Кускочева

МАТЕМАТИКА
Кускочева Александра
Научный руководитель:
Карпова Светлана Сергеевна
ИСТОРИЯ И ГЕОМЕТРИЯ
ЕГИПЕТСКИХ ПИРАМИД
Всем известно, как много интересных,
порою поразительных научных открытий
сделали учёные на древней египетской земле.
Массу чудесных находок дали ее гробницы и
храмы. Но самым большим чудом Египта, поражавшим людей ещё в древности, были
пирамиды - эти удивительные искусственные горы - гробницы древних египетских царей.
По внешнему виду пирамиды разделяются на ступенчатые пирамиды, в которых четыре
грани регулярным маршем поднимаются от основания к прямоугольной платформе наверху, и
правильные пирамиды. Ступенчатые пирамиды древнее геометрически правильных пирамид.
Первым из египетских царей, воздвигнувшим над своей гробницей пирамиду, был фараон
Джосер. Эта самая древняя пирамида Египта состоит из шести огромных ступеней. Создание
первого в мире каменного сооружения значительных размеров (высота около 60 м)
приписывается Имхотепу - замечательному учёному-медику, математику и архитектору,
бывшему визирем царя Джосера.
Самой большой пирамидой, построенной в XXVIII в. до н.э., является пирамида фараона
Хуфу (или по-гречески Хеопса). Великая Пирамида Хеопса, в самом деле, чудо света - древнего
и современного. Эта пирамида сначала была построена в виде большой лестницы, составленной
из того, что одни называют зубцами, а другие ступенями. Такая форма позволяла поднимать
остальные камни с помощью машины, состоящей из коротких балок. Сначала заканчивали
вершину, потом переходили по этажам вниз и завершали основание пирамиды.
Пирамида Хеопса, или Большая пирамида в Гизе, со стороной квадрата основания, равной
230 м, первоначально имела
высоту 146,7 м. (верхушка
обрушилась на 9,4 м.); каждая
из сторон по длине составляет
233 м. Основание пирамиды
занимает площадь в 5,3 га.
Подсчитано, что для постройки
Большой
пирамиды
понадобилось 2 300 000
каменных блоков, вес каждого
в среднем 2,5 т. Для того,
чтобы
обойти
пирамиду
кругом, нужно пройти около
километра. Вплоть до конца
XIX
в.
пирамида
Хуфу
являлась самым высоким сооружением на земле. Большая пирамида внутри на разных уровнях
имеет три камеры: одну подземную и две, называемые Покоем фараона и Покоем царицы.
Интересный анализ «тайн Египетских пирамид» проведен в книге «Золотая пропорция»,
написанной известным украинским исследователем Николаем Васютинским.
В течение тысячелетий Египетские пирамиды поражали воображение своими громадными
размерами и совершенством геометрической формы. Рядом с царскими пирамидами стояли
пирамиды жен и членов семьи фараонов. И недаром Египетские пирамиды, эти удивительные
творения рук человеческих, издавна относили к одному из семи чудес света.
Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает Великая Пирамида фараона
Хеопса (Хуфу). Прежде чем приступить к анализу формы и размеров пирамиды Хеопса,
следует вспомнить, какой системой мер пользовались египтяне. У египтян было три единицы
длины: «локоть» (466 мм), равнявшийся семи «ладоням» (66,5 мм), которая, в свою очередь,
равнялась четырем «пальцам» (16,6 мм).
Проведем анализ размеров пирамиды Хеопса, следуя рассуждениям, приведенным в
упомянутой книге Николая Васютинского «Золотая пропорция».
Большинство исследователей сходятся в том, что длина стороны основания пирамиды,
например, GF равна L=233,16 м. Эта величина отвечает почти точно 500 «локтям». Полное
соответствие 500 «локтям» будет, если длину «локтя» считать равной 0,4663 м.
Высота пирамиды (H) оценивается исследователями различно от 146,6 до 148,2 м. И в
зависимости от принятой высоты пирамиды изменяются все отношения ее геометрических
элементов. В чем причина различий в оценке высоты пирамиды?
Дело в том, что пирамида Хеопса
является усеченной. Ее верхняя площадка
в наши дни имеет размер примерно 10×10
м, а столетие назад она была равна 6×6 м.
Очевидно,
что
вершину
пирамиды
разобрали,
и
она
не
отвечает
первоначальной.
Оценивая
высоту
пирамиды,
необходимо учитывать такой физический
фактор, как «осадка» конструкции. За
длительное время под воздействием
колоссального давления (достигающего
500 тонн на 1 м2 нижней поверхности) высота пирамиды уменьшилась по сравнению с
первоначальной высотой.
Какой же была первоначальная высота пирамиды? Эту высоту можно воссоздать, если
найти основную «геометрическую идею» пирамиды.
В 1837 г. Английский полковник Г.Вайз измерил угол наклона граней пирамиды: он
оказался равным a =51°51'. Эта величина и сегодня признается большинством исследователей.
Указанному значению угла отвечает тангенс (tga), равный 1,27306. Эта величина соответствует
отношению высоты пирамиды АС к половине ее основания СВ, то есть АС/ СВ = H/(L/2) =
2H/L.
И вот здесь исследователей ожидал большой сюрприз! Дело в том, что если взять корень
квадратный из золотой пропорции
, то мы получим следующий результат
= 1,272.
Сравнивая эту величину с величиной tga = 1,27306, мы видим, что эти величины очень близки
между собой. Если же принять угол a =51°50', то есть уменьшить его всего на одну угловую
минуту, то величина a станет равной 1,272, то есть совпадет с величиной
. Следует отметить,
что в 1840 г. Г. Вайз повторил свои измерения и уточнил, что значение угла a =51°50'.
Эти измерения привели исследователей к следующей весьма интересной гипотезе: в основу
треугольника АСВ пирамиды Хеопса было заложено отношение АС/СВ =
= 1,272!
Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник АВС, в котором отношение катетов АС/СВ =
. Если теперь длины сторон прямоугольника АВС обозначить через x, y, z, а также учесть,
что отношение y/x = , то в соответствии с теоремой Пифагора, длина z может быть вычислена
по формуле:
(1)
Если принять x=1, y=
, то
Прямоугольный треугольник, в котором стороны относятся как t:
:1, называется
«золотым» прямоугольным треугольником.
Тогда, если принять за основу гипотезу о том, что основной «геометрической идеей»
пирамиды Хеопса является «золотой» прямоугольный треугольник, то отсюда легко можно
вычислить «проектную» высоту пирамиды Хеопса. Она равна:
2
H = (L/2)ґ
= 148,28 м.
Выведем некоторые другие отношения для пирамиды Хеопса, вытекающие из «золотой»
гипотезы. В частности найдем отношение внешней площади пирамиды к площади ее
основания. Для этого примем длину катета СВ за единицу, то есть: СВ=1. Но тогда длина
стороны основания пирамиды GF=2, а площадь основания EFGH будет равна SEFGH = 4.
Вычислим площадь боковой грани пирамиды Хеопса
. Поскольку высота АВ
треугольника AEF равна t , то площадь боковой грани будет равна =t. Тогда суммарная
площадь всех четырех боковых граней пирамиды буде равна 4t , а отношение суммарной
внешней площади пирамиды к площади основания будет равно золотой пропорции! Это и есть
– главная геометрическая тайна пирамиды Хеопса!
Анализ других египетских пирамид показывает, что египтяне всегда стремились воплотить
в своих пирамидах некоторые важные математические знания. В этом отношении весьма
интересной является пирамида Хефрена. Измерения пирамиды показали, что угол наклона
боковых граней в ней равен 53°12', что отвечает отношению катетов прямоугольного
треугольника 4:3. Такое отношение катетов соответствует хорошо известному прямоугольному
треугольнику со сторонами 3:4:5, который называют «совершенным», «священным» или
«египетским» треугольником. По свидетельству историков, «египетскому» треугольнику
придавали магический смысл. Плутарх писал, что египтяне сравнивали природу Вселенной со
«священным» треугольником; они символически уподобляли вертикальный катет мужу,
основание – жене, а гипотенузу – тому, что рождается от обоих.
Для треугольника 3:4:5 справедливо равенство: 32 + 42 = 52, которое выражает теорему
Пифагора. Не эту ли теорему хотели увековечить египетские жрецы, возводя пирамиду на
основе треугольника 3:4:5? Трудно найти более удачный пример для иллюстрации теоремы
Пифагора, которая была известна египтянам задолго до ее открытия Пифагором.
Таким образом, гениальные создатели египетских пирамид стремились поразить далеких
потомков глубиной своих знаний, и они достигли этого, выбрав в качестве «главной
геометрической идеи» для пирамиды Хеопса — «золотой» прямоугольный треугольник, а для
пирамиды Хефрена – «священный» или «египетский» треугольник.
Длина периметра у основания Пирамиды, деленная на ее удвоенную величину практически
составила 3, 14159... то есть число p. Открытие этого числа в размерах Пирамиды Хеопса
произвел сенсацию. Из "папируса Ринда", хранящегося в настоящее время в британском музее и
найденного А.Х.Риндоу в 1858 г., стало известно, что египтяне занимались числом p.
Измеренные величины углов наклона граней Пирамиды колеблются в пределах от 51°51' до
51°52' Если рассчитать угол наклона Пирамиды с учетом числа p=3, 14159, получим
Вот откуда появилось среднее значение этого угла.
Строители пирамид использовали древнеегипетскую единицу (ДЕЭ). При этом Пирамида
Хеопса имела следующие размеры:
ширина b=230,35м=439,6 ДЕЭ=440 ДЕЭ, высота h=146.71м =280,0 ДЕЭ.
Для наших рассуждений введем еще одну
величину:
высоту
C
прямоугольных
равнобедренных
треугольников,
образующих
боковую поверхность Пирамиды. (Рис. 8) Согласно
теореме Пифагора (формула 1; формула 2)
получаем:
b
с2  h2   
2
Формула 1.
с  280 2  220 2 ДЕО  356 ДЕЭ
Формула 2.
3
Величина двойного основания Пирамиды Хеопса равная 2*500=1000 локтей является
весьма символичной для космогонии древнего Египта. Поэтому можно высказать гипотезу,
почему строители заложили именно число 500, а не какое-то другое. Цифра 1 является
символом Единой Троицы, которая органично включает в себя три Ока:
Мужское - Око Хора, Женское - Око Уаджет и Око Ра, являющееся символом единения
Начал:
В результате этого можно получить эзотерическую запись числа 1000.
Но
поскольку Единое состоит из двух половин, то величина каждой из них будет равна 1000/2=500.
Это значение и заложено в основание Пирамиды. Поэтому гипотеза Васютинского, на мой
взгляд, представляется очень интересной.
Он пишет: "Только при высоте пирамиды в 318 локтей и основании 500 локтей отношение
удвоенного основания к высоте отвечает священному числу "", которое составляет 3,
14....(точнее 3,1446..-B.C.). Если увеличить высоту пирамиды всего лишь на один локоть,
отношение это будет равно 3,135 , а если уменьшить всего на один локоть, оно составит 3,154.
Следовательно, только отношение
2 * 500
 3,1446   давало величину, отвечающую числу
318
"". Установленная в 318 локтей высота пирамиды и обеспечит заложенную в ней гармонию,
геометрическую красоту формы и великую мудрость ее создателей.
Если рассечь Пирамиду двумя взаимно перпендикулярными плоскостями, проходящими
через центр О, в результате получим два двойных золотых треугольника, пересечение которых
в плане дает крест. размещенный в квадрате - один из основных эзотерических символов
Древнего Египта. (Рис. 9)
По мнению автора, этот крест тесно связан с природой Великой Восьмерки богов в
мифологии Древнего Египта.
Совершенно ясно, что пирамиды имели
глубокое
«научное
содержание»,
воплощенное в их форме, размерах и
ориентировке на местности. Каждая деталь
пирамиды,
каждый
элемент
формы
выбирались тщательно и должны были
продемонстрировать
высокий
уровень
знаний создателей пирамид. Ведь они
строились на тысячелетия, «навечно». И
недаром арабская пословица гласит: «Все на
свете страшится времени. Время страшится
пирамид».
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Литература:
Альберти Л.Б. Десять книг о зодчестве. Т.1. – М., 1935.
Архитектурная бионика / Под ред. Ю.С.Лебедева. – М., 1990.
Васютинский Н.Н. Золотая пропорция. – М., 1990.
Волошинов А.В. Математика и искусство. – М., 1992.
Гика М. Эстетика пропорций в природе и искусстве. – М., 1936.
Гримм Г.Д. Пропорции в архитектуре. – М., 1935.
Пидоу Д. Геометрия и искусство. – М, 1979.
4