Готовимся к олимпиаде(условие)

Готовимся к олимпиаде(условие)
Задание 1. Решите уравнение
Задание 2. Числа
.
таковы что
. Докажите, что
.
Задание 3. Решите уравнение
.
Задание 4. Найти все целые положительные числа x и y, что четырехзначное число
точный квадрат числа r, делящегося на 6.
— есть
Задание 5. Найти отрезок, концы которого лежат на графике функции
, а ось ординат для него является серединным
перпендикуляром.
Задание 6. Решите уравнение
Задание 7. При каких а система
Задание 8. Среди пар
.
имеет единственное решение?
для каждой из которых система
единственное решение, выбрать ту, для которой выражение
Задание 9. Решите уравнение
имеет
имеет наибольшее значение.
.
Задание 10. Назовем числа “приблизительно равными”, если их (сумма) разность не больше 1.
Сколько существует способов представить число 2004 в виде суммы целых положительных
“приблизительно равных” слагаемых?
Готовимся к олимпиаде(решения)
Задание 1. Решите уравнение
.
Решение. Один из возможных способов решения данного уравнения является введение
параметра. Пусть
, тогда уравнение примет вид:
.
Заметим, что оно является квадратным относительно а. Перепишем его в виде:
.
Его дискриминант равен
.
Тогда
;
.
Значит исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений
Ответ:
.
Задание 2. Числа
таковы что
. Докажите, что
.
Доказательство. Оценим каждый из множителей, применяя неравенство Коши:
;
; …,
.
Умножив последние n неравенств получим:
(т.к.
).
Неравенство доказано.
Задание 3. Решите уравнение
Решение. ОДЗ уравнения
.
.
Используя неравенство Коши имеем:
;
;
;
;
.
Сложив последние неравенства получим:
.
Тогда:
не имеет.
. Последняя система решений
Ответ: корней нет.
Задание 4. Найти все целые положительные числа x и y, что четырехзначное число
точный квадрат числа r, делящегося на 6.
Решение.
. Тогда
;
Так как
, то
. Из чисел
. Значит
и
.
на 4 делятся только числа 92 и 96, но
— точный
квадрат, а значит не может оканчиваться цифрой 2. Значит остается только вариант
. Так как это число кратно 9, то
получим
.
Ответ:
,
— есть
или
. Тогда
. Учитывая, что x — цифра,
.
Задание 5. Найти отрезок, концы которого лежат на графике функции
, а ось ординат для него является серединным
перпендикуляром.
Решение. Поскольку ось ординат для искомого отрезка является серединным перпендикуляром, то
, где
и
— абсциссы концов этого отрезка. Тогда
.
Значит:
Ответ: координаты концов искомого отрезка
.
и
.
Задание 6. Решите уравнение
.
Решение. Рассмотрим функцию
.
— четная.
.
.
Данная производная существует для любого x из области определения данной функции.
при
.
при
.
при
.
Значит функция
возрастает при
и при
, убывает
и при
.
— точка максимума,
— точки минимума.
— наименьшее значение функции
И так как
.
, то исходное уравнение равносильно системе:
.
Ответ: 3.
Задание 7. При каких а система
имеет единственное решение?
Решение. Рассмотрим второе уравнение системы:
Последнее уравнение — однородное второй степени. Пара
поэтому оно равносильно совокупности:
или
.
является его решением,
.
Дискриминант последнего уравнения:
, так как
.
Значит исходная система уравнений равносильна следующей системе уравнений:
Ответ: 2.
Задание 8. Среди пар
для каждой из которых система
единственное решение, выбрать ту, для которой выражение
имеет
имеет наибольшее значение.
Решение.
Если
и
одновременно, то последняя система имеет бесконечное множество решений
— что не удовлетворяет условию.
Если
задачи.
и
Значит
, то последняя система не имеет решений, что также не удовлетворяет условию
, уравнение
— квадратное. Поделив уравнение на
, получим
Чтоб последняя система имела единственное решение, дискриминант квадратного уравнения
должен быть равен нулю.
;
.
Значит пары
, при которых достигается единственность решения системы имеет вид
, причем, по условию,
. Найдем ту из них, чтобы выражение
наибольшее значение:
Рассмотрим
.
, при
.
.
существует для любого
.
принимало
при
;
.
при
;
при
.
— точка максимума.
Поскольку
— единственная точка максимума при
наибольшего значения.
, то в ней
достигает своего
.
Ответ:
.
Задание 9. Решите уравнение
.
Решение. Исходное уравнение равносильно следующему:
.
Заметим, что уравнение имеет вид:
, где
для любого
.
Значит
монотонна. Поэтому уравнение
Ответ:
.
.
.
.
Задание 10. Назовем числа “приблизительно равными”, если их (сумма) разность не больше 1.
Сколько существует способов представить число 2004 в виде суммы целых положительных
“приблизительно равных” слагаемых?
Решение. Пусть число 2004 разбито на k таких слагаемых. Пусть среди них S равны n и r равных
. Тогда
;
.
Ответ: 2003.
. Значит