XII Международная олимпиада «Эрудит» Математика 8 класс 2 тур

XII Международная олимпиада «Эрудит»
Математика
8 класс
2 тур
Ответы
Максимальное количество баллов – 30 баллов
Задача № 1 (4 балла)
Последняя цифра числа 285376 есть 5. В степени числа 373 последняя цифра повторяется
через четыре степени: 31 = 3,
32 = 9, 33 = 27, 34 = 81, 35 = 243. Число 373285 имеет такую же последнюю цифру, что и 31
= 3. (285 делится на 4 с остатком 1). У числа 19 при возведении в степень будут
чередоваться цифры – 9, 1, 9, 1 и т. д. Это означает, что 19 в нечетной степени имеет
последнюю цифру 9. Последняя цифра такая же, как у суммы последних цифр слагаемых
5 + 3+ 9 = 17, т. е. 7. Значит, данное число не является четным.
Ответ: нет
Задача № 2 (4 балла)
Рассмотрим функцию у = 2|х - 3| + 2|х + 6| - 1. на интервалах:
1. При х < - 6, У = 2(3 – х) + 2(- х – 6) – 1= - 4х – 7.
2. При – 6 ≤ х < 3, у = 2(3 – х) + 2( х + 6) – 1= 17.
3. При х ≥ 3, у = 2(х – 3) + 2 (х + 6) – 1= 4х + 5.
Область определения: (- ∞; + ∞); Область значений: [17; +∞).
Задача № 3 (6 баллов)
Начнем решение с анализа факта: «Филинов никогда не слышал о Дроздове».
Сопоставляя его с другими данными, можно сделать вывод, что Филинов не хирург так
как хирург знает стоматолога и слышал о ветеринаре. Стоматолог, в свою очередь, знает
хирурга и ветеринара, так как отправился с собакой к нему на прием. Следовательно,
Филинов и не стоматолог. Остается единственно возможный вариант: Филинов
ветеринар. А так как ветеринар, несомненно, знает стоматолога, пришедшего к нему на
прием с собакой, то Дроздовым может быть только хирург. Следовательно, Канарейкин
– стоматолог.
Ответ: Филинов – ветеринар, Дроздов – хирург, Канарейкин – стоматолог.
Задача № 4 (6 баллов)
Пусть первый обгон произошел через х часов. За это время Иванов пробежал столько же,
сколько Сидоров, и еще половину длины катка. Это значит, что между первым и вторым
обгонами пройдет 2х часов, потому что теперь путь Иванова должен превышать путь
Сидорова на длину целого катка. В частности, между вторым и третьим обгонами
пройдет еще 2х часов. По условию задачи
х +2х+2х = 1, откуда х = 0,2 часа, или 12 минут. Значит между третьим и четвертым
обгоном пройдет 24 минуты.
Ответ: 24 минуты.
Задача № 5 (10 баллов)
Пусть Павлу дали х задач, а Виктору – 4х. Пусть Павел не решил n% задач, тогда Виктор
решил n% задач. Это значит, что Виктор решил
задач, а Павел –
юноши решили поровну задач, то приравняв эти дроби, найдем n.
4n = 100 – n или n = 20. Итак, Павел не решил 20 % задач, а решил 80 %.
Ответ: 80% задач было решено.
. Поскольку