Тема 1. Буквенные выражения. Область допустимых значений буквенного выражения

Глава 2. Буквенные выражения.
Тема 1. Буквенные выражения.
Область допустимых значений буквенного выражения
Основные сведения
Алгебраическим (буквенным) выражением называется одна или несколько алгебраических
величин (чисел и букв), соединенных между собой знаками алгебраических действий: сложения,
вычитания, умножения и деления, извлечения корня и возведения в целую степень, а также
скобками, определяющими порядок выполнения действий. Количество величин, входящих в
алгебраическое выражение, должно быть конечным.
Значения переменных, при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют
допустимыми значениями переменных. Множество всех допустимых значений переменных
называют областью определения алгебраического выражения.
Если соответственные значения двух выражений с одинаковой областью определения,
содержащих одни и те же переменные, совпадают при всех допустимых значениях переменных, то
выражения называют тождественно равными.
Тождеством называют равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него
переменных.
Предлагаю вашему вниманию демонстрационный вариант, изучите на его
примере алгоритмы выполнения заданий и попробуйте свои силы.
Демонстрационный вариант
1. Даны выражения:
6
5b  1
A)
Б)
b6
6b
В)
b
5

6b b
Какие из выражений не имеют смысла при b = - 6?
1) А; В
2) только Б
3) Б; В
4) только В
Решение. Каждое из предложенных выражений не имеет смысла в случае, когда знаменатель
дроби, входящей в выражение, обращается в ноль. При b = - 6 в ноль обращается знаменатель в
выражениях Б и В.
Ответ: 3.
1
n
n
2n
2
n
2. Из выражений а)
b)  n ;
с)
;
d)
1
2
2
n2
1 2
n
выберите те, которые имеют смысл при любом значении n.
1) b
2) a; b
3) b; d
4) b; с
Решение. Выражение а не имеет смысла при n = 0; выражение b имеет смысл при любых
значениях n; выражение с не имеет смысла при n = -2; выражение d не имеет смысла при
n = 0.
Ответ: 1.
c3
3. Укажите все значения с, при которых выражение
не имеет смысла.
c(c  1)
1) 3
2) 0; 3
3) 1
4) 0; 1
Решение. Заданное выражение не имеет смысла, когда с(с - 1) = 0, то есть с = 0 или с = 1.
Ответ: 4.
x 2  4 xy  y 3
4. Какая пара чисел является недопустимой для дроби
2x  y
1
1
1) (-2;1)
2) (2;-1)
3){- ; l)
4) ( ; l)
2
2
Решение. Для данной дроби недопустимыми являются числа, при которых знаменатель
дроби обращается в 0. Подставляя в выражение 2х — у соответствующие значения из
1
предложенных пар чисел, получаем, что только при х = , у = 1 выражение не имеет
2
смысла.
Ответ: 4.
5x
5. При каких значениях х дробь 2
не имеет смысла?
x  36
Решение. Дробь не имеет смысла, когда её знаменатель равен нулю. Следовательно,
заданное выражение не имеет смысла при х = — 6 и х = 6.
Ответ: -6; 6.
y ( y  1)
6. Найдите все допустимые значения у для дроби
3( y  2)( y 2  9)
1) у  2
2)у  ±3
3) y  2, y  3
4)у  0, у  1
Решение. Допустимыми значениями у является всё множество R за исключением тех
значений у, при которых знаменатель дроби обращается в 0. Из уравнения 3(у - 2) (у2 + 9)
= 0 находим у = 2. Следовательно, заданное выражение имеет смысл при у  2.
Ответ: 1.
2x  6
7. Найдите числа, при которых знаменатель дроби 2
равен 0.
x  6x  9
1)0
2)-3
3)3
4) таких чисел нет
2
Решение. Решим уравнение х + 6х + 9 = 0; (х + 3)2 = 0; х = —3.
Ответ: 2.
8. Соотнесите каждое выражение
2x
1
4
А) 2
;
Б) 2
B)
с областью его определения.
4x  8
x  8x
x 9
1) х  2 2) любое число 3) х  8, х  0 4) х  0, х  2
Решение. Областью определения выражения А является множество R за исключением
значений х, при которых х2 — 8х = 0. Следовательно, выражение определено при х  8 и
х  0, что соответствует ответу 3). Областью определения выражения Б является всё
множество R (знаменатель данного выражения всегда положителен), что соответствует
ответу 2). Областью определения выражения В является множество R за исключением
значений х, при которых знаменатель 4х - 8 = 0. Следовательно, выражение определено
при х  2, что соответствует ответу 1).
Ответ:
А
3
Б
2
В
1
Попробуй решить сам!
1. Даны выражения:
t 1
2t
10
А)
Б)
B)
t
t 1
3t  3
Какие из этих выражений не имеют смысла при t = — 1?
1) только А
2) А; Б; В
3) А; Б
2. Из выражений
t 2 1
3t  2
10
a=
b=
c=
2t  1
2t  3
2t  1
выберите те, которые имеют смысл для всех t > 0.
l) a,b
2) b,d
3) с
d=
4) Б; В
1 t2
t
4) а, b, d
a
3

3. Укажите все значения a, при которых выражение
не имеет смысла.
3 a 2a
1) а = 0
2) а = 3; a = 2
3) а  3
4) а  2
4. Укажите все значения b, при которых равенство
1) b=1
2) b = 0
3) b = 1; b = 0
3
3b
не имеет смысла.
 2
b 1 b  b
4) b >1
x 1
не имеет смысла?
x2 1
( x  2)( x  3)
6. Найдите допустимые значения х для дроби 2
x  2 x  15
1) x  - 5
2) х  - 2; х  3
3) х  -5; х  3
4) х  -2; х  -5
3x  3
7. Найдите числа, при которых знаменатель дроби 2
равен 0.
x 1
1) 1
2) ±1
3) -1
4) таких чисел нет
8. Соотнесите каждое выражение
2
1
x2
2x  4

A)
;
Б)
B)
с его областью определения.
x x2
2x  1
x
1) любое число
2) х  0; х  2
3) х  0,5
4) х  0
Ответ:
А Б В
5. При каких значениях х дробь