Готовимся к экзамену - Ангарский политехнический техникум

Примерные задания к экзаменационным билетам
Иррациональные уравнения и неравенства
1. Решить уравнение:
x  x2.
x  3  1 x .
2. Решить неравенство:
Показательные уравнения и неравенства
x
x
1. Решить уравнение: 4  14  2  32  0
3
6. Решить уравнение:  
4
2. Решить уравнение: 32 x  4  3 x  3  0
2
9 x  20
5. Решить уравнение: 5  5
2x
0, 01x
 81.
8. Решить неравенство: 3
2
 150
Логарифмические уравнения и неравенства


1.
og 2 x 2  3x  2
2.
og 5 x  10  2
2 x 3
x
1
2 x 1
4
 
3
1
1
7. Решить неравенство:   
 4  16
3. Решить уравнение: 2 x 7  32
4. Решить уравнение: 8 x
x2
3.
og 1 3x  5  og 1 ( x 2  3)
2
4.
2
g x  2gx  3  0
2
Решить неравенства:
1.
og 1 (3  2 x)  og 1 (1  x).
3
2.
og 2 1  x  1
3.
og 1 (2 x  1)  1
3
3
Тригонометрические уравнения (sin x = а, cos х = а, tg х = а, сtg х = а)
1.
2.
tgx  sin x  cos x  0
2 sin 2 x  3 cos x  3  0
cos 2 x  cos x  2  0
5ctg 2 x  8ctgx  3  0
4.
1
2
cos
x

8.
2
3.
5. 9 sin
2
x  25 cos 2 x  32 sin x  cos x  25
x  10 sin x  cos x  21 cos 2 x  0
2
2
7. 8 sin x  sin x  cos x  cos x  4  0
1
1
2
2
tg
x

sin
x

9.
10.
3
2
6. sin
2
Дифференцирование функций
1.
Вычислить производную функции
f  x   4 x 3  3x 2  x  1 в точке x  1.



2.
Вычислить производную функции f x   2 x  1 x  1 в точке
3.
Вычислите производную функции
4.
Найдите производную функции y  x 2  5 x  8 .
5.
Точка движется прямолинейно по закону
скорость точки окажется равной нулю?
6.
Точка движется прямолинейно по закону S  2t 3  t 2  4 . Найдите скорость и
ускорение в момент времени t  4c .
7.
Найдите интервалы возрастания и убывания функции y  x  6 x  4 .
8.
Исследуйте на максимум и минимум функцию y 
9.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
3
2
2
1
f  x   x 3  x 2  7 x  в точке x  1.
3
5


6
S  t 2  8t  4 . В какой момент времени
3
отрезке
x  1.
0;5 .
Составить уравнение касательной к параболе
2
1 3
1
x  x 2  3x  .
3
3
y  x 2  6x  3
на
y  x 2  7 x  10 в точке x  4 .
Примерный вариант экзаменационного билета
Министерство образования Иркутской области
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
Иркутской области
«Ангарский политехнический техникум»
Письменная экзаменационная работа по математике за первый курс
1 вариант
Часть 1
1. Найдите корень уравнения log 3 (−2 + 𝑥) = 2 .
3
3𝜋
2. Найдите sin α, если 𝑐𝑜𝑠𝛼 = − 5 и 𝛼 ∈ (𝜋; 2 ) .
3. Найдите корень уравнения √2х + 51 = 9 .
4. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1
см
1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
5. Найдите значение выражения (√54 − √24) ∙ √6 .
6. Для транспортировки 45 тонн груза на 1300 км можно воспользоваться услугами
одной из трех фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность
автомобилей для каждого перевозчика указана в таблице. Сколько рублей придется
заплатить за самую дешевую перевозку?
Перевозчик
Стоимость перевозки одним
автомобилем
(руб. на 100 км)
Грузоподъемность
автомобилей
(тонн)
А
3200
3,5
Б
4100
5
В
9500
12
7. Решите неравенство x  x  12  0 .
2
8. Вычислите интеграл ∫2 5( x  2)dx .
4
7
9. В треугольнике ABC угол C равен 900, АВ=5, 𝑠𝑖𝑛А = 25. Найдите AC.
1
x
10. Найдите производную функции y  x 2  5 x  .


9
11. Найдите производную функции y  x2  7 x  11 .
12. Вычислите предел lim
√𝑥−1
.
𝑥→16 √𝑥+1
13. Решите неравенство 7
3x
7
2 2
x
5
.
14. Флакон шампуня стоит 130 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно
купить на 1100 рублей во время распродажи, скидка на шампунь составляет 35%?
15. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости
основания под углом 30 градусов.
16. Вычислите sin1500.
17. Упростить выражение:
3
𝑥 0.4 ∙ 𝑥 5
𝑥 −0.2
18. Даны точки А(3,6,-2) и C(2,-1,-7). Найдите длину вектора ⃗⃗⃗⃗⃗
А𝐶 .
Часть 2
1. Решите неравенство
og 3 2 x  3  og 3 ( х  9) .


2. Решите уравнение tg  x    1  0 .
4

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:
y=x2 +2, x=-1, x=2 и y=0.
4. В основании прямой призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник,
площадь которого равна 18. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее
высота равна (2 − √2).
Инструкция для обучающихся
На выполнение письменной экзаменационной работы по математике дается 4
академических часа (240 минут).
Экзаменационная работа состоит из двух частей.
1 часть содержит задания минимально обязательного уровня, а 2 часть – более сложные
задания.
При выполнении 1 и 2 части требуется представить ход решения и указать полученный
ответ.
Правильное выполнение заданий оценивается баллами.
Правильное выполнение заданий 1 части оценивается 1 баллом, правильное
выполнение каждого задания 2 части – тремя баллами.
Если приводится неверный ответ или ответ отсутствует, ставится 0 баллов.
Баллы, полученные за все выполненные задания, суммируются.
Постарайтесь правильно выполнить как можно больше заданий и набрать как можно
больше баллов.
Перед началом работы внимательно изучите критерии оценивания и обратите
внимание, что работу следует начать с заданий 1 части. И только после того, как вы
наберете необходимое количество баллов для удовлетворительной оценки, можете
переходить к заданиям дополнительной части, чтобы повысить оценку до четырех или
пяти.
Желаем успехов!
Критерии оценки выполнения работы
Оценка
Число баллов,
необходимых для получения оценки
«3» (удовлетворительно)
9-14
«4» (хорошо)
«5» (отлично)
15-20
(не менее одного задания из 2 части)
21-30
(не менее двух заданий из 2 части)
Литература для обучающихся:
Основные источники:
1. Н.В. Богомолов «Математика» - М : Дрофа 2012
2. Н.В. Богомолов «Сборник задач по математике»- М: Дрофа 2012
3. В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик «Математика в задачах с решениями» - «ЛАНЬ»
2011г.
Дополнительные источники:
4. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для
студ. учреждений сред. проф. образования – М.: Издательский центр «Академия»,
2007. – 352 с.
5. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2000
Справочники:
6. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. -М.: Наука, 1987.