Вычисление длин дуг меридианов

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
В.Г. Еременко, В.В. Ковалев
«ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ОСНОВА КАРТ»
Учебно – методическое пособие по курсу «КАРТОГРАФИЯ»
для студентов специальностей география (012500) и
геоэкология (013600)
Ростов-на-Дону
2005 год
1
Учебно-методическое пособие разработано доцентом кафедры общей
географии, краеведения и туризма В.Г. Еременко, доцентом кафедры общей
географии, краеведения и туризма В.В. Ковалевым.
Ответственный редактор: заведующий кафедрой общей географии,
краеведения и туризма, доцент Г.П. Долженко.
Рецензент: кандидат географических наук, доцент В.В. Астахов.
Печатается по решению Ученого совета геолого-географического
факультета РГУ, протокол № 8 от 22 апреля 2005 года.
Утверждено на заседании кафедры общей географии, краеведения и
туризма, протокол № 2 от 10 октября 2004 года.
ФЕДЕРАЛЬНЫЙ КОМПОНЕНТ
Форма (фигура) Земли: сфероид вращения, эллипсоид, геоид, земной шар;
уровенная поверхность Мирового океана; план местности; географическая карта;
общеземной (планетарный) эллипсоид, референц - эллипсоид; координатные
системы: геодезические «В и L”; географические «φ и λ»; прямоугольные «х и у»;
параллели; меридианы, радиус Земли.
2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
-4-
1. ПРЕДМЕТ КАРТОГРАФИИ
-5-
2. МЕТОД ПРОЕКТИРОВАНИЯ В ГЕОДЕЗИИ (ПЛАН И КАРТА)
-83. ФИГУРА ЗЕМЛИ. ЗЕМНОЙ ЭЭЛИПСОИД
- 11 -
4. КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ (ОБЩЕЗЕМНЫЕ И
РЕФЕРЕНЦНЫЕ)
- 18 -
5. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
- 21 -
6. ЗАМЕНА ЗЕМНОГО ЭЛЛИПСОИДА ШАРОМ
- 24 -
7. ГЕОГРФИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
- 25 -
8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШИРОТЫ И ДОЛГОТЫ
- 27 -
9. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
- 32 -
10. ЗОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ
КООРДИНАТ (СИСТЕМА ГАУССА-КРЮГЕРА)
- 33 -
11. ПРИНЦИП ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАДИУСА ЗЕМЛИ
- 37 -
12. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О ГРАДУСНЫХ
ИЗМЕРЕНИЯХ
- 38 -
13. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИН ДУГ МЕРИДИАНОВ И ПАРАЛЛЕЛЕЙ
- 43 ЛИТЕРАТУРА
- 46 3
ВВЕДЕНИЕ
Географические карты в наглядной, доступной, непосредственному
обозрению форм дают пространственную информацию. Ни один текст не может
заменить географической карты. Карты не только источник информации, но и
источник новых знаний об исследуемой территории и протекающих в ее пределах
процессах.
«..Карта
–
это
математически
определенное,
уменьшенное,
генерализованное изображение поверхности Земли, другого небесного тела или
космического пространства, показывающее расположенные или спроецированные
на них объекты в принятой системе знаков» (А.М. Берлянт, 2003).
Основной элемент карты – картографическое изображение, которое
строится на разной основе: математической, геодезической, координатной сетке,
масштабе и др.
В настоящем пособии более углубленно рассматриваются
вопросы
геодезической основы карт.
Основная цель методического пособия сводится к следующим наиболее
важным моментам:
Акцентировать внимание студентов на предмете картографии, и ее
основных разделах.
Углубить знания в применении метода проектирования в топографии и
геодезии, формировании понятий о плане местности и карте.
Закрепить понятия о фигуре Земли: земной эллипсоид, шар, сфероид
вращения, геоид, уровенная поверхность и др.
Уметь общеземной эллипсоид и референц - эллипсоид. Ориентироваться в
применяемых системах координат, а именно: геодезических – «В и L»,
географических «φ и λ», прямоугольных «х и у»; «Х, У, Z», общеземных –
планетарных и референцных – локальных. Уметь производить замену земного
эллипсоида на земной шар.
4
Определять широту и долготу (φ и λ).
Применять зональную систему прямоугольных координат (система ГауссаКрюгера).
Знать принципы определения радиуса Земли и производить градусные
измерения.
Современная картография интегрирует разветвленную систему научных
знаний, дисциплин и технических отраслей, тесным образом связанных между
собой.
1. ПРЕДМЕТ КАРТОГРАФИИ
Картография – область науки, техники и производства, охватывающая
изучение, создание и использование картографических произведений.1
Название «карта» происходит от латинского слова , «charta», означавшего
«письмо», «сообщение» появилось в среднем веке – эпоху Возрождения.
Карта прошла долгий путь своего развития, прежде чем приобрела
современный вид, современное содержание и высокие измерительные свойства.
Предметом картографии по определению являются разнообразные
картографические
произведения2
-
их
свойства,
методы
создания
и
использования.
Картография интегрирует фундаментальные дисциплины рассматриваемой
области знаний: картоведение; теорию и историю картографии; математическую
картографию; проектирование, составление и редактирование карт; оформление
(картографический дизайн) и издание карт; картометрию.
Издание карт разрабатывает способы и процессы воспроизведения карт, их
механического размножения (печати).
Предметом картометрии являются методы различных измерений по картам
(длин, углов, площадей, объемов и т.п.)
А.М. Берлянт. Картография. М. Аспект Пресс, 2001.
Картографические произведения: глобусы, рельефные карты, атласы, разнообразные тематические карты, карты и
атласы небесных тел и др.
5
1
2
Создание
картографических
произведений
–
сложный
процесс,
включающий построение самого изображения (составление карты), оформление,
воспроизведение в печати и размножение. В настоящее время подобно обычным
картам широко используются цифровые карты, электронные атласы, а так же
интернет–карты, интернет–атласы.
Картографические произведения применяются в различных областях
практики и науки. В каждой из них к ним предъявляются столь специфичные
требования, что существенно сказывается на их содержании, оформлении,
способах создания.
Сюжеты карт могут быть многообразны, в частности это относится к
тематическим картам. С этой точки зрения связи картографии с другими науками
многофункциональны.
Например, исторические карты связывают картографию и историю,
геологические – с геологией, карты рельефа – с геоморфологией, почвенные – с
почвоведением и т.п.
Особо следует отметить взаимозависимость картографии и географии.
Объяснением тому служит то, что в центре внимания географии находятся
закономерности взаимного положения различных объектов и явлений в
пространстве, а географическая карта позволяет исследователю выявлять их.
Одновременно география дает необходимые сведения для составления карт
географического характера на территории картографирования.
Геодезия, которая занимается вопросами определения формы и размеров
Земли, созданием геодезической основы для различных съемок и производством
топографических съёмок, обеспечивает основой процесса картографирования.
Геоинформационные
комплексы,
системы
обеспечивающие
–
сбор,
особые
обработку
аппаратно-программные
и
распространение
координированных данных; создание электронных карт, атласов и др.,
удовлетворяют современную картографию.
6
Телекоммуникационные сети посредством интернет имеют возможность
оперативно передавать сообщения и изображения, осуществлять доступ к
глобальным геоинформационным ресурсам; ввести массивы собственных данных
в международный оборот и, наконец, с помощью сетевого компьтинга
сформировать глобальное геоинформационное пространство.
Геоэконика – синтетическая отрасль знания, изучающая общую теорию
геоизображений, метод их анализа, преобразования, использования в науке и
практике.
Практическая астрономия и гравиметрия. С помощью астрономии
определяются
координаты
опорных
точек,
а
гравиметрия
занимается
наблюдением над силой тяжести.
Фотограмметрия, которая занимается вопросами создания карт по
аэрофотоснимкам, космическим снимкам и снимкам фототеодолитной съёмки.
Черчение, которое дает графические правила вычерчивания карт.
Полиграфия, которая дает типографские основы печати карт.
В настоящее время значение карты исключительно велико. Главное
достоинство ее состоит в том, что она дает наглядное представление о форме и
размерах различных частей земной поверхности, о соотношении между водными
пространствами и сушей, о положении отдельных государств и т.д.
Только при наличии карт, дающих наглядное представление о положении
различных форм земной поверхности, удалось решить такие важные задачи как
сокращение водных путей сообщения: прорытие Суэцкого канала (в 1869 г.),
прорытие Панамского канала (в 1913 г.), прорытие каналов в России: Беломорско
– Балтийского, Москва – Волга и Волга – Дон и др.
Важное значение имеет карта в военном деле. Без карты нельзя
планировать и проводить никаких военных операций.
По
карте
планируются,
строятся
различные
инженерные
и
гидротехнические сооружения, дороги, города, промышленно-территориальные
комплексы и многое другое.
7
Значительна роль карты в сельском хозяйстве. Карта служит ценным
пособием при политическом образовании масс, помогая ориентироваться
в
вопросах международного положения и геополитики.
В настоящее время карта приобрела важное значение при проведении
мероприятий природоохранного характера и рационального природопользования.
Карта необходима всем: геологу, географу, экологу, инженеру, государственным
служащим, оперативно управляющим экономикой, учителям и преподавателям,
военослужащим разных родов войск.
2. МЕТОД ПРОЕКТИРОВАНИЯ В ГЕОДЕЗИИ
(ПЛАН И КАРТА)
При графическом изображении Земной поверхности пользуются, главным
образом, ортогональным проектированием.
Допустим, что мы имеем на местности многоугольник, находящийся на
поверхности Земли. Ввиду малого участка, не будем учитывать кривизну Земли и
спроектируем участок на горизонтальную плоскость (рис. 1).
Такой способ проектирования, когда проектирующие лучи
перпендикулярны к плоскости проектирования называется ортогональным.
Если полученное нами изображение многоугольника уменьшить в
определенное число раз, получим план.
Следовательно, планом называется уменьшенное и подобное изображение
на плоскости небольшого участка Земной поверхности, принимаемого за
плоскость.
При изображении больших участков земной поверхности учитывается
шарообразность Земли.
Составляя карты на такие территории, участки проектируют на эллипс
(сферическую поверхность), а далее с него переходят на плоскость, для чего
пользуются картографическими проекциями.
8
Рисунок 1
Проектирование участка местности
а) плоскость
б) поверхность эллипсоида
Картографические
проекции
способ
-
перехода
от
реальной,
чрезвычайно сложной земной поверхности к плоскости карты.
В этой связи вначале переходят к математически правильной фигуре –
шара,
эллипсоида,
а
далее
изображение
проектируют
на
плоскость
с
использованием математических зависимостей. Поэтому текущей точке, взятой на
земном шаре с географическим координатами «φ» – широтой и «λ» – долготой
соответствует одна и только одна точка на карте с прямоугольными координатами
«х и у». Общее уравнение картографических проекций имеет вид:
{Х = f1 (γ0, λ0); Y = f2 (γ0, λ0)}
(1)
Карта – обобщенное, уменьшенное, условно-знаковое изображение Земли
на плоскости, построенное по математическому закону (в масштабе, проекции и
др.).
Карта – модель реальной действительности.
Рассмотрим, как проектируется шаровая поверхность Земли на плоскость
(рис. 2).
Рисунок 2
Проектирование шаровой поверхности на плоскость
На горизонтальную плоскость спроектируем точки «А и В», взятые на
земном шаре. Из рисунка 2 видно, что расстояние на горизонтальной плоскости
между точками «А и В» не равно расстоянию на земной поверхности, т.е.
Ав ≠ АВ
(2)
Ошибка ∆S (разность) будет тем больше, чем дальше точка «В» будет
взята на шаровой поверхности Земли.
9
Определим ошибку ∆S, согласно рисунку 2.
∆S = Ав – АВ
где:
(3)
Ав = Rtgα
S = Rα
(4)
После подстановки в равенство (3) получим
∆s = R(tgα – α)
(5)
Разложив tgα в ряд будем иметь
tgα = α + α3/3….
(6)
Подставив значение tgα в равенство (5) получим
∆s = (Rα3)/3,
(7)
Но из равенства (4) мы имеем
α= S/R
(8)
Заменив α в равенстве (7), получим
∆s = S3/3R2,
(9)
Определим относительную ошибку, для чего левую и правую часть
равенства (9) разделим на S.
∆s / S = S2/3R2
(10)
Для наглядности воспользуемся готовой таблицей.
Таблица 1
S км
∆s, м
∆s / S
10
25
50
100
0,01
0,13
1,03
8,20
1 : 1 000 000
1 : 1 192 000
1 : 49 000
1 : 12 000
В геодезической практике обычно расстояния на местности измеряют с
точностью 1 : 1 000 000, поэтому можно считать, что участки с R = 25 км можно
принять за плоскость.
3. ФИГУРА ЗЕМЛИ. ЗЕМНОЙ ЭЛЛИПСОИД.
10
Изучение фигуры Земли относится к числу древнейших научных проблем
естествознания, определенных потребностями практической деятельно
сти человека: землеизмерения, строительство оросительных систем в долине
Нила, сооружения канала между Нилом и Красным морем и др. (X, IV в.в. до
нашей эры), которые не могли быть осуществлены без соответствующего
топографо-геодезического обеспечения.
Предположения о шарообразности земли появились в VI веке до нашей
эры, а с IV века до нашей эры были высказаны некоторые из известных нам
доказательств, что Земля имеет форму шара (Пифагор, Эратосфен). Античными
учеными доказательства шарообразности Земли
основывались на следующих
явлениях:
-
кругообразный вид горизонта на открытых пространствах, равнинах,
морях и т.д.;
- круговая тень Земли на поверхности Луны при лунных затмениях;
-
изменение высоты звезд при перемещении с севера (N) на юг (S) и
обратно, обусловленное выпуклостью полуденной линии и др.
В сочинении «О небе» Аристотель (384 – 322 г.г. до н.э.) указывал, что
Земля не только шарообразна по форме, но и имеет конечные размеры; Архимед
(287 – 212 г.г. до н.э.) доказывал, что поверхность воды в спокойном состоянии
является шаровой поверхностью. Ими же введено понятие о сфероиде Земли, как
геометрической фигуре, близкой по форме к шару.
Современная теория изучения фигуры Земли берет начало от Ньютона
(1643 – 1727 г.г.), открывшего закон всемирного тяготения и применившего его
для изучения фигуры Земли.
К концу 80-х годов XVII века были известны законы движения планет
вокруг Солнца, весьма точные размеры земного шара, определенные Пикаром из
градусных измерений (1670 г.), факт убывания ускорения силы тяжести на
поверхности Земли от севера (N) к югу (S), законы механики Галилея и
исследования Гюйгенса о движении тел по криволинейной
11
траектории.
Обобщение указанных явлений и фактов привели ученых к обоснованному
взгляду о сфероидичности Земли, т.е. деформации ее в направлении полюсов
(сплюсности).
Знаменитое сочинение Ньютона – «Математические начала натуральной
философии» (1867 г.) излагает новое учение о фигуре Земли. Ньютон пришел к
выводу о том, что фигура Земли должна быть по форме в виде эллипсоида
вращения с небольшим полярным сжатием (этот факт обосновывался им
уменьшением
длины
секундного
маятника
с
уменьшением
широты
и
уменьшением силы тяжести от полюса к экватору из-за того, что «Земля на
экваторе немного выше»).
Исходя из гипотезы, что Земля состоит из однородной массы плотности,
Ньютон теоретически определил полярное сжатие Земли (α) в первом
приближении равном, примерно, 1 : 230.
На самом деле Земля неоднородна: кора имеет плотность 2,6 г/см 3, тогда
как средняя плотность Земли составляет 5,52 г/см3.
Неравномерное распределение масс Земли продуцирует обширные
пологие выпуклости и вогнутости, которые сочетаясь образуют возвышенности,
углубления, впадины и другие формы. Заметим, что отдельные возвышения над
Землей достигают высот более 8000 метров над поверхностью океана. Известно,
что поверхность Мирового океана (МО) занимает 71 %, суша – 29 %; средняя
глубина МО (Мирового океана) 3800м, а средняя высота суши – 875 м. Общая
площадь земной поверхности равна 510 х 106 км2.
Из приведенных данных следует, большая часть Земли покрыта водой, что
дает основание принять ее за уровенную поверхность (УП)и, в конечном итоге, за
общую фигуру Земли. Фигуру Земли можно представить, вообразив поверхность,
в каждой точке которой сила тяжести направлена по нормали к ней (по отвесной
линии) (рис. 3).
Сложную
являющуюся
фигуру
началом
Земли,
отчета
ограниченную
уровенной
поверхностью,
высот, принято называть геоидом. Иначе,
12
поверхность
геоида,
как
эквипотенциальная
поверхность,
фиксируется
поверхностью океанов и морей, находящихся в спокойном состоянии. Под
материками
поверхность
геоида
определяется
как
поверхность,
перпендикулярная силовым линиям (рис. 3-1).
P.S. Название фигуры Земли – геоид – предложено немецким ученым –
физиком И.Б. Листигом (1808 – 1882 г.г.).
При картографировании земной поверхности, на основании многолетних
исследований ученых, сложную фигуру геоида без ущерба для точности,
заменяют математически более простой – эллипсоидом вращения.
Эллипсоид вращения – геометрическое тело, образующееся в результате
вращения эллипса вокруг малой оси (рис. 4).
Эллипсоид вращения близко подходит к телу геоида (уклонение не
превышает 150 метров в некоторых местах). Размеры земного эллипсоида
определялись многими учеными мира. Наиболее известные из них представлены в
таблице 2.
Таблица 2
Параметры основных земных эллипсоидов
Эллипсоиды
Годы
Деламбра
1800
Бесселя
1841
Кларка
1880
Хейфорда
1909
Красовского
1940
GRS – 80
1979
WGS – 84
1984
ПЗ - 90
1990
Фундаментальные
Большая полуось (а),
Степень сжатия,
вм
(α)
6 375 653
1/334
6 377 397
1/299,4
6 378 249
1/293,4
6 378 388
1/297
6 378 245
1/298,3
6 378 137
1/298,25
6 378 137
1/298.25
6 378 136
1/298.25
исследования фигуры Земли, выполненные русскими
учеными Ф.Н. Красовским и А.А. Изотовым, позволили развить идею о
трехосном земном эллипсоиде с учетом крупных волн геоида, в результате были
получены его основные параметры:
а = 6 379 245 м, в = 6 356 863, α = 1 : 298,3 (α = (а - в)/ а)
13
В последние годы (конец XX и начало XXI в.в.) параметры фигуры Земли
и
внешнего
гравитационного
космических
объектов
потенциала
и
определены
применением
с
использованием
астрономо–геодезических
и
гравиметрических методов исследований так надежно, что теперь речь идет об
оценке их измерений во времени.
Трехосный
земной
эллипсоид,
характеризующий
фигуру
Земли,
подразделяют на общеземной эллипсоид (планетарный), подходящий для
решения глобальных задач картографии и геодезии и референц – эллипсоид,
который используют в отдельных регионах, странах мира и их частях.
P.S. Референц – эллипсоид – определенным образом ориентирован в теле
Земли
и
принят
для
выполнения
топографических,
геодезических
и
картографических работ.
Эллипсоид вращения однозначно характеризуют два параметра, а именно:
большая (экваториальная) полуось – «а» и полярное сжатие – «α». Для точных
расчетов используют и другие параметры, такие как малая (полярная) полуось –
«в» и первый эксцентриситет меридионального эллипса – «е». Выше указанные
параметры взаимосвязаны друг с другом следующим образом:
α = (а - в)/а
(11)
е2 =(а2 - в2)/а2
(12)
в = а (1 - α ) = а√1 - е2
α = 1 - √1 - е2
е2 = α (2 - α )
(13)
(14)
(15)
4. КООРДИНАТНЫЕ СИСТЕМЫ (ОБЩЕЗЕМНЫЕ И
РЕФЕРЕНЦНЫЕ)
Решение
множества разнообразных научных и прикладных задач с
последующим картографированием земной поверхности предопределяет ввод
геодезических систем координат: общеземных – планетарных и референцных –
локальных для отдельных территорий и государств.
14
Общеземная координатная система – используется для решения и
картографирования
глобальных задач: изучения фигуры Земли. внешнего
гравитационного поля, изменения во времени движения полюсов Земли.
неравномерности ее вращения, управления полетами летательных аппаратов (в
т.ч. космических). В этой связи создают модель планеты Земля – трехосный
эллипсоид вращения, имеющий размеры, массу, угловую скорость
и др.
параметры, весьма близкие к реальности. Их называют фундаментальными. К
ним также относят скорость распространения электромагнитных волн в вакууме.
P.S. Расстояния определяют умножением скорости
(V) световых или
радиоволн на время, за которое они проходят это расстояние. Заданием скорости
распространения электромагнитных волн устанавливают единый линейный
масштаб для всех геометрических построений на Земле. В таком эллипсоиде
устанавливают пространственные прямоугольные координаты трех степеней
свободы «Х;У;Z» с началом в центре эллипсоида «0»-нульпункт (рис. 5).
Z
))
У
0
Х
Рисунок 5
Трехосный эллипсоид вращения
Х – ось абсцисс - лежит на пересечении плоскости начального меридиана
с плоскостью экватора;
15
У – ось ординат - совпадает с плоскостью экватора;
Z – ось аппликат – направлена по оси вращения;
0 – нульпункт.
Вместе указанные оси образуют правую систему координат, отличную от
Декартовой системы, используемой в математике поворотом осей на 900.
Для ориентирования указанной системы координат в теле Земли ее начало
помещают в центр масс Земли, начальный меридиан совмещен с меридианом
Гринвича, а ось вращения направляют на северный условный полюс
(фиксированный в среднем его положении).
P.S. Ось вращения Земли во времени перемещается в теле Земли
относительно звезд.
Условный земной полюс есть международное условное начало (МУН).
Так устанавливается геоцентрическая гринвичская координатная система
(ГГКС).
Для закрепления на земной поверхности (ГГКС) создаются геодезические
пункты, положение которых определено по результатам измерений в единой
системе координат. Совокупность геодезических пунктов на Земле образует
геодезическую сеть.
Современные геодезические сети создаются методами космической
геодезии.
В настоящее время во всем мире широко применяется американская
спутниковая система позиционирования 1984 года – WGS–84 (World Geodetic Sistem, 1984 года), являющаяся Мировой геодезической системой 1984 года. Ее
геодезические параметры практически совпадают с постоянными эллипсоида
GRS-80.
С 1993 года в мире действует сеть станций Международной геодезической
службы IGS (International Geodynamics GPS Service), сближающих координатные
системы WGS-84 и ITRS.
16
Референцные системы координат -
устанавливают в отдельных
регионах и государствах с помощью референц-эллипсоидов, которые лучше
соответствуют им. Референц-эллипсоид ориентируют в теле Земли с помощью
исходных геодезических дат [параметров, которые устанавливают значения
широт, долгот и их взаимосвязь с астрономогеодезическими координатами в
некотором пункте (или их совокупности)]. Таким образом установлен референцэллипсоид Красовского и введена система координат 1942 года (СК - 42).
Референц-эллипсоиды
позволяют
вводить
лишь
координаты,
определяющие положения пунктов на эллипсоиде – широты «φ» и долготы «λ»,
либо соответствующие им плоские прямоугольные координаты (Х и У). Система
высот вводится отдельно с началом в некотором пункте, фиксирующем местный
средний уровень моря. В этой связи различия в началах счета высот разных
систем могут достигать нескольких метров.
В настоящее время геодезисты мира
предпринимают усилия, чтобы
привести начала счета всех высот к единому нулевому уровню (геоиду).
В России, независимо от других стран мира, создана общеземная система
координат ПЗ-90 (параметры Земли 1990 года), закрепленная пунктами
космической геодезии, часть которых имеет место в Антарктиде.
Постановление Правительства России 2000 года о введении системы ПЗ-90
в качестве единой государственной системы координат в целях обеспечения
навигации космических аппаратов и их полетов имеет чрезвычайно позитивное
значение. Тем же постановлением в России введена
референцная система
координат 1995 года – СК-95 – с целью обеспечения геодезических и
картографических работ.
5. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
Любая точка на земном эллипсоиде вполне определена если известны ее
два основных параметра: широта – «В» и долгота «L» (геодезические
координаты).
Введем
следующие определения «В и L».
17
Широта (В) (геодезическая) – есть угол, образованный нормалью к
поверхности земного эллипсоида в данной точке и плоскостью его экватора;
Долгота (L) (геодезическая) – двугранный угол между плоскостью
начального меридиана и плоскостью меридиана данной точки (рис. 6).
Рисунок 6
Эллипсоид вращения, геодезические координаты
X – ось абсцисс; Y – ось ординат; Z – ось аппликат;
X,Y,Z – трехосный эллипсоид вращения;
O – нульпункт; Q – точка;
L0 – начальный геодезический меридиан;
L – геодезический меридиан точки Q;
Qd – отвесная линия к поверхности эллипсоида;
B – геодезическая широта точки Q;
L – геодезическая долгота точки Q
P.S. Линии меридианов получают рассекая эллипсоид плоскостями,
проходящими через полярную ось;
Линии
параллелий
получают
рассекая
эллипсоид
плоскостями
перпендикулярно оси вращения Земли (полярной оси).
Параллели и меридианы на земном эллипсоиде, шаре, глобусе образуют
сетку, называемую географической.
Ниже приведем основные радиусы эллипсоида вращения:
М – радиус кривизны меридиана;
N – радиус кривизны первого вертикала (первый вертикал – линия,
получаемая сечением эллипсоида плоскостью, проходящей через нормаль в
данной точке и перпендикулярно плоскости меридиана).
R -
средний из радиусов всевозможных сечений, проведенных через
нормаль в данной точке эллипсоида;
r – радиус параллели.
Нижеследующие формулы позволяют производить вычисления указанных
радиусов.
18
М = а(1 - е2) / (1 –еL2sin2В) 3/2
(16)
N = а / √(1 – е2sin2В)
(17)
R = √М N
(18)
r = N cos В
(19)
P.S. (1). Заметим, что радиус М у полюса больше, чем на экваторе. Из
этого следует, что кривизна
меридианного эллипса убывает от экватора к
полюсам.
P.S. (2).
Радиус меридиана большие изменения
получит на средней
широте, где с каждым 10 широты он изменяется примерно на 1 км.
Радиус М необходим при расчетах и определении длин дуг меридианов,
широт по этим дугам. Радиус R применяют при решении вопросов развертывания
поверхности эллипсоида на плоскость сферы.
Значения радиусов эллипсоида на разных широтах отличны друг от друга
(табл. 3).
Таблица 3
Радиусы земного эллипсоида на разных широтах
В0 широта
М, в км
N, в км
R, в км
00
300
600
900
6 336
6 351
6 384
6 400
6 378
6 384
6 394
6 400
6 357
6 368
6 389
6 400
При создании и использовании карт приходится определять длины дуг
параллелий и меридианов.
P.S. Параллель – окружность длиной Sр между двух точек с долготами L1
и L2 определяется по формуле
Sр = τ (L2 - L1)
Меридиан -
(20)
эллипс, его длины дуг определяются более сложными
вычислениями, при этом сравнительно короткие дуги, расположенные между
двумя параллелями с широтами В1 и В2 вычисляют так:
19
находят среднюю широту
Вm = (В1 + В2)/ 2,
(21)
далее определяют радиусы кривизны меридианов М1, М2 и Мm; затем вычисляют
длину дуги меридиана Sm.
Sm = Mm (B2 – B1)
(22)
Sm = [(M1 + 4Mm + M2) (B2 – B1)] / 6
(23)
P.S. Погрешность формулы (22) составляет менее 1 мм для дуг длиной до
45 км; 3 см
- на 100 км длины; по формуле (23) длины дуг до 500 км
определяются с точностью до ≈ 2 см.
6. ЗАМЕНА ЗЕМНОГО ЭЛЛИПСОИДА ШАРОМ
Земной эллипсоид в практической деятельности
и случаях невысокой
степени точности расчетов часто заменяют шаром, что особенно актуально при
мелкомасштабном картографировании. В этой связи необходимо выбрать
подходящий радиус шара (R) и перейти от геодезических широт (В) и долгот (L)
земного эллипсоида к широтам (φ) и долготам (λ) на шаре.
P.S. Нормали на поверхности шара совпадают с его радиусами.
Часто сферические широты (φ) и долготы (λ) приравнивают к
соответствующим широтам (В) и долготам (L) земного эллипсоида.
φ= Ви λ=L
(24)
При картографировании малых территорий радиус шара R3 приравнивают
к среднему радиусу Rс центральной точки карты. При замене планеты шаром
радиус последнего вычисляют как среднее из трех значений:
1 – радиус шара, равный среднему из трех полуосей эллипсоида (2α, 1в);
2 – радиус шара, площадь поверхности которого равна площади
поверхности эллипсоида;
3 – радиус шара, объем которого равен объему эллипсоида.
Среднее из этих трех значений составляет Rш = 6 371 110 м. Шар такого
радиуса по размерам близок к земному эллипсоиду.
При
картографических
и геодезических
20
работах
невысокой
точности Землю часто принимают за шар с радиусом R3ш = 6 371,1 км.
P.S. При линейных измерениях пользуются длиной метра, полученной по
данным измерений Ж. Деламбра, равного
1/40 000 000 длины Парижского
меридиана.
7. ГЕОГРАФИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
Для определения положения точек на Земном шаре широко применяется
географическая система координат.
Принцип определения географических координат ввел в употребление
египетский астроном Гипарх (190 – 125 г.г. до н.э.). Для этой цели он изобрел
первый угломерный инструмент астролябию.
О том, что Земля – шар, впервые высказал мысль знаменитый Пифагор. Он
говорил: «Все в природе должно быть гармонично и совершенно. Но
совершеннейшее из геометрических тел есть шар. Стало быть Земля – шар»3.
В географии и картографии довольно часто при решении
практических
задач Землю принимают за шар и предполагают, что отвесная линия в каждой
точке совпадает с радиусом Земли. Координатными осями географической
системы служат начальный меридиан и экватор (рис. 7).
Меридианом точки называется дуга большого круга, проходящего через
полюсы Земли и данную точку (рис. 7-а).
Параллелью называется дуга малого круга, проходящая через точку
параллельно экватору. Папскою буллою в 1493 году за начальный меридиан был
принят меридиан острова Ферро (Канарские острова) (рис. 7-а).
В 1884 году на Международной конференции в Вашингтоне за начальный
меридиан был принят Гринвичский.
Долготою точки
начального меридиана
(λ) называется двугранный угол между плоскостью
и плоскостью меридиана, проходящего через данную
точку.
3
А.А. Гурштейн. Человек измеряет Землю. Геополитиздат. М.,
21 1963.
Долготы точек бывают восточные и западные, в зависимости от того, в
каком полушарии находится точка. Долготы точек отсчитываются от 0 0 до 1800 к
востоку и к западу4 (рис. 7-в).
Широтой точки (φ)
называется угол между радиусом Земли,
проходящим через данную точку и плоскостью экватора5 (рис. 7-в).
Широта бывает северная и южная. Широта отсчитывается от 00 до 900 к
северному или южному полюсу.
8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШИРОТЫ И ДОЛГОТЫ
Сущность определения долгот заключается в следующем. Земля, вращаясь
вокруг своей оси, совершает полный оборот в 360 0 за 24 часа. Таким образом,
любая точка Земли проходит путь в 150 за 1 час или 10 за 4 минуты.
Для определения долготы нужно иметь на корабле часы, которые в любой
точке океана показывали бы точное время того порта, откуда вышел корабль.
Определив время в данной точке (по солнцу или звездам) и сличив его с
показаниями часов, определяют разность часовых углов.
Зная долготу порта по разности часовых углов, вычисляют долготу данной
точки в градусах.
Для решения этой задачи нужны были точные часы. Маятниковые часы
обладали высокой точностью, но установить и на корабле было нельзя.
Усилия всех часовых мастеров были направлены на то, чтобы создать часы
высокой точности.
Первые карманные часы были изобретены жителем г. Нюрнберга Петром
Генлейном в 1510 году. На его часах была только одна часовая стрелка.
В 1550 году появляются часы с минутной стрелкой, а в 1860 – с секундной
стрелкой.
Бурное развитие мореплавания и связанное с ним открытие новых земель
требовали точных способов определения географических координат.
4
Гринвичский меридиан принят за «0» - начало отсчета долгот.
22
Для решения этой задачи в 1714 году английский парламент учредил
специальную комиссию долгот, куда вошли выдающиеся ученые того времени Ньютон, Кларк и Уистон.
В этом же году были назначены премии в сумме 10 000, 15 000 и 25 000
фунтов стерлингов ученым, решившим эту задачу.
Кроме английского правительства премии были назначены Испанией – в
1000 экю и Голландией – 30 000 флоринов.
В 1735 году английский механик Джон Гаррисон предложил часы, ошибка
хода которых в месяц не превышала 1 секунды.
В 1758 году, в возрасте 65 лет, Гаррисон создал четвертую модель часов,
которые назвал хронометром.
Три года парламентская комиссия решала вопрос о хронометре и вынесла
решение проверить его в длительном плавании.
В полдень 18 ноября 1761 года хронометр был установлен на корабле
«Депфорд», державшем курс на о. Ямайку. Корабль вез на Ямайку нового
губернатора Литльтона. На этом же корабле отправлялась комиссия, в состав
которой входил и сын Гаррисона.
Джон Гаррисон не мог участвовать в экспедиции по состоянию здоровья,
ему тогда было 68 лет и он поручил наблюдать за хронометром своему сыну.
Сразу же после выхода корабля из Портсмута в море начался шторм,
который длился 18 суток. Когда шторм утих, штурман определил место корабля
по своим часам и долгота его была равна 13050’ западной долготы, а
по
хронометру Гаррисона 15019’. Разница оказалась большой – в 1029’, что
составляло примерно 170 км. По предположению капитана уже должен был виден
остров
Портланд. Капитан усомнился в показаниях хронометра, но сын
Гаррисона заявил: «Если остров Портланд правильно показан на карте, то я
уверен, что через день мы его увидим».
Капитан колебался, но курс корабля не изменил.
5
Плоскость экватора принята за «0» - начало отсчета широт.23
7 декабря в 7 часов утра все увидели остров Портланд. Хронометр работал
отлично, команда и люди были спасены. Если бы капитан не поверил хронометру
Гаррисона и повел корабль по другому курсу, остров остался бы в стороне, и все
остались бы без свежих продуктов.
Когда корабль прибыл в Порт-Рояль (Кингстон) хронометр был проверен
на суше. Долгота Порт-Рояля была определена еще в 1743 году по наблюдениям
за прохождением планеты Меркурий. На этой долготе хронометр должен был
показывать по портсмутскому времени 5 часов 2 минуты и 51 секунду, а показал 5
часов 2 минуты и 46 секунд. С момента отплытия из Портсмута прошел 81 день
и за это время хронометр Гаррисона отстал только на 5 секунд.
Через 161 день корабль «Депфорд» возвратился в Портсмут. Хронометр
проверили в Гренвичской обсерватории и оказалось, что ошибка хода не
превышала нескольких секунд.
Затем, по решению комиссии, хронометр был проверен вторично.
28 марта 1764 года сын Гаррисона с хронометром отплыл в Америку. 13
мая, т.е. через 47 дней, корабль благополучно прибыл к острову Барбадос
(Антильские острова). С помощью хронометра Гаррисона были определены
географические координаты острова.
18 сентября, после 175 дней плавания, корабль возвратился в Англию.
Комиссия единодушно отметила, что долгота острова Барбадос была определена
точнее, чем требовалось по условиям конкурса. Для того времени хронометр
Гаррисона был величайшим достижением техники.
В 1767 году Гаррисон издал книгу об устройстве хронометра.
Гениальность его изобретения состоит в том, что он создал компенсированный
баланс, благодаря которому, точность хода хронометра не зависела от
окружающей температуры.
В два срока Гаррисону была выплачена премия в сумме 15 000 фунтов
стерлингов, вместо обещенной – в сумме 25 000 фунтов стерлингов.
Умер Джон Гаррисон в 1776 году в возрасте 83 лет.
24
В настоящее время изготавливают хронометры, у которых ошибка хода в
сутки не превышает 0,003 секунды.
Для определения географической широты в северном полушарии чаще
всего пользуются Полярной звездой. Полярная звезда входит в созвездие Малой
Медведицы ( Ursae Minoris) (рис. 8).
Полярная звезда расположена приблизительно в направлении оси
вращения Земли и поэтому сохраняет на небе почти неизменное положение . Для
практических целей можно считать, что она находится на оси вращения и по
сравнению с размером Земли находится в бесконечности.
Полярной звездой пользуются для ориентирования,
для определения
широты и азимута.
В нашу эпоху Полярная звезда уклоняется от направления оси вращения
Земли приблизительно на 10, чем практически пренебрегают.
Принцип определения широты показан на рисунке 9.
Из рисунка
видно, что если на полюсе ρ1, установить угломерный
инструмент и навести зрительную трубу на Полярную звезду, то угол возвышения
звезды будет равен широте φ = 900.
В точке А широта φ будет равна углу возвышения Полярной звезды над
плоскостью горизонта.
9. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
Прямоугольные плоские координаты6 были предложены французским
философом и математиком Декартом. Descartes латинизированное имя Картезий
Рене (Cartesius).
Родился в Лаэ на юге Франции 31 марта 1556 года, умер 11 ноября 1650
года. Учился в иезуитской коллегии Ла Флеш.
В 1637 году в книге «Геометрия» изложил способ прямоугольных
координат.
25
Система координат состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых
(рис. 10): оси абсцисс «х» и оси ординат «у», делящих плоскость на четыре
четверти.
Направлениям
осей
от
начала
координат
«0»-
нульпункт
приписываются знаки плюс «+» и минус «-» .
Положение точки А на плоскости определяется двумя координатами:
отрезком «х» и «у». В геодезических работах в России применяется в виде
зональной системы координат.
+х
IV четверть
I четверть
А
х
-у
+у
0
у
III четверть
II четверть
-х
Рисунок 10
Прямоугольные координаты
10. ЗОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ
(СИСТЕМА ГАУССА – КРЮГЕРА)
В СССР7 с 1932 года была введена единая общесоюзная система зональных
прямоугольных координат. Авторами этой системы являются немецкие ученые
К. Гаусс и Ф. Крюгер.
6. В геодезии и топографии прямоугольная система координат в отличие от математики имеет поворот осей на 90 0
(правая система)
7
В настоящее время данная система координат имеет место в странах ННГ (Новых Независимых государств) и
России после распада СССР.
26
Проекция была предложена К. Гауссом в 30-х годах прошлого века и
получила
название
поперечно-цилиндрической.
Эта
проекция
является
равноугольной или конформной. В этой проекции не искажаются углы, т.е. углы
фигур на эллипсоиде и их изображение на плоскости равны.
Подробно об этой проекции будет сказано ниже.
В 1912 году геодезист Крюгер в своей работе «Konforme Abbildung der
Erdellipsoids in der Erde» применил проекцию К. Гаусса для построения системы
прямоугольных координат. С тех пор эту систему стали называть системой
координат Гаусса-Крюгера.
Сущность этой системы координат заключается в следующем:
1.
Земной эллипсоид разбивается на зоны (рис. 11). В странах ННГ и
России применяются шести- и трехградусные зоны. Средний меридиан зоны
называется осевым. Номера зон идут от Гринвичского меридиана на восток. При
шестиградусных зонах таких зон будет 60.
2.
Координатными осями в каждой зоне являются осевой меридиан и
экватор (рис. 12). Начало координат находится в точке пересечения осевого
меридиана и экватора. В северном полушарии абсциссы «х» положительные, в
южном – отрицательные. Ординаты у могут иметь как положительные, так и
отрицательные значения.
Чтобы не иметь отрицательных ординат «у» в странах ННГ и России к
началу ординат условно прибавляется 500 км. Тогда все точки в пределах зоны
будут иметь положительные ординаты «у».
Измененные таким образом ординаты называются преобразованными.
Система координат в каждой точке получается одинаковая.
Чтобы
знать,
в какой
зоне находится данная
точка,
перед
ее
преобразованной координатой пишется номер зоны. Например, «у» = 5 741
315,64. Это означает, что точка находится в пятой зоне, а ее ордината от осевого
меридиана будет равна 741 315,64 – 500,00 = [+241 315,64].
На каждой топографической карте наносится координатная сетка. Для
27
удобства в работе расстояния между ближайшими линиями координатной сетки
выбирают кратными определенному числу километров на местности.
Координатная сетка на топографических картах называется километровой
сеткой.
Расстояния между линиями километровой сетки на картах России и стран
ННГ даны в таблице 4.
Таблица 4
Расстояние между соседними линиями
координатной сетки
На карте, в см
На местности, км
3,33
10
5
10
2
2
2
1
4
1
10
1
10
0,5
10
0,2
Масштаб
1 : 300 000
1: 200 000
1 : 100 000
1 : 50 000
1 : 25 000
1 : 10 000
1 : 5 000
1 : 2 000
На
топографических
картах
крайние
линии
километровой
подписываются полным четырехзначным числом абсцисс «х» и ординат «у».
На остальных линиях даются только две последние цифры (рис. 13).
66
6065
540
20’
43
28
сетки
15
130 14‘
16
Рисунок 13
Фрагмент топографической карты.
При решении многих геодезических и топографических задач пользуются
сокращенным написанием координат.
Если, например, полное значение координат равно:
х = 6 424 821,16
у = 13 284 352, 83,
то сокращенное значение записывают так:
х = 24 821,16
у = 84 352,83
3.
Так как в этой системе координат Земной эллипсоид проектируется
по зонам на поперечный цилиндр, то по краю зоны возникают искажения ординат
∆s. На цилиндре ширина каждой зоны получается больше, чем на эллипсоиде,
вследствие кривизны Земли.
Формула поправки ∆s за искажениями длины линии на плоскости имеет
вид:
∆s = (у2m / 2 R2) S
где
у2m = (у1 + у2 ) / 2
(25)
(26)
R – cредний радиус Земли, S – длина линии на эллипсоиде (местности).
При съемках крупного масштаба эти поправки вводятся в ординаты «у» со
знаком плюс (+).
Наибольшее удаление от осевого меридиана имеют крайние точки зоны на
экваторе. Для этих точек величина искажения достигает 1/800, а для средней
части ННГ она равна примерно 1/3500.
Также искажения находятся в пределах ошибки графических построений
при создании карты масштаба 1 : 10 000.
29
Для карт масштаба 1 : 2 000 и 1 : 5 000 применяется 3 зона.
Система
координат
Гаусса–Крюгера
принята
во
многих
странах
зарубежной Европы и ННГ.
11. ПРИНЦИП ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАДИУСА ЗЕМЛИ
Для решения многих геодезических и картографических задач необходимо
знать радиус Земли. Впервые радиус Земли был определен греческим ученым
Эратосфеном (276 – 195 г.г. до н.э.), жившем в Египте.
Предположим, что Земля представляет собой шар, пусть для точек А и В
определены географические широты (φа) и (φв). Кроме того, с помощью
геодезических измерений между точками А и В измерено на Земле расстояние S
(часть длины дуги меридиана) (рис.14).
Согласно рисунку будем иметь, что
S/2πR = α0/3600
(27)
Тогда
2πR = (S 3600)/α0,
(28)
а
R = (S 3600)/2π α0,
(29)
но
3600/2π R = 1800/π = ρ0 (радиан)
(30)
После подстановки значения ρ0 в равенство (29) получим:
R = (S ρ0)/α0
(31)
Рисунок 14
Принцип определения радиуса Земли
A – точка на земном шаре с широтой φa
B – точка на земном шаре с широтой φв
S – часть дуги меридиана между Ат0 и Вт0 – расстояние между Ат и Вт = АВ
α - угол;
0 – нульпункт;
R – радиус
12. КАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О ГРАДУСНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ
30
Градусными измерениями называют геодезические измерения длины дуги
Земного меридиана для определения формы Земли и ее полярного и
экваториального радиусов.
О том, что Земля имеет форму шара люди узнали в глубокой древности.
Первые предположения о шарообразности земли были высказаны Пифагором
около 530 лет до нашей эры.
Известно также, что еще в XI – X веках до н.э. в Китае проводились
большие работы по определению размеров Земли. К сожалению, подробных
сведений об этих работах не сохранилось.
Впервые в истории размеры Земли были определены греческим ученым
Эратосфеном, жившем в Египте. Эратосфен измерил длину
дуги земного
меридиана между г. Александрия и г. Сиеной (район Ассуана) и получил длину
окружности Земли, равную 39 500 км, а величину радиуса 6 320 км. Эратосфен
получил весьма приближенные результаты, но вполне удовлетворительные для
того времени.
В VII веке н.э. по измерениям арабских ученых окружность Земли была
получена равной 40 255 км, а радиус – 6 406 км.
Сравнивая
результаты
определения
размеров
Земли,
выполненные
Эратосфеном и арабскими учеными, нетрудно заметить, что расхождения между
ними весьма значительны. Все это объясняется прежде всего тем, что линейные
измерения производились примитивными способами весьма низкой точности.
В Европе первым измерил длину дуги меридиана между Парижем и
Амьеном француз Жан Фернель в 1528 году. Для этого он сконструировал
специальный счетчик, который укреплялся на колесе кареты. Проехав по дороге
от Парижа до Амьена, он вычислил расстояние между пунктами. В своих расчетах
Фернель сильно ошибался, его данные были весьма приближенными. Он не
учитывал того, что карета двигалась по извилистым дорогам, а не по прямой.
Долго ученые ломали головы над тем, как и каким образом точно измерить
длину дуги меридиана, пока на помощь не пришла триангуляция.
31
В 1553 году математик Г. Фризий (Райнер) предложил триангуляцию.
После этого все градусные измерения проводились с помощью триангуляции.
Метод триангуляции открыл новую эпоху в изучении формы и размеров Земли.
Первым в Европе выполнил градусные измерения голландский ученый В.
Снеллиус. Виллеброрд Снеллиус родился в голландии в г. Лейдене. День его
рождения остается неизвестным, а год рождения оспаривается и поныне. Одни
считают, что это был 1580 год, а другие – 1581. Отец его был профессором
математики в Лейденовском университете, а некоторое время преподавал даже
древнееврейский язык. В. Снеллиус учился в Лейденовском университете. После
окончания университета много путешествовал по Германии, где познакомился с
учеными Т. Брайсом и И. Кеплером. Для того времени В. Снеллиус был широко
эрудированным ученым, в одинаковой степени знавшим математику, физику,
навигационную астрономию и геодезию.
В 1613 году он стал профессором
Лейденовского университета. В 1615 году он приступил к работе по градусным
измерениям. Здесь он впервые применил метод триангуляции в современном
смысле этого слова. Работы продолжались два года и были закончены в 1617
году.
Измерения
углов
в
треугольниках
производилось
металлическим
квадрантом диаметром 70 см, имеющим градусные деления и снабженным
диоптрами и визирной трубой. С помощью этого прибора можно было наблюдать
пункты на расстоянии до 45 км. Точность измерения углов находилась в пределах
4´.
После обработки полевых измерений были получены следующие данные:
длина дуги меридиана в 10 была равна 107,338 км, а длина четверти Земного
меридиана – 9 660,411 км с относительной ошибкой в 3,4%.
В 1624 году вышла в свет его книга «Tirhus Batavus», учебник по
судоходству с навигационными таблицами. В ней
он
впервые
применил
термин «локсодромия» – линия на поверхности шара, пересекающая меридианы
под одинаковым углом (аоксодромия – линия с постоянным азимутом).
32
Все свои труды Снеллиус писал на латинском языке, который был в то
время международным научным языком. Он перевел на латинский язык многие
математические
труды
своих
соотечественников,
чем
способствовал
их
распространению в научном мире.
Первые градусные измерения не удовлетворяли Снеллиуса – он решил
повторить свою работу. Были измерены другие базисы, повышена точность
измерения углов, но завершить свою работу он не смог. В. Снеллиус не дожил до
глубокой старости, он умер 30 октября 1626 года в г. Лейдене в возрасте 46 лет.
Начатую им работу завершил его соотечественник Мушенброк спустя сто лет.
Для современных познаний ошибка В. Снеллиуса кажется большой, но для
того времени результаты были хорошими. Основная трудность в работе
заключалась в том, что он пользовался короткими базисами и не имел
возможности более точно измерить углы. Несмотря на низкую точность работ,
его
заслуги перед наукой велики и основная заслуга состоит в том, что он
впервые применил метод триангуляции для градусных измерений. Его работы
принесли ему мировую известность.
Летом 1669 года француз Жан Пикар измерил длину дуги меридиана
между Мальвуазианой (близ Парижа) и Сурдоном (близ Амьена). Для своих
измерений он использовал усовершенствованный теодолит. Новым в работах
Пикара явилось то, что все свои измерения он привел к уровню моря.
По данным Пикара длина Земного радиуса была получена равной 6 371,
692 км, а величина 10 – 111,212 км.
Данными
Пикара
ученые
пользовались
почти
шестьдесят
лет.
Астрономические и геодезические измерения Пикара имели громадное научное и
практическое значение.
В 1683 году под руководством директора Парижской астрономической
обсерватории Джованни Доминико Кассини были начаты измерения дуги
меридиана от Дюнкерка до Коллиура. Работа затянулась на десятки лет.
33
В 1713 году Д. Кассини умер. Начатые им работы продолжил его сын Жак
Кассини. В 1718 году, т.е. через 35 лет работы были закончены. По вычислениям
Жака Кассини Земля получилась вытянутой к полюсам. Как оказалось позже,
Жак Кассини ошибся в вычислениях.
Чтобы окончательно убедиться в истинных размерах Земли, в 1735 году
Парижская академия наук приняла решение измерить длину дуги меридиана в
разных частях Земного шара. Было решено выполнить измерения в Европе и в
Америке.
В 1735 году в Перу отправилась экспедиция в составе академиков
Кондамина, Бугера и Годена. Возглавлял экспедицию академик Кондамин.
Работы были закончены в 1742 году. В Перу была измерена дуга меридиана
длиной 350 км.
В 1736 году в Лапландию была направлена экспедиция в составе
академиков Монпертюи, Клеро, Камюз, Лемонье и шведского физика Цельсия. В
Лапландии удалось измерить дугу длиной в 100 км.
После обработки полевых измерений обеих экспедиций было установлено,
что полярная ось Земли короче экваториальной на 25 км.
8 мая 1790 года Национальное собрание
реформе системы мер. Одновременно
Франции приняло декрет о
было создано две комиссии. Первая
комиссия, которую возглавлял математик Лагранж, рекомендовала десятичную
систему мер вторая, во главе с Лапласом, рекомендовала принять за единицу
длины одну сорока миллионную длины дуги Земного меридиана.
26 марта 1791 года Национальное собрание утвердило оба предложения.
Было решено измерить длину дуги Земного меридиана от Дюнкарка,
расположенного на севере Франции до Барселоны (Испания). Оба города лежат на
одном парижском меридиане и находятся на уровне моря. Длина дуги меридиана
составляла 90 40′ .
Предстояло выполнить очень трудоемкую работу. Необходимо было
отнаблюдать
115
треугольников,
два базиса
34
и
определить
5
астрономических пунктов.
Руководителями этих работ были назначены академики Ж.Деламбр и
Мешен. Работы были начаты 25 июня 1792 года и закончены осенью 1798 года.
По окончании всех вычислительных работ Ж. Деламбр получил новые
данные о размерах Земного эллипсоида. Эти данные были приняты всеми
европейскими государствами для дальнейшего использования в геодезии и
картографии.
Вместе с тем была получена длина метра, равная 443 296 парижских линий
и единица веса – килограмм.
Механик Ленуар изготовил платиновую линейку длиной 100 мм, шириной
35 мм и толщиной 25 мм. Этот эталон был уложен в футляр из красного дерева,
обтянутый внутри красным бархатом.
22 июня 1799 года на торжественном заседании Академии наук состоялась
передача эталона метра и килограмма государственному архиву Франции. С тех
пор этот эталон стали называть «архивным метром». На новую систему мер
Франция полностью перешла с 1-го января 1840 года.
В период с 1816 по 1855 г.г. под руководством директора Пулковской
обсерватории В.Я. Струве были выполнены большие работы по градусным
измерениям в России.
Была измерена длина дуги меридиана от Измаила до Хаммерфеста (север
Норвегии). В литературе эта дуга получила название «дуги Струве».
Дина дуги 3000 км и по широте она имеет протяженность в 25020′ 08″.
В честь этого события в с. Ново-Некрасовка возле Измаила и в г.
Хамерфесте установлены обелиски. Работы В.Я. Струве являются
важным
вкладом русских геодезистов в мировую науку.
13. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИН ДУГ МЕРИДИАНОВ И ПАРАЛЛЕЛЕЙ.
При решении разного рода задач в картографии возникает необходимость
в определении длины дуги меридианов и параллелей. Для практических целей
35
будем предполагать, что земля имеет форму шара. Тогда задачи можно будет
решать так:
Пусть точки А и В расположены на одной параллели (рис. 15). Длина дуги
параллели s будет равна:
s = r ∆λ
(32)
где: r – радиус параллели; ∆λ – разность долгот точек А и В.
Радиус параллели r определится из прямоугольного треугольника оАО
r = Rcosγ
(33)
После подстановки значения r в равенство (32) получим:
s = Rcosγ ∆λ
(34)
Рабочая формула будет иметь вид:
s = [(Rcosγ) ∆λ″]/ρ″
(35)
где ρ″ = 206 264″,806 – радианная мера в сек.
Для определения длины дуги меридиана воспользуемся рис. 16.
Рисунок 16
Вычисление длин дуг меридианов
Ат и Ст с широтами φа и φс ;
S – длина дуги меридиана между точками Ат и Ст;
Δφ – разность широт Ат и Ст;
R – радиус; 0 - нульпункт
Разность широт точек А и С будет равна:
∆φ = φa – φв
(37)
Тогда длина дуги меридиана S определится так:
S = R ∆φ
(38)
Рабочая формула будет иметь вид:
S = R (∆φ″/ρ″)
(39)
Формулы (35) и (39) получены в предположении, что Земля имеет форму
шара, поэтому они являются приближенными.
При решении практических задач по картографии, когда точность
вычисления дуг меридианов и параллелей ограничивается сотнями метров или
36
километрами они могут быть применены для расстояний порядка 1000 – 3000 км.
ЛИТЕРАТУРА
Берлянт А.М. Картография. М.: Аспект - Пресс, 2001
Божок А.П. и др. Топография с основами геодезии. М.: Высшая школа,
1986.
Бугаевский Л.М. Математическая картография: Учебник для вузов. –М.:
1998. – 440с.
Гараевская Л.С., Мамосова Н.В. Практическое пособие по картографии.
М.: Недра, 1990.
Господинов Г.В., Сорокин В.Н. Топография. М.: Изд-во МГУ, 1982.
Грюнберг Г.Ю. Картография с основами топографии. М.: Просвещение,
1991.
Картоведение. Под редакцией профессора А.М. Берлянт. М.: Аспект –
Пресс, 2003.
Картография с основами топографии: учебное пособие для студентов
педагогических институтов. Под редакцией Грюнберга Г.Ю. М.: Просвещение,
1991. – 368 с.
Комиссарова Т.С. Картография с основами топографии. М.: Просвещение,
2001.
Клюшин Е.Б. и др. Инженерная геодезия. Под редакцией Д.Ш. Михелева.
М.: Высшая школа, 2000.
Курошев Г.Д. Геодезия и география: Учебник. –СПб.:Изд-во С.-Петербург.
ун-та, 1999. – 372 с.
Лапкина Н.А. Практические работы по топографии и картографии. М.:
Просвещение, 1971.
Маргунов Н.Ф., Сысоев Р.А. Геодезия. М.: Недра, 1976.
37
Павлов А.А. Практическое пособие по математической картографии. Л.:
1974.
Практикум по прикладной геодезии. М.: Недра, 1993.
Салищев К.А. Картография. – 3-у изд. –М.: Высш. Школа, 1982. – 271 с.
Салищев К.А. Картоведение. М.: Изд-во МГУ, 1976
Соловьев М.Д. Математическая картография. М.: Недра, 1969
Фельдман В.Д., Михелев Д.Ш. Основы инженерной геодезии. М.: Высшая
школа, 1998.
Чижмаков А.Ф., Чижмакова А.М. Геодезия. М.: Недра, 1975.
Чурилова Е.А., Колосова Н.Н. Картография с основами топографии.
Практикум. М.: Дрофа, 2004.
38
39
40
41