Решение большинства неравенств сводится к решению соответствующих Неравенства.

Неравенства.
Пояснительная записка:
Решение большинства неравенств сводится к решению соответствующих
уравнений. Рассмотрим решение линейных и квадратных неравенств, а так же
специальный метод решения неравенств – метод интервалов.
В первой части экзаменационной работы обычно требуется решить неравенства без
дополнительных условий. Во второй части часто приходится решать алгебраические
преобразования, выбирать решения, удовлетворяющие дополнительным условиям, а так
же решать неравенства и системы неравенств с параметрами.
Задачи
1. Закрепить навык решения неравенств.
2. Обобщить задания экзаменационных работ с правильным нахождением их
решений.
Определение. Неравенства вида ax  b  0,  0,  0,  0, где x  неизвестное, a и
b  некоторые действительные числа a  0, называются неравенствами первой степени
или линейными неравенствами.
Определение. Неравенства вида ax 2  bx  c  0  0,  0,  0, где a  0, называют
неравенствами второй степени с одним неизвестным или квадратными неравенствами.
Свойства числовых неравенств
( a, b, c  действительные числа)
Если
Если
Если
Если
a  b и b  c, то a  c.
a  b, то a  c  b  c.
a  b и c  положительное число c  0, то a  c  b  c.
a  b и c  отрицательное число c  0, то ac  bc.
(1)
(2)
(3)
(4)
Обычно при решении неравенства стараются заменить данное неравенство более
простым, но равносильным ему.
Равносильные преобразования неравенств:
1.Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с
противоположным знаком, не меняя при этом знака неравенства.
Например, неравенство 3x  5  x 2 равносильно неравенству  x 2  3x  5  0
2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное
число, не меняя при этом знака неравенства.
Например, 8x  4  12 x2 : 4, равносильно неравенству 2 x  1  3 x 2 .
3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное
число, изменив при этом знак неравенства на противоположный  íà ,  íà .
Например, неравенство  2 x 2  3x  1  0 равносильно неравенству 2 x 2  3x  1  0 .
4. Если обе части неравенства с переменной x умножить или разделить на одно и то
же выражение px, положительное при всех значениях x, и сохранить знак исходного
неравенства, то получится неравенства, равносильное данному.
Например, неравенство 2 x  1 x 2  2  0 равносильно неравенству 2x  1  0 : обе
части исходного неравенства разделили на выражение x 2  2  0, положительное при
любых значениях x ; при этом знак неравенства оставили без изменения.


1
Пример 1. Решить неравенство
x 2x  1
1

 2x  .
3
5
15
Решение. Умножим обе части неравенства на положительное число 15, оставив знак
неравенства без изменения (правило 2).Это позволит нам освободиться от знаменателей,
т.е. перейти к более простому неравенству, равносильному данному:
1
 x 2x  1 

15   
  15   2 x  ;
5 
5
3

5x  3  2x  1  30x  1;
11x  3  30x  1 ;
Воспользовавшись правилом 1 решения неравенств, перенесём член 30x из правой
части неравенства в левую, а член  3 - из левой части в правую (с противоположными
знаками).
11x  30x  1  3 ;
 19x  2 ;
Применив правило 3, получим:
2
x
.
19

2
19
2

Ответ:    ;  .
19 

5.Если квадратный трёхчлен ax 2  bx  c не имеет корней (т.е. его D отрицательное число) и если при этом a  0, то при всех значениях x выполняется
ax 2  bx  c  0.
неравенство
xR
x
Напротив, неравенство ax 2  bx  c  0, при a  0, D  0 не имеет решений.
6.Если квадратный трёхчлен ax 2  bx  c не имеет корней (т.е. его дискриминант Dотрицательное число) и если при этом a  0 , то при всех значениях x выполняется
неравенство
ax  bx  c  0.
x
2
Напротив, неравенство ax 2  bx  c  0, при a  0, D  0 не имеет решений.
Решение квадратных неравенств состоит из 5 этапов:
1. Вводим соответствующую функцию y  ax 2  bx  c.
2. Определим направление ветвей параболы y  ax 2  bx  c ( при a  0 ветви
направлены вверх, при a  0 ветви параболы направлены вниз).
3. Находим нули функции, т.е. решаем уравнение ax 2  bx  c  0 .
4. Если уравнение имеет корни, то отмечаем корни на координатной прямой и
схематически рисуем параболу в соответствии с направлением ветвей. Если
уравнение не имеет корней, то схематически рисуем параболу в соответствии с
направлением ветвей.
5. Находим решение неравенства с учётом знака неравенства.
Решение квадратных неравенств, в зависимости от дискриминанта
соответствующего квадратного уравнения, разбивается на 3 случая:
1) D>0 ;
2) D=0 ;
3) D<0 .
Рассмотрим первый случай: D > 0.
Пример 2. Решить неравенство  x 2  2 x  3  0 .
Решение.
1. Пусть y   x 2  2 x  3.
2. Так как a  1, то ветви параболы направлены вниз.
3. Решим уравнение  x 2  2 x  3  0.
Его корни: x  1 и x  3.
4. Отметим числа 1 и (-3) на координатной прямой и построим эскиз графика функции
5.Так как знак неравенства  , то решением его будет  3; 1.
3
Ответ:  3; 1.
Рассмотрим случай, когда D=0.
Пример 3. Решите неравенство: 4 x 2  4 x  1  0.
Решение.
1. Пусть y  f x , где f x   4 x 2  4 x  1.
2. a  4  0, значит, ветви параболы f x   4 x 2  4 x  1 направлены вверх.
3. Уравнение 4 x 2  4 x  1  0 имеет совпавшие корни x1  x2  0,5. Парабола касается
оси абсцисс.
4.
5.Так как знак неравенства (>), то решением его являются все числа, кроме x  0,5.
Ответ:  ;0,5   0,5;.
Замечание: Решением неравенства 4 x 2  4 x  1  0 является промежуток  ;.
Решением неравенства 4 x 2  4 x  1  0 является только число  0,5.
Неравенство 4 x 2  4 x  1  0 решений не имеет.
Рассмотрим случай, когда D <0.
Пример 4. Решите неравенство  x 2  6 x  10  0.
Решение.
1. Пусть y  f x , где f x    x 2  6 x  10;
2. Ветви параболы направлены вниз, т.к. a  1 0.
3. Уравнение  x 2  6 x  10  0 решений не имеет. Парабола не пересекает ось
абсцисс.
4.
5. Так как знак неравенства  , являются все числа.
4
Ответ:  ;.
Замечание: неравенство  x 2  6 x  10  0 решений не имеет.
Метод интервалов.
При решении более сложных неравенств используют метод интервалов. Поясним
его на примерах.
4
Пример 5. Решите неравенство
 0.
 x  5  x 2  4


Решение.
Так как числитель дробного выражения отрицателен, то решение исходного
неравенства сводится к решению неравенства  x  5  x 2  4  0
Решим неравенство методом интервалов.
1. Рассмотрим функцию f x    x  5 x 2  4 .
2. Найдём нули функции, т.е. решим уравнение  x  5 x 2  4  0.
 x  5x  2x  2  0 . Числа 5;2;-2 являются нулями функции.
3. Отметим нули функции на координатной прямой.


-2
2

5



x
4. В каждом из промежутков, на которые область определения функции
разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через
нули функции, т.е. через точки  2;2;5, её знак меняется.
5. Определим знак функции в правом промежутке. Рассмотрим
f 6   6  5 62  4  32  0, значит, в промежутке 5; значение функции
отрицательны.


6. Далее происходит чередование знаков. Тогда множеством всех решений
неравенства будет объединение всех промежутков, в которых стоит знак (-).
Промежутки числовой прямой, на которых функция y  f x  имеет знак (+),
либо знак (-), называются промежутками знакопостоянства функции.
7. Решаем неравенства  x  5 x 2  4  0. методом интервалов будет объединение
интервалов:  2;2  5;.


Область определения выражения.
Значения переменной, при которых выражение имеет смысл, называются
значениями переменной. Множество всех допустимых значений переменной
областью определения выражения.
Пример 6. При каких значениях x имеет смысл выражение:
1).  x  6 ;
5
Решение.
Так как выражение a имеет смысл при a  0 (арифметический квадратный
корень определён только для неотрицательных чисел), то решим неравенство:
 x  6  0.
 x  6.
x  6.
Областью определения выражения  x  6 будет промежуток  ;6.
Ответ:
D f    ;6.
1
;
x6
Решение.
2).
1
имеет смысл при a  0, то  x  6  0
a
x  6.
1
; будет объединение промежутков
Областью определения выражения
x6
D f    ;66;.
Так как выражение
x6
.
x 1
Решим систему:
 x  6  0,  x  6,


 x  1  0,  x  1.
3).
Отметим решения системы на координатной прямой.
Областью определения исходного выражения будет: D f    ;1  1;6.
Пример 7. Найти область определения выражения:
f  x   2 x  4  8  x.
Решение. Под знаком квадратного корня должно находится неотрицательное
число, значит, должны одновременно выполняться два неравенства:
2x  4  0 и 8  x  0. В таких случаях говорят, что задача сводится к решению
2 x  4  0,
системы неравенств 
8  x  0.
6
2 x  4,

 x  8.
 x  2,

 x  8.
Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы,
отрезок 2;8.
Самостоятельная работа
Пример 8. Найти область определения функции:
Ответ: D f    ;2  4;
1). y  x 2  6 x  8;
2). y 
1
;
x  6x  8
3). y 
1
Ответ: D f    ;2  2;4  4;.
2
x2  6x  8
Ответ: D f    ;2  4;.
;
4). Найдите наибольшее целое значение переменной a, при котором имеет смысл
выражение
24  5a  a 2  2a 2  19a  35.
Ответ: a  8.
Пример 9.
5). Найдите наибольшее целое значение x , при котором сумма дробей
11  2 x
5
3  2x
2
и
положительна.
Ответ: x  2.
6). Сравните числа:
15  17
и 8.
Ответ:
15  17  8.
Теорема
Заметим, что в разложении Px на множители могут встречаться множители вида
x  a k . Если k
чётное, то справа и слева от числа x  a многочлен сохраняет свой
знак. Если k нечётное, то  x  a  ведёт себя как x  a . Следовательно, неравенство
k
7
Px  0 ( Px  0 ) можно свести к решению неравенства x  a1 x  a2 x  am   0
(либо <0),где 1 , 2 ,, m - различные действительные корни многочлена Px .
Множество решений неравенства Px  0 или Px  0 является объединением двух
множеств: множество решений строго неравенства Px  0 или Px  0 и множество
решений уравнения Px  0.
P x 
P x 
Неравенства вида
 0 или
 0 равносильны неравенствам Px  Qx  0
Q x 
Q x 
или Px   Qx   0.
При решении неравенства
P x 
P x 
 0 или
 0 необходимо исключить нули
Q x 
Q x 
знаменателя и включить в решение нули числителя, не совпадающие с нулями
знаменателя, а далее решать строгое неравенство Px  Qx  0 или Px   Qx   0.
Пример 10. Решить неравенство
Решение.
x  1x  4  0 .
x  7 2
x  1x  4  0  x  1x  4  0,

x  72
 x  7.
Ответ:  ;7   7;1  4;.
Пример 11. Решить неравенство:
x2  x
 0.
x2  5x  6
Решение. 1.Разложим на множители числитель и знаменатель алгебраической
дроби:
xx  1`
 0 ; xx  1x  1x  6  0
x  1x  6
2. Отметим нули числителя и знаменателя на числовой прямой.
Числовая прямая разбивается указанными точками на пять промежутков.
На каждом промежутке выражение f x  сохраняет постоянный знаки при переходе
через граничную точку меняет на противоположный.
8
3. Нас интересует, где выполняется неравенство f x  0. Это имеет
место на интервале  1;0 или на интервале 1;6.
Ответ:  1  x  0; 1  x  6.
x3  7 x
 0.
2 x  33x  8
Пример 12. Решить неравенство
Решение. Имеем:
x x2  7
 0 . Обе части неравенства умножили на положительное
3 
8

2 x    3 x  
2 
3

число 6 .





x x
x x2  7
0;
3 
8


x 
 x   x  
2 
3






8
7 x 7
 0; Сравним числа и
3 
8
3
 x  
2 
2
7.

x x  7 x  7  0


3
8
x   ; x  .
2
2



3

8

Ответ: D f    7 ;   0; 7   ; .
2

3

Работа с самопроверкой.
Пример 13. Решить неравенство:
x


 9 x 2  4  0.
x  3x  3x  2x  2  0
2
Ответ:  3;2  2;3.
9
Пример 14. Решить неравенство:
x


 5 x  6 x 2  2 x  8  0.
Так как x 2  5 x  6  x  6x  1 и x 2  2 x  8  x  4x  2,
x  6x  1x  4x  2  0
2
Ответ:  ;6   4;1  2;.
Пример 15.
Решить неравенство.
x  22 x  3x  1  0.
В этом примере корень функции x  2 двойной кратности, а значит функция при
Прохождении этого корня дважды меняет знак на противоположный.
Ответ:  1;2  2;3.
Пример16. Решить неравенство:
x  5x  22
 0 Так как корень x=-2 есть решения неравенства, то его нужно
x 1
присоединить к ответу.
Ответ: 1;5   2.
Пример17. Решить неравенство:
x 2  7 x  10
x  3
2
 0. x 2  7 x  10  0 ,
x1  2, x2  5.
x 2  7 x  10  x  2x  5.
x  2x  5  0.
 x  3 2
10
Ответ:  5;3   3;2.
Пример18.
x 2  2 x  3 x 2  16
 0.
x2  1 x2  9
 x1  3 2
x2  2x  3  0
 x  1 x  2 x  3  x  3x  1.
 2






x  3x  1x  4x  4  0.
x  1x  1x  3x  3
Отметим, что если в нестрогом неравенстве x  a есть корень в разложении
Числителя и знаменателя, то он обязательно исключается из решения, т.е. не
закрашенным кружочком. В данном случае он еще чётной кратности.
Ответ:  ;4   1;1  1;3  4;.
11