- Механико-математический факультет

Экзаменационные вопросы по курсу "Математическая статистика".
Лектор - А.В. Прохоров, 2015-2016 уч. г.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
Эмпирическая функция распределения; ее свойства как функции распределения и
как оценки теоретической функции распределения.
Теорема Гливенко-Кантелли о сходимости эмпирической функции распределения.
Асимптотические свойства эмпирических моментов и функций от них.
Теорема Колмогорова с доказательством независимости распределения
статистики Колмогорова от вида непрерывной функции распределения.
Вариационный ряд выборки и порядковые статистики. Распределение порядковых
статистик.
Информация Фишера и ее свойства.
Условные математические ожидания и условные распределения относительно
сигма-алгебр и случайных величин. Условная плотность распределения одной
случайной величины относительно другой.
Свойства условных математических ожиданий.
Достаточные статистики. Теорема Неймана-Фишера (критерий достаточности).
Сравнение точечных статистических оценок по их свойствам. Асимптотические
свойства оценок. Примеры состоятельных и асимптотически нормальных оценок.
Эффективные оценки в регулярном случае. Неравенство Крамера – Рао.
Многомерное обобщение неравенства Крамера-Рао. Информация Фишера в
двумерном случае. Пример двумерной нормальной выборки.
Улучшение оценок с помощью достаточных статистик. Теорема КолмогороваБлекуэла-Рао.
Полные достаточные статистики и теорема о несмещенных оценках с минимальной
дисперсией.
Свойства частоты как оценки вероятности «удачи» в схеме Бернулли. Сравнение с
другими оценками.
Метод моментов оценивания параметров. Теорема о состоятельности оценок
метода моментов.
Метод максимального правдоподобия. Теорема об асимптотических свойствах
оценок максимального правдоподобия.
Метод максимального правдоподобия. Теорема об асимптотической нормальности
оценок максимального правдоподобия.
Байесовский метод. Теорема о байесовской оценке при квадратичной функции
риска. Априорное и апостериорное распределение. Априорный и апостериорный
риск.
Сравнение байесовских оценок и оценок максимального правдоподобия для
параметров биномиального и нормального распределений.
Свойства байесовских оценок: байесовские оценки и достаточные статистики;
минимаксные оценки как байесовские с постоянным риском.
Многомерное нормальное распределение: эквивалентные определения и основные
характеристики. Свойства многомерного нормального распределения.
Лемма Фишера о независимости среднего арифметического и среднего
квадратического для независимых одинаково нормально распределенных
случайных величин.
Распределения хи-квадрат, Стьюдента и Фишера-Снедекора.
Следствие из леммы Фишера о распределениях хи-квадрат и Стьюдента как
распределениях статистик для нормальных выборок.
Интервальные оценки и их характеристики. Методы построения точных
доверительных интервалов.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
Построение точного доверительного интервала для параметра биномиального
распределения.
Доверительные интервалы для параметров нормального распределения (для
среднего и для дисперсии).
Асимптотические доверительные интервалы. Построение асимптотического
доверительного интервала на основе асимптотической нормальности подходящей
статистики. Примеры асимптотического интервала для параметра биномиального
распределения.
Теорема Неймана-Пирсона. Критерий отношения правдоподобия для проверки
двух простых гипотез, как наиболее мощный критерий. Примеры.
Равномерно наиболее мощные критерии для проверки сложных гипотез. Семейства
распределений с монотонным отношением правдоподобия. Критерии для проверки
гипотез о среднем значении нормального распределения.
Проверка гипотез о параметрах нормального распределения (о среднем и
дисперсии).
Проверка гипотез о параметрах нормального распределения с помощью
доверительных интервалов.
Критерий Стьюдента равенства средних значений двух независимых нормальных
выборок
Критерий Фишера равенства дисперсий двух независимых нормальных выборок.
Распределение Фишера-Снедекора как распределение статистики дисперсионного
отношения для нормальных выборок.
Дисперсионный анализ однофакторной модели для нормальных выборок.
Множественное сравнение параметров однофакторной модели с помощью
доверительных интервалов.
Критерии проверки гипотез о значениях параметра биномиального распределения.
Теорема об асимптотическом хи-квадрат распределении статистики Пирсона.
Критерий хи-квадрат для проверки гипотезы о данном полиномиальном
распределении.
Критерий Колмогорова для проверки гипотезы о данном непрерывном
распределении.
Задача регрессии. Линейная регрессия в случае двумерного нормального
распределения. Оценивание коэффициентов регрессии для нормальных выборок.
Программа курса «математическая статистика» для студентов 3 курса 1 потока
механико-математического факультета, 2015-2016 уч. год
Лектор А.В. Прохоров
Кафедра математической статистики
и случайных процессов
1.
Математическая статистика как раздел математики, основанный на теории
вероятностей. Основные задачи математической статистики. Математическая статистика как
теория статистических решений. Представление о статистическом решении с минимальным
риском ошибки.
2.
Выборка, выборочное пространство, статистическая модель. Повторная выборка и
параметрическая модель. Функция правдоподобия выборки. Представление об основных
типах статистических решений: точечные оценки, интервальные оценки, критерии выбора
одной из двух гипотез.
3.
Основные выборочные характеристики, статистики. Выборочные среднее значение и
дисперсия. Вариационный ряд, порядковые статистики и их распределение. Эмпирическая
функция распределения как функция распределения и как оценка гипотетической функции
распределения. Теорема Гливенко-Кантелли. Статистика Колмогорова и теорема о
независимости статистики Колмогорова от вида истинной функции распределения при
условии ее непрерывности. Критерий Колмогорова для проверки гипотезы о данном
непрерывном распределении.
4.
Информация о свойствах статистической модели, содержащаяся в выборке, и ее
использование для выбора статистических решений с минимальным риском ошибки.
Информационное количество Фишера и его свойства. Определение достаточной статистики и
критерий Неймана-Фишера достаточности некоторой статистики. Минимальные
достаточные статистики.
5.
Условное математическое ожидание и условная вероятность относительно сигмаалгебры и относительно случайной величины. Свойства условного математического
ожидания. Условная плотность распределения одной случайной величины относительно
другой. Аналог формулы Байеса для плотностей.
6.
Точечные статистические оценки параметров модели и функций от параметров.
Сравнение оценок по их свойствам. Представление о наилучших оценках: состоятельные
несмещенные оценки с минимальной дисперсией. Свойства «частоты» как оценки
вероятности события в схеме испытаний Бернулли. Теорема Колмогорова-Блекуэла-Рао об
улучшении свойств оценок с помощью достаточной статистики. Полные достаточные
статистики и несмещенные оценки с минимальной дисперсией.
7.
Асимптотические свойства оценок. Состоятельные, асимптотически несмещенные,
асимптотически нормальные оценки параметров. Асимптотическая нормальность функций
от асимптотически нормальных оценок. Примеры состоятельных и асимптотически
нормальных оценок.
8.
Эффективные оценки параметров регулярной модели. Критерий эффективности
оценок, основанный на неравенстве Крамера-Рао. Многомерное обобщение неравенства
Крамера-Рао. Роль информационного количества Фишера при определении эффективной
оценки.
9.
Методы получения оценок. Метод моментов, теорема о состоятельности оценок
метода моментов. Метод максимального правдоподобия. Теорема о состоятельности и
асимптотической нормальности оценок метода максимального правдоподобия.
10.
Байесовский подход в теории оценивания. Теорема о байесовской оценке при
квадратичной функции риска. Априорное и апостериорное распределения. Априорный и
апостериорный риски. Примеры вычисления и сравнение байесовских оценок и оценок
максимального правдоподобия
в случае распределения Бернулли и нормального
распределения. Минимаксные оценки, как байесовские оценки с постоянным риском.
Байесовские оценки и достаточные статистики. Байесовские интервальные оценки.
11.
Многомерное нормальное распределение: эквивалентные определения. Плотность
невырожденного нормального распределения и его параметры (вектор средних значений и
матрица ковариаций). Свойства: инвариантность относительно линейных преобразований,
равносильность независимости и некоррелированности компонент. Распределение
квадратичной формы от случайного вектора со стандартным нормальным распределением.
Лемма Фишера о независимости среднего арифметического и среднего квадратического
значений для независимых случайных величин с одинаковым нормальным распределением.
Распределения хи-квадрат, Стьюдента и Фишера-Снедекора (определение и вывод
плотности). Следствие из леммы Фишера для распределений статистик в нормальных
выборках.
12.
Интервальные оценки и их характеристики. Методы построения точных
доверительных интервалов. Точный доверительный интервал для параметра биномиального
распределения. Точные доверительные интервалы для параметров (среднего и дисперсии)
нормального распределения. Асимптотические доверительные интервалы. Построение
асимптотического доверительного интервала для параметра распределения на основе
свойства асимптотической нормальности подходящей статистики.
Асимптотические
доверительные интервалы двух типов для параметров схемы Бернулли.
13.
Процедура проверки двух статистических гипотез. Критерий проверки гипотез,
критическое множество, вероятности ошибок I и II рода, уровень значимости и мощность
критерия. Критерии согласия. Проверка гипотез о параметрах нормального распределения.
Использование доверительных интервалов для проверки гипотез о параметрах нормального
распределения. Критерий Фишера равенства дисперсий и критерий Стьюдента равенства
средних значений двух независимых нормальных выборок. Анализ однофакторной модели
для нормальных выборок: дисперсионный анализ и множественное сравнение параметров
модели.
14.
Проверка гипотез о параметрах биномиального распределения. Полиномиальное
распределение, как распределение случайного вектора, его параметры и вариант
многомерной центральной предельной теоремы. Статистика Пирсона для проверки гипотезы
о параметрах полиномиального распределения. Теорема Пирсона об асимптотическом хиквадрат распределении статистики Пирсона. Критерий хи-квадрат для проверки гипотезы о
заданном полиномиальном распределении.
15.
Критерии различения двух гипотез. Простые и сложные гипотезы,
рандомизированный и нерандомизированный критерии, размер критерия, функция
мощности, критическая функция. Наиболее мощные и несмещенные критерии.
Фундаментальная лемма Неймана-Пирсона: критерий отношения правдоподобия как
наиболее мощный критерий для проверки двух простых гипотез. Равномерно наиболее
мощные критерии для проверки сложных гипотез. Семейства распределений с монотонным
отношением правдоподобия. Примеры критериев для проверки двух гипотез о среднем
значении нормального распределения.
16.
Задача регрессии. Линейная регрессия в двумерном случае, роль коэффициента
корреляции Пирсона. Регрессия одной случайной величины по другой случайной величине
при условии их совместного невырожденного нормального распределения. Статистическое
оценивание коэффициентов регрессии для нормальной статистической модели в двумерном
случае. Метод наименьших квадратов.