром на него обратили внимание великие Пифагор и Евклид,
Ферма и Эйлер. Правильный шестиугольник очень часто используется
при решении различных задач.
Для построения правильного многоугольника достаточно знать
сторону и центральный угол. При этом сторону мы берем произвольно, а
угол вычисляем, применив формулу а=360/n, n=6,
0
а= 60 .Для
построения также необходим инструмент-транспортир. Транспортир-это
инструмент небольших размеров, поэтому не обеспечивает достаточной
точности и удобств в работе. Решая эту задачу, учёные пришли к выводу,
что правильные многоугольники можно построить с помощью циркуля и
4
линейки. Хотя решения будут приближёнными (что вы и заметите), но с
достаточно
большой
точностью.
Значит,
построение
правильных
многоугольников будет связано с окружностью.
Поэтому для построения правильного шестиугольника одну вершину
(A1) на окружности берем произвольно. Из нее как из центра радиусом,
равным радиусу окружности, делаем засечку и получаем вершину А2
(рис.1). Затем аналогично строим остальные вершины А3, А4, А5, A6 и
соединяем их отрезками.
рис.1
рис.2
5
Для построения правильного вписанного треугольника достаточно
соединить через одну вершины правильного вписанного шестиугольника
(рис. 2).
Для построения правильного вписанного четырехугольника (квадрата)
достаточно провести через центр окружности перпендикулярные прямые.
Они
пересекут
окружность
в
вершинах
квадрата
(рис.3).
рис.3
Аналогично, рассмотрим построение правильного пятиугольника через
0
центральный угол a=360/n n=5 a=360/5= 72 (рис.4)
6
Для построения правильного описанного многоугольника достаточно
провести касательные к окружности в вершинах правильного вписанного
многоугольника. Касательные, проходящие через вершины правильного
вписанного многоугольника, пересекаются в вершинах правильного
описанного многоугольника (рис. 4).
Если в окружность вписан правильный n-угольник, то легко построить
правильный вписанный 2n-угольник. На рисунке 5 показано построение
правильного восьмиугольника.
рис.5
Существуют, конечно, еще и другие способы построения правильных
многоугольников с помощью чертежных инструментов: циркуля, линейки,
транспортира. Но для нашей работы достаточно рассмотреть хотя бы
один,
чтобы
убедиться,
что
построение
любого
правильного
многоугольника это довольно таки большая, сложная и ответственная
работа. Не каждому ученику под силу сделать такую работу, а многим
вообще она будет неинтересна. Поэтому можно предложить решение
задач на построение с помощью складывания листа бумаги: древнего
искусства – оригами.
7
§2. Построение правильных многоугольников с помощью
перегибания листа
Что же такое оригами? "Оригами", первоначально зародившееся в
Японии как складывание различных фигурок из бумаги, за свою
многовековую историю превратилась в целую науку и распространилась
по всему миру. Само название "оригами" происходит от двух японских
слов "ори" и "ками" и в буквальном переводе означает "сложенная
бумага". И это не случайно, так как сгибание является простейшей
операцией с листком бумаги, которая не требует от человека никаких
навыков, кроме воображения и, как не странно, эта простейшая операция
порождает своеобразную геометрию, не менее богатую, чем геометрия
циркуля и линейки. Сначала кажется, что возможности перегибания
включают в себя всю геометрию одной линейки, однако это ошибка. В
некоторых случаях складки таят в себе также возможности циркуля, хотя
и не позволяют проводить непосредственно дуги окружности. И чем
дальше погружаешься в эту необычную геометрию, тем все больше
приходишь в восхищение от разнообразия забавных и серьезных задач,
которые удается решить. С помощью оригами есть возможность показать,
что математика не сухая наука, а красота и гармония.
Рассмотрим примеры задач, решаемых методами оригами. Как
правило, они проще и нагляднее, а относительная простота помогает
учащимся убедиться в правильности классических утверждений, теорем и
побуждает к дальнейшим исследованиям. Сколько любопытных тайн
кроется в обычном листочке бумаги, который всегда под рукой!
Возможности перегибания листа бумаги велики, что обеспечивает решить
большое разнообразие задач.
8
При решении задач с помощью методов оригами роль прямых играют
края листа и линии сгибов, образующиеся при его перегибании, а роль
точек - вершины углов листа и точки пересечения линий сгибов друг с
другом или с краями листов.
Любая оригамская задача состоит: 1) Из постановки задачи. 2) Из
оригамского решения, проверки или способа построения. 3) Из
математического обоснования, то есть доказательства того, что в
результате действительно получается фигура с требуемыми свойствами.
Для примера решим несложные задачи на построение правильных
многоугольников. При решении данных
задач методом оригами
необходимо знание некоторых условных обозначений, принятых в
оригами и которые приводятся на рис.7
Используемые условные знаки
9
рис.7
Оригамские способы построения правильных многоугольников
Задача №1:Построить правильный треугольник.
Оригамское решение:
1 способ
Согните квадрат пополам
Согните правую сторону
так, чтобы линия сгиба
начиналась из правого
нижнего угла фигурки, а
верхний прямой угол лег
бы на ее левую сторону
Отрежьте нижний
треугольник по указанной
линии и раскройте его
10
2 способ
Наметьте середину и верхнюю
Наметьте на квадрате вертикаль и согните
четвертинку правой стороны
его пополам в треугольник
Линия отреза проходит через левый нижний Линия отреза образует прямой
угол и точку, разделяющую верхнюю
угол с основанием
правую половину
11
Задача №2:Построить правильный пятиугольник.
Оригамское решение:
Наметьте на квадрате две
диагонали и согните его в
треугольник. Наметьте
середину высоты
Сгиб делит угол пополам
Наметьте четверть высоты Линия сгиба проходит между
отмеченными точками
Заверните левую часть
назад
Сгиб делит угол пополам
Линия отреза образует
прямой угол со стороной
12
Задача №3:Построить правильный шестиугольник.
Оригамское решение:
Наметьте на квадрате
вертикаль и согните его
Наметьте середину и
Согните правый угол так,
верхнюю четвертинку
чтобы линия сгиба пошла из
правой стороны
середины основания и
указанные точки совпали
пополам в треугольник
Загните левую часть назад
Отрежьте верхнюю часть
(линия разреза идет от угла
до угла)
13
Задача №4:Построить правильный восьмиугольник.
Оригамское решение:
Сложив базовую форму
"Двойной квадрат",
спереди и сзади раскройте
и расплющите карманы
Перекиньте правую
половинку центрального
треугольника налево.
Повторите сзади
Спереди и сзади раскройте
и расплющите карманы
Раскройте вверх
Отрежьте нижнюю часть
Мы получили некоторые правильные многоугольники, точность
которых можно проверить с помощью чертежных инструментов либо
применить математическое обоснование.
Правильные многоугольники широко применяются в модульном
оригами,
например,
для
построения
некоторых
многогранников:
додекаэдра,икосаэдра, тетраэдра, гексаэдра и т.д (см.приложение 1).Для
создания оригамских фигур: различные кусудамы (см.приложение 2).
Помимо складывания многоугольников и многогранников, оригами
обладает мощным потенциалом в решении планиметрических задач на
построение. Вот некоторые из них, решаемые методами оригами:
1) построение биссектрисы угла;2) построение высоты треугольника;3)
построение медианы
14
Заключение
В заключении выделим наиболее существенные моменты. Оригами,
как основа различных направлений искусства, является наиболее
логичной и гармоничной формой изучения геометрии. Логика здесь
выступает как средство подтверждения наглядности и практической
значимости. Выполняя геометрические фигуры в технике оригами, я
познакомилась с новыми геометрическими понятиями, основными
определениями,
и
наглядно
изучила
как
плоские
фигуры,так
и
геометрические. При внимательном рассмотрении выяснилось, что
оригами уже по своей природе является целым разделом геометрии.
Оригами не только интересное развлечение, но и полезное занятие, в
процессе которого происходит естественный массаж кончиков пальцев
рук, развивается подвижность и точность движений пальцев как правой,
так и левой руки. Это уникальное средство для развития тонкой моторики
и повышения чувствительности пальцев. Активная работа обеих рук
влечёт за собой повышение активности полушарий головного мозга и
развивается не только левое, отвечающее за логику и речь, полушарие, но
и правое, ответственное за творчество, интуицию, воображение.
Занятия
оригами
способствуют
развитию
пространственного
воображения, глазомера, внимания, памяти, фантазии и творческого
мышления. Оригами во всем мире становится популярным семейным
развлечением. Совместное изготовление бумажных фигурок приносит
радость взрослым и детям, способствует лучшему взаимопониманию и
миру в семье.
Эта работа интересна.
15
Литература
1. Белим С. Н. Задачи по геометрии, решаемые методами оригами. – М.:
изд. «Аким», 1998г., 66с.
2. Бескин Н.М. Методика геометрии с приложением главы «Методика
преподавания наглядной геометрии А.М. Астряба» / Н.М. Бескин. – М.:
Учпедгиз, 1947. - 274с.
3. Весновская О. В. Оригами: орнаменты, кусудамы, многогранники. Чеб.: изд. «Руссика», 2003г., 52с.
4. Глейзер Г.Д. Каким быть школьному курсу геометрии / Г.Д. Глейзер //
Математика в школе. – 1991. - №1. - С. 68 – 71
5. Атанасян Л.С. учебник геометрии 7-9класс
6. Погорелов А.В. учебник геометрии 7-11 класс
7.http://portfolio.1september.ru/
8.http://www.dorigami.narod.ru/dorigami_platon.html
9.http://www.profistart.ru/ps/blog/6080.html
10. http://nacherchy.ru/postroenie_pravilnich_mnogougolnikov.html
11. http://fxdx.ru/page/postroenie-pravilnogo-mnogougolnika-s-pomoshhju-cirkulja-i-linejki
12.http://jorigami.narod.ru/PP_corner/Sib_ori_conf/Sib_ori_conf_IX/Sib_ori_conf_IX_20.h
m
13. http://area7.ru/metodic-material.php?1759
14. http://dorigami.narod.ru/index.html
16
Приложение 1 Правильные многогранники
17
Приложение 2 Кусудама
18