08-15-02

08-15-02. Приближенное вычисление корней методом
деления отрезка пополам.
1. Один из методов приближенного вычисления корней уравнений основан на
следующем свойстве некоторых функций:
если функция f ( x ) в концах отрезка [ a b] принимает значения f ( a ) и f (b )
разных знаков, то на отрезке [ a b] существует такое число c , при котором
значение функции f ( x ) равно нулю.
Этим свойством обладают, например, каждый многочлен от переменной x , функция
y  x , функции y  sin x и y  cos x .
На графике функции f ( x) указанное свойство означает, что если рассматривать часть
графика, которая соединяет точку с положительной ординатой и точку с отрицательной
ординатой, то эта часть обязательно пересекает ось Ox (рисунок 1).
f ( x)  x 2  23 . Вычислим значения
Рассмотрим функцию
f (0)  0  23   23 и f (1)  1  23  23 . Так как эти значения разных знаков, то на отрезке
[01] найдется такое число c , что f (c)  0 (рисунок 2). Следовательно, уравнение
x 2  23  0 имеет корень, который находится между числами 0 и 1.
Пример
1.
2. Разберем один из способов приближенного вычисления 3 2 .
По определению число 3 2 является корнем уравнения x3  2  0 . Поэтому
рассмотрим функцию f ( x)  x3  2 , часть графика которой изображена на рисунке 3.
Выберем на оси Ox отрезок, в концах которого функция f ( x) принимает значения
разных знаков. Нетрудно заметить, что f (1)  13  2  1  0 , а f (2)   23  2  6  0 .
Следовательно, корень уравнения x3  2  0 лежит на отрезке [1 2] длины 1. Отсюда
получаем, что
1  3 2  2
Разделим отрезок [1 2] точкой C1 
f (1)  0 , а f
 32   0 ,
3
2
пополам и вычислим f (C1 )  f
 23   198 . Так как
то выберем отрезок [1 32 ] , в концах которого функция f ( x)
принимает значения разных знаков (рисунок 4). Корень уравнения x3  2  0 лежит на
отрезке [1 32 ] длины 12 . Следовательно,
3
1 3 2  
2
Разделим теперь отрезок [1 32 ] точкой C2  12 1  23   54
пополам и вычислим
3
. Так как f  54   0 , а f  32   0 , то выберем отрезок  54  32  , в
f (C2 )  f  54   125
64  2   64
концах которого функция f ( x) принимает значения разных знаков (рисунок 5). Корень
уравнения x3  2  0 лежит на отрезке  54  23 ( . Следовательно,
5 3
3
 2 
4
2
Продолжим намеченный процесс дальше.
На четвертом шаге вычислим C3  12  45  23   118 , f (C3 )  f
 54  118  длины 18 , содержащий
3
2 , откуда получим, что
5 3
11
 2 
4
8
21
На пятом шаге вычислим C4  12  54  118   16
, f (C4 )  f
5 21
 4  16  длины
1
16
, содержащий
3
1
32
, содержащий
3
1
64
выберем отрезок
3385
 3241   65536
выберем отрезок
2 , откуда получим, что
5 3
41
 2 
4
32
41
На седьмом шаге вычислим C7  12  45  32
  6481 ,
81
отрезок  54  64
 длины
,
 1621   1069
8192
2 , откуда получим, что
5 3
21
 2 
4
16
21
На шестом шаге вычислим C5  12  54  16
  3241 , f (C5 )  f
41
 54  32
 длины
207
, выберем отрезок
 118   512
, содержащий
f (C5 )  f
7253
,
 6481   524188
выберем
2 , откуда получим, что
5 3
81
 2 
4
64
3
В результате на каждом шаге для 3 2 получаем приближенные значения по
недостатку и с избытком. После семи шагов можно взять следующие приближенные
значения 3 2 :
5
1
4 по недостатку с точностью 64 ;
81
1
64 с избытком с точностью 64 ;
значение
1
2
161
, абсолютная погрешность которого не превосходит
 54  6481   128
1
128
.
3. Приближенное вычисление корня уравнения x3  3x  1  0 , который содержится в
отрезке [1;2].
Рассмотрим уравнение x 3  3x  1  0 . График функции f ( x )  x 3  3x  1 изображен
на рисунке 6. По этому графику можно понять, что на отрезке [1;2] уравнение
x3  3x  1  0 имеет корень. Для проверки вычислим f (1)  13  3  1  1
и
3
f (2)  2  3  2  1  3 . Так как в концах отрезка [1;2] функция f ( x) принимает значения
разных знаков, то на самом деле уравнение x3  3x  1  0 имеет корень a , который
больше 1 и меньше 2.
Приближенные значения a можно вычислить аналогично тому, как это было
показано в предыдущем пункте. На втором шаге вычислим
C1  12 (1  2)  32 , f (C1 )  278  92  1   81 , выберем отрезок [ 32  2] , содержащий a , откуда
получим, что 32   a  2 .
На третьем шаге вычислим
23
21
, выберем отрезок [ 32  74 ] , содержащий a ,
C2  12 ( 23  2)  74 , f (C2 )  343
64  4  1  64
откуда получим, что 32  a  74 .
На четвертом шаге вычислим
39
213
, выберем отрезок [ 32  138 ] , содержащий a ,
C3  12 ( 32  74 )  138 , f (C3 )  2197
512  8  1  512
откуда получим, что 32   a  138 .
Намеченный процесс можно продолжать дальше, получая на каждом очередном шаге
все более точные приближенные значения для корня a .
Контрольные вопросы
1. На каком свойстве основано решение уравнений методом деления пополам?
2. В чем состоит решение уравнений методом деления пополам?
3. Сколько шагов метода деления пополам нужно сделать, чтобы найти корень
уравнения с точностью 0,01, если известно, что этот корень лежит на промежутке [3;4]?
Задачи и упражнения
1. Найдите целую часть положительного корня уравнения x 2  5   0 .
2. Найдите целую часть положительного корня уравнения x 2  128   0 .
3. Докажите, что у уравнения
x 2  256 x  132  0
есть ровно один положительный действительный корень.
Рассмотрите три способа решения этой задачи:
а) непосредственное вычисление корней x1  x2 уравнения и доказательство того, что
x2  0 ;
б) применение теоремы Виета;
в) применение теоремы о промежуточном значении.
4. Докажите, что уравнение
x3  123x 2  251x  10  0
имеет по крайней мере один положительный корень.
5. Найдите приближенное значение 3 3 методом деления пополам с точностью до двух
знаков после запятой.
6. Найдите приближенное значение 3 4 методом деления пополам с точностью до двух
знаков после запятой.
7. а) Докажите, что уравнение
x3  6 x  2  0
имеет три корня: один на интервале (-3;-2), другой на интервале (0;1) и третий на
интервале (1;2).
б) Найдите корень этого уравнения лежащий на интервале (0;1), с точностью до одного
знака после запятой.
8. Докажите, что уравнение
x4  x 1  0
имеет не менее двух действительных корней.
Ответы и указания к решению наиболее трудных задач.
Нет.