Переход от периодической дроби к обыкновенной

Переход от периодической дроби к обыкновенной
9 класс
Тема: Переход от периодической дроби к обыкновенной.
Цель : Расширение понятие числа. Ознакомление учащихся с правилом представления
периодической дроби в виде обыкновенной. Ознакомление с представлением периодической
дроби в виде бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Научить превращать
периодическую дробь в обыкновенную.
Ход урока:
I. Оргмомент.
II. Изучение нового материала (лекция).
Множество действительных чисел , как вы уже знаете , состоит из чисел
рациональных и иррациональных, и притом каждое действительное число момент
быть представлено в виде бесконечной десятичной дроби.
Всякое рациональное число представляется в виде бесконечной десятичной
периодической дроби. В этом можно убедиться обыкновенным делением уголком :
Оказывается , что справедливо и обратное утверждение : всякая бесконечная
периодическая дробь представляет рациональное число.
Покажем на примере , как можно от бесконечной периодической дроби перейти к
равной ей обыкновенной дроби.
1. Возьмём действительное число α = 0,(41), тогда 100α = 41,(41)
100α – α = 41,(41) – 0,(41)
99α = 41
α=
α = 0,(6)
.
10α = 6,(6)
10α – α = 6,(6)
9α = 6
α=
α = 0,(123)
1000α = 123,(123)
1000α – α = 123,(123) - 0,(123)
999α = 123
α=
Мы видим , что можно не выполнять каждый раз вычисления, а просто, чтобы
представить периодическую дробь в виде обыкновенной, в числитель столько 9,
сколько цифр в периоде. Например 0,(81) =
2. Рассмотрим смешанное число α = 0,3(18)
10α =3,(18)
1000α = 318,(18)
1000α - 10α = 318,(18) – 3,(18)
990α = 315
1
Переход от периодической дроби к обыкновенной
9 класс
α=
α = 0,1(23);
10α = 1,(23)
1000α = 123,(23)
1000α - 10α = 123,(23) - 1,(23) = 122
990α = 122
α=
3.
α = 3,254(9)
1000α = 3254,(9)
10000α = 32549,(9)
10000α - 1000α = 32549,(9) – 3254,(9)
9000α = 29295
α=
Здесь тоже есть своя закономерность и громоздкие вычисления не выполнять.
Чтобы представить смешанное число в виде обыкновенной, нужно в числителе
написать разность чисел, одно из которых число до второго периода, а второе –
число до первого периода, а в знаменателе написать столько 9, столько цифр в
периоде и столько 0, сколько цифр до периода.
Например : 0,21(5) =
0,24(06) =
В старых учебниках арифметики формулировалось специальное правило
перевода периодической дроби в обыкновенную: надо в её числителе записать
период, а в знаменателе столько девяток, сколько цифр в периоде.
Например: 0,(13) =
Чтобы перевести смешанную периодическую дробь в обыкновенную
периодическую дробь в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго
периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и разделить полученную
разность на число, состоящее из стольких девяток, сколько цифр в периоде, и
стольких нулей, сколько цифр после запятой до первого периода.
Например: 0,5(13) =
Пользуясь этим правилом, представьте в виде обыкновенной дроби число:
а) 0,(72) ; б) 0,(123) ; в) 0,1(11); г) 0,24(06) .
3. А сейчас рассмотрим ещё один способ обращения бесконечной периодической
дроби в обыкновенную. Для этого воспользуемся формулой суммы бесконечного
убывающей геометрической прогрессии.
Эта формула справедлива
только при |q|<1.
Задача 1: Пользуясь формулой, записать бесконечную периодическую
последовательность приближённых значений данной бесконечной дроби:
в виде обыкновенной. Составим следующую
последовательность приближённых значений данной бесконечной дроби:
2
Переход от периодической дроби к обыкновенной
9 класс
Значит , данную периодическую дробь можно представить в виде суммы
бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Пример 2.
0,2(3) = 0,2 +0,03 + 0,003 + … = 0,2 +
Сравнивая способы превращения периодической дроби в обыкновенную , каждый момент
выбрать для себя более удобный.
III. Закрепление.
1. Представьте в виде бесконечной десятичной периодической дроби число
2. Сравните: а) 0,(52) и 0,(523); б) 2, (619) и 2,6(19) .
3. Придумайте какую-нибудь периодическую дробь , заключённую между числами:
а) 0,(6) и 0,(16) ;
б) 0,(30) и 0,(300) ;
в)
4. Представьте в виде обыкновенной дроби следующую десятичную периодическую
дробь а) 0,(6); б) 0,5(9) ; в) 0,(12); г) 0,(135); д) 0,2(36) ; е) 0,31(4) .
5. Представьте в виде обыкновенной дроби: а) 0,111… ; б) 0,101010… ; в) 0,010101…
Рекомендация: Чтобы проверить себя, разделите числитель на знаменатель уголком,
и вы получите первоначальную дробь, если решили верно.
IV. Используемая литература :
1. «Алгебра – 9» Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, изд «Просвещение» 2009 (Москва)
2. «Изучение алгебры 7-9» Ю.М. Колягин, изд «Просвещение» 2002 (Москва)
3. «Алгебра-9» Ш.А.Алимов , изд «Просвещение» 1992 (Москва)
4. Справочник школьника . Математика В.А.Гусев, А.Г.Мордкович,изд «Астрель»
2010
3